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基本不等式应用四部曲


基本不等式应用四步曲
江苏省新海高级中学 王弟成
基本不等式 a ? b ? 2 ab 是不等式证明及求函数最值的重要工具,在新教材中这一工 具作用体现更明显,灵活使用基本不等式是成功解(证)题的关键,使用时要注意条件满足 “一正、二定、三相等” ,本文介绍基本不等式使用的四个途径,供同学们体会参考。

1. 直接使用基本不等式
直接使用基本不等式是指题目中已有基本不等式的结构, 且满足 “一正、 二定、 三相等” 条件,只要直接运用即可。 例 1 设 a ? 0, b ? 0 且 a ? b ? 1 ,则 ab 最大值是。 解 由 a ? b ? 1 ,得 1 ? a ? b ? 2 ab ,所以 ab ?

1 1 ,即 ab 的最大值为 , 4 4

当a ? b ?

1 时取得最大值。 2
2 2

a2 ? b2 ? 1。 例 2 已知 a, b ? R ,求证: a ? 1 ? b ? 1 ? 2
证明 由基本不等式得, a ? 1 ? b ? 1 ?
2 2

( a 2 ? 1) 2 ? ( b 2 ? 1) 2 a 2 ? b 2 ? ? 1。 2 2

2. 变换使用基本不等式
变换使用基本不等式是指题中没有不等式的直接结构,或不满足“一正、二定、三相 等” 条件, 这时需要对已知条件作结构变换, 创造基本不等式结构模型, 然后再使用不等式。 例3 设 x ? 0, 求证 x ?

2 3 ? 。 2x ? 1 2

分析 若直接使用基本不等式,则无法消去 x ,此时需对条件作结构上的变换,创 造条件使用基本不等式。 证明

x?

2 ? x? 2x ? 1

1 x?
1

1 2
?

? x?

1 ? 2

1 x? 1 2

?

1 2

1 ? 2 (x ? ) ? 2
?

x?

1 2

1 3 ? 2 2
1 2 ? 的最小值是。 a b

例4

已知 a, b ? R ,且 a ? b ? 1 ,则

错解 因 a ? b ? 1 ,所以 ab ?

1 1 1 2 2 ? 4又 ? ? 2 , ?4 2。 4 ab a b ab

错因在于两次等号不能中时取到,需将两次缩小转化为一次,从而巧用“1”代换换元, 正解

1 2 a ? b 2a ? 2b b 2a 2ba ? ? ? ? 1? ? ? 2 ? 3? 2 ? 3 ? 2 2. a b a b a b ab
b 2a ? 时,即 b ? 2a , a ? 2 ? 1, b ? 2 ? 2 。 a b



3. 两次使用基本不等式
两次使用基本不等式是指连续两次使用不等式,使用时要注意等号要同时成立。 例5
2 设 a ? b ? 0 ,求 a ?

16 的最小值。 b( a ? b)





16 16 64 ? ? 2 ,此时等号成立条件是 b ? a ? b 即 a ? 2b , b? a ?b 2 a b(a ? b) ( ) 2
64 64 16 ? a 2 ? 2 ? 2 64 ? 16 。 此 时 等 号 成 立 条 件 是 , a 2 ? 2 即 a a b( a ? b)

所以 a ?
2

a ? 4 ,所以此时 b ? 2 。

4. 部分使用基本不等式
部分使用基本不等式解题时对部分条件使用基本不等式,另一部分用其它方法解决。 例6 设 x ? 5 ,求函数 y ? x ?

3 的最小值。 x

分析 若直接使用基本不等式,则等到号无法取到,所以通过变换,部分使用。

3 25 22 22 ? x? ? ,当 x ? 5 时, y ? ? 单调递增,而 x x x x 25 3 y ? x? ? 2 25 ? 10 在 x ? 5 时取得最小值。所以 y ? x ? 在 x ? 5 时有 x x 22 28 y min ? 10 ? ? 。 5 5 3 例7 设 0 ? x ? 1 ,求函数 y ? x ? 的最小值。 x 3 1 2 2 解 把条件变为 y ? x ? ? x ? ? ,当 0 ? x ? 1 时, y ? 单调递减,而 x x x x 1 3 y ? x ? ? 2 在 x ? 1 时取得最小值。所以 y ? x ? 在 x ? 1 时有 ymin ? 2 ? 2 ? 4. x x 1 1 25 . 例8 已知 a , b 是正实数, a ? b ? 1 。求证: (a ? )( b ? ) ? a b 4
解 把条件变为 y ? x ?

分析 本题不能由 a ?

1 1 ? 2 ,b ? ? 2 , 求解因为两式当且仅当 a ? 1, b ? 1 时成立, a b

而 a ? b ? 1 显然是不可能的,故考虑能否部分使用。

1 1 1 b a 1 2 b a (a ? )(b ? ) ? ab ? ? ? ? ( ab ? ) ? ? ?2, a b ab a b a b ab

因为 a , b 是正实数,所以

b a 1 1 ? ? 2 ,又 a ? b ? 1 ,所以 ab ? ,? ab ? ? , 所以 a b 2 2

1 ab

? ab ? 2 ?

1 3 1 9 ? , 所以 ( ? ab) 2 ? , 2 2 4 ab

故 (a ?

1 1 1 2 b a 25 )(b ? ) ? ( ab ? ) ? ? ?2? . a b a b 4 ab


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