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常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题04 函数值域(最值)的求法

第 04 讲:函数值域(最值)的求法 (判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法和导数法)
【考纲要求】 1、了解构成函数的要素,会求一些简单函数的值域。 2、理解函数的最大值、最小值及其几何意义。 【基础知识】 一、函数值域的定义 函数值的集合叫做函数的值域。 二、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法求函数的值域,都要考虑定 义域,函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则。

3、反比例函数错误!未找到引用源。的值域为错误!未找到引用源。. 4、指数函数错误!未找到引用源。的值域为错误!未找到引用源。. 5、对数函数错误!未找到引用源。的值域为 R. 6、幂函数错误!未找到引用源。的值域为 R,幂函数错误!未找到引用源。的值域为错误! 未找到引用源。。 7、正弦函数错误!未找到引用源。、余弦函数错误!未找到引用源。的值域为错误!未找 到引用源。 ,正切函数错误!未找到引用源。的值 域为 R,余切函数错误!未找到引用源。的值域为 R. 四、求函数的值域常用的方法 求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、 基本不等式法、单调性法、数形结合法和导数法等。 五、函数的值域一定要用集合或区间来表示。 六、函数的值域和函数的最值实际上是同一范畴的问题,所以求函数值域的方法适用于求 函数的最值。 【方法讲评】
[来源:Z。 xx。 k.Com]

方法六 使用情景 解题步骤 例1

判别式法 形如错误!未找到引用源。的函数。 一般先将函数化成方程,再利用判别式来求函数的值域。

求函数错误!未找到引用源。的值域。

错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。此时方程有实根即△错误!未找到引用源。, △错误!未找到引用源。 当错误!未找到引用源。时,方程化为 7=0,显然不能成立,所以错误!未找到引用源。
科网]

[来源 :学

将错误!未找到引用源。分别代入检验得错误!未找到引用源。不符合方程,所以错误! 未找到引用源。 。

方法七 使用情景 解题步骤

基本不等式法 一般变量是正数,变量的和或积是定值。 一般先进行配凑,再利用基本不等式求函数的最值,从而得到函数的值域。

例 2 已知错误!未找到引用源。,求函数错误!未找到引用源。 的最小值。 解:错误!未找到引用源。。错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 当且仅当错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。时,上式等号成立。 因为错误!未找到引用源。在定义域内,所以最小值为 1。 例 11 已知错误!未找到引用源。,求函数 错误!未找到引用源。 的最大值。

【变式演练 2 】 求函数错误!未找到引用源。的最小值。 【变式演练 3】 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200 错误!未找到引用源。的三 级污水处理池(平面图如图),如果池外圈周壁建造单价为每米 400 元,中间两条隔墙建 筑单价为每米 248 元,池底建造单价为每平方米 80 元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水 池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价。

方法八 使用情景 解题步骤

单调性法 函数的单调性容易判断。 先判断函数的单调性,再利用函数的单调性得到函数的值域。

例 3 求函数错误!未找到引用源。的值域。 解:错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。

【点评】本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间,从而得到函数的最大值和 最小值,得到函数的值域。 例 4 求函数 y ? 2 x ?5 ? log x ? 1(2 ? x ? 10) 的值域。
3

【点 评】 (1)如果能确定函数的单调性时,可以使用函数的单调性求函数的值域。 ( 2)本 题中利用了这样一个性质:增(减)函数 + 增(减)函数 = 增(减)函数。 ( 3 )本题

y1 ? 2 x ?5 , y 2 ? log3 x ? 1 都是增函数,利用到了复合函数的单调性。
【变式演练 4】 【变式演练 5】 (1)当 a= 求函数错误!未找到引用源。的值域。 已知函数 f(x)=

x2 ? 2x ? a ,x∈[1,+∞ ) x

1 时,求函数 f(x)的最小值 2

(2)若对任意 x∈[1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围。

例 5 求函数的值域:错误!未找到引用源。 解:错误!未找到引用源。 函数的图像如图所示: 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。函数的值域为:错误!未找到引用源。. 【点评】 (1)对于一些可以较快作出函数的图像的函数,可以直接作出函数的图像,再观 察函数的值域。 (2)对于绝对值函数,一般利用零点讨论法把函数化成分段函数,再作图。 例 6 如果函数错误!未找到引用源。定义在区间错误!未找到引用源。上,求错误!未找 到引用源。的最小值。

如图 3 所示,若顶点横坐标在区间错误!未找到引用源。右侧时,有错误!未找到引用源。 , 即错误!未找到引用源。 。当错误!未找到引用源。时,函数取得最小值 错误!未找到引用源。 综上讨论,错误!未找到引用源。

图3 【点评】二次函数在闭区间上的最值问题,是一种较典型的问题。如果对称轴和区间的位 置关系不能确定,常利用分类讨论和数形结合分析解答。 例7 求函数错误!未找到引用源。的值域.

解:将原函数视为定点(2,3)到动点错误!未找到引用源。的斜率,又知动点错误!未找到引 用源。满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点(2,3)到单位圆连线的斜率问题, 设直线的方程为错误!未找到引用源。 因为直线和圆相切,所以错误!未找到引用源。 所以函数的值域为:错误!未找到引用源。 【点评】 (1)对于某些具有明显几何意义的函数,我们可以利用数形结合的方法求该函数 的值域。先找到函数对应的形态特征,再求该函数的值域。 (2)由于错误!未找到引用源。 对应着两点错误!未找到引用源。之间的斜率(差之比对应直线的斜率) ,所以本题可以利 用斜率分析解答。 例8
2 2 求函数 y ? x ? 6x ? 13 ? x ? 4x ? 5 的值域。

【点评】要迅速地找到函数对应的形,必须注意积累。这样才能提高解题的效率。 例9 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水 化合物 6 个单位蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单 位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物, 6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个 单位的碳水化合物,42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求, 并且花费最少,应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐?
[来源:学科网 ZXXK]

【解析】 :设该儿童分别预订 x , y 个单位的午餐和晚餐,共花费 z 元,则 z ? 2.5 x ? 4 y 。 可行域为 12 x+8 y ≥64 6 x+6 y ≥42 6 x+10 y ≥54 x≥0, x∈N y≥0, y∈N 即 3 x+2 y ≥16 x+ y ≥7 3 x+5 y ≥27

x≥0, x∈N y≥0, y∈N 作出可行域如图所示: 经试验发现,当 x=4,y=3 时,花费最少,为 z ? 2.5 x ? 4 y =2.5×4+4×3=22 元. 【点评】线性规划的问题,就是数形结合研究问题的典型。线性规划解答问题的一般步骤 是(1)根据题意,设出变量错误!未找到引用源。; (2)列出线性约束条件; (3)确定线 性目标函数错误!未找到引用源。; (4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域) ; (5)利用线性目标函数作平行直线系错误!未找到引用源。; (6)观察图形,找到直线错 误!未找到引用源。在可行域上使错误!未找到引用源。取得欲求最值的位置,以确定最 优解,给出答案。 2 【变式演练 6】 函数错误!未找到引用源。=x -2x+2 在区间[t,t+1]上的最小值为错 误!未找到引用源。,求错误!未找到引用源。的表达式及其最值。

例 10 已知函 数 f(x)=xlnx. (1)求 f(x)的最小值; (2)讨论关于 x 的方程 f(x)-m=0(m∈R)的解的个数. 解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞), 1 f′(x)=lnx+1,令 f′(x)=0,得 x= . e 当 x∈(0,+∞)时,错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。的变化情况如下: 1 ?0,1? ?1,+∞? x ? e? ?e ? e ? ? ? ?
错误!未找 到引用源。 错误!未找 到引用源。

- ↘

0 极小值 ↗



1 ?1? 所以,错误!未找到引用源。在(0,+∞)上最小值是 f? ?=- . e ?e? ? 1? (2)当 x∈?0, ?时,错误!未找到引用源。单调递减且错误!未找到引用源。的取值范围是 ? e? ?-1,0?; ? e ? ? ? ?1 ? 当 x∈? ,+∞?时,错误!未找到引用源。单调递增且错误!未找到引用源。的取值范围是 ?e ? ?-1,+∞?. ? e ? ? ? 下面讨论错误!未找到引用源。-m=0 的解: 1 当 m<- 时,原方程无解; e 1 当 m=- 或 m≥0 时,原方程有唯一解; e 1 当- <m<0 时,原方 程有两个解. e
[来源:学科网]

【点评】对于结构较复杂或高次的函数,一般利用导数法来研究函数的值域。先利用导数 研究函数的单调性,再利用该函数的单调性画出函数的草图分析函数的值域。 例 11 两县城 A 和 B 相距 20km,现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一点

C 建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城 A 和城 B 的 总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处理 厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到 城 A 的距离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平 方成反比, 比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 (1)将 y 表示成 x 的函数; (11)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧 上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂 的中点时, 对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065.

对城 A 和城 B 的总影响度最小?若存在,求出该点到城 A 的距离;若不存在,说明理由。

18x4 ? 8(400 ? x2 )2 , 所 以 x 2 ? 160 , 即 x ? 4 10 , 当 0 ? x ? 4 10 时 , 18x4 ? 8(400 ? x2 )2 , 即 y ' ? 0 所 以 函 数 为 单 调 减 函 数 , 当 4 6 ? x ? 20 时 , 18x4 ? 8(400 ? x2 )2 ,即 y ' ? 0 所以函数为单调增函数.所以当 x ? 4 10 时, 即当 C 点到城 A
的距离为 4 10 时, 函数 y ?

4 9 ? (0 ? x ? 20) 有最小值. 2 x 400 ? x 2

1.【2012 高考真题全国卷理 9】已知 x=lnπ ,y=log52,错误!未找到引用源。 ,则( ) (A)x<y<z (B)z<x<y (C)z<y<x (D)y<z<x 【解析】错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未 找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。 ,选 D. 2. 【2012 高考真题湖南理 8】已知两条直线错误!未找到引用源。 :y=m 和错误!未找到 引用源。 : y=错误!未找到引用源。(m>0),错误!未找到引用源。与函数错误!未找到引 用源。的图像从左至右相交于点 A,B ,错误!未找到引用源。与函数错误!未找到引用源。

的图像从左至右相交于 C,D .记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a ,b ,当 m 变化 时,错误!未找到引用源。的最小值为( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误! 未找到引用源。 【解析】在同一坐标系中作出 y=m,y=错误!未找到引用源。(m>0),错误!未找到引用源。 图像如下图,

y ? log2 x
C
A B
1 D
y? 8 2m ? 1

y?m

O

x

3.【2012 高考真题福建理 15】对于实数 a 和 b,定义运算“﹡” :错误!未找到引用源。, 设错误!未找到引用源。,且关于 x 的方程为 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数 根 x1,x2,x3,则 x1x2x3 的取值范围是_________________. 【解析】由新定义得错误!未找到引用源。,所以可以画出草图,若方程错误!未找到引用

源。有三个根,则错误!未找到引用源。 ,且当

错误!未找到引用源。

时方程可化为 错误!未找到引用源。 ,易知错误!未找到引用源。 ;当错误!未找到引用源。 时方程可化为错误!未找到引用源。 ,可解得错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用 源。 ,又易知当错误!未找到引用源。时错误!未找到引用源。有最小值,所以错误!未找 到引用源。 ,即错误!未找到引用源。. 【反馈训练】

1.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( A. 3 B. 4 C. 错误!未找到引用源。 源。

) D. 错误!未找到引用

5.已知函数错误!未找到引用源。 (其中错误!未找到引用源。 )的图象与 x 轴的交点中,相 邻两个交点之间的距离为错误!未找到引用源。 ,且图象上一个最低点为错误!未找到引用 源。. (Ⅰ)求错误!未找到引用源。的解析式; (Ⅱ)当错误!未找到引用源。 ,求错误!未找到引 用源。的值域. 6.已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx 的导函数的图象关于直线 x=2 对称. (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 x ? t 处取得最小值 ,记此极小值为 g (t ) ,求 g (t ) 的定义域和值域。 7.设计一幅宣传画,要求画面面积为 4840 cm2,画面的宽与高的比为λ (λ <1),画面的上、下 各留 8 cm 的空白,左右各留 5 cm 空白,怎样确定画面的高与宽尺寸,才能使宣传画所用 纸张面积最小? 如果要求λ ∈[ ,

2 3 ] ,那么λ 为何值时,能使宣传画所用纸张面积最小? 3 4

8.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩之间 的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的 桥面工程费用为 (2 ? x ) x 万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他 因素,记余下工程的费用为 y 万元。 (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 9.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下,大 桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数。当桥上的 的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/ 千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明;当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密 度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ? x ? 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位:

辆/每小时) f ? x ? ? x.v ? x ? 可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时) 【变式演练详细解答】

错误!未找到引用源。原函数的值域为错误!未找到引用源。. 【变式演练 2 详细解析】 由题得错误!未找到引用源。 当且仅当错误!未找到引用源。。所以函数的值域为错误!未找到引用源。 【变式演练 3 详细解析】 设污水池长为 x 米,则宽为 墙长为 由题得 (米),水池外圈周壁长为 (米),中间隔

(米),池底面积为 200(米 2)



(当且仅当错误!未找到引用源。时,取到等号)

[来源:学科网 ZXXK]

所以当水池的长为 18 米,宽为错误!未找到引用源。米时,水池的造价最低为 44800 元。 【变式演练 4 详细解析】 设错误!未找到引用源。 所以错误!未找到引用源。

【变式演练 6 详细解析】 2 2 ∵f(x)=x -2x+2=(x-1) +1≥1,因 x∈[t,t+1]。 (1)当 t≤1≤t+1,即 0≤t≤1 时,函数最小值在顶点处取得,即 g(t)=f(1)=1。 (2)当 1>t+1,即 t<0 时,f(x)在[t,t+1]上是减函数,此时最小值为 g(t)=f(t+1) 2 =t +1。 2 (3)当 1<t 时,f(x)在[t,t+1]上是增函数,此时最小值为 g(t)=f(t)=t -2t+2 ∴当 x∈[t,t+1],f(x)的最小值是:错误!未找到引用源。 当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 ;当错误!未找到引用源。时,错误! 未找到引用源。 当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 所以函数错误!未找到引用源。的最小值为 1,没有最大值。 【变式演练 7 详细解析】 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。, ∴错误!未找到引用源。. 2 令错误!未找到引用源。>0,即错误!未找到引用源。得 0<x< .

a

?2 ? ? 2? ∴错误!未找到引用源。在(-∞,0),? ,+∞?上是减函数,在?0, ?上是增函数. ?a ? ?
a?
2 ①当 0< <1,即 a>2 时,错误!未找到引用源。在(1,2)上是减函数,

a

∴[f(x)]max=f(1)=错误!未找到引用源。 2 ? 2? ?2 ? ②当 1≤ ≤2,即 1≤a≤2 时,f(x)在?1, ?上是增函数,在? ,2?上是减函数,

a

?

a?

?a

?

?2? ∴[f(x)]max=f? ?=错误!未找到引用源。 ?a?
2 ③当 >2 时,即 0<a<1 时,f(x)在(1,2)上是增函数,

a

∴[f(x)]max=f(2)=错误!未找到引用源。 综上所述,当 0<a<1 时,f(x)的最大值为错误!未找到引用源。, 当 1≤a≤2 时,f(x)的最大值为错误!未找到引用源。, 当 a>2 时,f(x)的最大值为错误!未找到引用源。 【反馈训练详细解答】 ]

3.8【

解析】 t=

400 400 16V V 2 +16×( ) /V= + ≥2 16 =8 V V 400 20

4.【解析】错误!未找到引用源。恒成立,错误!未找到引用源。函数的定义域为 R. 由错误!未找到引用源。 得错误!未找到引用源。 。 错误!未找到引用源。 ① 当错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。 时,错误!未找到引用 错误!未找到引用源。 误!未找到引用源。 错误!未找 源。 ; 错误!未找到引用源。 A 未找到引用源。 !未找到引用源。 到引用源。 ② 当错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。时, 错误!未找到引用源。 到引用源。 未找到引用源。 L0 错误!未找到引用源。时,方程错误!未找到引用源。恒有实根 . 错 找到引用源。 误!未找到引用源。 找到引用源。用源。 误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。且错误!未找到 源。 !未找到引用源。 到引用源。 错误!未找到引用源。 x 错误!未找到引用源。 引用源。.
误!未找到引用源。 误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误! 未找到引用源。 原函数的值域 为错误!未找到引用源。. 找到引用源。 用源。 A !未找到引用源。 !未找到引用源。 5.【解析】 (1)由最低点为错误!未找到引用源。得 A=2. 到引用源。 错误!未找到引用源。 源。 引用源。 未找到引用源。 未找到引用源。 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为错误!未找到引用源。得 引用源。 误!未找到引用源。 。 找到引用源。 找到引用源。 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引 用源。 未找到引用源。 到引用源。 到引用源。 用源。 ,错误!未找到引用源。 源。 找到引用源。 引用源。 引用源。 由点错误!未找到引用源。在图像上的错误!未找到引用源。 。 到引用源。 用源。 用源。 故错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 引用源。 源。 源。 又错误!未找到引用源。 用源。 。 。 (2)错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 源。 当错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。时,错误!未找到 引用源。取得最大值 2;当错误!未找到引用源。 即错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。取得最小值-1,故错误!未找到引用源。 的值域为[-1,2]
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未找到引用源。 引用源。

当 x< x1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 (??, x1 ) 内为增函数;

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当 x1 <x< x2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 ( x1 , x2 ) 内为减函数; 当 x ? x2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 ( x2 , ??) 内为增函数. 所以 f ( x ) 在 x ? x1 处取极大值,在 x ? x2 处取极小值. 因此,当且仅当 c ? 12 时,函数 f ( x ) 在 x ? x2 处存在唯一极小值,所以 t ? x2 ? 2 . 于是 g (t ) 的定义域为 (2, ??) .由 f ?(t ) ? 3t 2 ?12t ? c ? 0 得 c ? ?3t ? 12t .
2

于是 g (t ) ? f (t ) ? t 3 ? 6t 2 ? ct ? ?2t 3 ? 6t 2 , t ? (2, ??) . 当 t ? 2 时, g ?(t ) ? ?6t 2 ? 12t ? 6t (2 ? t ) ? 0, 所以函数 g (t ) 在区间 (2, ??) 内是减函数,故 g (t ) 的值域为 (??,8). 7.【解析】 设画面高为 x cm,宽为λ x cm,则λ x2=4840,设纸张面积为 S cm2, 则 S=(x+16)(λ x+10)=λ x2+(16λ +10)x+160, 将 x=

22 10

?
5

代入上式得

S=5000+44 10 (8 ? +

5

?

),
8cm

当8 ?=

?

,即λ = ( <1)时 S 取得最小值

5 5 8 8

此时高 x=

4840

?

5 =88 cm, 宽 λ x= ×88=55 cm 8

5cm
[来源:学科网][来源:Zxxk.Com]

5cm

如果λ ∈[ ,

2 3 2 3 ] ,可设 ≤λ 1<λ 2≤ , 3 4 3 4
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

8cm

则由 S 的表达式得

S ( ?1 ) ? S ( ?2 ) ? 44 10 (8 ?1 ? ? 44 10 ( ?1 ? ?2 )(8 ? 5

5

?1
)

? 8 ?2 ?

5

?2

)

?1?2

又 ?1?2 ≥

5 2 5 >0, ? ,故 8- 3 8 ?1?2

∴S(λ 1)-S(λ 2)<0,∴S(λ )在区间[ , 从而对于λ ∈[ ,

2 3 ]内单调递增 3 4

2 3 2 ],当λ = 时,S(λ )取得最小值 3 3 4

答 画面高为 88 cm,宽为 55 cm 时, 所用纸张面积最小 所用纸张面积最小

如果要求λ ∈ [ ,

2 3 2 ] ,当λ = 时, 3 3 4

当 0< x <64 时 f '( x) <0,

f ( x) 在区间(0,64)内为减函数 ;

当 64 ? x ? 640 时, f '( x) >0. f ( x ) 在区间(64,640)内为增函数, 所以 f ( x ) 在 x =64 处取得最小值,此时, n ? 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小。 9.【解析】 : (Ⅰ)由题意:当 0 ? x ? 20时, v( x) ? 60 ;当 20 ? x ? 200时, 设v( x) ? ax ? b

m 640 ?1 ? ? 1 ? 9. x 64

1 ? a?? , ? ?200a ? b ? 0, ? 3 再由已知得 ? 解得 ? ?20a ? b ? 60, ?b ? 200 . ? 3 ? 0 ? x ? 20, ?60, ? 故函数 v( x) 的表达式为 v( x) ? ? 1 (200 ? x), 20 ? x ? 200 ? ?3