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高中数学《1.1.3 正弦定理和余弦定理》教案 新人教A版必修5


课题:1 . 1 . 3 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理
高二数学 教·学案 主备人: 执教者:

【学习目标】 1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形;三角 形各种类型的判定方法;三角形面积定理的应用。 2.通过引导学生分析,解答三个典型例子,使学生学会综合运用正、余弦定理,三角函数公式 及三角形有关性质求解三角形问题。 【学习重点】在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形; 三角形各种类型的判定方法;三角形面积定理的应用。 【学习难点】正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用 【授课类型】新授课 【教 具】课件、电子白板 【学习方法】 【学习过程】 一、引入: 思考:在 ? ABC 中,已知 a ? 22 cm , b ? 25cm , A ? 1330 ,解三角形。 (由学生阅读课本第 9 页解答过程) 从此题的分析我们发现,在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角 形时,在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三 角形的问题。 二、特例示范: b ,A ,讨论三角形解的情况 例 1.在 ? ABC 中,已知 a , 分析:先由 sin B ? 则 C ? 1800 ?(A ? B ) 从而 c ? 个性设计

b sin A 可进一步求出 B; a

a sinC A

1.当 A 为钝角或直角时,必须 a ? b 才能有且只有一解;否则无解。 2.当 A 为锐角时, 如果 a ≥ b ,那么只有一解; 如果 a ? b ,那么可以分下面三种情况来讨论: (1)若 a ? b sin A ,则有两解; (2)若 a ? b sin A ,则只有一解; (3)若 a ? b sin A ,则无解。 (以上解答过程详见课本第 9 10 页) 评述:注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只有

1

高二数学 教·学案 当 A 为锐角且

b sin A ? a ? b 时,有两解;其它情况时则只有一解或无解。 例 2.在 ? ABC 中,已知 a ? 7 , b ? 5 , c ? 3 ,判断 ? ABC 的类型。
分析:由余弦定理可知

a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是直角 ? ?ABC是直角三角形 a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是钝角 ? ?ABC是钝角三角形 a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是锐角? ?ABC是锐角三角形
(注意: A是锐角? ?ABC是锐角三角形 ) 解: 72 ? 52 ? 32 ,即 a 2 ? b 2 ? c 2 , ∴ ?ABC是钝角三角形 。 例 3.在 ? ABC 中, A ? 600 , b ? 1 ,面积为 值 分析:可利用三角形面积定理 S ? ab sinC ? ac sin B ? bc sin A 以及正 弦定理

a ? b ?c 3 ,求 的 sin A ? sin B ? sinC 2
1 2 1 2

1 2

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

?

a ? b ?c sin A ? sin B ? sinC

1 3 解:由 S ? bc sin A ? 得c ? 2 , 2 2
则 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A =3,即 a ? 3 , 从而

a ? b ?c a ? ?2 sin A ? sin B ? sinC sin A

四、当堂练习: (1)在 ? ABC 中,已知 a ? 80 , b ? 100 , ?A ? 450 ,试判断此三角形的解 的情况。 (2)在 ? ABC 中,若 a ? 1 ,c ? 个。 (3)在 ? ABC 中,a ? xcm ,b ? 2 cm , ?B ? 450 ,如果利用正弦定理解三角 形有两解,求 x 的取值范围。 (答案: (1)有两解; (2)0; (3) 2 ? x ? 2 2 ) (1)在 ? ABC 中,已知 sin A:sin B :sinC ? 1:2:3 ,判断 ? ABC 的类型。 (2)已知 ? ABC 满足条件 a cosA ? b cosB ,判断 ? ABC 的类型。 (答案: (1) ?ABC是钝角三角形 ; (2) ? ABC 是等腰或直角三角形)
2

1 ,?C ? 400 ,则符合题意的 b 的值有_____ 2

高二数学 教·学案

(1)在 ? ABC 中,若 a ? 55 , b ? 16 ,且此三角形的面积 S ? 220 3 ,求角 C (2)在 ? ABC 中,其三边分别为 a、b、c,且三角形的面积 S ? 求角 C (答案: (1) 600 或 1200 ; (2) 450 ) 五、本节小结: (1) 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时, 有两解或一解或无 解等情形; (2)三角形各种类型的判定方法; (3)三角形面积定理的应用 六、作业布置:学案 1.1.3

a 2 ? b 2 ?c 2
4



3


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