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湖北省武汉外国语学校2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题

武汉外国语学校2014—2015学年度下学期期末考试
高一数学试题

考试时间:2016-20176月 日      满分:150       

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的. 1. 数列3,5, 9,17,33,…的通项公式 a n 可以为( A. 2 n D. 2 n ?1 B. 2 n ? 1 ) C. 2 n ? 1

2. 已知直线 l1:ax ? 2 y ? 6 ? 0 与 l2:x ? (a ? 1) y ? a 2 ? 1 ? 0 ,若 l1 // l 2 ,则 a ? ) A.2 B. 2或 ? 1 C. ?1 D. ?2



3. 给出下列命题: ①平行于同一条直线的两直线互相平行;②平行于同一平面的两条直线互相 平行; ③垂直于同一直线的两条直线互相平行;④垂直于同一平面的两条直线互相 平行. 其中真命题的个数是 ( A. 1 D.4 ) B.2   C.3

c d 4. 已知 a, b, c, d 均为实数,有下列命题①若 ab ? 0 , bc ? ad ? 0 ,则 - >0; a b

-1-

②若 a ? b ? 0 ,c<d<0,则 ac ? bd ;③若 bc ? ad ? 0 , bd ? 0 则 a ? b ? c ? d .其中真命题的个数是( )
b d

A.

0        B.

1

C. 2       D.

3

5. 变量 x, y 满足约束条件 ? ? 2 x ? y ? 4 ,则目标函数 z = 3x+y-3的取值范围是(
?4 x ? y ? ?1 ?

? x ? 2y ? 2



3 A. [ ,9] 2

3 B. [? , 6] 2

C. [?2,3]

D. [1, 6]

6. 点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B (-2,1),则直线y= kx +b在x轴上的截距是( A. ?
5 6

) D. ?
1 6

B.

5 6

C.

1 6

7. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 S 5 ? S 6 且 S 6 ? S 7 ? S 8 ,下列结论错误的 ( ) B. a 7 ? 0 D. S 9 ? S 5

A. S 6 和 S 7 均为 S n 的最大值. C.公差 d ? 0

8. 过点 P ?2,1? 的直线 l 与坐标轴分别交 A, B 两点,如果三角形 OAB 的面积为4, 则满足条件的直线 l 最多有( A. 1 9. B. 2 )条 C. 3 D. 4

1 1 已知数列{ a n }的前n项和 S n ? a[2 ? ( ) n ?1 ] ? b[2 ? (n ? 1)( ) n ?1 ](n ? 1,2, ?), 其中 2 2
a, b 是非零常数,则存在数列{ x n }、{ y n }使得(



-2-

A. a n ? x n ? y n , 其中{x n } 为等差数列,{ y n }为等比数列 B. a n ? x n ? y n , 其中{x n } 和{ y n }都为等差数列 C. a n ? x n ? y n , 其中{x n } 为等差数列,{ y n }都为等比数列 D. a n ? x n ? y n , 其中{x n } 和{ y n }都为等比数列

10. 已知点 A(2,?3) 、 B (?3,?2) ,直线 l 过点 P (1,1) ,且与线段AB相交,则直线 l 的斜率 的取值 k 范围是(  ) A. C.

k?

3 或 k ? ?4 4
3 4

B. D.

k?

3 1 或k ? ? 4 4

?4? k ?

3 ?k?4 4

11. 下列四个正方体图形中, A , B 为正方体的两个顶点, M , N , P 分别为其所 在棱的中点,能得出 AB // 平面 MNP 的图形的序号是( )

N A P M M M B M M B M

P A

A

M M M

N

A N P M M M

B N B P









A.①、②

B.①、③

C. ②、③

D.②、④

-3-

12.

若空间中 n 个不同的点两两距离都相等,则正整数 n 的取值( A.大于5 B. 等于5 C. 至多等于4



D. 至多等于3

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。

13. 14.

设 x, y ? R , a ? 1, b ? 1 ,若 a x ? b y ? 3 , a ? b ? 2 3 ,则 ?

1 x

1 的最大值是 y

所有棱长均为2的三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?A1 AB ? ?A1 AC ? 60 0 ,则三棱柱
ABC ? A1 B1C1 的表面积为________________

15.
? x? y?0 ? 已知 x, y 满足 ? x ? y ? 5 ? 0 ,若不等式 a x 2 ? y 2 ? x ? y 恒成立,则 a 的最大值为 ? y ?3? 0 ?

16. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是 某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的 棱的长度为

三、解答题:本大题共6小题, 共70分.

-4-

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分11分)
x2 已知函数 f ( x) ? (a,b为常数)且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x1=3 ax ? b

, x2=4. (1)求函数f(x)的解析式; (2)设k>1,解关于x的不等式: f ( x) ?

(k ? 1) x ? k 2? x

18. (本小题满分11分) 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱1吨需耗一级籽棉2吨、二 级籽棉1吨;生产乙种棉纱1吨需耗一级籽棉1吨,二级籽棉2吨.每1吨甲种棉纱的 利润为900元,每1吨乙种棉纱的利润为600元.工厂在生产这两种棉纱的计划中, 要求消耗一级籽棉不超过250吨,二级籽棉不超过300吨.问甲、乙两种棉纱应各 生产多少吨,能使利润总额最大?并求出利润总额的最大值.

19.

(本小题满分11分)

如图,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,PD=DC=2,BC= 2 ,E是PC的中点 . (Ⅰ)证明:PA∥平面EDB; (Ⅱ)求异面直线AD 与BE所成角的余弦.

P E
D C

-5-

A

20.

(本小题满分11分) 已知数列{ an }的前 n 项和为 S n , a1 =1, an ? 0 , an an ?1 ? ? S n ? 1 ,其中 ? 为常

数. (1) (2) 证明: an ? 2 ? an ? ? ; 是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由.

21.

(本小题满分12分) 已知 ?ABC 中, BC 边上的高所在的直线方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 , ?A

的角平分线所在的直线方程为 y ? 0 ,点 C 的坐标为 (1, 2) . (1)求点 A 和点 B 的坐标; (2)又过点 C 作直线 l 与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于点 M , N ,求 ?MON 的 面积最小值及此时直线 l 的方程.

22.

(本小题满分14分) 已知数列 ?an ?中, a1 ? 2 ,对任意的 p, q ? N ? ,有 a p ? q ? a p ? aq .

(1) 求数列 ?an ?的通项公式; (2) 数列 ?bn ?满足
an ? b bn b1 b b n ?1 ? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? ? ? ??1? n ? N ? ?,求数列 ?bn ?的通项 ? n 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

公式; (3) 设 Cn ? 3n ? ? bn ?n ? N ? ?,是否存在实数 ? ,当 n ? N ? 时, Cn ?1 ? Cn 恒成立,若存 在,求实数 ? 的取值范围;若不存在,请说明理由。 -6-

-7-

解:(1)解法一:
2 由 an ? S 2 n ?1 得,

当 n ? 1 时, a12 ? S1 ,解得 a1 ? 1或a1 ? 0 (舍去)…………(1分) 当 n ? 2 时, a2 2 ? S3 ,解得 d ? 2或d ? ?1 , 因为 an ? 0 ,所以 d ? ?1 舍去………………(3分) 所以 a1 ? 1, d ? 2, 解法二:
2 因为 an ? S 2 n ?1 且 S 2 n ?1 ?

? an ? 2n ? 1, n ? N * ………………(4分)

a1 ? a2 n ?1 ? (2n ? 1) ? (2n ? 1)an ,……………(2分) 2

所以 an 2 ? (2n ? 1)an ,即 an ? 2n ? 1, n ? N * ………………(4分) (2)(ⅰ)由(1)得 bn ?
2 1 1 ? ? (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 2n ? ] ? 1? ? 所以 Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? [ ……(7 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

分)

(ⅱ)由(ⅰ)得 ? ? 可知

2n ? n ? 8 ? (?1) n 恒成立, 2n ? 1

2n 2n ? 1 ? 0 ,所以 ? ? [n ? 8 ? (?1) n ] ? 恒成立,……(9分) 2n ? 1 2n
2n ? 1 ,则 ? ? f (n) min 2n 2n ? 1 4 17 17 25 ? n? ? ? 4? ? 2n n 2 2 2

令 f (n) ? [n ? 8 ? (?1) n ] ?

当 n 为偶数时, f (n) ? (n ? 8) ?

当且仅当 n ?

25 4 25 ,即 n ? 2 时, f (n) min ? ,所以 ? ? ;……(11分) 2 n 2

-8-

当 n 为奇数时, f (n) ? (n ? 8) ?

2n ? 1 4 15 ? n? ? 2n n 2

可知 f (n) 随 n 的增大而增大,所以 f (n) min ? f (1) ? ? 分) 综上所诉, ? 的取值范围是 (??, ?

21 21 ,所以 ? ? ? ;…(13 2 2

21 ) ……(14分) 2

解答: 设生产甲、乙两种棉纱分别为x、y吨,利润总额为z, 则z=900x+600y
y

?2 x ? y ? 250 ? 且 ? x ? 2 y ? 300 ? x ? 0, y ? 0 ?
作出以上不等式组所表示的平面区域( 如图), 即可行域. 作直线l:900x+600y=0,即3x+2y=0, 把直线l向右上方平移至过直线2x+y=250与 直线x+2y=300的交点位置M(
200 350 , ), 3 3
O

M

x

3x+2y=0

此时所求利润总额z=900x+600y取最大值130000元

19.解:(Ⅰ)因为点 A 在 BC 边上的高 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,又在 ?A 的角平分线
? x ? 2 y ? 1 ? 0, y ? 0 上,所以解方程组 ? ? y ? 0,

得 A( ? 1,0) .……………2分

? BC 边上的高所在的直线方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,? k BC ? ?2 ,

? 点 C 的坐标为 (1, 2) ,所以直线 BC 的方程为 2 x ? y ? 4 ? 0 ,

-9-

? k AC ? ?1 , ? k AB ? ? k AC ? 1 ,所以直线 AB 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,
?x ? y ?1 ? 0 解方程组 ? ?2 x ? y ? 4 ? 0

得 B (5, ? 6) , ……………6分

故点 A 和点 B 的坐标分别为 ( ? 1,0) , (5, ? 6) .

(Ⅱ)依题意直线的斜率存在,设直线 l 的方程为: y ? 2 ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,则
M( k ?2 1 k ?2 1 4 , 0), N (0, 2 ? k ) ,所以 S ?MON ? ? ? (2 ? k ) ? (4 ? k ? ) k 2 k 2 k

1 1 ? [4 ? 2 ? ? (?4k )] ? 4 ,当且仅当 k ? ?2 时取等号,所以 ( S ?AOB ) min ? 4 , 2 k

此时直线 l 的方程是 2 x ? y ? 4 ? 0 . 解:(1)将 x1 ? 3, x 2 ? 4分别代入方程

……………12
x2 ? x ? 12 ? 0 得 ax ? b

? 9 ? ?9 ? ?a ? ?1 x2 ? 3a ? b 解得 , 所以 f ( x ) ? ( x ? 2). ? ? 16 b ? 2 2 ? x ? ? ? ?8 ? ? 4a ? b

(2)不等式即为

x2 (k ? 1) x ? k x 2 ? (k ? 1) x ? k ? , 可化为 ?0 2? x 2? x 2? x

即 ( x ? 2)( x ? 1)( x ? k ) ? 0. ①当 1 ? k ? 2, 解集为x ? (1, k ) ? (2,??). ②当 k ? 2时, 不等式为( x ? 2) 2 ( x ? 1) ? 0解集为x ? (1,2) ? (2,??); ③ 当k ? 2时, 解集为x ? (1,2) ? (k ,??) 17.(本小题满分12分)已知数列{ an }的前 n 项和为 S n , a1 =1, an ? 0 ,

an an ?1 ? ? S n ? 1 ,其中 ? 为常数.
(Ⅰ)证明: an ? 2 ? an ? ? ;(Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由 . (Ⅰ)由题设 an an ?1 ? ? S n ? 1 , an ?1an ? 2 ? ? S n ?1 ? 1 ,两式相减
an ?1 ?an ? 2 ? an ? ? ? an ?1 ,由于 an ? 0 ,所以 an ? 2 ? an ? ?

…………6分

(Ⅱ)由题设 a1 =1, a1a2 ? ? S1 ? 1 ,可得 a2 ? ?1 ? 1 ,由(Ⅰ)知 a3 ? ? ? 1 - 10 -

假设{ an }为等差数列,则 a1 , a2 , a3 成等差数列,∴ a1 ? a3 ? 2a2 ,解得 ? ? 4 ; 证明 ? ? 4 时,{ an }为等差数列:由 an ? 2 ? an ? 4 知 数列奇数项构成的数列 ?a2 m ?1?是首项为1,公差为4的等差数列 a2 m ?1 ? 4m ? 3 令 n ? 2m ? 1, 则 m ?

n ?1 ,∴ an ? 2n ? 1 (n ? 2m ? 1) 2

数列偶数项构成的数列 ?a2 m ?是首项为3,公差为4的等差数列 a2 m ? 4m ? 1 令 n ? 2m, 则 m ?
n ,∴ an ? 2n ? 1 (n ? 2m) 2

∴ an ? 2n ? 1 ( n ? N * ), an ?1 ? an ? 2 因此,存在存在 ? ? 4 ,使得{ an }为等差数列. ………12分

证明:因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥BC, 又∠BCD=900,CD⊥BC,所以BC⊥平面PCD,故PC⊥BC。 (2)(方法一)分别取AB、PC的中点E、F,连DE、DF,则: 易证DE∥CB,DE∥平面PBC,点D、E到平面PBC的距离相等。 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。 由(1)知:BC⊥平面PCD,所以平面PBC⊥平面PCD于PC , 因为PD=DC,PF=FC,所以DF⊥PC,所以DF⊥平面PBC于F 。 易知DF=
2 ,故点A到平面PBC的距离等于 2 。 2

(方法二)体积法: VA? PBC ? VP ? ABC , S? PBC ? h ? S? ABC ? PD ,

- 11 -

1 1 ?1 ? 2 ? h ? ? 2 ?1 ?1 ? h ? 2 ,故点A到平面PBC的距离等于 2 。 2 2

- 12 -


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