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多面体外接球半径常见的5种求法

例 1 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同

一个球面上,且该六棱柱的体积为 9 ,底面周长为3,则这个球的体积为

.

8



设正六棱柱的底面边长为

x

,高为 h

,则有

? ? ?9 ?? 8

?

6 6

x ?

? 3, 3 4

x2

h,

?

? ?

x

?

??h

? ?

1, 2 3.

∴正六棱柱的底面圆的半径 r ? 1 ,球心到底面的距离 d ? 3 .∴外接球的半径

2

2

R ? r2 ? d 2 ? 1.?V 球 ? 4? . 3
例 2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4,体积为 16,则这个球的表面

积是

A.16?

B. 20?

C. 24?

D. 32?

解 设正四棱柱的底面边长为 x ,外接球的半径为 R ,则有 4x2 ? 16 ,解得 x ? 2 .

∴ 2R ? 22 ? 22 ? 42 ? 2 6  ,  ? R ? 6 .∴这个球的表面积是 4? R2 ? 24? .选 C.

例 3 若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是 .
解 据题意可知,该三棱锥的三条侧棱两两垂直,∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为

3 的正方体,于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.

? ? ? ? ? ? 设其外接球的半径为 R ,则有 ?2R?2 ?

2
3?

2
3?

3 2 ? 9 .∴ R2 ? 9 .

4

故其外接球的表面积 S ? 4? R2 ? 9? .

例 4 正四棱锥 S ? ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ,点 S、A、B、C、D 都

在同一球面上,则此球的体积为

.

解 设正四棱锥的底面中心为 O1 ,外接球的球心为 O ,如图 1

S

所示.∴由球的截面的性质,可得 OO1 ? 平面ABCD .

D

C

又 SO1 ? 平面ABCD ,∴球心 O 必在 SO1 所在的直线上.

O1 A 图3 B

∴ ?ASC 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆,外接圆的半径就

是外接球的半径.

在 ?ASC 中,由 SA ? SC ? 2,AC ? 2 ,得 SA2 ? SC2 ? AC2 .

∴ ?ASC是以AC为斜边的Rt? .

∴ AC ? 1是外接圆的半径,也是外接球的半径.故V 球 ? 4? .

2

3

1

例 5 在矩形 ABCD 中, AB ? 4, BC ? 3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角

B ? AC ? D ,则四面体 ABCD 的外接球的体积为

A. 125 ? 12

B. 125 ? 9

C. 125 ? 6

D. 125 ? 3

解 设矩形对角线的交点为 O ,则由矩形对角线互相平分,可知

OA ? OB ? OC ? OD .∴点 O 到四面体的四个顶点 A、B、C、D 的

距离相等,即点 O 为四面体的外接球的球心,如图 2 所示.∴外接球的

半径 R ? OA ? 5 .故V 球 ? 4 ? R3 ? 125 ? .选 C.

2

3

6

D

AO

C

图4 B

2

1. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为___________

2? ? 2 3 3

2

2

2

2 正(主)视图

2 侧(左)视图

2.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:c m2 )为_________________

3.正六棱锥 P-ABCDEF 中,G 为 PB 的中点,则三棱锥 D-GAC 与三棱锥 P-GAC 体积之比为

_____________

4. 如右图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 1 。则该集合 2

体的俯视图可以是

答案: C

5.如图,在半径为 3 的球面上有 A, B,C 三点, ?ABC ? 90?, BA ? BC , 球 心 O 到 平 面 ABC 的 距 离 是 3 2 , 则 B、C 两 点 的 球 面 距 离 是 2
___? _________
3

6.若正方体的棱长为

2 ,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 ——— —(— — _ _ _ _ _ _

3

3

________)

7,如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为 3 和 4,过直角顶点的侧棱长 为 4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是( B )

8.设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为 m)。

则该几何体的体积为

4

m3

9. 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各顶点都在同一球面上,若

AB ? AC ? AA1 ? 2 , ?BAC ?120? ,则此球的表面积等于 4? R2 ? 2 0?



10.正三棱柱 ABC ? A1B1C1 内接于半径为 2 的球,若 A, B 两点的球面距离为? ,则正三棱

柱的体积为 8 .
11.体积为 8 的一个正方体,其全面积与球 O 的表面积相等,则球 O 的体积等于

8 6?



?

12.如图球 O 的半径为 2,圆 O1 是一小圆, O1O ? 2 ,A、B

是圆 O1 上两点,若

A,B

两点间的球面距离为

2? 3

,则 ?AO1B

=

? 2

.

13.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱

的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的高为 3 ,底面周长为 3,那么这个球的体积为

4

_____ 4 ? ____ 3

14、一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱

的长分别为 1,2,3,则此球的表面积为



15、过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面,若 OA 与该截面所成

的角是 60°则该截面的面积是 ( )

5


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