高中数学《1.1.3 正弦定理和余弦定理》教案 新人教A版必修5

课题：1 . 1 . 3 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理
高二数学 教·学案 主备人： 执教者：

【学习目标】 1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角 形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 2.通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式 及三角形有关性质求解三角形问题。 【学习重点】在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 【学习难点】正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用 【授课类型】新授课 【教 具】课件、电子白板 【学习方法】 【学习过程】 一、引入： 思考：在 ? ABC 中，已知 a ? 22 cm ， b ? 25cm ， A ? 1330 ，解三角形。 （由学生阅读课本第 9 页解答过程） 从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角 形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三 角形的问题。 二、特例示范： b ,A ，讨论三角形解的情况 例 1．在 ? ABC 中，已知 a , 分析：先由 sin B ? 则 C ? 1800 ?(A ? B ) 从而 c ? 个性设计

b sin A 可进一步求出 B； a

a sinC A

1．当 A 为钝角或直角时，必须 a ? b 才能有且只有一解；否则无解。 2．当 A 为锐角时， 如果 a ≥ b ，那么只有一解； 如果 a ? b ，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若 a ? b sin A ，则有两解； （2）若 a ? b sin A ，则只有一解； （3）若 a ? b sin A ，则无解。 （以上解答过程详见课本第 9 10 页） 评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有

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高二数学 教·学案 当 A 为锐角且

b sin A ? a ? b 时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。 例 2．在 ? ABC 中，已知 a ? 7 ， b ? 5 ， c ? 3 ，判断 ? ABC 的类型。
分析：由余弦定理可知

a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是直角 ? ?ABC是直角三角形 a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是钝角 ? ?ABC是钝角三角形 a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是锐角? ?ABC是锐角三角形
（注意： A是锐角? ?ABC是锐角三角形 ） 解： 72 ? 52 ? 32 ，即 a 2 ? b 2 ? c 2 ， ∴ ?ABC是钝角三角形 。 例 3．在 ? ABC 中， A ? 600 ， b ? 1 ，面积为 值 分析：可利用三角形面积定理 S ? ab sinC ? ac sin B ? bc sin A 以及正 弦定理

a ? b ?c 3 ，求 的 sin A ? sin B ? sinC 2
1 2 1 2

1 2

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

?

a ? b ?c sin A ? sin B ? sinC

1 3 解：由 S ? bc sin A ? 得c ? 2 ， 2 2
则 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A =3，即 a ? 3 ， 从而

a ? b ?c a ? ?2 sin A ? sin B ? sinC sin A

四、当堂练习： （1）在 ? ABC 中，已知 a ? 80 ， b ? 100 ， ?A ? 450 ，试判断此三角形的解 的情况。 （2）在 ? ABC 中，若 a ? 1 ，c ? 个。 （3）在 ? ABC 中，a ? xcm ，b ? 2 cm ， ?B ? 450 ，如果利用正弦定理解三角 形有两解，求 x 的取值范围。 （答案： （1）有两解； （2）0； （3） 2 ? x ? 2 2 ） （1）在 ? ABC 中，已知 sin A:sin B :sinC ? 1:2:3 ，判断 ? ABC 的类型。 （2）已知 ? ABC 满足条件 a cosA ? b cosB ，判断 ? ABC 的类型。 （答案： （1） ?ABC是钝角三角形 ； （2） ? ABC 是等腰或直角三角形）
2

1 ，?C ? 400 ，则符合题意的 b 的值有_____ 2

高二数学 教·学案

（1）在 ? ABC 中，若 a ? 55 ， b ? 16 ，且此三角形的面积 S ? 220 3 ，求角 C （2）在 ? ABC 中，其三边分别为 a、b、c，且三角形的面积 S ? 求角 C （答案： （1） 600 或 1200 ； （2） 450 ） 五、本节小结： （1） 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时， 有两解或一解或无 解等情形； （2）三角形各种类型的判定方法； （3）三角形面积定理的应用 六、作业布置:学案 1.1.3

a 2 ? b 2 ?c 2
4

，

3