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高中数学立体几何题库全练习[1]


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立体几何基础题题库二(有详细答案)
361. 有一个三棱锥和一个四棱锥,棱长都相等,将它们一个侧面重叠后,还有几个暴露面? 解析:有 5 个暴露面. 如图所示,过 V 作 VS′∥AB,则四边形 S′ABV 为平行四边形,有∠S′VA=∠VAB=60°,从而Δ S′VA 为等边三角形, 同理Δ S′VD 也是等边三角形,从而Δ S′AD 也是等边三角形,得到以Δ VAD 为底,以 S′与 S 重合.

这表明Δ VAB 与Δ VSA 共面,Δ VCD 与Δ VSD 共面,故共有 5 个暴露面. 362. 若四面体各棱长是 1 或 2,且该四面体不是正四面体,则其体积的值是 .(只须写出一个可能的值) 解析: 该题的显著特点是结论发散而不惟一.本题表面上是考查锥体求积公式这个知识点,实际上主要考查由所给条 件构造一个四面体的能力,首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的. 排除{1,1,2} ,可得{1,1,1}{1,2,2}{2,2,2} , , ,然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体,再 求其体积. 由平时所见的题目,至少可构造出二类满足条件的四面体,五条边为 2,另一边为 1,对棱相等的四面体. 对于五条边为 2,另一边为 1 的四面体,参看图 1 所示,设 AD=1,取 AD 的中点为 M,平面 BCM 把三棱锥分成两个三棱 锥,由对称性可知 AD⊥面 BCM,且 VA—BCM=VD—BCM,所以

VABCD=

1 SΔ BCM·AD. 3
2

CM= CD 2 ? DM 2 = 2 ? ( ) =
2

1 2

15 15 11 .设 N 是 BC 的中点,则 MN⊥BC,MN= CM 2 ? CN 2 = ,从而 SΔ ?1 = 2 2 4

BCM

=

1 11 11 ×2× = , 2 2 2 1 11 11 × ×1= . 3 2 6

故 VABCD=

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对于对棱相等的四面体,可参见图 2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中,再用长方体的体积减去四个小三棱 锥的体积来进行.亦可套公式 V= 不妨令 a=b=2,c=1,则 V=

2 · (a 2 ? b 2 ? c 2 )( b 2 ? c 2 ? a 2 )(c 2 ? a 2 ? b 2 ) , 12

2 · (4 ? 4 ?1)(4 ? 1 ? 4)(1 ? 4 ? 4) 12

=

14 2 · 7= . 12 12

363. 湖结冰时,一个球漂在其上,取出后(未弄破冰),冰面上留下了一个直径为 24cm,深为 8cm 的空穴,求该球的半 径. 2 2 2 解析:设球的半径为 R,依题意知截面圆的半径 r=12,球心与截面的距离为 d=R-8,由截面性质得:r +d =R ,即 2 2 2 12 +(R-8) =R . 得 R=13 ∴该球半径为 13cm. 364. 在有阳光时,一根长为 3 米的旗轩垂直于水平地面,它的影长为 3 米,同时将一个半径为 3 米的球放在这块水 平地面上,如图所示,求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).

解析:由题意知,光线与地面成 60°角,设球的阴影部分面积为 S,垂直于光线的大圆面积为 S′,则 Scos30°=S′, 并且 S′=9π ,所以 S=6 3 π (米 ) 365. 设棱锥 M—ABCD 的底面是正方形,且 MA=MD,MA⊥AB,如果Δ AMD 的面积为 1,试求能够放入这个棱锥的最大球 的半径.
2

解析: ∵AB⊥AD,AB⊥MA, ∴AB⊥平面 MAD, 由此,面 MAD⊥面 AC. 记 E 是 AD 的中点,
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从而 ME⊥AD. ∴ME⊥平面 AC, ME⊥EF 设球 O 是与平面 MAD、AC、平面 MBC 都相切的球. 不妨设 O∈平面 MEF,于是 O 是Δ MEF 的内心. 设球 O 的半径为 r,则 r= 设 AD=EF=a,∵SΔ AMD=1. ∴ME=

2S△MEF EF ? EM ? MF

2 2 2 2 .MF= a ? ( ) , a a

r=

2 a? 2 2 ? a 2 ? ( )2 a a



2 = 2 -1 2?2 2

当且仅当 a=

2 ,即 a= 2 时,等号成立. a

∴当 AD=ME= 2 时,满足条件的球最大半径为 2 -1. 366. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,期棱长为 a. (1)求证 BD⊥截面 AB1C; (若一条直线垂直于一条斜线在这平面内的射影,则这条直线垂直于这条斜线) (2)求点 B 到截面 AB1C 的距离; (3)求 BB1 与截面 AB1C 所成的角的余弦值。

?1? 证明 : DD1 ? 面ABCD ? ? BD
BD ? AC ? ?
同理 BD1⊥AB1.∴BD1⊥面 ACB1.

1

? AC

(2)AB=BC=BB1 ? G 为△AB1C 的中心.AC= 2 a AG=

2 2 6 a? 3? ? a 2 3 3

∴BG= a 2 ? (

3 6 2 6 3 2 a a) ? a 2 ? a 2 ? a = 3 3 9 9

(3)∠BB1G 为所求

6 a GB1 3 ? 6 ? cos∠BB1G= BB1 a 3
367. 已知P为 ABCD所在平面外一点,M为PB的中点,求证:PD∥平面MAC. 解析: 因 M 为 PB 的中点,连 BD∩AC 于 O 后,可将 PD 缩小平移到 MO,可见 MO 为所求作的平行线. 证明 连AC交BD于O,连MO,
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则MO为△PBD的中位线, ∴PD∥MO,∵PD ? 平面MAC,MO平面MAC, ∴PD∥平面MAC. 368. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,M,N,E,F分别是棱B1C1,A1D1,D1D,AB的中点. (1)求证:A1E⊥平面ABMN. (2)平面直线 A1E 与 MF 所成的角. 解析: (1)要证 A1E⊥平面 ABMN,只要在平面中找到两条相交直线与 A1E 都垂直,显然 MN 与它垂直,这是因为 MN⊥平面 A1ADD1,另一方面,AN 与 A1E 是否垂直,这是同一个平面中的问题,只要画出平面几何图形,用平几知 识解决. (2)为(1)的应用. 证明 (1)∵AB⊥平面 A1ADD1, 而A1E ? 平面 A1ADD1, ∴AB⊥A1E.在平面 A1ADD1 中,A1E⊥AN, ∵AN∩AB=A,∴A1E⊥平面 ABMN. 解 (2)由(1)知 A1E⊥平面 ABMN,而 MF ? 平面 ABMN, ∴A1E⊥MF, 则 A1E 与 MF 所成的角为90° 369. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,M 为棱 CC1 的中 点, 交 BD 于点 O, AC 求证:A1O⊥平面 MBD. 解析:要证 A1O⊥平面 MBD,只要在平面 MBD 内找到两条相交直线与 A1O 都垂直,首先想到 DB,先观察 A1O 垂直 DB 吗? 方法1:发现 A1O 平分 DB,想到什么?(△A1DB 是否为等腰三角形) ∵A1D=A1B,DO=OB,∴A1O⊥DB. 方法2:A1O⊥DB 吗?即 DB⊥A1O 吗?DB 垂直包含 A1O 的平面吗?(易见 DB⊥平面 A1ACC1) 再观察 A1O 垂直何直线?DM?BM?因这两条直线与 A1O 均异面, 故难以直接观察,平面 MDB 中还有何直线?易想到 MO,因 MO 与 A1O 相交,它们在同一平面 内,这是一个平几问题,可画 出平几图进行观察. 证明 取 CC1 中点 M, 连结 MO, ∵DB⊥A1A, DB⊥AC, 1A∩AC=A, A ∴DB⊥平面 A1ACC1,而
2 2 ,tan∠MOC= ,∴∠AA1O=∠MOC, 2 2 则∠A1OA+∠MOC=90°,∴A1O⊥OM,∵OM∩DB=O,∴A1O⊥平面 MBD.

A1O ? 平面 A1ACC1,∴A1O⊥DB.在矩形 A1ACC1 中,∵tan∠AA1O=

370. 点 P 在线段 AB 上,且 AP∶PB=1∶2,若 A,B 到平面α 的距离分别为 a,b,求点 P 到平面α 的距离. 解析: (1)A,B 在平面α 的同侧时,P 平面α 的距离为
2 1 2a ? b ; a? b ? 3 3 3

(2)A,B 在平面α 的异侧时,P 平面α 的距离为
2 1 a ? (?b) ? 3 3 2a ? b 3



点评 一是画图时,只要画出如右上图的平面图形即可,无需画出空间图形;二是对第(2)种情形,若以平面为“水 平面” ,在其上方的点高度为正,在其下方的点高度为负,则第(2)种情形的结论,就是将(1)结论中的 b 改为(- b),而无需再画另一图形加以求解. 371. 若两直线 a 与 b 异面,则过 a 且与 b 垂直的平面 ( ) (A)有且只有一个 (B)可能存在也可能不存在 (C)有无数多个 (D)一定不存在 (B) 解析:若存在,则 a⊥b,而由条件知,a 不一定与 b 垂直. 372. 在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,若 E 是 A1C1 的中点,则 直线 CE 垂直于 ( )
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(A)AC (B)BD (C)A1D (D)A1D1 解析: (B) BD⊥AC,BD⊥CC1,∴BD⊥平面 A1ACC1,∴BD⊥CE. 373. 定点 P 不在△ABC 所在平面内,过 P 作平面α ,使△ABC 的三个顶点到α 的距离相等,这样的平面共有 ( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 解析:D 过 P 作一个与 AB,AC 都平行的平面,则它符合要求;设边 AB,BC,CA 的中点分别为 E,F,G,则平面 PEF 符合 要求;同理平面 PFG,平面 PGE 符合要求 374. P 为矩形 ABCD 所在平面外一点,且 PA⊥平面 ABCD,P 到 B,C,D 三点的距离分别是 5 , 17 , 13 ,则 P 到 A 点的距离是 (A)1 (B)2 (C) 3 ( )

(D)4

解析: (A) 设 AB=a,BC=b,PA=h,则 a2+h2=5, b2+h2=13, a2+b2+h2=17,∴h=1. 375. 线段 AB 的两个端点 A,B 到平面α 的距离分别为 6cm, 9cm, P 在线段 AB 上,AP:PB=1:2,则 P 到平面α 的距离为 . 解析:7cm 或1cm.
2 1 分 A,B 在平面α 的同侧与异侧两种情况.同侧时,P 到平面α 的距离为 6 ? ? 9 ? =7(cm) ,异侧时,P 到平面α 3 3 2 1 的距离为 6 ? ? 9 ? =1(cm) . 3 3

376. △ABC 的三个顶点 A, C 到平面α 的距离分别为 2cm, 3cm, 4cm , B, △ABC 的重心到平面α 的距离为 . 解析:3cm .
3? 4 ?5 =3cm . 3

且它们在α 的同一侧, 则

377. Rt△ABC 中,D 是斜边 AB 的中点,AC=6,BC=8,EC⊥平面 ABC,且 EC=12,则 ED= 解析:13. AB=10,∴CD=5,则 ED= 5 2 ? 122 =13.



378. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,求: (1)A1B 与平面 A1B1CD 所成的角; (2)B1B 在平面 A1C1B 所成角的正切值. 解析: 求线面成角,一定要找准斜线在平面内的射影. (1)先找到斜足 A1,再找出 B 在平面 A1B1CD 内的射影,即从 B 向平面 A1B1CD 作垂线,一定要证明它是平面 A1B1CD 的 垂线. 这里可证 BC1⊥平面 A1B1CD,O 为垂足, ∴A1O 为 A1B 在平面 A1B1CD 上的射影. (2)若将平面 D1D1BB 竖直放置在正前方,则 A1C1 横放在正前方,估计 B1B 在平面 A1C1B 内的射影应落在 O1B 上,这是 因为 A1C1⊥平面 D1DBB1,∴故作 B1H⊥O1B 交于 H 时,BH1⊥A1C1,即 H 为 B1 在平面 A1C1B 内的射影.另在求此角大小时, 只要求∠B1BO1 即可. 解析: (1)如图,连结 BC1,交 B1C 于 O,连 A1O. ∵A1B1⊥平面 B1BCC1,BC1 ? 平面 B1BCC1,∴A1B1⊥BC1. 又 B1C⊥BC1,A1B1∩B1C=B1,
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∴BC1⊥平面 A1B1CD,O 为垂足, ∴A1O 为 A1B 在平面 A1B1CD 上的射影, 则∠BA1O 为 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角. sin∠BA1O=
BO 1 ? ,∴∠BA1O=30°. A1 B 2

(2)连结 A1C1 交 B1D1 于 O1,连 BO1, 作 B1H⊥BO1 于 H.∵A1C1⊥平面 D1DBB1,∴A1C1⊥B1H. 又 B1H⊥BO1,A1C1∩BO1=O1,∴B1H⊥平面 A1C1B, ∴∠B1BO1 为 B1B 与平面 A1C1B 所成的角, tan∠B1BO =
B1O1 2 2 ? ,即 B1B 与平面 A1C1B 所成的角的正切值为 . B1 B 2 2

379. Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=36,若平面 ABC 外一点 P 与平面 A,B,C 三点等距离,且 P 到平面 ABC 的距离 为80,M 为 AC 的中点. (1)求证:PM⊥AC; (2)求 P 到直线 AC 的距离; (3)求 PM 与平面 ABC 所成角的正切值. 解析:点 P 到△ABC 的三个顶点等距离,则 P 在平面 ABC 内的射影为△ABC 的外心,而△ABC 为直角三角形,其外心为 斜边的中点. 证明 (1)∵PA=PC,M 是 AC 中点,∴PM⊥AC 解 (2)∵BC=36,∴MH=18,又 PH=80, ∴PM= PH 2 ? MH 2 ? 802 ? 182 ? 82 ,即 P 到直线 AC 的距离为82; (3)∵PM=PB=PC,∴P 在平面 ABC 内的射线为△ABC 的外心, ∵∠C=90° ∴P 在平面 ABC 内的射线为 AB 的中点 H。 ∵PH⊥平面 ABC,∴HM 为 PM 在平面 ABC 上的射影, 则∠PMH 为 PM 与平面 ABC 所成的角,∴tan∠PMH=
PH 80 40 ? ? MH 18 9

380. 如图,在正四面体 ABCD 中。各面都是全等的正三角形的四面体,M 为 AD 的中点,求 CM 与平面 BCD 所成角的余弦 值. 解析:要作出 CM 在平面 BCD 内的射影,关键是作出 M 在平面 BCD 内的 射影,而 M 为 AD 的中点,故只需观察 A 在平面 BCD 内的射影,至此问题解法已明朗. 解 作 AO⊥平面 BCD 于 O,连 DO,作 MN⊥平面 BCD 于 N,则 N∈OD. 设 AD=a,则 OD= ? 又∵CM=
2 3 3 3 6 a? a ,∴AO= AD 2 ? OD 2 ? a ,∴MN 2 3 3



6 a. 6

7 21 3 a? a. a ,∴CN= CM 2 ? MN 2 ? 12 6 2 CN 7 ? . CM 3

∴CM 与平面 BCD 所成角的余弦值为

381. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是棱 A1A 的中点,N 在 AB 上,且 AN∶NB=1∶3,求证:C1M⊥MN. 解析:在空间中作出两条直线垂直相对较在平面内作两条直线垂直难.此题 C1M 与 MN 是相交直线,一种方法可通过勾 股定理来验证它是否垂直,另一方法为:因 MN 是平面 A1ABB1 内的一条直线,可考虑 MC1 在平面 A1ABB1 内的射影. 证明1 设正方体的棱长为a,则 MN=
a 2

5 a, 4

C1M= a 2 ? a 2 ? ( ) 2 ?

3 3a 41 a, a ,C1N= a 2 ? a 2 ? ( ) 2 ? 4 4 2
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∵MN +MC1 =NC ,∴C1M⊥MN. 证明2 连结 B1M,∵C1B1⊥平面 A1ABB1, ∴B1M 为 C1M 在平面 A1ABB1 上的射影.
1 1 1 设棱长为 a ,∵AN= a ,AM= a ,∴tan∠AMN= , 4 2 2





2 1

又 tan∠A1B1M=

1 ,则∠AMN=∠A1B1M,∴B1M⊥MN, 2

由三垂线定理知,C1M⊥MN. 382. 如图,ABCD 为直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,AB=BC=a,AD=2a,PA⊥平面 ABCD,PA=a. (1) 求证:PC⊥CD; (2) 求点 B 到直线 PC 的距离. 解析: (1)要证 PC 与 CD 垂直,只要证明 AC 与 CD 垂直,可按实际情形画出底面图形进行证明. (2)从 B 向直线 PC 作垂直,可利用△PBC 求高,但需求出三边,并判断其形状(事实上,这里的∠PBC=90°) ;另一种重要的思想是: 因 PC 在平面 PAC 中,而所作 BH 为平面 PAC 的斜线,故关键在于找出 B 在平面 PAC 内的射影,因平面 PAC 处于“竖直 状态” ,则只要从 B 作“水平”的垂线,可见也只要从 B 向 AC 作垂线便可得其射影. 证明 (1)取 AD 的中点 E,连 AC,CE, 则 ABCE 是正方形,△CED 为等腰直角三角形. ∴AC⊥CD,∵PA⊥平面 ABCD,∴AC 为 PC 在平面 ABCD 上的射影,∴PC⊥CD; 解 (2)连 BE 交 AC 于 O,则 BE⊥AC, 又 BE⊥PA,AC∩PA=A,∴BE⊥平面 PAC. 过 O 作 OH⊥PC 于 H,连 BH,则 BH⊥PC. ∵PA=a,AC= 2 a ,∴PC= 3a ,则 OH= ?
1 a ? 2a 6 ? a, 2 6 3a

6 2 a a ,∴BH= BO 2 ? OH 2 ? 3 2 383. 四面体 ABCD 的四个面中,是直角三角形的面至多有

∵BO=





(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 解析: (D) 设底面为直角三角形,从底面的一个锐角顶点作平面的垂线,则这样的四面体的每个面都是直角三角形. 384. 直角三角形 ABC 的斜边 AB 在平面α 内,直角顶点 C 在平面α 外,C 在平面α 内的射影为 C1,且 C1 ? AB,则△C1AB 为 ( ) (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)以上都不对 解析: (C) 2 2 2 2 ∵C1A +C1B <CA +CB =AB, ∴∠AC1B 为钝角,则△C1AB 为钝角三角形. 385. △ABC 在平面α 内,∠C=90°,点P ? α ,PA=PB=PC=7, AB=10, 则点 P 到平面α 的距离等于 解析: 2 6 . ∵PA=PB=PC,∴P 在平面α 内的射影为△ABC 的外心O,∵∠C=90°,∴O为 AB 的中点,∵AO=5,PA=7,∴PO = 7 2 ? 52 ? 2 6 386. P 是边长为 a 的六边形 ABCDEF 所成平面外一点,PA⊥AB,PA⊥AF,PA=a,则点 P 到边 CD 的距离是 解析:2a.
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PA⊥平面 ABCDEF,A 到 CD 的距离为 3a ,∴P 到边 CD 的距离是 2a 387. 如图,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M,N 分别是 AB,PC 的中点. (1) 求证:MN⊥CD; (2) 若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面 PCD. 证明 (1)连 AC∩BD=O,连 NO,MO,则 NO∥PA. ∵PA⊥平面 ABCD,∴NO⊥平面 ABCD. ∵MO⊥AB,∴MN⊥AB,而 CD∥AB,∴MN⊥CD; (2)∵∠PDA=45°,∴PA=AD, 由△PAM≌△CBM 得 PM=CM, ∵N 为 PC 中点,∴MN⊥PC. 又 MN⊥CD,PC∩CD=C,∴MN⊥平面 PCD. 388. 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,侧面 PCD 是边长等于 2cm 的等边三角形,底面 ABCD 是面积为 2 3 cm2 的菱形, P ∠ADC 是锐角. 求证:PA⊥CD 证明:设∠ADC=θ ,则:由 SABCD=2 3 , CD=BC=AB=AD=2,易得θ =60°

A D B EC

∴△ACD 是等边三角形,取 CD 中点 E 连 AE、PE,则 AE⊥CD,PE⊥CD AE⊥CD,PE⊥CD ∴CD⊥平面 PAE ∴CD⊥PA 389. 设 P 点在正三角形 ABC 所在平面外,且 AP,BP,CP 两两垂直;又 G 是

? ABP 的重心; E 为 BC 上一点,

1 1 BE ? BC ; F 为 PB 上一点, PF ? PB ; AP ? BP ? CP ,如图 3 3
(1)求证:GF⊥平面 PBC;(2)求证:EF⊥BC。 解析:(1)连结 BG 并延长交 PA 于 M.G 为△ABP 的重心

注 要充分注意平面几何中的知识(如本题中三角形重心性质,等腰三角形性质等)在证题中的运用。 390. 已知α ∩β =C,a∥b,a ? α ,b ? β ,A ? a,AE⊥b 于 E,AF⊥c 于 F,求证:a⊥EF 解析:b∥a,b ? ? ,a ? α , ∴b∥α b
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E

A

F a

C

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又 b ? β ,α ∩β =c ∴b∥c, 又 AF⊥c ∴AF⊥b 又 AE⊥b, AE∩AF=A ∴b⊥平面 AEF a∥b ∴a⊥平面 AEF EF ? 平面 AEF ∴a⊥EF

P
391. 如图, △ABC 为锐角三角形, PA⊥平面 ABC, 点在平面 PBC A 上的射影为 H,求:H 不可能是△PBC 的垂心. 解析:连结 CH,则 CH 是 AC 在平面 PBC 内的射影,若 H 为垂心, 则 CH⊥PB,由三垂线定理得 AC⊥PB,又 PA⊥平面 ABC,∴PA ⊥AC,∴AC⊥平面 PAB,从而 AC⊥AB 与△ABC 为锐角三 角形矛盾,故 H 不可能是垂心.

H A

C B

P H

C

392. 如图,BCD 是等腰直角三角形,斜边 CD 的长等于点 P 到 A BC 的距离, 是 P 在平面 BCD 上的射影. 求 PB 与平面 BCD D (1) 所成角; (2)求 BP 与平面 PCD 所成的角 B 解析: (1)PD⊥平面 BCD,∴BD 是 PB 在平面 BCD 内的射影,∴∠PBD 为 PB 与平面 BCD 所成角,BD⊥BC,由三垂 线定理得 BC⊥BD,∴BP=CD,设 BC=a,则 BD=a,BP=CD= 2 a∴在 Rt△BPD 中,

cos∠DBP=

2 ∴∠DBP=45°, 即 PB 与平面 BCD 所成角为 45°. 2

(2)过 B 作 BE⊥CD 于 E,连结 PE,PD⊥平面 BCD 得 PD⊥BE,∴BE⊥平面 PCD, ∴∠BPE 为 BP 与平面 PCD 所成的角,在 Rt△BEP 中,BE= 角为 30°.

2 a, BP= 2 a,∴∠BPE=30° 2

即 BP 与平面 PCD 所成

B C E P D

B C P D

393. 正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积之比为 6 : 2 ,求侧面与底面所成的角的大小。 P

C 解析:如图,正四棱锥 P—ABCD 的一个对角面△PAC。设棱锥的底面边长为 a,高为 h,斜高为 h′,底面中心为 O, A B 连 PO,则 PO⊥底面 ABCD,∴PO⊥AC,在△PAC 中,AC= 2a ,PO=h, ∴ S ?PAC ?

1 2 AC ? PO ? ah 2 2
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P

E 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 A B

D

O

C

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在△PBC 中, S ?PBC ? ∴ S ?PAC : S ?PBC ? ∴h:h′= 3 : 2 .

1 ah ? ° 2

2 1 ah : ah? ? 2h : h? ? 6 : 2 2 2

取 BC 中点 E,连 OE,PE,可证∠PEO 即为侧面与底面所成两面角的平面角。 在 Rt△POE 中,sin∠PEO= ∴∠PEO=

PO h 3 , ? ? PE h? 2

? ? ,即侧面与底面所成的角为 . 3 3

394. 如右图,斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中,A1C1⊥BC1,AB⊥AC,AB=3,AC=2,侧棱与底面成 60°角。 (1)求证:AC⊥面 ABC1; (2)求证:C1 点在平面 ABC 上的射影 H 在直线 AB 上; (3)求此三棱柱体积的最小值。 解析: (1)由棱柱性质,可知 A1C1//AC ∵A1C1 ? BC1, ABC1 ∴AC ? BC1,又∵AC ? AB,∴AC ? 平面 (2)由(1)知 AC ? 平面 ABC1,又 AC ? 平面 ABC,∴平面 ABC ? 平面 ABC1 在平面 ABC1 内,过 C1 作 C1H ? AB 于 H, 则 C1H ? 平面 ABC,故点 C1 在平面 ABC 上 的射影 H 在直线 AB 上。 (3)连结 HC,由(2)知 C1H ? 平面 ABC, ∴∠C1CH 就是侧棱 CC1 与底面所成的角, ∴∠C1CH=60°,C1H=CH·tan60°= 3CH V 棱柱= S ?ABC ? C1 H ?
1 1 AB? AC ? C1 H ? ? 3 ? 2 ? 3CH ? 3 3CH 2 2

∵CA ? AB,∴CH ? AC ? 2 ,所以棱柱体积最小值 3 3 ? 2 ? 6 3 。 395. 已知直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ACB=90 ,∠BAC=30 ,BC=1,AA1= 6 ,M 为 CC1 中点,求证:AB1⊥A1M。 解析:因结论是线线垂直,可考虑用三垂线定理或逆定理 0 ∵ ∠ACB=90 0 ∴ ∠A1C1B1=90 即 B1C1⊥C1A1 又由 CC1⊥平面 A1B1C1 得:CC1⊥B1C1 ∴ B1C1⊥平面 AA1C1C ∴ AC1 为 AB1 在平面 AA1C1C 的射影 由三垂线定理,下证 AC1⊥A1M 即可 在矩形 AA1C1C 中,AC=A1C1= 3 ,AA1=CC1= 6
0 0

6 AC MC1 3 2 2 ? ∵ , 1 1 ? ? 2 ? A1 A 2 C1 A1 2 6 3
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MC 1 A 1 C1 ? C1 A 1 A 1 A

∴ Rt△A1C1M∽Rt△AA1C1 ∴ ∠1=∠2 0 又∠2+∠3=90 0 ∴ ∠1+∠3=90 ∴ AC1⊥A1M ∴ AB1⊥A1M 评注:利用三垂线定理的关键是找到基本面后找平面的垂线 396. 正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 a,在侧棱 BB1 上截取 BD= 面 ADE (1)求△ADE 的面积; (2)求证:平面 ADE⊥平面 ACC1A1。 解析:分别在三个侧面内求出△ADE 的边长
5 a 5 a a,DE= BC 2 ? (EC ? BD) 2 ? a 2 ? ( ) 2 ? 2 2 2 ∴ 截面 ADE 为等腰三角形

a ,在侧棱 CC1 上截取 CE=a,过 A、D、E 作棱柱的截 2

AE= 2 a,AD=

1 1 5 2 2 2 6 2 AE ? h ? ? 2a ? ( a) ? ( a) ? a 2 2 2 2 4 (2)∵ 底面 ABC⊥侧面 AA1C1C ∴ △ABC 边 AC 上的高 BM⊥侧面 AA1C1C 下设法把 BM 平移到平面 AED 中去 取 AE 中点 N,连 MN、DN 1 1 // // ∵ MN ?? EC,BD ?? EC 2 2

S=

// ∴ MN ?? BD ∴ DN∥BM ∴ DN⊥平面 AA1C1C ∴ 平面 ADE⊥平面 AA1C1C 0 397. 斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中,底面是边长为 4cm 的正三角形,侧棱 AA1 与底面两边 AB、AC 均成 60 的角,AA1=7 (1)求证:AA1⊥BC; (2)求斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的全面积; (3)求斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积; (4)求 AA1 到侧 面 BB1C1C 的距离。 解析:设 A1 在平面 ABC 上的射影为 0 ∵ ∠A1AB=∠A1AC ∴ O 在∠BAC 的平行线 AM 上 ∵ △ABC 为正三角形 ∴ AM⊥BC 又 AM 为 A1A 在平面 ABC 上的射影 ∴ A1A⊥BC (2)

S AA 1C1C ? S AA 1B1B ? AB ? AA1 sin ?A 1 AB ? 4 ? 7 ?

3 ? 14 3 2

∵ B1B∥A1A ∴ B1B⊥BC,即侧面 BB1C1C 为矩形 ∴ SBB1C1C ? 4 ? 7 ? 28 又 S ?A1B1C1 ? S ?ABC ?
3 ? 42 ? 4 3 4

∴ S 全= 14 3 ? 2 ? 28 ? 4 3 ? 2 ? 28 ? 36 3 (cm 2 ) (3)∵ cos∠A1AB=cos∠A1AO·cos∠OAB
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∴ cos∠A1AO= ∴ sin∠A1AO=

cos ?A1 AB cos 600 3 ? ? cos ?OAB cos 300 3
6 3

7 6 3 3 7 ? 42 ? 6 ? 28 2 (cm 3 ) ∴ V ? S ?ABC ? A 1O ? 4 3 (4)把线 A1A 到侧面 BB1C1C 的距离转化为点 A 或 A1 到平面 BB1C1C 的距离 为了找到 A1 在侧面 BB1C1C 上的射影,首先要找到侧面 BB1C1C 的垂面 设平面 AA1M 交侧面 BB1C1C 于 MM1 ∵ BC⊥AM,BC⊥A1A ∴ BC⊥平面 AA1M1M ∴ 平面 AA1M1M⊥侧面 BCC1B1 在平行四边形 AA1M1M 中 过 A1 作 A1H⊥M1M,H 为垂足 则 A1H⊥侧面 BB1C1C ∴ 线段 A1H 长度就是 A1A 到侧面 BB1C1C 的距离 ∴
∴ A1O=A1Asin∠A1AO=
6 ? 2 2 (cm) 3 0 398. 平面α 内有半径为 R 的⊙O,过直径 AB 的端点 A 作 PA⊥α ,PA=a,C 是⊙O 上一点,∠CAB=60 ,求三棱锥 P—OBC 的侧面积。 解析:三棱锥 P—OBC 的侧面由△POB、△POC、△PBC 三个三角形组成(求异面直线之间的距离的方法是得到一条直线 平行于另外一条直线所在的平面 然后求这条直线到这平面的距离) 在求出边长元素后,求三角形面积时,应注意分析三角形的形状,简化计算 ∵ PA⊥平面 ABC ∴ PA⊥AO,AC 为 PC 在平面 ABC 上的射影 ∵ BC⊥AC ∴ BC⊥PC △ POB 中, 1 1 S ?POB ? OB ? PA ? a 2 2 2 △ PBC 中, A 1 H ? A 1 M 1 sin ?A 1 M 1 H ? A 1 M 1 sin ?A 1 AM ? 2 3 ?

BC=ABsin60 =2a ?
0

3 ? 3a 2

∴ AC=a ∴ PC= 2a ∴ S ?POB ? △ ∴ S ?POC ?
1 1 7 2 OC ? PO2 ? ( OC) 2 ? a 2 2 4
1 6 2 PC ? BC ? a 2 2

POC 中,PO=PC= 2a ,OC=a

1 6 2 7 2 2?2 6 ? 7 2 a ? a ? a ∴ S 侧= a 2 ? 2 2 4 4 0 399. 四棱锥 V—ABCD 底面是边长为 4 的菱形,∠BAD=120 ,VA⊥底面 ABCD,VA=3,AC 与 BD 交于 O, (1)求点 V 到 CD 的距离; (2)求点 V 到 BD 的距离; (3)作 OF⊥VC,垂足为 F,证明 OF 是 BD 与 VC 的公垂线段; (4)求异面直线 BD 与 VC 间的距离。 解析:用三垂线定理作点到线的垂线 在平面 ABCD 内作 AE⊥CD,E 为垂足
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∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴

VA⊥平面 ABCD AE 为 VE 在平面 ABCD 上的射影 VE⊥CD 线段 VE 长为点 V 到直线 CD 的距离 0 ∠BAD=120 0 ∠ADC=60 △ACD 为正三角形
3 ?4?2 3 2

∴ E 为 CD 中点,AE=

∴ VE= VA 2 ? AE2 ? 21 (2)∵ AO⊥BD ∴ 由三垂线定理 VO⊥BD ∴ VO 长度为 V 到直线 BD 距离 VO= VA 2 ? AO2 ? 13 (3)只需证 OF⊥BD ∵ BD⊥HC,BD⊥VA ∴ BD⊥平面 VAC ∴ BD⊥OF ∴ OF 为异面直线 BD 与 VC 的公垂线 (4)求出 OF 长度即可 在 Rt△VAC 中 1 OC= AC=2,VC= VA 2 ? AC2 ? 5 2 VA 3 6 ∴ OF=OC·sin∠ACF=OC· ? 2? ? VC 5 5 400. 斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面△ABC 中,AB=AC=10,BC=12,A1 到 A、B、C 三点的距离都相等,且 AA1=13,求斜三 棱柱的侧面积。 解析:∵A1A=A1B=A1C ∴ 点 A1 在平面 ABC 上的射影为△ABC 的外心,在∠BAC 平分线 AD 上 ∵ AB=AC ∴ AD⊥BC ∵ AD 为 A1A 在平面 ABC 上的射影 ∴ BC⊥AA1 ∴ BC⊥BB1 ∴ BB1C1C 为矩形,S=BB1×BC=156 取 AB 中点 E,连 A1E ∵ A1A=A1B ∴ A1E⊥AB
2 ∴ A1 E ? AA1 ? (

∴ SAA1C1C

AB 2 ) ? 12 2 ? SAA1B 1B ? 20

∴ S 侧=396 401. 如图,在Δ ABC 中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,D 是斜边 AB 上的点,以 CD 为棱把它折成直二面角 A—CD—B 后, D 在怎样的位置时,AB 为最小,最小值是多少?

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解析: 设∠ACD=θ ,则∠BCD=90°-θ ,作 AM⊥CD 于 M,BN⊥CD 于 N,于是 AM=bsinθ ,CN=asinθ . ∴MN=|asinθ -bcosθ |,因为 A—CD—B 是直二面角,AM⊥CD,BN⊥CD,∴AM 与 BN 成 90°的角,于是 AB=

b 2 sin 2 ? ? a 2 cos 2 ? ? (a sin ? ? b cos ? ) 2 = a 2 ? b2 ? absin 2 ? ≥ a 2 ? b 2 ? ab .
∴当θ =45°即 CD 是∠ACB 的平分线时,AB 有最小值,最小值为 a 2 ? b 2 ? ab . 402.自二面角内一点分别向两个面引垂线,求证:它们所成的角与二面角的平面角互补. 已知:从二面角α —AB—β 内一点 P,向面α 和β 分别引垂线 PC 和 PD,它们的垂足是 C 和 D.求证:∠CPD 和二面角的 平面角互补.

证:设过 PC 和 PD 的平面 PCD 与棱 AB 交于点 E, ∵PC⊥α ,PD⊥β ∴PC⊥AB,PD⊥AB ∴CE⊥AB,DE⊥AB 又∵CE ? α ,DE ? β ,∴∠CED 是二面角α —AB—β 的平面角. 在四边形 PCED 内:∠C=90°,∠D=90° ∴∠CPD 和二面角α —AB—β 的平面∠CBD 互补. 403.求证:在已知二面角,从二面角的棱出发的一个半平面内的任意一点,到二面角两个面的距离的比是一个常数. 已知:二面角α —ED—β ,平面 ? 过 ED,A∈ ? ,AB⊥α ,垂足是 B.AC⊥β ,垂足是 C. 求证:AB∶AC=k(k 为常数) 证明:过 AB、AC 的平面与棱 DE 交于点 F,连结 AF、BF、CF. ∵AB⊥α ,AC⊥β .∴AB⊥DE,AC⊥DE. ∴DE⊥平面 ABC.∴BF⊥DE,AF⊥DE,CF⊥DE. ∠BFA,∠AFC 分别为二面角α —DE— ? , ? —DE—β 的平面角,它们为定值. 在 RtΔ ABF 中,AB=AF·sin∠AFB. 在 RtΔ AFC 中,AC=AF·sin∠AFC,得:

AB AF sin ?AFB = =定值. AC AF sin ?AFC
404. 如果直线 l、m 与平面α 、β 、 ? 满足 l=β ∩ ? ,l∥α ,m ? α 和 m⊥ ? .那么必有( A.α ⊥ ? 且 l⊥m B.α ⊥ ? 且 m∥β C.m∥β 且 l⊥m D.α ∥β 且α ⊥ ? 解析:∵m ? α ,m⊥ ? . ∴α ⊥ ? . 又∵m⊥ ? ,β ∩ ? =l. ∴m⊥l. ∴应选 A. 说明 本题考查线面垂直、面面垂直及综合应用推理判断能力及空间想象能力. )

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405.

如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=

? 5 ,AB=a,AD=3a,且∠ADC=arcsin ,又 PA⊥平面 ABCD,AP=a. 2 5

求:(1)二面角 P—CD—A 的大小(用反三角函数表示);(2)点 A 到平面 PBC 的距离.

解析:(1)作 CD′⊥AD 于 D′,∴ABCD′为矩形,CD′=AB=a,在 RtΔ CD′D 中. ∵∠ADC=arcsin

5 5 ,即⊥D′DC=arcsin , 5 5

∴sin∠CDD′=

CD ? 5 = CD 5

∴CD= 5 a ∴D′D=2a ∵AD=3a,∴AD′=a=BC 又在 RtΔ ABC 中,AC=

AB2 ? BC2 = 2 a,

∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AC,PA⊥AD,PA⊥AB. 在 RtΔ PAB 中,可得 PB= 2 a. 在 RtΔ PAC 中,可得 PC= PA2 ? AC2 = 3 a.
2 2 在 RtΔ PAD 中,PD= a ? (3a ) = 10 a.

∵PC +CD =( 3 a) +( 5 a)=8a <( 10 a)

2

2

2

2

2

∴cos∠PCD<0,则∠PCD>90° ∴作 PE⊥CD 于 E,E 在 DC 延长线上,连 AE,由三垂线定理的逆定理得 AE⊥CD,∠AEP 为二面角 P—CD—A 的平面角. 在 RtΔ AED 中∠ADE=arcsin

5 ,AD=3a. 5 5 3 5 = a. 5 5

∴AE=AD·sin∠ADE=3a·

在 RtΔ PAE 中,tan∠PEA=

PA 5 a = = . 3 AE 3 5a 5

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∴∠AEP=arctan

5 5 ,即二面角 P—CD—A 的大小为 arctan . 3 3

(2)∵AD⊥PA,AD⊥AB,∴AD⊥平面 PAB. ∵BC∥AD,∴BC⊥平面 PAB. ∴平面 PBC⊥平面 PAB,作 AH⊥PB 于 H,∴AH⊥平面 PBC. AH 为点 A 到平面 PBC 的距离. 在 RtΔ PAB 中,AH=

PA ? AB a?a 2 = = a. PB 2 2a

即 A 到平面 PBC 的距离为

2 a. 2

说明 (1)中辅助线 AE 的具体位置可以不确定在 DC 延长线上,而直接作 AE⊥CD 于 E,得 PE⊥CD,从而∠PEA 为所求, 同样可得结果,避免过多的推算.(2)中距离的计算,在学习几何体之后可用“等体积法”求. 406. 如图,在二面角α —l—β 中,A、B∈α ,C、D∈l,ABCD 为矩形,P∈β ,PA⊥α ,且 PA=AD,M、N 依次是 AB、 PC 的中点. (1)求二面角α —l—β 的大小; (2)求证:MN⊥AB; (3)求异面直线 PA 与 MN 所成角的大小.

解析:(1)连 PD,∵ABCD 为矩形,∴AD⊥DC,即 AD⊥l.又 PA⊥l,∴PD⊥l. ∵P、D∈β ,则∠PDA 为二面角α —l—β 的平面角. ∵PA⊥AD,PA=AD,∴Δ PAD 是等腰直角三角形,∴∠PDA=45°,即二面角α —l—β 的大小为 45°. (2)过 M 作 ME∥AD,交 CD 于 E,连结 NE,则 ME⊥CD,NE⊥CD,因此,CD⊥平面 MNE,∴CD⊥MN.∵AB∥CD,∴MN⊥AB (3)过 N 作 NF∥CD,交 PD 于 F,则 F 为 PD 的中点.连结 AF,则 AF 为∠PAD 的角平线,∴∠FAD=45°,而 AF∥MN,∴ 异面直线 PA 与 MN 所成的 45°角. 407. 如图,在三棱柱 ABC—A′B′C′中,四边形 A′ABB′是菱形,四边形 BCC′B′是矩形,C′B′⊥AB. (1)求证:平面 CA′B⊥平面 A′AB; (2)若 C′B′=2,AB=4,∠ABB′=60°,求 AC′与平面 BCC′B′所成角的大小.(用反三角函数表示)

解析: (1)∵在三棱柱 ABC—A′B′C 中, C′B′∥CB, ∴CB⊥AB.∵CB⊥BB′, AB∩BB′=B, ∴CB⊥平面 A′AB.∵CB ? 平面 CA′B,∴平面 CA′B⊥平面 A′AB
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(2)由四边形 A′ABB′是菱形,∠ABB′=60°,连 AB′,可知Δ ABB′是正三角形.取 B B′中点 H,连结 AH,则 AH⊥BB′.又由 C′B′⊥平面 A′AB,得平面 A′ABB′⊥平面 C′B′BC,而 AH 垂直于两平面交线 BB′,∴ AH⊥平面 C′B′BC.连结 C′H,则∠AC′H 为 AC′与平面 BCC′B′所成的角,AB′=4,AH=2 3 ,于是直角三

角形 C′B′A 中,A′C=5,在 RtΔ AHC′中,sin∠AC′H=

2 2 3 ∴∠AC′H=arcsin 5 5

3 ,∴直线 AC′与平面 BCC′

B′所成的角是 arcsin

2 5

3.

408. 已知四棱锥 P—ABCD,它的底面是边长为 a 的菱形,且∠ABC=120°,PC⊥平面 ABCD,又 PC=a,E 为 PA 的中 点. (1)求证:平面 EBD⊥平面 ABCD; (2)求点 E 到平面 PBC 的距离; (3)求二面角 A—BE—D 的大小.

(1)证明: 在四棱锥 P—ABCD 中,底面是菱形,连结 AC、BD,交于 F,则 F 为 AC 的中点. 又 E 为 AD 的中点,∴EF∥PC 又∵PC⊥平面 ABCD,∴EF⊥平面 ABCD.EF ? 平面 EBD. ∴平面 EBD⊥平面 ABCD. (2)∵EF∥PC,∴EF∥平面 PBC ∴E 到平面 PBC 的距离即是 EF 到平面 PBC 的距离 过 F 作 FH⊥BC 交 BC 于 H, ∵PC⊥平面 ABCD,FH ? 平面 ABCD ∴PC⊥FH. 又 BC⊥FH,∴FH⊥平面 PBC,则 FH 是 F 到平面 PBC 的距离,也是 E 到平面 PBC 的距离. ∵∠FCH=30°,CF=

3 a. 2

∴FH=

1 3 CF= a. 2 4

(3)取 BE 的中点 G,连接 FG、AG 由(1)的结论,平面 BDE⊥平面 ABCD,AF⊥BD, ∴AF⊥平面 BDC. ∵BF=EF=

a ,∴FG⊥BE,由三垂线定理得,AG⊥BE, 2

∴∠FGA 为二面角 D—BE—A 的平面角. FG=

a 2 2 3 × = a,AF= a. 2 4 2 2

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∴tg∠FGA=

AF = 6 ,∠FAG=arctg 6 FG

即二面角 A—BE—D 的大小为 arctg 6 409. 若Δ ABC 所在的平面和Δ A1B1C1 所在平面相交,并且直线 AA1、BB1、CC1 相交于一点 O,求证: (1)AB 和 A1B1、BC 和 B1C1、AC 和 A1C1 分别在同一平面内; (2)如果 AB 和 A1B1、BC 和 B1C1、AC 和 A1C1 分别相交,那么交点在同一直线上(如图).

(1)证明:∵AA1∩BB1=O, ∴AA1、BB1 确定平面 BAO, ∵A、A1、B、B1 都在平面 ABO 内, ∴AB ? 平面 ABO;A1B1 ? 平面 ABO. 同理可证,BC 和 B1C1、AC 和 A1C1 分别在同一平面内. (2)分析:欲证两直线的交点在一条直线上,可根据公理 2,证明这两条直线分别在两个相交平面内,那么,它们的交 点就在这两个平面的交线上. 证明:如图,设 AB∩A1B1=P; AC∩A1C1=R; ∴ 面 ABC∩面 A1B1C1=PR. ∵ BC ? 面 ABC;B1C1 ? 面 A1B1C1, 且 BC∩B1C1=Q ∴ Q∈PR, 即 P、R、Q 在同一直线上. 410. 点 P、Q、R 分别在三棱锥 A-BCD 的三条侧棱上,且 PQ∩BC=X,QR∩CD=Z,PR∩BD=Y.求证:X、Y、Z 三点共线.

解析: 证明点共线的基本方法是利用公理 2,证明这些点是两个平面的公共点. 证明 ∵P、Q、R 三点不共线,∴P、Q、R 三点可以确定一个平面α . ∵ X∈PQ,PQ ? α ,∴X∈α ,又 X∈BC,BC ? 面 BCD,∴X∈平面 BCD. ∴ 点 X 是平面α 和平面 BCD 的公共点.同理可证,点 Y、Z 都是这两个平面的公共点,即点 X、Y、Z 都在平面α 和平 面 BCD 的交线上. 411. 直线 m、n 分别和平行直线 a、b、c 都相交,交点为 A、B、C、D、E、F,如图,求证:直线 a、b、c、m、n 共面.

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解析: 证明若干条直线共面的方法有两类:一是先确定一个平面,证明其余的直线在这个平面里;二是分别确定几个 平面,然后证明这些平面重合. 证明 ∵a∥b,∴过 a、b 可以确定一个平面α . ∵A∈a,a ? α ,∴A∈α ,同理 B∈a. 又∵A∈m,B∈m,∴m ? α .同理可证 n ? α . ∵b∥c,∴过 b,c 可以确定平面β ,同理可证 m ? β . ∵平面α 、β 都经过相交直线 b、m, ∴平面α 和平面β 重合,即直线 a、b、c、m、n 共面. 412. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内. 已知:如图,直线 l1,l2,l3,l4 两两相交,且不共点. 求证:直线 l1,l2,l3,l4 在同一平面内

解析:证明几条直线共面的依据是公理 3 及推论和公理 1.先证某两线确定平面α ,然后证其它直线也在α 内. 证明:图①中,l1∩l2=P, ∴ l1,l2 确定平面α . 又 l1∩l3=A,l2∩l3=C, ∴ C,A∈α . 故 l3 ? α . 同理 l4 ? α . ∴ l1,l2,l3,l4 共面. 图②中,l1,l2,l3,l4 的位置关系,同理可证 l1,l2,l3,l4 共面. 所以结论成立. 413. 证明推论 3 成立.(如图)

已知:a∥b,求证:经过 a,b 的平面有且只有一个. 证明:(存在性)∵a∥b,由平行线的定义知:a、b 共面,所以经过 a、b 的平面有一个. (唯一性),在 a 上取两点 A、B,在 b 上取一点 C. ∵a∥b,∴A、B、C 三点不共线,由公理 3 知过 A、B、C 三点的平面只有一个,从而过 a,b 两直线的平面也是惟一的. 414.一条直线过平面内一点与平面外一点,它和这个平面有几个公共点?为什么? 解析:只有一个,假设有两个公共点,由公理 1 知该直线上所有点都在这个平面内,这和直线过平面外一点矛盾.

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415.过已知直线外一点与这条直线上的三点分别画三条直线,证明:这三条直线在同一平面内. 解答:已知:A a,如图,B、C、D∈a,证明:AB、AC、AD 共面. 证明:∵A a,∴A,a 确定平面α ,∵B、C、D∈a,a ? α . ∴B、C、D∈α 又 A∈α . ∴AB、AC、AD ? α . 即 AB、AC、AD 共面. 416. 空间可以确定一个平面的条件是( ) A.两条直线 B.一点和一直线 C.一个三角形 D.三个点 解析: 由推论 2 和推论 3 知两条相交直线或者两条平行直线才确定一个平面,两条直线还有位置关系异面.故排除 A, 由推论 1 知点必在线外才合适,排除 B.由公理 3 知不共线三点可确定一个平面,D 中三个点不一定不共线,排除 D.公 理 3 结合公理 1,知选 C. 417. 下列命题正确的是( ) A.经过两条直线有且只有一个平面 B.经过一条直线和一个点有且只有一个平面 C.如果平面α 与β 有三个公共点,则两个平面一定是重合平面 D.两个平面α 、β 有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线 解析:根据公理 2、公理 3 知选 D. 418. 已知四点,无三点共线,则可以确定( ) A.1 个平面 B.4 个平面 C.1 个或 4 个平面 D.无法确定 解析: 因为无三点共线,所以任意三个点都可以确定平面α ,若第四个点也在α 内,四个点确定一个平面,当第四个 点在α 外,由公理 3 知可确定 4 个平面.故选 C. 419. 已知球的两个平行截面的面积分别为 5π 和 8π , 它们位于球心的同一侧且相距是 1, 那么这个球的半径是( ) A.4 B.3 C.2 D.5

解析: 如图,设球的半径是 r,则π BD =5π ,π AC =8π , 2 2 ∴BD =5,AC =8.又 AB=1,设 OA=x. 2 2 2 2 ∴x +8=r ,(x+1) +5=r . 解之,得 r=3 故选 B. 420. 在桌面上有三个球两两相切,且半径都为 1,在桌面与三球间放置一个小球,使它与三个球相切.求此小球半径. 解析: 如图,球 O 为放置在桌面上与已知三球相切的半径为 r 的小球,过 O 作 O1O2O3 平面的垂线,垂足为 H,它一定

2

2

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是Δ O1O2O3 的中心,连接 O1H,O1O,在 RtΔ O1OH 中,O1H=

2 3 2 2 2 2 ,OH=1-r,OO1=1+r,∴OO1 =O1H +OH ,即(1+r) = 3

(

1 2 3 2 2 ) +(1-r) ,解得 r= . 3 3

421.

地球半径为 R,在北纬 45°圈上有 A、B 两点,它们的经度差为

? ,求球面上 A、B 两点间球面距离. 2

解析:本题关键是求出∠AOB 的大小,(如图 1)现在我们将这个球的截面问题转化为较为熟悉的长方体问题.如图 2,以 O1O,O1A,O1B 为三条相互垂直的棱,可构造一个长方体,问题转化为长方体截面 ABO 内求∠BOA 的问题. 解: 如图 2,∵∠O1OA=

? 2 2 2 2 =∠O1OB,OA=OB=R,∴OO1=O1A=O1B= R ∴AB =O1A +O1B =R, ∴Δ AOB 为等边 4 2

Δ , ∴∠AOB=

? ? ,A、B 间的球面距离为 R. 3 3

422. 一个圆在平面上的射影图形是( ) A.圆 B.椭圆 C.线段 D.圆或椭圆或线段 解析:D 423. 两面都是凸形的镜中,它的面都是球冠形,球半径分别为 10cm 和 17cm,两球心间的距离为 21cm,求此镜面的 表面积和体积.

解析: 轴截面如图, O2C=x, CO1=21-x,∵AB⊥O1O2 ∴AO2 -O2C =AO1 -CO1 , 10 -x =17 -(21-x) , 设 则 即 解得 x=6,CO1 =15,又设左边球缺的高为 h1,右边的球缺高为 h2,则 h1=17-15=2,h2=10-6=4,∴S 表=2π (17·2+10·4)=148π (cm) ,V=
2

2

2

2

2

2

2

2

2

1 2 2 3 π [2 (3·10-2)+4 (3·17-4)]=288π (cm ). 3
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424.

正三棱锥的底面边长是 2cm,侧棱与底面成 60°角,求它的外接球的表面积.

解析: 如图, 是三棱锥的高, D 是Δ ABC 的中心, PD 则 延长 PD 交球于 E, PE 就是外接球的直径, 则 AD=

2 3 AB= 3 3

3,

∠PAD=60°, ∴PD=AD· tan60°=2,PA=

4 3

而 ∴PA PE= 3 , AP⊥AE, 2=PD·

4 64 PA2 8 2 = , R= , 球= ∴S π (cm) . 3 9 PD 3

425. 求证:球的外切正四面体的高是球的直径的 2 倍.

证明: ∴h=4R.

设球的半径为 R,正四面体的高为 h,侧面积为 S,则有 VA—BCD=VO—ABC+VO—ABD+VO—BCD,如图,即

1 1 Sh=4× SR, 3 3

426. 地球半径为 R,A、B 两地都在北纬 45°线上,且 A、B 的球面距离为

?R ,求 A、B 两地经度的差. 3

解析:如图,O 为球心,O1 为北纬 45°小圆的圆心,知 A、B 的球面距离,就可求得∠AOB 的弧度数,进而求得线段 AB 的长,在Δ AO1B 中,∠AO1B 的大小就是 A、B 两地的经度差. 解: 设 O1 是北纬 45°圆的中心, ∵A、B 都在此圆上, ∴O1A=O1B=

2 R. 2

∵A、B 的球面距离为

?R , 3
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?R l ? ∴∠AOB= = 3 = ,Δ AOB 为等边三角形. R 3 R
AB=R,在Δ AO1B 中, ∵O1A +O1B =
2 2

1 2 1 2 2 2 R + R =R =AB , 2 2

∴∠AO1B=90°. ∴A、B 两地的经度差是 90°. 评析:注意搞清纬度和经度的问题,球面距离三步骤的运用是非常重要的问题. 427. 已知圆锥的母线长为 l,母线对圆锥底面的倾角为θ ,在这个圆锥内有一内切球,球内又有一个内接的正方体, 求这个内接正方体的体积.

解析:设球半径为 R,以内接正方体对角面为轴截面,如图.连接 OA,∠OAD=

? ? ,R=OD=AD·tan ,VA=l,AD=lcos 2 2 ? 3 8 3 (lcosθ tan ) . 2 9
2 2 2

θ ,∴R=lcosθ tan

? 2 2 2 2 ,又设正方体棱长为 x,则 3x =EG =4R ,x= 3 2

3 R.∴V 正方体=

428. 如图,过半径为 R 的球面上一点 P 作三条两两垂直的弦 PA、PB、PC,(1)求证:PA +PB +PC 为定值;(2)求三棱 锥 P—ABC 的体积的最大值.

解析:先选其中两条弦 PA、PB,设其确定的平面截球得⊙O1,AB 是⊙O1 的直径,连 PO1 并延长交⊙O1 于 D,PADB 是矩形, 2 2 2 2 PD =AB =PA +PB ,然后只要证得 PC 和 PD 确定是大圆就可以了. 解: (1)设过 PA、PB 的平面截球得⊙O1,∵PA⊥PB, 2 2 2 ∴AB 是⊙O1 的直径,连 PO1 并延长交⊙O1 于 D,则 PADB 是矩形,PD =PA +PB . 设 O 为球心,则 OO1⊥平面⊙O1, ∵PC⊥⊙O1 平面, ∴OO1∥PC,因此过 PC、PD 的平面经过球心 O,截球得大圆,又 PC⊥PD. ∴CD 是球的直径. 2 2 2 2 2 2 2 故 PA +PB +PC =PD +PC =CD =4R 定值. (2)设 PA、PB、PC 的长分别为 x、y、z,则三棱锥 P—ABC 的体积 V=

1 xyz, 6

V=

2

1 2 2 2 1 x2 ? y2 ? z 2 3 1 64R 6 2 4 6 xyz≤ ( )= · = 5 R. 36 36 36 3 27 3
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∴V≤

4 3 3 R. 27 4 3 3 R. 27
2

即 V 最大=

评析:定值问题可用特殊情况先“探求” ,如本题(1)若先考虑 PAB 是大圆,探求得定值 4R 可为(1)的证明指明方向. 球面上任一点对球的直径所张的角等于 90°,这应记作很重要的性质. 429. 求棱长为 a 的正四面体的外接球和内切球的半径.

解析:如图,作 AH⊥底面 BCD 于 H,则 AH=

6 a,设内切球的球心为 O,半径为 r,O 点与 A、B、C、D 相连,得四个 3
1 1 1 6 ·Sr= S·AH,∴r= AH= a,设外接球心为 O,半径 R,过 A 3 3 4 12

锥体,设底面为 S,则每个侧面积为 S,有 4·

点作球的半径交底面Δ BCD 于 H, H 为Δ BCD 的外心, 则 求得 BH=

2 6 6 6 a,AH= a,由相交弦定理得 a×(2Ra) 3 3 3 3

=(

3 2 a) . 3 6 a. 3

解得 R=

430.求证:球的任意两个大圆互相平分. 证明:因为任意两个大圆都过球心 O,所以它们必交于过球心的直径,这条直径也是两个大圆的公共直径,所以任意两 个大圆互相平分. 2 2 2.在球心的同一侧有相距 9cm 的两个平行截面,它们的面积各为 49π cm 和 400π cm .求球的表面积.

解: 如图,设球的半径为 R, 2 ∵π O2B =49π , ∴O2B=7
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同理 O1A=20 设 OO1=xcm,则 OO2=(x+9)cm. 2 2 2 在 RtΔ OO1A 中,可得 R =x +20 2 2 2 在 RtΔ OO2B 中,可得 R =7 +(x+9) 2 2 2 2 ∴x +20 =7 +(x+9) 解方程得 x=15cm 2 2 2 2 R =x +20 =25 2 2 ∴S 球=4π ·OA =2500π (cm )

431.

球面上有 3 个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 ) B.2 3 C.2 D.

1 ,经过 3 个点的小圆的周长为 4π ,那么这个 6

球的半径为( A.4 3

3

解析: 设球半径为 R,小圆半径为 r,则 2π r=4π ,∴r=2.如图,设三点 A、B、C,O 为球心,∠AOB=∠BOC=∠COA =

? ,又∵OA=OB 3

∴Δ AOB 是等边三角形 同理,Δ BOC、Δ COA 都是等边三角形,得Δ ABC 为等边三角形. 边长等于球半径 R,r 为Δ ABC 的外接圆半径. r=

3 3 AB= R 3 3
3 r=2 3 3
)

R=

∴应选 B. 432. 已知球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离都是球半径的一半,且 AB=BC=CA=2,则球表面积是( A.

64 π 9

B.

8 π 3

C.4π

D.

16 π 9
AO′.Δ ABC 中,AB

解析: 如图,过 ABC 三点的截面圆的圆心是 O′,球心是 O,连结 AO′、OO′,则 OO′⊥ =BC=CA=2,故Δ ABC 为正三角形. ∴AO′=

3 2 3 ×2= 3 3
R 2
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设球半径为 R,则 OA=R,OO′=

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在 RtΔ OAO′中,OA =O′O +O′A ,即 R =

2

2

2

2

R2 2 +( 3 4

3 )2

∴R=

4 3
2

∴球面面积为 4π R = ∴应选 A. 说明 433.

64 π 9 1 2 AB=1,所以球面积 S=4π R >4π .从而选 A. 2
) C.50π D.200π

因为 R=OA>O′A>

长方体的一个顶点上的三条棱分别是 3、4、5,且它的八个顶点都在同一球面上,这个球的表面积是( B.25 2 π

A.20 2 π

解析: 正方体的对角线为 l,球的半径为 R,则 l=2R. 2 2 2 2 2 得:l =4R =3 +4 +5 =50 2 从而 S 球=4π R =50π ∴应选 C. 434. 在球面上有四个点 P、 B、 A、 C.如果 PA、 PC 两两互相垂直, PA=PB=PC=a,那么这个球的表面积是 PB、 且 . 解析:由已知可得 PA、PB、PC 实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱,正方体的对角线长就是球的直径,连结 过点 C 的一条对角线 CD,则 CD 过球心 O,对角线 CD= 3 a.

∴S 球表面积=4π ·(

3 2 2 a) =3π a . 2

435. 圆柱形容器的内壁底半径为 5cm,两个直径为 5cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中,若取出这两个小球,则容器 内的水面将下降 cm. 解析:球的体积等于它在容器中排开水的体积. 解: 设取出小球后,容器水平面将下降 hcm,两小球体积为 V 球=2×

4 2 π ×5 ×h,V1= 3

V球

即 25π h= ∴应填

125 π 3

∴h=

5 cm. 3

5 . 3

436. 空间四边形 ABCD 的四条边相等,那么它的两条对角线 AC 和 BD 的关系是( ) . A.相交且垂直 B.相交但不垂直 C.不相交也不垂直 D.不相交但垂直 解析:D.取 BD 中点 O,则 BD⊥AO,BD⊥CO,故 BD⊥平面 ACO,因此 BD⊥AC. 437. 已知 a、b 是异面直线,那么经过 b 的所在平面中( ) .
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A.只有一个平面与 a 平行 B.有无数个平面与 a 平行 C.只有一个平面与 a 垂直 D.有无数个平面与 a 垂直 解析:A.过 b 上任一点 P 作直线 a? // a ,由 a? 和 b 确定的平面??与 a 平行,这个平面是过 b 且平行于 a 的唯一一个 平面.故排除 B.当 a 与 b 不垂直时,假设存在平面? ,使 b

??,且 a⊥? ,则 a⊥b,这与 a、b 不垂直矛盾,所以

当 a、b 不垂直时,不存在经过 b 且与 a 垂直的平面,当 a、b 垂直时,过 b 且与 a 垂直的平面是唯一的,设 a、b 的公 垂线为 c,则由 c 和 b 所确定的平面与 a 垂直,且唯一. 438. 若直线 l 与平面??所成角为 ( ) . A. ?0, π ? 3 C. ? , ? 3 2

π ,直线 a 在平面? 内,且与直线 l 异面,则直线 l 与直线 a 所成的角的取值范围是 3

? ?

2 ? ?

B. ?0, ? 3

? ?

π? ?

?π π ? ? ?

D. ? , π ? 3 3

?π ?

2 ? ?

解析:C.因为直线 l 是平面的斜线,斜线与平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角, 故 a 与 l 所成的角大于或等于

π π ;又因为异面直线所成的角不大于 ,故选 C. 3 2

439. 直线 a、b 均在平面? 外,若 a、b 在平面??上的射影是两条相交直线,则 a 和 b 的位置关系是( ) . A.异面直线 B.相交直线 C.平行直线 D.相交或异面直线 解析:D 440. ABCD 是平面? 内的一个四边形,P 是平面? 外的一点,则△PAB、△PBC、△PCD、△PDA 中是直角三角形的 最多有( ) . A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:D.作矩形 ABCD,PA⊥平面 AC,则所有的三角形都是直角三角形 441. 已知直线 PG⊥平面??于 G,直线 EF A.PE>PG>PF C.PE>PF>PG 解析:C.如图答 9-17.PG⊥??,EF

??,且 PF⊥EF 于 F,那么线段 PE、PF、PG 的关系是( ) .
B.PG>PF>PE D.PF>PE>PG

??,PF⊥EF,则 GF⊥EF.在 Rt△PGF 中,PF 为斜边,PG 为直角边,PF>

PG.在 Rt△PFE 中,PF 为直角边,PE 为斜边,PE>PF,所以有 PE>PF>PG.

442. 下列命题中正确的是( ) . A.若 a 是平面??的斜线,直线 b 垂直于 a 在平面??内的射影为 a? ,则 a⊥b B.若 a 是平面??的斜线,平面??内的直线 b 垂直于 a 在平面??内的射影为 a? ,则 a?⊥b
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C.若 a 是平面??的斜线,直线 b 平行于平面??,且 b 垂直于 a 在平面??内的射影 a? ,则 a⊥b D.若 a 是平面??的斜线,b 是平面??内的直线,且 b 垂直于 a 在另一个平面??内的射影 a? ,则 a⊥b 解析:C.如图答 9-18,直线 b 垂直于 a 在平面??内的射影,但不能得出 a⊥b 的结论.排除 A.令? 是直线 a 与其在 ??内的射影 a? 确定的平面,在? 内取垂直于 a? 的直线为 b,不能得出 a⊥b 的结论.排除 B.同理排除 D.如图答 9-19, 在??内任取点 P, ∵

P?b, 则过 b 与 P 确定平面??, ? ? ? ? b? , 设 因为 b∥? , b // b? . 则 ∵

b ? a? , ∴

b? ? a ? . ∴

b? ? a ,∴ b⊥a.于是 C 正确.

443. 设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,则 (1)A 到 B1C 的距离等于________; (2)A 到 BD 的距离等于________; 1 (3)A 到平面 A1B1CD 的距离等于________; (4)AB 到平面 A1B1CD 的距离等于________. 解析:1)连接 AB ,AC,则 AB1 ? AC ,取 B1C 的中点 E,连结 AE,则 AE ? B1C . 1 ∴ AE 为点 A 到直线 B1C 的距离,在 Rt△ACE 中, AC ? 2 , CE ?

1 1 B1C ? 2, 2 2



AE 2 ? ( 2 ) 2 ? (

2 2 1 3 ) ? 2 ? ? ,∴ 2 2 2

AE ?

6 6 .即 A 到 B1 、C 的距离等于 . 2 2

(2)连结 AD1 .∵ AB⊥平面 ADD A1 ,∴ 1 到 BD 的距离为 h,则 1

AB ? AD1 .在 Rt△ ABD 中,AB=1, AD1 ? 2 , BD1 ? 3 ,设 A 1

1 1 ? AB ? AD1 ? h ? BD1 .即 2 2

1 1 ? 1? 2 ? h ? 3 ,∴ 2 2

h?

6 2 6 ,即点 A 到 BD 的距离为 . ? 1 3 3 3
平面 AA D1D ,∴ CD⊥AF.∵ 1

(3)连结 AD1 交 A1D 于 F,则 AF ? A1D .∵ CD⊥平面 AA D1D ,且 AF 1 CD∩AD=D, AF⊥平面 A1B1CD . AF 为点 A 到平面 A1B1CD 的距离. ∴ ∴ ∵

∴ AD1 ? 2 ,

AF ?

1 2 AD1 ? . 2 2

(4)∵ AB∥CD,∴ AB∥平面 A1B1CD ,∴ AB 到平面 A1B1CD 的距离等于 A 点

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到平面 A1B1CD 的距离,等于

2 . 2

444. 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 .则 (1) AD1 与平面 ABCD 所成的角等于________; (2) AC1 与平面 ABCD 所成的角的正切值等于________; (3) AD1 与平面 BB1C1C 所成的角等于________ ; (4) D1C1 与平面 BB1C1C 所成的角等于________; (5) B1C 与平面 BB1D1D 所成的角等于________. 解析: (1)∵ =45°. (2)∵

D1D ⊥平面 ABCD,∴ ?D1 AD 为 AD1 与平面 ABCD 所成的角, ?D1 AD

C1C ⊥平面 ABCD,∴

?C1 AC 为 AC1 与平面 ABCD 所成的角.设 CC1 ? 1 ,则 AC ? 2 ,∴

t a n C1 AC ? ?
(3) ∵ (4)∵

CC1 1 2 ? ? . AC 2 2
平面 BB1C1C ,B1C // AD1 , ∴ ∴ AD1 ∥平面 BB1C1C ,

AD1

AD1 与平面 BB1C1C 所成的角为 0°.

D1C1 ⊥平面 BB1C1C ,∴

D1C1 与平面 BB1C1C 所成的角为 90°.
B1B ⊥平面 ABCD,CH
平面 ABCD,

(5)连结 AC,交 AD 于 H.连结 B1 H ,∵ ∴

又∵ CH⊥BD, ∴ CH⊥平面 BB1D1D . ∴ B1B ? CH ,

∴ ?CB1H B1H 为 B1C 在平面 BB1D1D 内的射影.

为 B1C 与平面 BB1D1D 所成的角. 设正方体棱长为 1, B1C ? 2 , 则 CH ? 与平面 BB1D1D 所成的角为 30°.

1 2 , ∴ AC ? 2 2

即 ?CB1H ? 30? , B1C

445. 如图 9-29,PA⊥平面 ABCD,ABCD 是矩形,M、N 分别是 AB、PC 的中点.求证:MN⊥AB.

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图 9-29 解析:连结 AC,取 AC 中点 O,连结 OM,ON.由 OM∥BC,得 OM⊥AB.又 NO∥PA,且 PA⊥AB,故 NO⊥AB.由 此可得 AB⊥平面 OMN.因此 MN⊥AB. 446. 如图 9-30,直线 a、b 是异面直线,它们所成角为 30°, AA? 为 a、b 的公垂线段, AA? ? 4cm .另有 B 在直线 a 上,且 BA=2cm,求点 B 到直线 b 的距离.

解析: 如图答 9-20, A? 作 a? // a , a? 与 b 确定平面? . BC ? a? 于 C, 过 则 作 在平面? 内作 CD⊥b 于 D, 连结 BD. ∵ AA? ? a ∴ AA? ? a? . ∵ AA? ? b , a? ? b ? A? ,∴ AA? ? ? .∵ BC // AA? ,∴ BC⊥??.∵ CD⊥b, ∴ BD⊥b(三垂线定理) ,即 BD 为 B 点到 b 的距离.∵ a // a? ,∴ ?CA?D 为异面直线 a 与 b 所成的角,∴ ?CA?D ? 30? . ∵ A?C ? AB ? 2 ,?CDA? ? 90? , ∴ CD=1. Rt△BCD 中,BC ? AA? ? 4 , 在 CD=1, ∠BCD=90°, ∴ BD ? BC ? CD ? 4 ? 1 ? 17 ,∴ BD ? 17 .
2 2 2 2 2

447. 如图 9-31,SA、SB、SC 三条直线两两垂直,点 H 是 S 在平面 ABC 上的射影,求证:H 是△ABC 的垂心.

解析:∵ SC⊥SA,SC⊥SB,且 SA∩SB=S,∴ SC⊥平面 SAB,∴ AB⊥SC.∵ H 是 S 在平面 ABC 上的射影, ∴ SH⊥平面 ABC.连结 CH,CH 为 SC 在平面 ABC 上的射影,∵ AB⊥SC,由三垂线定理的逆定理可知 CH⊥AB, 即 CH 为 AB 的垂线.同理 AH⊥BC,即 AH 为 BC 边的垂线.H 为△ABC 两条垂线的交点,∴ H 为△ABC 垂心. 448. 如图 9-32,△ABD 和△ACD 都是以 D 为直角顶点的直角三角形,且 AD=BD=CD,∠BAC=60°.求证:

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图 9-32 (1)BD⊥平面 ADC; (2)若 H 是△ABC 的垂心,则 H 为 D 在平面 ABC 内的射影. 解析:1) AD=BD=CD=a, AB ? AC ? 2a . ( 设 则 ∵ ∠BAC=60°, ∴ 由勾股定理可知, ∠BDC=90°. 即 BC ? 2a .

BD⊥DC,又∵ BD⊥AD,AD∩DC=D,∴ BD⊥平面 ADC. (2)如图答 9-21,要证 H 是 D 在平面 ABC 上的射影,只需证 DH⊥平面 ABD.连结 HA、HB、HC.∵ H 是△ ABC 的垂心,∴ CH⊥AB.∵ CD⊥DA,CD⊥BD,∴ CD⊥平面 ABD,∴ CD⊥AB.∵ CH∩CD=C,∴ AB ⊥平面 DCH. ∵ DH ABC. 平面 DCH,∴ AB⊥DH,即 DH⊥AB,同理 DH⊥BC.∵ AB∩BC=B,∴ DH⊥平面

449. PA、PB、PC 是从点 P 出发的三条射线,每两条射线的夹角为 60°,求直线 PC 与平面 PAB 所成的角的余弦值. 解析:如图答 9-22,在 PC 上任取一点 D,作 DH⊥平面 PAB 于 H,则∠DPH 为 PC 与平面 PAB 所成的角.作 HE⊥PA 于 E,HF⊥PB 于 F,连结 PH,DE,DF.∵ EH、FH 分别为 DE、DF 在平面 PAB 内的射影,由三垂线定理可得 DE ⊥PA.DF⊥PB.∵ ∠DPE=∠DPF,∴ △DPE≌△DPF.∴ PE=PF.∴ Rt△HPE≌Rt△HPF,∴ HE=HF, ∴ PH 是∠APB 的平分线.设 EH=a,则 PH=2EH=2a, PE ? 3a .在 Rt△PDE 中,∠DPE=60°,DE⊥PA,∴

DP ? 2PE ? 2 3a .在 Rt△DPH 中,DH⊥HP,PH=2a, DP ? 2 3a ,∴ c o s DPH ? ?

PH 2a 3 ? ? . DP 2 3a 3

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450. 四面体对棱长分别相等,分别是 a,b,c.求体积.

解析: 把四面体“嵌入”棱长为 x,y,z 的长方体(如图).其充分条件是

?x 2 ? y 2 ? a 2 , ? 2 2 2 ?y ? z ? b , ?z 2 ? x 2 ? c 2 ?
有实数解

? c2 ? a2 ? b2 ?x ? 2 ? ? a2 ? b2 ? c2 ? y? ? 2 ? 2 ? b ? c2 ? a2 ?z ? 2 ? ?
如果关于 x,y,z 的方程组有实数解,则四面体体积 V=xyz-4·

1 1 1 ·( xy)·z= xyz 3 2 3



2 12

(a 2 ? b 2 ? c 2 )( b 2 ? c 2 ? a 2 )( c 2 ? a 2 ? b 2 )
对棱相等的四面体各面是全等的锐角三角形,本题采用了体积分割法,转化法求体积.

说明

451. 如图 1,线段 AB ? 平面α ,线段 CD ? 平面β ,且平面α ∥平面β ,AB⊥CD,AB=CD=a,α 、β 的距离为 h,求 四面体 ABCD 的体积.

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图1 图2 解析:依题意可构造一个底面对角线长为 a,高为 h 的正四棱柱(如图 2). 显然,正四棱柱的底面边长为

2 a.其体积为 2

V 柱=(

1 2 2 2 a) h= a h. 2 2

而三棱锥 C—AC′B 的体积为 V 锥=

1 V 柱. 6 4 V柱 6

故四面体 ABCD 的体积为 V=V 柱-4V 锥=V 柱=

1 1 2 V 柱= a h. 3 6
本题运用了“构造辅助体”的解题技巧. 求棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 的面对角线 A1C1 与 AB1 的距离.

说明 452.

解法一:连结 BD1,取 A1B1 的中点 E,连 BE 交 AB1 于 M,连 D1E 交 A1C1 于 N,连 MN. 因为Δ A1NE∽Δ C1ND1,所以

1 AE EN = 1 = , ND1 C1 D1 2



1 1 EM EN = ,同理 = . 3 EB ED1 3 EM EN = .∴MN∥BD1. EB ED1



由三垂线定理知 BD1 与 A1C1、AB1 都垂直,故 MN 为两对角线的公垂线, 又Δ EMN∽Δ EBD1

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1 MN EN 3 = = .∴MN= a. 3 BD1 ED1 3

解法二:取 A1M=

A1C1 AB1 2 ,B1N= ,过 N 作 NP⊥A1B1 于 P,连 MP,则Δ MPN 为直角三角形,由计算,PM= a,PN= 3 3 3

1 3 5 2 2 2 11 2 2 2 a,故 MN= a.又 A1N= a,A1M= a,故 A1N =A1M +MN ,于是 MN⊥A1C1;同理,由 AN= a,AM= a,MN 3 3 3 3 3 3


3 3 a 可知 MN⊥AB1.故 MN 为 AB1 与 A1C1 的公垂线段,从而 AB1 与 A1C1 的距离为 a. 3 3

解法三:可转化为求平行平面间的距离.连 A1D,C1D,A1C1,B1C.易知 A1D∥B1C,A1C1∥AC.故平面 A1DC1∥平面 AB1C.连 BD1, 设与平面 A1DC1 交于 M,与平面 AB1C 交于 N.因 BD1 与图中所示 6 条面对角线都垂直,故 BD⊥面 A1DC1,也垂直于 AB1C.即 MN 是 A1C1 与 AB1 的距离,在 RtΔ D1DB 中,D1M=

DD12 3 3 = a,而同理可求 BN= a,故 3 3 BD1

MN= 3 a说明

3 3 3 aa= a. 3 3 3

上例还可以利用直线与平面平行、体积转换等方法求解.

453. 在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 是 A1B1 上的一动点, P 平面 PAD1 和平面 PBC1 与对角面 ABC1D1 所成的二面角 的平面角分别为α 、β ,试求α +β 的最大值和最小值. 解析:如图.对角面 A1B1CD⊥对角面 ABC1D1,其交线为 EF.过 P 作 PQ⊥EF 于 Q,则 PQ⊥对角面 ABC1D1.分别连 PE、PF. ∵EF⊥AD1,PE⊥AD1(三垂线定理).故由二面角的平面角定义知 ∠PFQ=α ,

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同理,∠PFQ=β . 设 A1P=x,(0≤x≤1),则 PB1=1-x. ∵EQ=A1P,QF=PB1,PQ= ∴当 0<x<1 时,有 tanα =

2 , 2

2 2 ,tanβ = , 2x 2(1 ? x)

2 2 ? tan? ? tan ? 2 x 2(1 ? x) ∴tan(α +β )= = 1 ? tan? tan ? 2 2 1? ? 2 x 2(1 ? x)


2 1 1 ? 2( x ? ) 2 ? 2 2

而当 x=0 时α =

? ? EF ,tan(α +β )=tan( +β )=-cotβ ==- 2 ,上式仍成立;类似地可以验证.当 x=1 时, 2 2 A1 E
1 时,tan(α +β )取最小值-2 2 ;当 x=0 或 1 时,tan(α +β )取最大值- 2 . 2

上式也成立,于是,当 x= 又∵ 0<α +β <π ,

∴(α +β )max=π -arctan 2 (α +β )min=π -arctan2 2

454.

如图,已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,E、F 分别在棱 AB、BC 上,G 在对角线 BD1 上,且 AE=

1 1 ,BF= , 4 2

D1G∶GB=1∶2,求平面 EFG 与底面 ABCD 所成的二面角的大小. 解析:设 G 在底面 ABCD 上的射影为 H,H∈BD, ∵

2 GH GB = = D1 D D1 B 3 2 3
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∴GH=

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作 HM⊥EF 于 M,连 GM,由三垂线定理知 GM⊥EF,则∠GMH=θ 就是平面 BFG 与底面 ABCD 所成的二面角的平面角,tan θ =

GH . HM

下面求 HM 的值. 建立如图所示的直角坐标系,据题设可知. H(

1 2 1 1 , )、E( ,0)、F(1, ) 3 3 4 2

∴直线 EF 的方程为

1 y ?0 4, = 1 1 ? 0 1? 4 2 x?
即 4x-6y-1=0. 由点到直线的距离公式可得

|HM|=

1 2 4 ? ? 6 ? ?1 3 3 42 ? 62



11 , 6 13

∴tgθ = 说明

2 6 13 4 13 4 13 · = ,θ =arctg . 3 11 11 11

运用解析法来求 HM 的值是本例的巧妙所在.

455. 如图,平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的底面是边长为 1 的正方形,侧棱 AA1 长为 2,且∠A1AB=∠A1AD=60°则此平 行六面体的体积为 解析:一 求平行六面体 ABCD—A1B1C1D 的体积,应用公式.由于底面是正方形,所以关键是求高,即 A1 到底面 ABCD 的 距离

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解法一:过点 A1 做 A1O⊥平面 ABCD,垂足为 O,过 O 做 OE⊥AB,OF⊥AD,垂足分别为 E、F,连结 A1E,A1F,可知 O 在 ∠BAD 的平分线 AC 上. ∴cos∠A1AO·cos∠OAF=

AF OA AF · = =cos∠A1AF AA1 AA1 AO

即 cos∠A1AO·cos45°=cos60° ∴cos∠A1AO=

2 2 2 2

∴sin∠A1AO=

∴A1O=A1Asin∠A1AO= 2 ∴V=SABCD·A1O= 2 分析二 如图,平行六面体的对角面 B1D1DB 把平行六面体分割成两个斜三棱柱,它们等底面积、等高、体积相等,考 察其中之一三棱柱 A1B1D1—ABD.

解法二:过 B 作 BE⊥A1A,连结 DE,可知面 BDE 是其直截面,把斜三棱柱分割成上下两部分,若把两部分重新组合,让 面 A1D1B1 与面 ADB 重合,则得到一直棱柱,Δ BDE 是其底面,DD1 是其侧棱,并且和斜三棱柱 A1B1D1—ABD 的体积相等. 取 BD 中点 O,连结 OE,易知 SΔ BED=

1 1 BD·OE= BD· DE 2 ? OD2 2 2



1 2 3 2 2 · 2· ( ) ? ( )2 = 2 4 2 2

∴V 直棱柱=SΔ DEB·DD1 =

2 2 ×2= = VA1B1D1 ? ABD 4 2

∴ VA1B1C1D1 ? ABCD =2 VA1B1D1 ? ABD = 2
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点评 在解决体积问题时, “割” “补”是常用的手段,另外本题分析二给出了求斜棱柱体积的另一方法:斜棱柱的体 积=直截面面积×侧棱长. 456.求证:(1)平行六面体的各对角线交于一点,并且在这一点互相平分. (2)对角线相等的平行六面体是长方体. 已知:平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 求证:(1)对角线 AC1、BD1、CA1、DB1 相交于一点,且在这点互相平分; (2)若 AC1=BD1=CA1=DB1 时,该平行六面体为长方体.

证明:(1)∵AA1∥BB1,BB1∥CC1, ∴AA1∥CC1. ∴对面角 A1ACC1 是平行四边形. ∴CA1 与 AC1 相交,且互相平分. 设 CA1∩AC1=0,则 O 为 CA1,AC1 的中点. 同理,可证 DB1 与 AC1 及 AC1 与 D1B 也相交于一点,且互相平分. 交点也是 O. ∴AC1、BD1、DB1、CA1 交于一点,且互相平分. (2)∵平行六面体 AC1 的对角线面 A1C1CA、B1D1DB 都是平行四边形.且它们的对角线 A1C、B1D、C1A、D1B 都相等. ∴对角面 A1C1AC,B1D1DB 都是矩形. 因此 CC1⊥A1C1 ∴BB1⊥B1D1 又∵BB1∥CC1 ∴BB1⊥A1C1 ∴BB1⊥平面 A1C1 ∴平行六面体 A1C 是直平行六面体 同理可证:CB⊥平面 A1B,则 BC⊥AB. ∴平面四边形 ABCD 是矩形. ∴直平行六面体 A1C 是长方体. 457.求证:底面是梯形的直棱柱的体积,等于两个平行侧面面积的和与这两个侧面间距离的积的一半. 已知:直四棱柱 A1C,如图,它的底面 AC 为梯形.DC∥AB,侧面 A1B 与侧面 D1C 的距离为 h. 求证: V棱柱A C =
1

1 (S +S )×h 2 面A1B 面D1C

证:设 D1E1 是梯形 A1B1C1D1 的高, ∵D1E1⊥A1B1,D1E1 ? 面 A1C1
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面 A1C1⊥面 A1B,面 A1C1∩面 A1B=A1B1. ∴D1E1⊥面 A1B. ∴D1E1=h.

V棱柱A1C =S 底·AA1
1 (D1C1+A1B1)·D1E1·AA1 2 1 = (D1C1·A1A+A1B1·A1A)·h 2 1 = ( S 面D1C + S 面A1B )·h 2
= 458. 如图,已知 A1B1C1—ABC 是正三棱柱,D 是 AC 中点. (1)证明 AB1∥面 DBC1 (2)假设 AB1⊥BC1,BC=2,求线段 AB1 在侧面 BB1CC1 上的射影长. 分析:弄清楚正三棱柱的概念,利用三垂线定理找二面角.

解析:(1)证明:∵A1B1C1—ABC 是正三棱柱, ∴四形 B1BCC1 是矩形,连结 B1C,交 BC1 于 E, 则 B1E=EC,连结 DE. 在Δ AB1C 中,AD=DC,∴DE∥AB1 又 AB1 ? 平面 DBC1,DE ? 平面 DBC1 ∴AB1∥平面 DBC1 (2)解:作 DF⊥BC,垂足为 F,因为面 ABC⊥面 B1BC1,所以 DF⊥B1BCC1,连结 B1E,则 B1E 是 A1B 在平面 B1BCC1 内的射影 ∵BC1⊥AB1 ∴BC1⊥B1E ∵B1BCC1 是矩形 ∴∠B1BF=BC1C=90° ∴Δ B1BF∽Δ BCC1 ∴

B1 B BF BF = = BC B1 B CC1

又 F 为正三角形 ABC 的 BC 边中点 2 因而 B1B =BF·BC=2 于是 B1F =B1B +BF =3,∴B1F= 3 即线段 AB1 在平面 B1BCC1 内的射影长为 3 459. 如图,已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1,点 E 在棱 D1D 上,截面 EAC∥D1B,且面 EAC 与底面 ABCD 所成的角为 45°, AB=a. (1)求截面 EAC 的面积 (2)求异面直线 A1B1 与 AC 之间的距离 (3)求三棱锥 B1—EAC 的体积
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2 2 2

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解析:(1)连结 DB 交 AC 于 O,连结 EO. ∵底面 ABCD 是正方形 ∴DO⊥AC 又∵ED⊥底面 AC ∴EO⊥AC ∴∠EOD 是面 EAC 与底面 AC 所成二面角的平面角 ∴∠EOD=45° DO=

2 2 a,AC= 2 a,EO= a·sec45°=a. 2 2 2 2 a. 2

故 SΔ EAC=

(2)解:由题设 ABCD—A1B1C1D1 是正四棱柱,得 A1A⊥底面 AC,A1A⊥AC. 又 A1A⊥A1B1 ∴A1A 是异面直线 A1B1 与 AC 间的公垂线 ∵D1B∥面 EAC,且面 D1BD 与面 EAC 交线为 EO ∴D1B∥EO 又 O 是 DB 的中点 ∴E 是 D1D 的中点,D1B=2EO=2a.
2 2 ∴D1D= D1 B ? DB = 2 a.

异面直线 A1B1 与 AC 间的距离为 2 a. 连结 B1O,则 VB1 ?EAC =2 VA?EOB1 ∵AO⊥面 BDD1B1 ∴AO 是三棱锥 A—EOB1 的高,AO=

2 a. 2

在正方形 BDD1B1 中,E、O 分别是 D1D、DB 的中点 则: S△EOB1 =

3 2 a. 4 1 3 2 2 2 3 · a· a= a 3 4 2 4

∴ VB1 ?EAC =2·

所以三棱锥 B1—EAC 的体积是

2 3 a. 4

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460. 如图,在正方体 ABDC—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、CD 的中点. (1)证明 AD⊥D1F (2)求 AE 与 D1F 所成的角 (3)证明面 AED⊥面 A1FD1 (4)设 AA1=2,求三棱锥 F—A1ED1 的体积 V ?? F—A1ED1 ?

解析:(1)∵AC1 是正方体,∴AD⊥面 DC1.又 D1F ? DC1,∴AD⊥D1F. (2)取 AB 中点 G,连结 A1G、FG(如图).因为 F 是 CD 的中点,所以 GF、AD 平行且相等,又 A1D1、AD 平行且相等,所以 GF、A1D1 平行且相等,故 GFD1A1 是平行四边形,A1G∥D1F. 设 A1G 与 AE 相交于点 H,则∠AHA1 是 AE 与 D1F 所成的角.因为 E 是 BB1 的中点,RtΔ A1AG≌RtΔ ABE,∠GA1A=∠GAH, 从而∠AHA1=90°,即直线 AE 与 D1F 所成角为直角. (3)由(1)知 AD⊥D1F, 由(2)知 AE⊥D1F, AD∩AE=A, 又 所以 D1F⊥面 AED.又因为 D1F ? 面 A1ED1, ∴体积 VF ? A1ED1 = VG? A1ED1 = VD1 ? A1GE ,∵AA1=2,∴面积 S△ A1GE = S ABB1A1 -2 S△ A1 AG - S△GBE = ∴ VF ? A1ED1 =

3 . 2

1 1 3 ×A1D1× S ?A1GE = ×2× =1. 3 3 2

461. 如图,设 ABC—A1B1C1 是直三棱柱,E、F 分别为 AB、A1B1 的中点,且 AB=2AA1=2a,AC=BC= 3 a. (1)求证:AF⊥A1C (2)求二面角 C—AF—B 的大小

分析 本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识. 解 (1)∵AC=BC,E 为 AB 中点,∴CE⊥AB 又∵ABC—A1B1C1 为直棱柱,∴CE⊥面 AA1BB 连结 EF,由于 AB=2AA1 ∴AA1FE 为正方形 ∴AF⊥A1E,从而 AF⊥A1C (2)设 AF 与 A1E 交于 O,连结 CO,由于 AF⊥A1E,知 AF⊥面 CEA1 ∴∠COE 即为二面角 C—AF—B 的平面角 ∵AB=2AA1=2a,AC=BC= 3 a

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∴CE= 2 a,OE=

2 2a a,∴tan∠COE= =2. 2 2 a 2

∴二面角 C—AF—B 的大小是 arctan2. 462. 如图 9-51,已知 ABCD、ABEF、CDFE 都是长方形,且平面 ABCD⊥平面 ABEF.记∠FCE=? ,∠CFB=??,∠ CEB=??,则有( ) . A.sin??=sin??·sin? B.cos??=cos??·cos? C.sin??=sin??·cos? D.sin??=sin??·cos?

解析:C.

CB ? ?CD ? BF ? sin? ? CF , ? CB ? 平面ABCD ? ? CB ? 平面ABEF ? ? ? ? ?CB ? BE ? sin ? ? CB . CB ? AB ? CE ? 平面ABCD ? ABEF?

CB ? 平面ABEF? CE . ? ? CE ? EF ? cos? ? BE ? EF CF ?
于是 sin??=sin??·cos??. 463. 设直线 l、m,平面??、??、??满足??∩??=l,l∥??,m A.??⊥??,且 l⊥m C.m∥??,且 l⊥m 解析:A.

??,且 m⊥??,则必有( ) .

B.??⊥??,且 m∥?? D.??∥??,且??⊥??

m ?? ? l ?? ? ? ? ? ? ? ? ;又? ? ? ? l ? ? ? m ? l. ?? ? m? m ?? ?
464. 一条线段的两个端点分别在一个直二面角的两个面内(都不在棱上) ,则这条线段与这两个平面所成的角的和 ( ) . A.等于 90° B.大于 90° C.不大于 90° D.不小于 90° 解析:C.如图答 9-45,设直二面角??-l-??,作 AC⊥l 于 C,BD⊥l 于 D.∵ ??⊥??,则 AC⊥??,BD⊥??,连结 BC、 AD,则∠ABC 为 AB 与平面??所成的角,∠BAD 为 AB 与平面??所成的角.

?BAD ? ? 2 , 当 AB⊥l 时, 易得 AB 与??、 所成角之和等于 90°, AB 与 l 不垂直时, ?ABC ? ?1 , ?? 当 设 ?CAB ? ? 3 ,
sin ? 3 ? BC , AB sin ? 2 ? BD ? π? ,∵ BC>BD,∴ sin ? 3>sin ? 2 ,∵ 函数 y=sinx 在 ? 0, ? 上是增函数,∴ AB ? 2?
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? 3>? 2 ,∵ ? 3 ? ?1 ? 90? ,∴ 90 ??1>? 2 ,∴ ?1+? 2<90? .故 AB 与??、??所成角之和≤90°.

465. 如图 9-52,A 是△BCD 所在平面外一点,AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,则二面角 A-BD-C 的平面角是( ) . A.钝角 B.直角 C.锐角 D.大小不确定的

解析:A.取 BD 中点 E,连结 AE、CE,由 AB=AD,∠ABC=∠ADC,AC=AC 得△ABC≌△ADC,∴ DC=BC,∴ AE ⊥BD,CE ⊥ BD,∴ ∠AEC 为二面角 A-BD-C 的平面角.∵

AE 2 ? AB 2 ? BE 2 , EC2 ? BC2 ? BE2 ,

AC2 ? AB2 ? BC2 ,∴ cos ?AEC ?

AE 2 ? EC 2 ? AC 2 ? 2 BE 2 ? <0 ,∵ ∠AEC 为钝角 2 AE ? EC 2 AE ? EC
466. 已知二面角??-l-??的大小为??(??是锐角) ,A∈l,B∈l, PC ? l ,且 P∈??,P 在??内的射影为 P′.记△ABP 的 面积为 S,则△ABP′的面积 S′等于________. 解析:Scos??.作 PH⊥l 于 H,连结 P ?H .∵ 面角??-l-??的平面角,即 ?PH P? ? ? . S ? ?

PP? ? ? ?,∴

P?H ? l (三垂线定理的逆定理) .∴

?PH P? 为二

1 AB ? P?H , P?H ? PH ? cos ? ,∴ 2

S? ?

1 AB ? PH ? cos ? ? S ? cos ?. 2

图答 9-46 467. 平面??⊥平面??,平面??⊥平面??,且??∩??=a,??∩??=b,a∥b,平面??与??的位置关系是________. 解析:平行.在??上作 l⊥a,∵ a∥b,∴ l⊥b.∵ ??⊥??于 a,∴ l⊥??,同理 l⊥??.∴ ??∥??. 468. .如图 9-53, ABCD? A1B1C1 D1 是长方体,AB=2, AA ? AD ? 1 ,求二平面 AB C 与 A1B1C1 D1 所成二面角的 1 1
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大小.

解析:∵ 平面 ABCD∥平面 A1 B1C1 D1 ,∴ 平面 AB C 与平面 A1 B1C1 D1 的交线 l 为过点 B1 且平行于 AC 的直线.直 1 线 l 就是二平面 AB C 与 A1 B1C1 D1 所成二面角的棱. AA ⊥平面 A1 B1C1 D1 , A1 作 AH⊥l 于 H, 又 1 过 连结 AH. ?A A 则 H 1 为二面角 A ? l ? A1 的平面角.可求得 tan?AHA ? 1
1

5 5 5 .因此所求角的大小为 arctan 或π ? arctan 2 2 2
1 3 BB1 , CM ? CC1 (如图 9-54) .求:平 4 4

469. 在正方体 ABCD? A1B1C1 D1 中, K ? BB1 , M ? CC1 ,且 BK ? 面 AKM 与 ABCD 所成角的大小.

解析:由于 BCMK 是梯形,则 MK 与 CB 相交于 E.A、E 确定的直线为 l,过 C 作 CF⊥l 于 F,连结 MF,因为 MC⊥ 平面 ABCD,CF⊥l,故 MF⊥l.∠MFC 是二面角 M-l-C 的平面角.设正方体棱长为 a,则 CM ? △ECM 中,由 BK∥CM 可得 EB ?

3 1 a , BK ? a .在 4 4

1 3 5 5 a , CF ? a ,故 tan?MFC ? .因此所求角的大小为 arctan 或 2 4 4 5

π ? arctan

5 . 4

470. 如图 9-55,将边长为 a 的正三角形 ABC 按它的高 AD 为折痕折成一个二面角 C ? ? AD ? C . (1)指出这个二面角的面、棱、平面角; (2)若二面角 C ? ? AD ? C 是直二面角,求 C ?C 的长; (3)求 AC ? 与平面 C ?CD 所成的角; (4)若二面角 C ? ? AD ? C 的平面角为 120°,求二面角 A ? C ?C ? D 的平面角的正切值.

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解析: (1)∵ AD⊥BC,∴ AD⊥DC, AD ? DC ? ,∴ 二面角 C ? ? AD ? C 的面为 ADC 和面 AD C ? ,棱为 AD, 二面角的平面角为 ?C ?DC . (2)若 ?C ?DC ? 90 ? ,∵ AC=a,∴ (3)∵

DC ? DC ? ?

1 a ,∴ 2

CC ? ?

2 a. 2

AD ? DC ? ,AD⊥DC,∴ AD⊥平面 DC ?C .∴ ?AC ?D 为 AC ? 与平面 DC ?C 所成的角,在 Rt 1 △ AD C ? 中, DC ? ? DC ? AC ,∴ ?DA C ? ? 30? ,于是 2 ?AC ?D ? 60? . (4)取 CC ? 的中点 E,连结 AE、DE,∵ DC ? ? DC , AC ? ? AC ,∴ AE ? C ?C , DE ? C ?C ,∴ ∠ 1 1 AED 为二面角 A ? C ?C ? D 的平面角,∵ ?C ?DC ? 120 ? , C ?D ? CD ? a ,∴ DE ? a ,在 Rt△AED 中, 2 4 3 a 3 AD AD ? a ,∴ tan?AED ? ? 2 ? 2 3. 1 2 DE a 4
471. 在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥平面 ABC.求证:△ABD 是锐角三角形. 解析:如图答 9-24,设 AC=a,BC=b,CD=c,∵ △ACD 是 Rt△,∴

AD ? a2 ? c2 . ∵ △ABC 是 Rt△,∴

AB ? a2 ? b2 .∵ △BCD 是 Rt△,∴

BD ? b2 ? c2 .而在

AB 2 ? AD 2 ? BD 2 a2 ? >0 ,又∵ ∠BAD 是三角形内角,∴ 0°<∠ △ABD 中, cos ?BAD ? 2 ? AB ? AD (a 2 ? b 2 )( a 2 ? c 2 )
BAD<180°,∴ ∠BAD 是锐角,同理∠ABD、∠ADB 是锐角,∴ △ABD 是锐角三角形.

472. 已知 D 为平面 ABC 外一点,且 DA、DB、DC 两两垂直.求证:顶点 D 所对的三角形面积的平方等于其余三个三
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2 2 2 2 角形面积的平方和,即 S?ABC ? S?DAB ? S?BDC ? S?ADC .

解析:如图答 9-25,设 DA=a,DB=b,DC=c,则 S ?ADB ? ⊥AB 于 M,则 DM ?

1 1 1 ab , S ?BDC ? bc , S ?ADC ? ac .在△ABD 中,作 DM 2 2 2

ab a ? b2
2

. ∵ CD⊥AD,CD⊥DB,∴ CD⊥平面 ADB,∴ CD⊥DM.在 Rt△CDM 中,

CM 2 ? DM 2 ? CD 2 ? c 2 ? a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 , ∴ a 2 ? b2

a 2b 2 ? a 2 ? b2 1 1 a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 2 S ?ABC ? ( AB ? CM ) 2 ? (a 2 ? b 2 ) ? ? 2 4 a2 ? b2

1 2 2 2 2 2 (a b ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ) ? S ?ADB ? S ?BDC ? S ?CDA. 4

图答 9-25 473. 如图 9-34,在△ABC 中,∠ACB=90°,AB 平面? ,点 C ? ? ,C 在??内的射影为 O,AC 和 BC 与平面? 所

成的角分别为 30°和 45°,CD 是△ABC 的 AB 边上的高线,求 CD 与平面??所成角的大小.

解析: 连结 OD, ∵ CO⊥平面 AOB, ∴ ∠CDO 为 CD 与平面? 所成的角. ∵ AB、 与平面??所成角分别为 30° CB 和 45°,∴ ∠CAO=30°,∠CBO=45°.设 CO=a,则 AC=2a,OB=a, BC= 2a .在 Rt△ABC 中,

AB2 ? (2a)2 ? ( 2a)2 ? 6a2 ,∴

AB ? 6a . ∵ CD⊥AB,∵

1 1 ? AB ? CD ? AC ? BC ,∴ 2 2

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CD ?

a 3 AC ? BC 2a ? 2a 2 ,∵ 0°<∠CDO<90°,∴ ∠ ? ? ? a .在 Rt△COD 中, sin ?CDO ? 2a 2 AB 6a 3 3

CDO=60°,即 CD 与平面? 所成的角为 60°. 474. 给出下列四个命题: ①若一直线与一个平面内的一条直线平行,则这直线与这个平面平行. ②若一直线与一平面内的两条直线平行,则这直线与这个平面平行. ③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. ④若两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条也与这个平面平行. 其中正确命题的个数是( ) . A.0 B.1 C.2 D.3 解析:B.只有③是正确的 475. 梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB 平面?,CD 平面?,则直线 CD 与平面?内的直

线的位置关系只能是( ) . A.平行 B.平行或异面 C.平行或相交 D.异面或相交 解析:B.由已知 CD∥平面?,?内的直线与 CD 平行或异面. 476. (1)若直线 a、b 均平行于平面 a,那么 a 与 b 的位置关系是__________; (2)若直线 a∥b,且 a∥平面?,则 b 与?的位置关系是__________; (3)若直线 a、b 是异面直线,且 a∥?,则 b 与?的关系是__________. 解析:1)平行、相交或异面. (2)b∥?或 b ?. (3)b∥?或 b ?或 b 与?相交. 477. 如图 9-20,在空间四边形 ABCD 中,E 是边 AB 上的一点,求作过 C、E 的一个平面,使对角线 BD 平行于这个 平面,并说明理由.

解析:在△ABD 内过 E 点作 BD 的平行线,交 AD 于 F.连结 CE、CF,则 BD∥平面 CEF.∵BD∥EF(作图) ,BD 平面 CEF,EF 平面 CEF,由直线与平面平行的判定定理可知 BD∥平面 CEF. 478. 在正方体 ABCD- A1 B1C1 D1 中,E、F 分别为 A1C1 和 CC1 的中点,求证:直线 A1C ∥平面 B1EF . 解析:注意在△ C1 A1C 中,EF 是中位线. 479. 如图 9-21,在空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、AD 上的点,且 AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又 H、G 分
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别是 BC、CD 的中点,则( ) . A.BD∥平面 EFGH,且 EFGH 是矩形

B.HG∥平面 ABD,且 EFGH 是菱形 C.HE∥平面 ADC,且 EFGH 是梯形 D.EF∥平面 BCD,且 EFGH 是梯形 解析:D.A 选项中“BD∥平面 EFGH”正确,但“EFGH 是矩形”错误;B 选项中“EFGH 是菱形”不正确;C 选项 中“HE∥平面 ADC”不正确. 480. 设 a、b 是异面直线,则( ) . A.过不在 a、b 上的任一点,可作一个平面与 a、b 都平行 B.过不在 a、b 上的任一点,可作一条直线与 a、b 都相交 C.过不在 a、b 上的任一点,可作一条直线与 a、b 都平行 D.过 a 有且只有一个平面与 b 平行 解析: 借助正方体这一模型加以排除错误选项. AB 为 a,B1C1 为 b, D. 取 当任一点取 A1 时, AB∥平面 A1 B1C1 , A1 但 平面 A1 B1C1 .于是 A 不正确.而 A1 与 B1C1 上任一点的连线均在平面 A1 B1C1 内,所以这些直线与 AB 均无交点,所以 B 不正确.用反证法说明 C 不正确,若过任一点有直线与 a、b 都平行,则由公理 4 知 a∥b,这与 a、b 异面矛盾. 481. 如图 9-22,已知 a∥?,B、C、D∈a,A 与 a 在平面?的异侧,直线 AB、AC、AD 分别交?于 E、F、G 三点, 若 BC=5,AD=7,DG=4,则 EF 的长为_________.

解析:∵ E、F、G 是平面 ABC 与平面?的公共点, ∴ E、F、G 共线, ∵ BC∥?,∴ BC∥EF, ∴

EF FG AG ? ? ,∴ BC CD AD

EF ? BC ?

AG 7 ? 4 15 ? 5? ? AD 7 7

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482. 如图 9-23,在正方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中,E 为 BB 上不同于 B、 B1 的任一点, AB1 ? A1E ? F , 1

B1C ? C1 E ? G .求证:

图 9-23 (1)AC∥平面 A1EC1 ; (2)AC∥FG.解析:

483. 已知三个平面?、?、??满足 ? ? ? =?, ? ? ? =b, ? ? ? =c,且 a∥? ,求证:b∥?,c∥?. 如图答 9-14,解析:
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同理可证 c∥?.

484. 在正方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中,E、F 分别为 BC、 C1 D1 的中点,求证:直线 EF∥平面 BB1D1D . 解析:取 BD 中点 G,连结 EG, GD1 .可证 EFDG 为平行四边形(还有其他证法) . 1 485. 已知平面?∩平面?=l,A∈?,B∈?,C∈??(如图 9-24) ,在下列情况下求作平面 ABC 与平面?的交线,并说 明理由. (1)AB l; (2)AB∥l.

解析: (1)∵AB

l,AB 与 l 共面于?,∴ AB 与 l 相交,设 AB∩l=D,连结 CD,则 CD= 平面ABC ? ? ,这是因

为 D∈AB,D∈l,∴ D∈平面 ABC,D∈?,∴ D 为平面 ABC 与平面??的一个公共点,∴ 平面 ABC 与平面?的交 线是过 D 的一条直线,又 C 是平面 ABC 与平面??的另一个公共点,且平面 ABC 与平面的交线是过 C 的一条直线,所 以平面 平面ABC ? ? =CD.

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图答 9-15 (2)在平面?内过 C 作 CE∥l,则 CE= 平面ABC ? ? .∵ AB∥l,AB

?,l ?,∴ AB∥平面?.∵ 平面

ABC 与平面??有一个公共点 C, ∵ 平面 ABC 与?相交于过 C 的一条直线 m. ∵ AB 平面 ABC,平面ABC ? ? ?=m, AB∥?,∴ AB∥m.∵ AB∥l,∴ l∥m.于是在??内过 C 作 l 的平行线即为所求的交线. 486. 如图 9-25,在空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 上的点,且 EH∥FG.求证:EH ∥BD.

解析:

487. 如图 9-26,P 为△ABC 所在平面外一点,点 M、N 分别是△PAB 和△PBC 的重心.求证:MN∥平面 ABC. (三角形的三条中线交于一点,称为重心,重心到一个顶点的距离是该点到对边中点距离的 2 倍)

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图 9-26 解析:如图答 9-16,连结 PM 并延长交 AB 于 D,连结 PN 并延长交 BC 于 E,连结 DE.在Δ PAB 中,∵ M 是Δ PAB PM PN PM PN ? 2 ,同理在△PBC 中有 ? 2 ,在△PDE 中,∵ ? 的重心,∴ ,∴ MN∥DE,∵ MN ? 平面 MD NE MD NE ABC,DE 平面 ABC,∴ MN∥平面 ABC.

488. 判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)空间两条直线可以确定一个平面; (2)垂直于两条异面直线的直线有且只有一条; (3)垂直于同一条直线的两条直线平行; (4)直线 a 与 b 平行,b 与 c 平行,则 a 与 c 平行; (5)直线 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交; (6)直线 a 与 b 异面,b 与 c 异面,则?与 c 异面; (7)一条直线与两条平行线中的一条垂直,必和另一条也垂直. 解析: (1)不正确.两条异面直线不能确定一个平面. (2)不正确.垂直于两条异面直线的直线有无数多条,但公垂线——与两条异面直线垂直相交的直线有且只有一 条. (3)不正确.垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面. (4)正确.由公理 4 可知. (5)不正确.a、c 可能平行,还可能异面. (6)不正确.a、c 可能异面,但也可能平行或相交. (7)正确.因为直线与两条平行线所成的角相等 489. 直线 a 和 b 是平行直线,点 A、C 在直线 a 上,点 B、D 在直线 b 上,那么直线 AB 与 CD 的位置关系是什么?若
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直线 a 和 b 是异面直线呢? 解析:若 a∥b,则 a,b 共面于?,A、B、C、D 均在?内,故 AB 与 CD 共面于?,则 AB 与 CD 的位置关系可能是平行 或相交.若 a、b 是异面直线,则 AB 与 CD 必是异面直线.假设 AB 与 CD 共面于?,则 AC 与 BD,即 a、b 共面.这 与已知矛盾 490. 在正方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中,六个面内与 BD 所成的角为 60°的对角线共有多少条? 解析:参看图答 9-10,与 BD 相交所成角为 60°的面对角线 BC1 、 BA1 , DA , DC1 四条;与 BD 异面所成角为 60° 1 的面对角线有 AB 、 B1C 、 AD1 、 CD1 四条,故一共 8 条. 1

图答 9-10 491. A、B、C、D 是不在同一个平面内的四点.E 是线段 AD 上一点.证明直线 CE 和 BD 是异面直线. 解析:设 CE、BD 不是异面直线,那么 CE、BD 在同一个平面(设为?)内.由 E、D 在平面??内,则直线 ED 在平面 ?内,直线 ED 上的点 A 也在平面?内,即 A、B、C、D 都在平面?内,这与 A、B、C、D 不在同一平面内是相矛盾的, 因此 CE、BD 是异面直线. 492. 给出以下四个命题: ①若两条直线和第三条直线成等角,则这两条直线平行 ②若两条直线和第三条直线都垂直,则这两条直线平行 ③若两条直线都和第三条直线平行,则这两条直线平行 ④若两条直线分别在两个相交平面内,则这两条直线不可能平行 其中错误命题的个数是( )个. A.1 B.2 C.3 D.4 解析:C.根据公理 4,知③正确,利用正方体判断其余命题均不正确.由 AA 与 AB 所成角 90°,BC 与 AB 所成的角 1 90°,但 AA 与 BC 不平行,从而①、②不正确; A1B1 在平面 A1B1BA 内,DC 在平面 ABCD 内,虽平面 A1B1BA 与平 1 面 ABCD 相交,仍有 A1B1 ∥DC,从而说明④不正确. 493. 在正方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中,与对角线 BD 异面的棱有( ) . 1 A.3 条 B.4 条 C.6 条 D.8 条

解析:C.如图答 9-10,把正方体的几条棱分为三类,在平面 A1 B1C1 D1 上的四条棱中有 A1B1 、 B1C1 与 BD 异面,在 1 平面 ABCD 上的四条棱中有 AD、CD 与 BD 异面,上下两底面之间的四条棱中,有 AA 、 CC1 与 BD 是异面直线,故 1 1 1
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与 BD 异面的棱共 6 条. 1 494. 三条直线共面的条件可以是( ) . A.这三条直线两两平行 B.这三条直线交于一点 C.这三条直线中的一条与另外两条都相交 D.这三条直线两两相交,但不交于一点 解析:D.可参看下列图形:

495. 已知 m、n 为异面直线,m 平面?,n 平面?,?∩?=l,则 l( ) . A.与 m、n 都相交 C.与 m、n 都不相交 解析:B.可参看下列图形: B.与 m、n 中至少一条相交 D.至多与 m、n 中的一条相交

496. 如图 9-11, 在正方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中, F 分别是棱 D1C1 、B1C1 的中点, E、 求证: EF∥BD, EF ? 且

1 BD . 2

解析:连结 B1 D1 .∵ 行四边形,∴ BD

BB1 ∥ DD1 ,∴ 四边形 BB1D1D 是平面图形,又∵ BB1 = DD1 ,∴ 四边形 BB1D1D 是平 B1D1 ,在△ C1D1B1 中,∵ E、F 分别是 D1C1 与 B1C1 的中点,∴ EF
1 BD . 2 OA1 OB1 OA1 OC1 ? ? , . 求 OA OB OA OC 1 B1 D1 ,由公理 4 2

有 EF∥BD,且有 EF ?

497. 如图 9-12, 是平面 ABC 外一点,A1 、 1 、 1 分别在线段 OA、 OC 上, O OB、 且满足 B C
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证:△ABC∽△ A1 B1C1 .

解析:∵ ∥BC,∵

OA1 OB1 OB1 OC1 ? ? , ,∴ OA OB OB OC

OA1 OC1 OA1 OB1 ? ? .在△AOB 中,由 ,∴ OA OC OA OB

A1B1 ∥AB,同理 B1C1

?A1B1C1 与∠ABC 方向相同,∴

?A1B1C1 =∠ABC,同理 ?B1 A1C1 =∠BAC,∴ △ A1B1C1 ∽△ABC.

498. 如图 9-13,P 是平面 ABC 外一点,PA=4, BC ? 2 5 ,D、E 分别为 PC 和 AB 的中点,且 DE=3.求异面直 线 PA 和 BC 所成角的大小.

解析:取 AC 中点 F,连结 DF、EF,在△PAC 中,∵ D 是 PC 中点,F 是 AC 中点,则 DF∥PA,同理可得 EF∥BC, ∴ ∠DFE 为异面直线 PA 与 BC 所成的角.在△DEF 中,DE=3,又 DF=

1 1 PA=2,EF= BC= 5 ,∴ 2 2

DE 2 ? DF 2 ? EF 2 ,∴ ∠DFE=90°,即异面直线 PA 与 BC 所成的角为 90°.
499. 如图 9-15,已知 A 是平面 BCD 外一点,满足 AC=BD,M、N、P、Q 分别是 BC、CD、DA、AB 的中点.求证: QN⊥PM.
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解析: 在△ABC 中, ∵ Q 是 AB 中点, 是 BC 中点, M ∴ MQ∥AC, MQ= 且 QM PN.∴ 四边形 MNPQ 是平行四边形,又 ∵ PQ=

1 1 AC, 同理 PN∥AC, PN= AC. 且 ∴ 2 2

1 1 BD,QM= AC,AC=BD,∴ PQ=QM,∴ 平行 2 2

四边形 MNPQ 是菱形,∴ QN⊥PM. 500. 如图 9-16,在棱长为 a 的正方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中,求异面直线 AC 和 B1 D1 的距离.

解析:连结 A1C1 交 B1 D1 于 O1 ,连结 BD 交 AC 于 O,连结 OO1 ,在矩形 A1C1CA 中, O1 是 A1C1 中点,O 是 AC 中点, 则 O1O ? AC 于 O. 同理 OO1 ? B1D1 于 O1 , ∴ 与 B1 D1 间的距离为 a. ∵ OO1 = CC1 =a, ∴ AC OO1 是异面直线 AC 和 B1D1 的公垂线.

501. 在长方体 ABCD- A1 B1C1 D1 中,AB=2, BC ? B1B ? 1 ,M、N 分别是 AD、DC 的中点. (1)证明 AM ∥ A1C1 ; (2)求异面直线 MN 与 BC1 所成角的余弦值. 解析: (1)∵

AA ∥ BB1 ∥ CC1 , AA = BB1 = CC1 ,∴ 1 1

AA C1C 是平行四边形,∴AC∥ A1C1 ,又 MN∥AC,因 1

此,MN∥ A1C1 . (2)由(1) ?BC1 A1 是异面直线 MN 与 BC1 所成角.在△ BA C1 中, BC1 ? 2 , BA ? A C1 ? 5 .于是有 , 1 1 1

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cos?BC1 A1 ?

10 . 10

502. 在空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点,得到四边形 EFGH. (1)四边形 EFGH 是______________; (2)当对角线 AC=BD 时,四边形 EFGH 是______________; (3)当对角线满足条件______________时,四边形 EFGH 是矩形; (4)当对角线 AC、BD 满足条件_______时,四边形 EFGH 是正方形. 解析: (1)由三角形中位线定理可知 EF

1 1 AC,HG AC,于是 EF HG,故四边形 EFGH 为平行四边形; 2 2 1 1 (2)当 AC=BD 时,由 EF= AC,EH= BD,得 EF=EH,即平行四边形 EFGH 的邻边相等,故平行四边形 2 2

EFGH 为菱形; (3)要使平行四边形 EFGH 为矩形,需且只须一个角是直角.如需 EF⊥FG,则 AC⊥BD; (4)要使平行四边形 EFGH 为正方形,需且只须 AC⊥ BD,且 AC=BD; 503. 借助两支铅笔,试研究以下问题: (1)在平面内,过直线外一点有多少条直线与已知直线平行?在空间呢?

图 9-17 (2)在一个平面内,过一点有多少条直线与已知直线垂直?在空间呢? (3)在一个平面内,与该平面内的已知直线所成角为 60°的直线有多少条?这些直线与已知直线的位置关系如何? 在空间,与一条直线所成角为 60°的直线有多少条?这些直线与已知直线的位置关系如何? 解析: (1)在一个平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;在空间也如此. (2)在一个平面内,过一点(该点可在直线上,也可在直线外)有且只有一条直线与已知直线垂线;在空间过直 线上或直线外一点都有无数条直线和已知直线垂直,这无数条直线在过已知点的一个平面上(以后可知该平面与直线 垂直) . (3)在一个平面内,与已知直线成 60°角的直线有无数条,这无数条直线平行,且都与已知直线相交;在空间也 是有无数条直线与已知直线成 60°角,它们与已知直线位置关系是相交或异面. 504. 如图 9-18,已知 P 为△ABC 所在平面外一点,PC⊥AB,PC=AB=2,E、F 分别为 PA 和 BC 的中点. (1)求证:EF 与 PC 是异面直线; (2)EF 与 PC 所成的角; (3)线段 EF 的长.

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解析: (1)用反证法.假设 EF 与 PC 共面于?,则直线 PE、CF 共面?,则 A∈?,B∈?,于是 P 与 A、B、C 共面于?, 这与已知“P 是平面 ABC 外一点”矛盾.故 EF 与 PC 是异面直线. (2)取 PB 中点 G,连结 EG、FG,由 E、F 分别是线段 PA、BC 中点,有 EG

1 AB,GF 2

1 PC ∴ ∠GFE 2

为异面直线 EF 与 PC 所成的角,∠EGF 是异面直线 PC 与 AB 所成的角,∵ PC⊥AB,∴ EG ⊥GF,即∠EGF= 90°.∵ PC=AB=2,∴ EG=1,GF=1,故△EFG 是等腰直角三角形,∴ ∠GFE=45°,即 EF 与 PC 所成的 角是 45°. (3)由(2)知 Rt△EGF 中 EG=1,GF=1,∠EGF=90°,∴ EF= 2 505. 如图 9-19,在棱长为 a 的正方体 ABCD— A B1C1D1 中,O 是 AC、BD 的交点,E、F 分别是 AB 与 AD 的中点. 1

图 9-19 (1)求异面直线 OD1 与 A1C1 所成角的大小; (2)求异面直线 EF 与 A1C1 所成角的大小; (3)求异面直线 EF 与 OD1 所成角的正切值; (4)求异面直线 EF 与 OD1 的距离. 解析: ∵ (1) ∴ OD1 与 AC 所成的锐角或直角就是 OD1 与 A1C1 所成的角, 连结 AD1 、 1 , A1C1 ∥AC, CD 在△ AA D1 1

和△ CC1D1 , ∵

? ∴△ AA D1 ≌△ CC1D1 , AD1 ? CD1 . ∴ ∴ AA = CC1 ,A1D1 ? C1D1 , AA1 D1 ? ?CC1 D1 ? 90? , 1 1

△ AD1C 是等腰三角形.∵ O 是底边 AC 的中点,∴
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OD1 ? AC ,故 OD1 与 A1C1 所成的角是 90°.

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(2)∵ E、F 分别是 AB、AD 中点,∴ EF∥BD,又∵

A1C1 ∥AC,∴ AC 与 BD 所成的锐角或直角就是

EF 与 A1C1 所成的角.∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AC⊥BD,∴ EF 与 A1C1 所成的角为 90° (3)∵ EF∥BD,∴

?D1OD ? 90? 为异面直线 EF 与 OD1 所成的角.∵ 四边形 BB1D1D 是正方形,∴

1 1 1 2 2 AB 2 ? AD 2 ? a ? a2 ? a ,∴ ?D1DO ? 90? ,∴ 在 Rt△ D1OD 中, DD1 ? a , DO = BD = 2 2 2 2

t a n D1OD ? ?

D1 D OD

a ? 2 ,即 EF 与 OD1 所成角的正切值为 2 . 2 a 2

(4)∵ EF∥BD,BD⊥AC,∴ EF⊥AC,设交点为 G.∵

OD1 ⊥AC(由(1)

知)于 O,则 AC 是异面直线 EF 与 OD1 的公垂线,OG 的长即为 EF 与 OD1 间的距离,由于 G 是 OA 中点,O 是 AC 中点,且 AC ?

AB2 ? BC2 ? a2 ? a2 ? 2a ,∴ OG ?

OA 1 2 2 ? AC ? a ,即 EF 与 OD1 间的距离为 a. 2 4 4 4

506. 在空间中, ①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线. ②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线. 以上两个命题中,逆命题为真命题的是__________. (把符合要求的命题序号都填上) 解析:②.①的逆命题为:空间四点中若任何三点都不共线,则这四点不共面.此命题是假命题.平行四边形的四个 顶点是其反例. ②的逆命题为:若两条直线是异面直线,则这两条直线没有公共点,可知此命题为真命题. 507. 下列命题中是真命题的是( ) A.底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B.各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥 C.由一个面是多边形,其余各个面是三角形所围成的几何体是棱锥 D.正四面体是正三棱锥 解析: 解此题时概念要明确,正棱锥不仅要求底面是正多边形,而且还要求其顶点在底面的射影是底面的中心,所以 A、B 不正确,C 中的各三角形没有指明共顶点,C 也不正确,D 是真命题,所以选 D. 508. 三棱锥 A—BCD 中,AC=BD,AD=BC,AB=CD,三个侧面与底面所成的二面角分别为α 、β 、 ? ,则 cosα +cosβ +cos ? = .

解析:如图所示,设 AC=BD=a,AD=BC=b,AB=CD=c
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由已知所有侧面三角形和底面三角形都是全等的三角形. 记为 S,侧面在底面的射影分别为 S1、S2、S3

S S1 S =cosα , 2 =cosβ , 3 =cos ? S S S S ? S 2 ? S3 S cosα +cosβ +cos ? = 1 = =1 S S
则 509. 已知三棱锥 S—ABC 的底面面积是 a,三棱锥的高是 h,M、N、P、Q 分别是 SB、SC、AC、AB 的中点,求五面体 MN —PQBC 的体积

解析: 如图,过 M 作 MD∥BA 交 SA 于 D,则 D 是 SA 的中点,连结 ND,则 ND∥AC 所求五面体 MN—PQBC 的体积等于原三棱锥的体积与五面体 SA—MQPN 的体积之差

1 ah, 3 1 1 h 1 VS—DMN= · a· = ah, 3 4 2 24 1 1 V 三棱主柱 DMN—APQ=S△AQP· h= ah, 2 8
而 VS—ABC= ∴VMN—PQBC=VS—ABC-VSA—MQPN

1 1 1 ah-( ah+ ah) 3 24 8 1 = ah 6
= 510. 棱锥被平行于底的平面分成体积相等的三部分.求这棱锥的高被分成三部分的比. 解析:设棱锥的高为 h,它被截成的三部分自上而下设为 h1,h2,h3,则有 (

h ? h3 3 2 h1 3 1 h3 ? h2 3 ) = ,( ) =2,( )= . h 3 h 3 h1
3 3 9 9 3 h,h2=( 3 2 -1)h1= ( 2 -1)h, 3 3

所以 h1=

h3=

3 ? 3 18 h. 3

所以 h1∶h2∶h3=1∶( 3 2 -1)∶( 3 3 - 3 2 ). 说明 求体积之比或面积之比常用相似比. 511. 已知四棱锥 S—ABCD 的底面是边长为 6 的正方形,SA⊥底面 ABCD,且 SA=8,M 是 SA 的中点,过 M 和 BC 作截面交 SD 于 N. (1)求证:截面 MBCN 是梯形,并求截面的面积; (2)求截面 MBCN 与底面 ABCD 的夹角α .
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解析:(1)先证 MN∥BC 且 MN≠BC.因为 BC∥AD,所以 AD∥截面 MBCN,从而 AD∥MN,BC∥MN. 又 MN=

1 1 AD= BC,所以 MN≠BC.于是 MN 和 BC 平行但不相等,故 MBCN 是梯形. 2 2

再求截面的面积:SA⊥平面 ABCD.易证 MN 和 BC 都垂直于平面 ABS.所以 MB⊥MN,MB⊥BC,故 S 截= =

1 (MN+BC)·MB 2

1 (3+6) 36? 16 =9 13 . 2

(2)首先要找到二面角的平面角.根据上面的证明,知∠MBA 的是截面与底面所成二面角的平面角,即∠MBA=α .于是

MA 4 2 = = AB 6 3 2 ∴α =arctan 3
tanα = 512. 以四面体各面的重心为顶点构成一个新的四面体.求这两个四面体的表面积的比.

解析:因相似多面体全面积的比等于对应边的平方的比,故只须求出对应边的比.

2 1 EF= BD, 3 3 BD 1 ∴ 1 1= . BD 3 AD CD AB AC BC 1 同理, 1 1 = 1 1 = 1 1 = 1 1 = 1 1 = , AB AC BC AD CD 3
∵B1D1= 故 ABCD 和 A′B′C′D′是相似多面体,其表面积的比为 1∶9. 513. 如图,四棱锥的高为 h,底面为菱形,侧面 VDA 和侧面 VDC 所成的二面角为 120°,且都垂直于底面,另两个侧 面与底面所成的角都是 45°,求此棱锥的全面积. 解析:由面面垂直的性质可证得 VD⊥底面,因为 SΔ VDA=SΔ VDC,∠ADC=120°,DB 是其平分线,而 SΔ VBC=SΔ VAB,所以全 面积不难求得. 解 由已知条件可得 VD⊥底面 ABCD,VD⊥DA,VD⊥DC,

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∴∠ADC=120°. ∵ABCD 为菱形, ∴BD 是∠ADC 的平分线. Δ ADB 和Δ DBC 是全等的等边三角形,取 BC 的中点 E, 连 DE,BC⊥DE,BC⊥VE,∴∠VED=45°. 在直角Δ DEC 中,EC=DE·ctg60°=

3 2 3 h,BC= h,VE= 2 h. 3 3

∴S 底=BC·DE=

2 3 2 3 2 h·h= h, 3 3

SΔ VBC=SΔ VAB=

1 2 3 6 2 · h· 2 h= h, 2 3 3 1 2 3 3 2 h· h= h. 2 3 3

SΔ VAD=SΔ VDC=

∴S 全=

2 3 2 2 6 2 2 3 2 h+ h+ h 3 3 3



2 2 (2 3 + 6 )h 3

评析:本题的关键是侧面 VDA 和侧面 VDC 都垂直于底面,则它们的交线 VD⊥底面 ABCD,从而∠ADC=120°. 2 514. 已知三棱锥各侧面与底面成 60°角.底面三角形的各角成等差数列, 且最大边与最小边是方程 3x -21x+13=0 的 两根.求此三棱锥的侧面积和体积.

解析: 如图,设底面三角形的边长为 a、b、c.则由条件知∠B=60°,a+c=7,ac= (a+c) -2ac(1+cosB)=7 -2·
2 2

13 2 2 2 ,得 b =a +c -2accosB= 3

13 1 1 (1+ )=36 ? b=6,由三角形面积公式,得 acsinB=pr(其中 p 为半周长,r 为内切 3 2 2

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圆半径),求得 r=

3 . 6

由于各侧面与底面成的角相等,∴顶点在底面上的射影是三角形的内心,且各侧面上的高相等,∴h=rtg60°=

1 r 1 3 3 3 13 · 3 = ,h 侧= = .故 S 侧= (7+6)× = 6 2 cos 60? 2 6 3 3

1 1 1 13 3 (平方单位),V= · acsinBh= × × 3 2 6 3

3 1 13 × = 2 72 2

3 (立方单位).

515. 正三棱锥 A-BCD,底面边长为 a,侧棱为 2a,过点 B 作与侧棱 AC、AD 相交的截面,在这样的截面三角形中,求 (1)周长的最小值; (2)周长为最小时截面积的值, (3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比.

解析: (1)沿侧棱 AB 把正三棱锥的侧面剪开展成平面图.如图 1, 当周长最小时, 在直线 BB′上, EF ∵Δ ABE≌Δ B′AF, ∴AE=AF, AC=AD, ∴B′B∥CD, ∴∠1=∠2=∠3, ∴BE=BC=a, 同理 B′F=B′D=a.∵Δ FDB′∽Δ ADB′, ∴ =

a 1 1 3 3 11 DB ? DF , = = ,∴DF= a,AF= a.又∵Δ AEF∽Δ ACD,∴BB′=a+ a+a= a,∴截面三角形的周长的 4 AB ? a 2a 2 2 2 4 11 最小值为 a. 4

DF DB ?

(2)如图 2,∵Δ BEF 等腰,取 EF 中点 G,连 BG,则 BG⊥EF.∴BG= BE2 ? EG2 = a ? ( a) =
2 2

3 8

55 a ∴SΔ BEF 8



1 1 3 55 3 55 2 ·EF·BG= · a· a= a. 2 2 4 8 64

(3)∵VA-BCD=VB-ACD,而三棱锥 B—AEF,三棱锥 B—ACD 的两个高相同,所以它们体积之比于它们的两底面积之比,即

S 9 VB ? AEF EF 2 = △ AEF = = 2 16 S △ ACD CD VB ?CAD
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评析 把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题,从而使问题得到解决,这是求曲面上最 短路线的一种常用方法.本题中的四面体, 其中任何一个面都可以做为底面, 因而它可有四个底面和与之对应的四条高, 在解决有关三棱锥体积题时,需要灵活运用这个性质. 516. 在三棱锥 A—BCD 中,Δ ABC 和Δ BCD 都是边长为 a 的正三角形,二面角 A—BC—D=φ ,问φ 为何值时,三棱锥 的全面积最大。 解析:SΔ BAC=SΔ BCD=

3 2 a 为常量,所以三棱锥全面积的大小取决于 SΔ ABD 与 SΔ ACD 的大小,由于Δ ABD≌Δ ACD,所以只 4
1 asin∠ACD,所以当∠ACD=90°时面积最大,问题得解。 2

求 SΔ ACD 何时面积取最大值即可。∵SΔ ACD=

解 如图,取 BC 中点 M,连 AM、DM,∴Δ ABC 和Δ BCD 都是正三角形,∴∠AMD 是二面角 A-BC-D 的平面角,∠AMD=φ , 又∵Δ ABD≌Δ ACD,且当∠ACD=90°时,Δ ACD 和Δ ABD 面积最大,此时 AD= 2 a,在Δ AMD 中,由余弦定理 cos∠ AMD=-

1 , 3 1 时,三棱锥 A-BCD 的全面积最大。 3

∴当φ =π -arccos 点评 517.

本题将求棱锥全面积的最大值,转化为求Δ ACD 面积的最大值,间接求得φ 角。 如图三棱锥 P-ABC 中,PA=a,AB=AC=2a,∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°,求三棱锥 P-ABC 的体积.

解法一:过点 P 作 PO⊥平面 ABC 于点 O,∵∠PAB=∠PAC=∠BAC=60° ∴AO 平分∠BAC ∴cos∠PAO=

cos 60? 1 3 6 = ,∴sin∠PAO= 1? = cos 30? 3 3 3

∴PO=asin∠PAO=

6 a 3

∴V 棱锥= 点评

1 1 6 2 3 × ×2a×2asin60°× a= a 3 2 3 3

这种方法叫直接法,就是利用锥体的体积公式直接计算,这是一种常规方法,必须掌握.
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解法二:取 AB、AC 中点 M、N 的连结 PM、PN ∵PA=a,AB=AC=2a,∠PAB=∠PAC=∠BAC=60° ∴三棱锥 P-AMN 为棱长为 a 的正四面体,且 SΔ AMN=

1 SΔ ABC 4

∴VP-AMN=

1 2 3 VP-ABC,而 VP-AMN= a 4 12

∴VP-ABC=4VP-AMN=

2 3 a 3

点评 此法是根据棱长与含有 60°角的三角形的关系,把锥体截成棱长相等的三棱锥,然后根据小锥体的体积与原棱 锥的体积关系,求原棱锥的体积. 解法三 在Δ PAB 中,PA=a,AB=2a 又∠PAB=60°,∴∠APB=90° 同理∠APC=90°∴AP⊥平面 PBC 又 SΔ PBC= 2 a
2

∴VP-ABC=VA-PBC=

1 2 3 2 · 2 a ·a= a. 3 3

518.将正方体截去一个角,求证:截面是锐角三角形. 已知:正方体中截去以 P 为顶点的一角得截面 ABC. 求证:Δ ABC 是锐角三角形.

证明:如图,P—ABC 是一个四面体. ∵Δ PAB、Δ PBC、Δ PCA 都是直角三角形.

?x 2 ? y 2 ? c 2 ? 1 2 2 2 2 ∴ ? y 2 ? z 2 ? a 2 则 z = (a +b -c ) 2 ?z 2 ? x 2 ? b 2 ?
∵z≠0,∴a +b -c >0 2 2 2 2 2 2 即 c <a +b ,∴b <a +c . ∴∠BAC、∠ABC 都小于 90°. ∴Δ ABC 为锐角三角形. 2 2 2 519.三棱锥的三个侧面互相垂直,它们的面积分别为 6m ,4m 和 3m ,求它的体积.
2 2 2

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解析:设三棱锥 S—ABC 的三条侧棱长分别为 xm,ym,zm.则三个侧面积分别为

xy yz zx 、 、 . 2 2 2

? xy ? 12 ? 依题意: ? yz ? 8 则 xyz=24 ? zx ? 6 ?
而 VS—ABC=VA—SBC= ∴它的体积为 4m . 520. 如图,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中 E∈BB1,截面 A1EC⊥侧面 AC1 (1)求证:BE=EB1 (2)若 AA1=A1B1,求平面 A1EC 与平面 A1B1C1 所成二面角(锐角)的度数
3

1 1 1 3 · yz·x= ×24=4(m ) 3 2 6

解析: 欲证 BE=EB1,可证 A1E=EC,由截面 A1EC⊥侧面 AC1,考虑到作 EG⊥A1C 于 G,关键在于证出 G 是 A1C 的中点, 为了利用正棱柱的性质,可取 AC 中点 F,证 FG∥AA1 即可. 证明: (1)在截面 A1EC 中,作 EG⊥A1C 于 G,∵面 A1EC⊥面 A1C,∴EG⊥面 A1C,取 AC 中点 F,连 BF、FG,易证 EBFG 为平行四边形,∴BE=FG,又证得 FG=

1 1 1 AA1,∴BE= AA1= BB1,即 BE=EB1. 2 2 2

(2)分别延长 CE、C1B1 交于点 D,连 A1D,利用 E 是 BB1 的中点,可证得 A1C1⊥A1D,由三垂线定理,可证出 A1C⊥A1D, ∴∠CA1C1 为所求二面角的平面角,由 A1A=A1C,得∠CA1C1=45°. 评析 本题解题思路:由证 E 是 BB1 的中点 ? 证 G 是 A1C 的中点 ? GF∥AA1,要完成此过程,除具有扎实的立几基本功 外,尚需很好的平几修养,确实是一个考查基础知识很全面的好题. 521. 已知边长为 10 的正Δ ABC 的顶点 A 在平面α 内,顶点 B、C 在平面α 同侧,BD 为 AC 边上的中线,B、C 到平面α 的距离分别是 BB1=2,CC1=4 (1)求证:BB1∥平面 ACC1 (2)求证:BD⊥平面 ACC1 (3)求四棱锥 A—BCC1B1 的体积

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解析: 本小题考查空间图形线、面的平行、垂直关系,考查逻辑思维能力和运算能力. 解 (1)∵BB1⊥α ,CC1⊥α ,∴BB1∥CC1 ∵BB1 ? 平面 ACC1,CC1 ? 平面 ACC1, ∴BB1∥平面 ACC1. (2)∵

CC1 ? ?

? ?? CC1 ? 平面ACC1 ?

平面 ACC1 ? 平面 ? ? ? ? 过 D 点作 AC1 的垂线 DD1,则 DD1⊥α . 平面 ACC1 ? ? ? AC1 ?


DD1 ∥ BB1 ∥ CC1 ? 1 1 ? ?DD1= CC1= ×4=2=BB1, 2 2 D是AC 的中点 ?

∴四边形 B1BDD1 是矩形 ∴B1D1∥BD

CC1 ? B1 D1 ? BD ? CC1 ? CC1 ? ? ? ? ∵ ? ? △ ABC是正△? BD ? AC? ? BD⊥平面 ACC1 B1 D1 ? ? ? ? AC ? CC1 ? C ?
(3)在 RtΔ ABD 中,BD= 在 RtΔ ACC1 中,AC1=

AB2 ? AD2 = 75 =B1D1

AC 2 ? CC12 = 84 ,连结 BC1,
1 1 1

1 1 1 1 × ×AC1×B1D1×BB1+ × ×AC1×CC1×BD. 3 2 3 2 1 1 1 1 ∴ V四棱锥A?BCC B = × × 84 × 75 ×2+ × × 84 × 75 ×4=30 7 . 1 1 3 2 3 2
则 V四棱锥A?BCC B = V三棱锥B? AB C + V三棱锥B? ACC =
1 1

522. 已知正四棱锥的各条棱都是 a. (1)求底面一边到相对侧面的距离; (2)求证:相邻两侧面所成二面角等于侧面和底面所成二面角的 2 倍; (3)求相对两侧面所成二面角的余弦值.

(1)解: 作 PO⊥底面 ABCD,垂足是 O,取 BC、AD、PB 的中点 F、E、M,连结 PE、PF、EF、OM、MC、MA. ∵AD∥BC, ∴AD∥平面 PBC, 到平面 PBC 的距离就是 E 点到平面 PBC 的距离, AD ∵BC⊥平面 PEF, ∴平面 PEF⊥平面 PBC. ∴E 点到交线 PF 的距离就是 E 点到平面 PBC 的距离 d. ∴d·PF=PO·EF,d·

3 2 1 2 3 6 a=a· a. a ? a ,∴d= 2 3 4 4

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(2)在Δ ACM 中,∵AM=MC=

3 a,AD=OC,∴OM 是∠AMC 的平分线,又 AM⊥PB,CM⊥PB,∴∠AMC 是二面角 A—PB—C 2

的平面角,∠OFP 是二面角 P—BC—AD 的平面角. 又∵AO=PO=

2 3 a,AM=PF= a,∴RtΔ POF≌RtΔ AMO. 2 2

∴∠AMC=2∠PFO,∴命题成立. (3)设相对两侧面 PBC、PAD 的交线是 l,∵AD∥BC,∴AD∥平面 PBC,∴AD∥l,∵BC⊥平面 PEF,∴l⊥平面 PEF,∴ ∠EPF 就是所求二面角的平面角. ∴cos∠EPF=

PE 2 ? PF 2 ? EF 2 1 = . 3 2 PE ? PF

523. 直线 a、b 是异面直线,a⊥平面α ,b⊥平面β ,a⊥b,求证:α ⊥β .

证明 过 b 上任意一点作直线 a′,使 a∥a′.∵a⊥b,∴a′⊥b. 设相交直线 a′、b 确定一个平面 ? , ? ∩β =c.∵b⊥β ,c ? β ,∴b⊥c. 在平面 ? 内,b⊥c,b⊥a′,∴a′∥c.∴a∥a′∥c.又∵a⊥α ,∴c⊥α ,c ? β ,∴β ⊥α 524. 在三棱锥 S—ABC 中,∠ASB=∠BSC=60°,∠ASC=90°,且 SA=SB=SC,求证:平面 ASC⊥平面 ABC. 证明 取 AC 的中点 O,连 SO、BO,由已知,得Δ SAB、Δ SBC 都是正三角形.∴BC=AB=a,SA=SC=a,又 SO⊥AC,BO⊥ AC,∴∠SOB 就是二面角 S—AC—B 的平面角.又∵SA=AB=a,SC=BC=a,AC=AC,∴Δ ACS≌Δ ACB. ∴SO=BO=

2 a. 2

在Δ SOB 中,∵SB=a,∴∠SOB=90°. 即平面 SAC⊥平面 ABC. 另证: S 作 SO⊥平面 ABC,垂足是 O.∵SA=SB=SC,∴S 在平面内的射影是Δ ABC 的外心,同前面的证明,可知Δ ABC 过 是直角三角形,∴O 在斜边 AC 上. 又∵平面 SAC 经过 SO,∴平面 SAC⊥平面 ABC 说明 证明“面面垂直”的常用方法是根据定义证明平面角是 90°,或利用判定定理证明一个平面经过另一个平面的 垂线.

525. 小.

如图,四面体 ABCD 的棱 BD 长为 2,其余各棱的长均是 2 ,求:二面角 A—BD—C、A—BC—D、B—AC—D 的大

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解析:(1)取 BD 的中点 O,连 AO、OC. 在Δ ABD 中,∵AB=AD= 2 ,BD=2, ∴Δ ABD 是等腰直角三角形,AO⊥BD,同理 OC⊥BD. ∴∠AOC 是二面角 A—BD—C 的平面角 又 AO=OC=1,AC= 2 , ∴∠AOC=90°. 即二面角 A—BD—C 为直二面角. (2)∵二面角 A—BD—C 是直二面角,AO⊥BD,∴AO⊥平面 BCD. ∴Δ ABC 在平面 BCD 内的射影是Δ BOC. ∵SΔ OCB=

1 3 3 ,SΔ ABC= ,∴cosθ = . 2 2 3

即二面角 A—BC—D 的大小是 arccos

3 . 3

(3)取 AC 的中点 E,连 BE、DE. ∵AB=BC,AD=DC, ∴BD⊥AC,DE⊥AC,∴∠BED 就是二面角的平面角. 在Δ BDE 中,BE=DE=

1 6 ,由余弦定理,得 cosα =3 2 1 . 3

∴二面角 B—AC—D 的大小是π -arccos

评析 本例提供了求二面角大小的方法:先作出二面角的平面角,再利用其所在的三角形算出角的三角函数值,或利 用面积的射影公式 S′=S·cosθ 求得. 526. 如图所示,在三棱锥 S—ABC 中,SA⊥底面 ABC,AB⊥BC,DE 垂直平分 SC,且分别交 AC、SC 于 D、E.又 SA=AB, SB=SC.求以 BD 为棱,以 BDE 与 BDC 为面的二面角的度数.

解法一:由于 SB=BC,且 E 是 SC 中点,因此 BE 是等腰三角形 SBC 的底边 SC 的中线,所以 SC⊥BE.又已知 SC⊥DE,BE ∩DE=E,
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∴SC⊥平面 BDE, ∴SC⊥BD, 又∵SA⊥底面 ABC,BD 在底面 ABC 上, ∴SA⊥BD. 而 SA∩SC=S, 所以 BD⊥平面 SAC. ∵DE=平面 SAC∩平面 BDE,DC=平面 SAC∩平面 BDC, ∴BD⊥DE,BD⊥DC. ∴∠EDC 是所求二面角的平面角. ∵SA⊥底面 ABC, ∴SA⊥AB,SA⊥AC. 设 SA=a,则 AB=a,BC=SB= 2 a. 又 AB⊥BC,所以 AC= 3 a.在 RtΔ SAC 中 tg∠ACS=

SA 1 = ,所以∠ACS=30°. AC 3

又已知 DE⊥SC,所以∠EDC=60°,即所求的二面角等于 60°. 解法二:由于 SB=BC,且 E 是 SC 的中点,因此 BE 是等腰Δ SBC 的底边 SC 的中线,所以 SC⊥BE.又已知 SC⊥DE,BE∩ DE=E. ∴SC⊥平面 BDE,SC⊥BD. 由于 SA⊥底面 ABC,且 A 是垂足,所以,AC 是 SC 在平面 ABC 上的射影,由三垂线定理的逆定理得 BD⊥AC;又 E∈SC, AC 是 SC 在平面内的射影,所以 E 在平面 ABC 内的射影在 AC 上,由于 D∈AC,所以 DE 在平面 ABC 内的射影在 AC 上, 根据三垂线定理得 BD⊥DE. ∵DE ? 平面 BDE,DC ? 平面 BDC. ∴∠EDC 是所求二面角的平面角. 以下解法同解法一. 527. 在直三棱柱 ABC—A′B′C′中,∠BAC=90°,AB=BB′=1,直线 B′C 与平面 ABC 成 30°的角.(如图所示) (1)求点 C′到平面 AB′C 的距离; (2)求二面角 B-B′C—A 的余弦值.

解析:(1)∵ABC—A′B′C′是直三棱柱,∴A′C′∥AC,AC ? 平面 AB′C,∴A′C′∥平面 AB′C,于是 C′到平面 AB′C 的距离等于点 A′到平面 AB′C 的距离,作 A′M⊥AB′于 M.由 AC⊥平面 AB′A′得平面 AB′C⊥平面 AB′A′, ∴A′M⊥平面 AB′C,A′M 的长是 A′到平面 AB′C 的距离. ∵AB=B′B=1,⊥B′CB=30°,∴B′C=2,BC= 3 ,AB′= 2 ,A′M=

A?B? ? A?A 2 = . A?A 2

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即 C′到平面 AB′C 的距离为

2 ; 2

(2)作 AN⊥BC 于 N,则 AN⊥平面 B′BCC′,作 NQ⊥B′C 于 Q,则 AQ⊥B′C,∴∠AQN 是所求二面角的平面角,AN=

AB ? AC AC ? AB ? AN 6 6 3 = ,AQ= =1.∴sin∠AQN= = ,cos∠AQN= . B?C BC AQ 3 3 3
说明 利用异面直线上两点间的距离公式,也可以求二面角的大小,如图,AB=BB′=1,∴AB′= 2 ,又∠B′CB

=30°, ∴BC= 3 ,B′C=2,AC= 2 .作 AM⊥B′C 于 M,BN⊥B′C 于 N,则 AM=1,BN=

3 , 2

CN=

3 1 ,CM=1,∴MN= .∵BN⊥B′C,AM⊥B′C,∴BN 与 AM 所成的角等于二面角 B—B′C—A 的平面角.设为θ .由 2 2
2 2 2

AB =AM +BN +MN -2AM×BN×cosθ 得 cosθ =

2

1 3 = . 3 3

528. 如图所示,四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的菱形,∠A=60°,PC⊥平面 ABCD,PC=a,E 是 PA 的中点. (1)求证平面 BDE⊥平面 ABCD. (2)求点 E 到平面 PBC 的距离. (3)求二面角 A—EB—D 的平面角大小.

解析:(1)设 O 是 AC,BD 的交点,连结 EO. ∵ABCD 是菱形,∴O 是 AC、BD 的中点, ∵E 是 PA 的中点,∴EO∥PC,又 PC⊥平面 ABCD, ∴EO⊥平面 ABCD,EO ? 平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 ABCD. (2)EO∥PC,PC ? 平面 PBC, ∴EO∥平面 PBC,于是点 O 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离.作 OF⊥BC 于 F, ∵EO⊥平面 ABCD,EO∥PC,PC ? 平面 PBC,∴平面 PBC⊥平面 ABCD,于是 OF⊥平面 PBC,OF 的长等于 O 到平面 PBC 的 距离.

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由条件可知,OB=

a a 3 3 3 ,OF= × = a,则点 E 到平面 PBC 的距离为 a. 2 2 2 4 4

(3)过 O 作 OG⊥EB 于 G,连接 AG ∵OE⊥AC,BD⊥AC ∴AC⊥平面 BDE ∴AG⊥EB(三垂线定理) ∴∠AGO 是二面角 A—EB—D 的平面角 ∵OE=

1 1 3 PC= a,OB= a 2 2 2

∴EB=a.

∴OG=

OE ? OB 1 3 = a 又 AO= a. EB 2 4 AO 2 3 = OG 3

∴tan∠AGO=

∴∠AGO=arctan

2 3 . 3

评析 本题考查了面面垂直判定与性质,以及利用其性质求点到面距离,及二面角的求法,三垂线定理及逆定理的应 用. 说明 处理翻折问题,只要过不在棱上的点作棱的垂直相交的线段,就可以化成基本题 529. 已知 a、b 是异面直线,a ? α ,a∥β ,b ? β ,b∥α ,求证α ∥β . 解析: 证明两个平面平行通常利用判定定理来证.

证明

如图,过 a 作任一平面 ? 和平面β 交于 a′,

∵a∥β ∴a∥a′. 又 a′ ? β ,a′ ? α ∴a′∥α 且 a′与 b 相交, ∵b ? β ,b∥α . ∴α ∥β . 另证设 c 是异面直线 a、b 的公垂线,则过 a、c 可以确定一个平面 ? ,设γ ∩β =a′∵a∥β ,∴a′∥a, ∵c⊥a,∴c⊥a′又∵c⊥b,a′,b 相交,∴c⊥β 同理可证:c⊥α ,∴α ∥β 530. 已知:平面α ∥平面β ,且 a ? α ,b ? 平面β ,a,b 为两条异面直线. 求证:异面直线 a、b 间的距离等于平面α ,β 之间的距离.

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证:设 AB 是异面直线 a、b 的公垂线段,如图过点 B,作直线 a′,使 a′∥a. ∵α ∥β ,a ? β , ∴a∥β ,∴a′ ? β . ∵AB⊥a,∴AB⊥a′ 又 AB⊥b,且 a′∩b=B. ∴AB⊥β ∵α ∥β ,∴AB⊥α ∴AB 的长是平行平面α ,β 间的距离. 说明 求两异面直线间的距离有时可能转化为求两平行平面间的距离. 531. 如果一条直线和两个平面中的一个相交,那么它和另一个平面也相交. 已知:α ∥β ,l∩α =A. 求证:l 与β 相交.

证明:∵α ∥β ,l∩α =A ∴A β . 假设 l 与β 不相交,则 l∥β 在平面β 内任取一点 D,则 D l. ∴点 D、l 确定平面 PBD,如图 ∵α 与平面 PBD 相交于过 A 的一条直线 AC, β 与平面 PBD 相交于过点 D 的一条直线 BD. 又α ∥β ∴AC 与 BD 无公共点. ∵AC 和 BD 都在平面 PBD 内, ∴AC∥BD. 由 l∥β 可知 l∥BD. ∴AC∥l 且 l 与 AC 相交于 A. ∴AC 与 l 重合,又 AC 在平面α 内. ∴l 在α 内与 l∩α =A 矛盾. ∴假设不成立, ∴l 与β 必相交. 532. 如图,正四棱锥 S—ABCD 的底面边长为 a,侧棱长为 2a,点 P、Q 分别在 BD 和 SC 上,并且 BP∶PD=1∶2,PQ ∥平面 SAD,求线段 PQ 的长. 解析: 要求出 PQ 的长,一般设法构造三角形,使 PQ 为其一边,然后通过解三角形的办法去处理.
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作 PM∥AD 交 CD 于 M 连 QM,∵PM∥平面 SAD,PQ∥平面 SAD. ∴平面 PQM∥平面 SAD,而平面 SCD 分别与此两平行平面相交于 QM,SD. ∴QM∥SD. ∵BC=a,SD=2a.

BP 1 = . PD 2 PD 2 2 MP ∴ = = ,MP= a, BD 3 3 BC BP 1 MQ MC = = = . BD 3 SD CD 1 2 ∴MQ= SD= a,又∠PMQ=∠ADS. 3 3 1 a 1 ∴cos∠PMQ=cos∠ADS= 2 = . 2a 4
∴ 在Δ PMQ 中由余弦定理得 PQ =(
2

2 2 2 2 2 2 1 6 2 a) +( a) -2· a· a· = a . 3 3 3 3 4 9

∴PQ=

6 a. 3

评析:本题的关键是运用面面平行的判定和性质,结合平行线截比例线段定理,最后由余弦定理求得结果,综合性较 强. 533. 已知:如图,α ∥β ,异面直线 AB、CD 和平面α 、β 分别交于 A、B、C、D 四点,E、F、G、H 分别是 AB、BC、 CD、DA 的中点,求证:(1)E、F、G、H 共面;(2)面 EFGH∥平面α .

证明

(1)∵E、H 分别是 AB、DA 的中点,∴EH∥

1 1 BD.同理 FG∥ BD.∴FG∥EH.∴四边形 EFGH 是平行四边形,即 E、 2 2
AD′∥BD.又∵BD∥EH,∴

F、H、G 共面. (2)平面 ABD 和平面α 有一个公共点 A,设两平面交于过点 A 的直线 AD′∴α ∥β ,∴ EH∥BD∥AD′.∴EH∥平面α ,EH∥平面β ,同理 FG∥平面α ,FG∥平面β .
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∴平面 EFHG∥平面α ∥平面β . 534. 点 A 为异面直线 a、b 外一点,过 A 与 a、b 都平行的平面( ) A.只有一个 B.只有两个 C.至多有一个 D.有无数个 解析:本题考查线线位置关系,线面位置关系,平面基本性质,以及空间想象能力 解法一:过点 A 作 a′∥a,b′∥b,根据公理 3,a′与 b′确定一个平面为α ,则异面直线 a 与 b 至多有一条在α 内, 当 a、b 都不在α 内时,过 A 与 a、b 都平行的平面恰有一个,即α ;当 a、b 中有一条在α 内时,过 A 与 a、b 都平行 的平面不存在,故选 C. 解法二:过异面直线 a、b 分别作平面α 、β 使α ∥β ,若点 A 在α 或β 上,则过 A 与 a、b 都平行的平面不存在;若 点 A 在α 外且在β 上,则过 A 恰有一个平面平行于α 、β ,则过点 A 与 a、b 都平行的平面恰有一个. 535. 有四个命题 (1)一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面平行 (2)一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线平行 (3)平行于同一平面的两条直线平行 (4)如果直线 a∥平面α ,a ? 平面β ,且α ∩β =b,则 a∥b. 其中假命题共有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:此题考查线线位置关系和线面位置关系,以及空间想象能力.一条直线和另一条直线平行,它可能在经过另一条 直线的平面内,故(1)是假命题.一条直线和另一个平面平行,它与这个平面的直线可能平行,也可能异面,故(2)也是 假命题,又平行于同一平面的两条直线,也可能平行,也可能异面或相交,故(3)也是假命题,而命题(4)是真命题, 也是线面平行的性质定理.故选 C。 536. 已知直线 a、 c, b、 平面α ∩平面β =a,b ? α , ? β , b 与 c 无公共点, b 与 c 不平行的充要条件是( c 且 则 ) A.b、c 都与α 相交 B.b、c 中只有一条与α 相交 C.b、c 中至多一条与α 相交 D.b、c 中至少有一条与α 相交 解析:本题考查直线与直线的位置关系,直线与平面的位置关系,充要条件,以及空间想象能力和等价转化能力. 解法一:若直线 b 与 c 不平行,又由 b 与 c 无公共点,则 b 与 c 必定异面,根据异面直线的定义和线面位置关系可知 或者 b 与 c 都与 a 相交,或者 b、c 中有一条与 a 相交,另一条与 a 平行,即 b、c 中至少有一条与α 相交,即 D 成立; 反之,当 D 成立时,不难证明 b 与 c 必不平行,所以应选 D. 解法二:由题设及异面直线的定义可知,若 b、c 都与 a 相交能推出 b 与 c 异面,即 b 与 c 不平行;反过来,b 与 c 不 平行不一定推出 b、c 都与 a 相交,即 A 是充分非必要条件,而不是充要条件,同理,B 也是充分非必要条件,而非充 要条件,又由 b、c 中至多有一条与 a 相交,包含 b、c 中有一条与 a 相交和 b、c 都不与 a 相交两种情形,而对于后者, 即 b∥a 且 c∥a,则 b∥c.故 c 既非充分又非必要条件,综上所述,排除 A、B、C 三个选择项,从而选择 D. 537. 已知 A,B∈平面α ,C,D∈平面β ,α ∥β ,AB=13,BD=15,AC、BD 在平面α 上的射影长之和是 14,求 AC、 BD 在平面α 上的射影长,以及平面α 、β 的距离. 解 如图,设α 、β 的距离是 h,则 AC 在α 内的射影长是 132 ? h 2 ,BD 在α 内的射影长是 152 ? h 2 .

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根据题意, 132 ? h 2 + 152 ? h 2 =14. 解这个方程,h=12. ∴

132 ? h 2 =5,

152 ? h2 =9.

故 AC、BD 在平面α 上的射影长分别是 5 和 9,平面α 、β 的距离是 12. 点评 平行平面间距离通常转化为点面距离或线面距离最终转化为点面距离. 538. 如图,已知线段 PQ、PD、QF 分别和平行平面α 、β 交于 A、B、C、D、E、F,若 AP=BQ,求证:SΔ ACF=SΔ BDE.

解析: 由已知得 AC∥BD, EB∥AF, ∠CAF=∠EBD, AC∶BD=PA∶PB=QB∶QA=EB∶AF, 又 ∴AC· sin∠CAF=BE· sin AF· BD· ∠DBE.∴SΔ ACF=SΔ BDE. 539. 如图,在三棱锥 S—ABC 中,A1、B1、C1 分别是Δ SBC、Δ SCA、Δ SAB 的重心,(1)求证:平面 A1B1C1∥平面 ABC; (2)求三棱锥 S—A1B1C1 与 S—ABC 体积之比.

解析:本题显然应由三角形重心的性质,结合成比例线段的关系推导出“线线平行”再到“线面平行”到“面面平行” , 至于体积的比的计算只要能求出相似三角形面积的比和对应高的比就可以了. 证:(1):∵ A1、B1、C1 是Δ SBC、Δ SCA、Δ SAB 的重心,连 SA1、SC1 并延长交 BC、AB 于 N、M,则 N、M 必是 BC 和 AB 的中点.连 MN ∵

SC1 SA1 2 = = , SN 3 SM

∴A1C1∥MN. ∵MN ? 平面 ABC, ∴A1C1∥平面 ABC. 同理可证 A1B1∥平面 ABC. ∴ 平面 A1B1C1∥平面 ABC. (2)由(1) ∴A1C1∥

A1C1 2 1 = ,MN∥ AC, 3 MN 2

1 AC. 3 1 AB, 3
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同理可证:A1B1∥

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B1C1∥

1 BC. 3 1 SΔ ABC. 9 h1 SA1 2 2 = = ,∴h1= h. 3 3 h SN

∴ Δ A1B1C1≌Δ ABC, S △A1B1C1 =

设三棱锥 S—ABC 的高为 h,S—A1B1C1 的高为 h1 则有:



VS ? A1B1C1 VS ? ABC

1 2 ? S △ ABC ? h 3 = 2 . =3 1 1 27 ? S △ ABC ? h 3 9

评析:要掌握线面平行的相互转化的思想方法外,还要有扎实的相似形和线段成比例的基础. 540. 如图,已知正方体 ABCD—A1B1C1D1,求证:(1)平面 AB1D1∥平面 C1BD;(2)对角线 A1C 被平面 AB1D1 和平面 C1BD 三等 分. 解析:本题若根据“一个平面内两条相交的直线分别与另一平面内两条相交的直线平行,则两平面平行”是很容易解 决论证平面 AB1D1∥平面 C1BD 的,但兼顾考虑(2)的论证,(1)我们还是采用“两平面垂直于同一直线则两平面平行”的 判定的方法. 证:(1)连 AC,∵BD⊥AC,AC 是 A1C 在底面上的射影,由三条垂线定理得 A1C⊥BD,同理可证 A1C⊥BC1.

∴A1C⊥平面 C1BD,同理也能证得 A1C⊥平面 AB1D1. ∴平面 AB1D1∥平面 C1BD. (2)设 A1 到平面 AB1D1 的距离为 h,正方体的棱长为 a,则有:

1 1 1 2 3 2 h· ( 2 a) = a· a. 3 3 2 4

∴h=

3 3 a.同理 C 到平面 C1BD 的距离也为 a,而 A1C= 3 a.故 A1C 被两平行平面三等分. 3 3

评析:论证 A1C 被两平行平面三等分,关键是求 A1 到平面 AB1D1 的距离,C 到平面 C1BD 的距离,这里用三棱锥体积的代 换,若不用体积代换,则可以在平面 A1ACC1 中去考虑: 连 A1C1, A1C1∩B1D1=O1, 设 AC∩BD=0, 如图连 AO1, 1O, 1, AC1∩A1C=K.A1C∩AO1=M, 1O∩A1C=N.可证 M 为Δ A1AC1 C AC 设 C 的重心,N 为Δ ACC1 的重心,则可推知 MN=NC=A1M. 另外值得说明的是:A1C 是面 AB1D1 和面 BC1D 的公垂线. 异面直线 AD1 和 C1D 的距离也等于 MN.
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541.

如图,已知直线 a∥平面α ;求证:过 a 有且只有一个平面平行于α .

证明

(1)存在性:设过 a 的平面 ? 与α 交于 a′,∵a∥α ,∴a∥a′.在α 上,设直线 b′∩a′=A′,在 a 上取点 A,

A 与 b′确定平面δ ,在δ 上过 A 作 b∥b′.则 a、b 是相交直线(若重合,则显然 b′∥a′,矛盾).∴a,b 确定平面β , 则β ∥α . (2)唯一性:设过 a 还有一个平面π ∥α ,∵π 与δ 有公共点 A,∴π 与δ 相交于过 A 的直线 b″,又π ∥a,δ ∩b′, ∴b″∥b′,∴b″∥b,而 b″与 b 都过点 A,故重合,故π 与β 重合. 542.经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行. 已知:A α ,A∈β ,β ∥α 求证:β 是唯一的. 证:设 l 过 A 点,且 l⊥α ,这样的直线是唯一的. 又β ∥α ,则β ⊥l,过点 A 与α 平面的平面一定和 l 垂直. ∵过点 A 和直线 l 垂直的平面是唯一的. ∴过点 A 和α 平行的平面是唯一的. 543.一条直线和两个平行平面相交,求证:它和两个平面所成的角相等. 已知:α ∥β ,直线 a 分别与α 和β 相交于点 A 和 A′. 求证:a 与α 所成的角与 a 与β 所成的角相等. 解析:(1)当 a⊥α 时,∵α ∥β ,∴α ⊥β . 即 a 与α 所成的角与 a 与β 所成的角都是直角. (2)当 a 是α 的斜线时,如图,设 P 是 a 上不同于 A、A′的任意一点,过点 P 引 a′⊥α , a′∩α =B,a′∩β =B′.

连结 AB 和 A′B′. ∵a∥β ,a′⊥α . ∴α ′⊥β 由此可知,∠PAB 是 a 和α 所成的角,∠P′A′B 是 a 和β 所成的角,而 AB∥A′B′. ∴∠PAB=∠PA′B′ 即 a 和α 所成的角等于 a 和β 所成的角. 544.a 和 b 是两条异面直线,求证:过 a 且平行 b 的平面必平行于过 b 且平行于 a 的平面. 已知:a,b 是异面直线,a ? α ,b ? β ,a∥β ,b∥α . 求证:α ∥β .

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证:过 b 作平面 ? 与平面α 交于 b′

545.如图,直线 AC、DF 被三个平行平面α 、β 、 ? 所截. 求证:

AB DE = BC EF

证:(i)当 AC,DF 共面 S 时,

连 AD,BE,CF 则 AD∥BE∥CF 从而

AB DE = BC EF

(ii)当 AC、DE 异面时,连 CD 设 CD∩β =G 连 AD、BG、GE、CF,如图 ∵α ∥β ,平面 ACD∩β =BG,平面 ACD∩α =AD. ∴BG∥AD ∴

AB DG = BC GC DE DG = EF GC

同理可证:EG∥CF,∴ ∴

AB DE = BC EF AB DE = . BC EF

综合(i)(ii)知:

546. 设直线 a 在平面α 内,则“平面α ∥平面β ”是“直线 a∥平面β ”的( A.充分但不必要 B.必要但不充分 C.充分且必要 D.不充分也不必要 解析:若α ∥β ,∵a ? α ,∴a 与β 无公共点,∴a∥β .
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)条件

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若 a∥β ,a ? α ,则α ,β 的关系不能确定,所以应选 A. 547. 设 a、b 是两条异面直线,那么下列四个命题中的假命题是( ) A.经过直线 a 有且只有一个平面平行于直线 b B.经过直线 a 有且只有一个平面垂直于直线 b C.存在分别经过直线 a 和 b 的两个互相平行的平面 D.存在分别经过直线 a 和 b 的两个互相垂直的平面 解析:A、C、D 均为真命题,B 为假命题;∵若过 a 的平面α ⊥b,则 b 垂直α 内的直线 a,从而 a⊥b,那么限制 a,b 必 须垂直,而条件中没有指明 a、b 是否垂直. 548. α 和β 是两个不重合的平面,在下列条件中可以判定平面α ∥β 的是( A.α 、β 都垂直于平面 ? )

B.α 内不共线的三点到β 的距离相等 C.l、m 是α 内的直线,且 l∥β ,m∥β D.l、m 是两条异面直线,且 l∥α ,l∥β ,m∥α ,m∥β 解析:显然 B、C 不能推出α ∥β ,有α 、β 相交的情况存在,对于 A、D,学了“面面垂直”后,就可以说明 A 不能推 出α ∥β ,α 、β 有相交的可能,从而选 D. 事实上,l∥α ,m∥α ,在α 内任取一点 A,过 A 作 l′∥l,m′∥m,因为 l,m 异面,所以 l′,m′相交,则可推出 l′ ∥β ,m′∥β .由面面平行的判定定理可推出α ∥β . 549. 已知矩形 ABCD,过 A 作 SA⊥平面 AC,再过 A 作 AE⊥SB 交 SB 于 E,过 E 作 EF⊥SC 交 SC 于 F (1)求证:AF⊥SC (2)若平面 AEF 交 SD 于 G,求证:AG⊥SD 解析:如图,欲证 AF⊥SC,只需证 SC 垂直于 AF 所在平面,即 SC⊥平面 AEF, 由已知, 欲 证 SC⊥平面 AEF,只需证 AE 垂直于 SC 所在平面,即 AE⊥平面 ABC,再由已知 只需证 AE ⊥BC,而要证 AE⊥BC,只需证 BC⊥平面 SAB,而这可由已知得证 证明 (1)∵SA⊥平面 AC,BC ? 平面 AC,∴SA⊥BC ∵矩形 ABCD,∴AB⊥BC ∴BC⊥平面 SAB ∴BC⊥AE 又 SB⊥AE ∴AE⊥平面 SBC ∴SC⊥平面 AEF ∴AF⊥SC (2)∵SA⊥平面 AC ∴SA⊥DC,又 AD⊥DC ∴DC⊥平面 SAD ∴DC⊥ AG 又由(1)有 SC⊥平面 AEF,AG ? 平面 AEF ∴SC⊥AG ∴AG⊥平面 SDC ∴AG⊥SD 550. 三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面三条对角线 AB1、BC1、CA1 中,AB1⊥BC1. 求证:AB1⊥CA1. 证 方法 1 如图,延长 B1C1 到 D,使 C1D=B1C1.连 CD、A1D.因 AB1⊥BC1, 故 AB1⊥CD;又 B1C1=A1C1=C1D, 故∠B1A1D=90°, 于是 DA1⊥平面 AA1B1B.故 AB1⊥平面 A1CD, 因此 AB1⊥A1C. 方法 2 如图,取 A1B1、AB 的中点 D1、P.连 CP、C1D1、A1P、D1B,易证 C1D1 ⊥平面 AA1B1B.由 三垂线定理可得 AB1⊥BD1,从而 AB1⊥A1D.再由三垂线定理的逆定理即得 AB1⊥A1C. 说明 证明本题的关键是作辅助面和辅助线,证明线面垂直常采用下列方法: (1)利用线面垂直的定义;(2)证明直线垂直于平面内的两条相交直线; (3)证明直线平行于平面的垂线;(4)证明直线垂直于与这平面平行的另一平面. 551. 已知:正三棱柱 ABC—A′B′C′中,AB′⊥BC′,BC=2,求:线段 AB′在侧面 BB ' C ' C 上的射影长. 解析:如图,取 BC 的中点 D.∵AD⊥BC,侧面 BCC ' B ' ⊥底面 ABC,∴AD⊥侧面 BCC ' B ' B' D 是斜线 AB′在侧面的射影.又∵AB′⊥BC′,∴ B' D ⊥BC′. 设 BB′=x,在 RtΔ B' BD 中,BE∶BD= BB ' , B' D = 1 ? x 2 .

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∵E 是Δ BB′C 的重心.∴BE= ∴x=

1 1 BC′= 3 3

4 ? x2

1 1 ? x 2 · x 2 ? 4 ,解得:x= 2 .∴线段 AB′在侧面的射影长为 2 . 3

552.Δ ABC 在平面α 内的射影是Δ A′B′C′,它们的面积分别是 S、S′,若Δ ABC 所在平面与平面α 所成二面角的大 小为θ (0<θ <90°=,则 S′=S·cosθ . 证法一 如图(1),当 BC 在平面α 内,过 A′作 A′D⊥BC,垂足为 D.

∵AA′⊥平面α ,AD 在平面α 内的射影 A′D 垂直 BC. ∴AD⊥BC.∴∠ADA′=θ .又 S′=

1 1 A?D A′D·BC,S= AD·BC,cosθ = ,∴S′=S·cosθ . AD 2 2

证法二 如图(2),当 B、C 两点均不在平面α 内或只有一点(如 C)在平面α 内,可运用(1)的结论证明 S′=S·cosθ . 553. 求证:端点分别在两条异面直线 a 和 b 上的动线段 AB 的中点共面. 证明 如图,设异面直线 a、b 的公垂线段是 PQ,PQ 的中点是 M,过 M 作平面α ,使 PQ ⊥平面α , 且和 AB 交于 R,连结 AQ,交平面α 于 N.连结 MN、NR.∵PQ⊥平面α ,MN ? α ,∴PQ⊥ MN.在平面 APQ 内,PQ⊥a,PQ⊥MN,∴MN∥a,a∥α ,又∵PM=MQ,∴AN=NQ,同理可证 NR∥b,RA =RB. 即动线段的中点在经过中垂线段中点且和中垂线垂直的平面内. 554. 如图,已知直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1, AA1= 6 , 只要能证

M 是 CC1 的中点,求证:AB1⊥A1M. 解析:不难看出 B1C1⊥平面 AA1C1C, 1 是 AB1 在平面 AA1C1C 上的射影.欲证 A1M⊥AB1, AC A1M⊥AC1 就可以了. 证:连 AC1,在直角Δ ABC 中,BC=1,∠BAC=30°,∴ AC=A1C1= 3 . 设∠AC1A1=α ,∠MA1C1=β ∴ tanα =

AA1 6 = = 2, A1C1 3
1?1 2 2? 2

6 MC1 1 ? tan? tan ? 2 tgβ = = 2 = .∵cot(α +β )= = tan? ? tan ? 2 A1C1 3

=0,

∴α +β =90° 即 AC1⊥A1M. ∵B1C1⊥C1A1,CC1⊥B1C1,∴B1C1⊥平面 AA1CC1, AC1 是 AB1 在平面 AA1C1C 上的射影. ∵AC1⊥A1M,∴由三垂线定理得 A1M⊥AB1. 评注:本题在证 AC1⊥A1M 时,主要是利用三角函数,证α +β =90°,与常见的其他题目不太相同. 555. 矩形 ABCD,AB=2,AD=3,沿 BD 把Δ BCD 折起,使 C 点在平面 ABD 上的射影恰好落在 AD 上. (1)求证:CD⊥AB; (2)求 CD 与平面 ABD 所成角的余弦值.

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(1)证明 如图所示,∵CM⊥面 ABD,AD⊥AB, ∴CD⊥AB (2)解:∵CM⊥面 ABD ∴∠CDM 为 CD 与平面 ABD 所成的角, cos∠CDM=

DM CD

作 CN⊥BD 于 N,连接 MN,则 MN⊥BD.在折叠前的矩形 ABCD 图上可得 DM∶CD=CD∶CA=AB∶AD=2∶3. ∴CD 与平面 ABD 所成角的余弦值为

2 3

556. 空间四边形 PABC 中,PA、PB、PC 两两相互垂直,∠PBA=45°,∠PBC=60°,M 为 AB 的中点.(1)求 BC 与平面 PAB 所成的角;(2)求证:AB⊥平面 PMC.

解析:此题数据特殊,先考虑数据关系及计算、发现解题思路. 解 ∵ PA⊥AB,∴∠APB=90° 在 RtΔ APB 中,∵∠ABP=45°,设 PA=a, 则 PB=a,AB= 2 a,∵PB⊥PC,在 RtΔ PBC 中, ∵∠PBC=60°,PB=a.∴BC=2a,PC= 3 a. ∵AP⊥PC ∴在 RtΔ APC 中,AC= PA2 ? PC2 = a ? ( 3a ) =2a
2 2

(1)∵PC⊥PA,PC⊥PB,∴PC⊥平面 PAB, ∴BC 在平面 PBC 上的射影是 BP. ∠CBP 是 CB 与平面 PAB 所成的角 ∵∠PBC=60°,∴BC 与平面 PBA 的角为 60°. (2)由上知,PA=PB=a,AC=BC=2a. ∴M 为 AB 的中点,则 AB⊥PM,AB⊥CM. ∴AB⊥平面 PCM. 说明 要清楚线面的垂直关系,线面角的定义,通过数据特点,发现解题捷径. 557. 在空间四边形 ABCP 中,PA⊥PC,PB⊥BC,AC⊥BC.PA、PB 与平面 ABC 所成角分别为 30°和 45°。(1)直线 PC 与 AB 能否垂直?证明你的结论;(2)若点 P 到平面 ABC 的距离为 h,求点 P 到直线 AB 的距离. 解析:主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系的综合应用及线面角,点面间距离等概念应用,空间想象力及推 理能力.
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解 (1)AB 与 PC 不能垂直,证明如下:假设 PC⊥AB,作 PH⊥平面 ABC 于 H,则 HC 是 PC 在平面 ABC 的射影,∴HC⊥AB, ∵PA、PB 在平面 ABC 的射影分别为 HB、HA,PB⊥BC,PA⊥PC. ∴BH⊥BC,AH⊥AC ∵AC⊥BC,∴平行四边形 ACBH 为矩形. ∵HC⊥AB,∴ACBH 为正方形. ∴HB=HA ∵PH⊥平面 ACBH.∴Δ PHB≌Δ PHA. ∴∠PBH=∠PAH,且 PB,PA 与平面 ABC 所成角分别为∠PBH,∠PAH.由已知∠PBH=45°,∠PAH=30°,与∠PBH=∠ PAH 矛盾. ∴PC 不垂直于 AB. (2)由已知有 PH=h,∴∠PBH=45° ∴BH=PH=h.∵∠PAH=30°,∴HA= 3 h. ∴矩形 ACBH 中,AB= BH 2 ? HA2 = h ? ( 3h) =2h.
2 2

作 HE⊥AB 于 E,∴HE=

HB ? HA h ? 3h 3 = = h. AB 2 2h

∵PH⊥平面 ACBH,HE⊥AB, 由三垂线定理有 PE⊥AB,∴PE 是点 P 到 AB 的距离. 在 RtΔ PHE 中,PE= PH 2 ? HE 2 = h 2 ? (

7 3 2 h. h) = 2 2

即点 P 到 AB 距离为

7 h. 2

评析:此题属开放型命题,处理此类问题的方法是先假设结论成立,然后“执果索因” ,作推理分析,导出矛盾的就否 定结论(反证法),导不出矛盾的,就说明与条件相容,可采用演绎法进行推理,此题(1)属于反证法.

558.

如图,在棱长为 a 的正方体 AC1 中,M 是 CC1 的中点,点 E 在 AD 上,且 AE=

1 1 AD,F 在 AB 上,且 AF= AB,求 3 3

点 B 到平面 MEF 的距离.

解法一:设 AC 与 BD 交于 O 点,EF 与 AC 交于 R 点,由于 EF∥BD 所以将 B 点到面 MEF 的距离转化为 O 点到面 MEF 的距
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离,面 MRC⊥面 MEF,而 MR 是交线,所以作 OH⊥MR,即 OH⊥面 MEF,OH 即为所求. ∵OH·MR=OR·MC, ∴OH=

118a . 59

解法二:考察三棱锥 B—MEF,由 VB-MEF=VM-BEF 可得 h. 点评 求点面的距离一般有三种方法: ①利用垂直面; ②转化为线面距离再用垂直面; ③当垂足位置不易确定时,可考虑利用体积法求距离. 559. 正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a,求 A1C1 和平面 AB1C 间的距离. 解法 1 如图所示,A1C1∥平面 AB1C,又平面 BB1DD1⊥平面 AB1C. 故若过 O1 作 O1E⊥OB1 于 E,则 OE1⊥平面 AB1C,O1E 为所求的距离 由 O1E·OB1=O1B1·OO1, 可得:O1E=

3a 3

解法 2:转化为求 C1 到平面 AB1C 的距离,也就是求三棱锥 C1—AB1C 的高 h. 由 V C1 ? AB1C =V A?B1CC1 ,可得 h=

3 a. 3

解法 3 因平面 AB1C∥平面 C1DA1,它们间的距离即为所求,连 BD1,分别交 B1O、DO1 与 F、G(图中未画出)。易证 BD1 垂 直于上述两个平面,故 FG 长即为所求,易求得 FG=

3a . 3

点评 (1)求线面距离的先决条件是线面平行,而求线面距离的常用方法是把它们转化为求点面之间的距离,有时也可 转化为求面面距离,从本题的解法也可悟出求异面直线之间的距离的思路.

560. 在Δ ABC 中,M、N 分别是 AB、AC 上的点,

AM AN 1 = = .沿 MN 把Δ AMN 到Δ A′MN 的位置,二面角 A′—MN MB NC 2

—B 为 60°,求证:平面 A′MN⊥平面 A′BC. 解析:作 AD⊥BC 于 D,设 AD∩MN=P,∠A′PD=60°,可证 A′P⊥平面 A′BC. 561. 四面体的四个顶点到平面 M 的距离之比为 1∶1∶1∶3,则平面 M 的个数应有多少个? 解 这样的平面应分 4 种情况讨论: 1 (1)4 个顶点都在平面 M 的同侧,则有 C4 ·1=4 个(平面); 1 (2)距离比为 3 的顶点与其他 3 个顶点不同侧,则有 C4 ·1=4 个(平面); 1 1 (3)距离比为 3 的顶点与其他 3 个顶点中的 1 个同侧,则有 C3 ·C4 ·1=12 个(平面)
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(4)距离比为 3 的顶点与其他 3 个顶点中的 2 个同侧,则有 C3 ·C4 ·1=12 个(平面); ∴ 一共应有 4+4+12+12=32 个(平面) 562. 斜四棱柱侧面最多可有几个面是矩形 A、 0个 B、1 个 C、2 个 解析:C。 只能相对的侧面均为矩形 563. 在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 解析:D。 如图,ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,则 P—ABCD 的四个侧面均为直角三角形 564. 正四棱柱的一个侧面面积为 S,则它的对角面面积是__________。 解析: 2S 设正棱柱底面边长为 a,高为 h,则 ah=S,对角面面积为 2ah ? 2S

2

1

D、3 个

565. 正 n 棱柱每相邻两个侧面所成二面角度数为__________。 n?2 n?2 解析: ? 1800 底面正多边形的每一个内角为某两个邻面所成二面角的平面角,正 n 边形内角度数为 ? 1800 n n 566. 正六棱柱的高为 5cm,最长对角线为 13cm,它的侧面积是__________。 2 2 2 2 解析: 180cm 设正六棱柱底面边长为 a,高为 h,则 h +(2a) =13 ,h=5,∴a=6,∴侧面积=6ah=180 567. 一个正棱锥的一个侧面与底面所成角是θ ,底面积 Q,则它的侧面积是________。 解析: Qsecθ 正棱锥的底面是侧面在底面上的射影,利用面积射影定理 0 568. 正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,A1B 与对角面 A1B1CD 所成角为 30 ,求证:此四棱柱为正方体。 解析:∵ A1B1⊥平面 B1C ∴ 平面 A1B1CD⊥平面 BC1,交线为 B1C 在平面 B1C 内作 BO⊥B1C,O 为垂足,连 A1O 则 BO⊥平面 A1B1CD ∴ ∠BA1O 为 BA1 与平面 A1B1CD 所成的角 0 ∴ ∠BA1O=30 设正四棱柱底面边长为 a,高为 h BB1 ? BC ah ? 则 A1 B ? a 2 ? h 2 , BO ? 2 B1C a ?h 2 ∵ sin∠BA1O= ∴
BO A1B

1 ah a2 ? h2 ? 2 a2 ? h2 2 2 ∴ a +h =2ah ∴ a=h ∴ 正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 为正方体

569. 四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形,A1B=A1D,求证: (1)对角面 AA1C1C⊥截面 A1BD; (2)对角面 D1DBB1 是 矩形 解析: (1)∵ABCD 是菱形,∴BD⊥AC 设 BD∩AC=0,又 A1B=A1D, ∴ BD⊥A1O ∵ A1O∩AC=O ∴ BD⊥平面 AA1C1C ∴ 平面 A1BD⊥对角面 AA1C1C (1) 由 (1) ,BD⊥平面 AC1 ∴ BD⊥AA1 又 DD1∥AA1 ∴ BD⊥DD1 570. 正四棱锥棱长均为 a, (1)求侧面与底面所成角α ; (2)若相邻两侧面所成角为β ,求证:β =2α 。
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解析:如图,正四棱锥 S—ABCD,SO、SF 分别为高、斜高,∠SFO 为二面角 S—AB—O 平面角,∠SFO=α ,在△SBC 中, 作 BE⊥SC,E 为垂足,连 DE ∵ △BCE≌△DCE ∴ DE⊥SC ∴∠BED 为侧面 B—SC—D 平面角,∠BED=β a a (1) OF ? , B F ? 2 2 3 2 a , SO ? S F2 ? O F2 ? a ∴ SF ? SB 2 ? BF 2 ? 2 2 ∴ sin ? ?
SO 6 ? SF 3 6 3

∴ ? ? arcsin (2)连 EO ∵ BE ? ∴ sin

3 2 a , OB ? a 2 2

? OB 6 ? ? 2 OE 3 ? ? ∵ ?, ? (0 , ) 2 2 ? ? ∴ 由 sin ? sin ? 得: ? ? 2 2 ∴ β =2α 2 571. 正三棱锥的侧棱等于 10cm,侧面积等于 144cm ,求棱锥的底面边长和斜高。 解析:设底面边长为 a,斜高为 h’ ? 2 a 2 2 ?h ' ? ( 2 ) ? 10 ? 则 ? ? 1 ? 3a ? h ' ? 12 2 ?2 ? ?a ? 12 ?a ? 16 ∴ ? 或? ?h ' ? 8 ?h ' ? 6

572. 斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面△ABC 中,AB=AC=10,BC=12,A1 到 A、B、C 三点的距离都相等,且 AA1=13,求斜三 棱柱的侧面积。 解析:∵A1A=A1B=A1C ∴ 点 A1 在平面 ABC 上的射影为△ABC 的外心,在∠BAC 平分线 AD 上 ∵ AB=AC ∴ AD⊥BC ∵ AD 为 A1A 在平面 ABC 上的射影 ∴ BC⊥AA1 ∴ BC⊥BB1 ∴ BB1C1C 为矩形,S=BB1×BC=156 取 AB 中点 E,连 A1E ∵ A1A=A1B ∴ A1E⊥AB
2 ∴ A1 E ? AA1 ? (

∴ SAA1C1C

AB 2 ) ? 12 2 ? SAA1B 1B ? 20

∴ S 侧=396 0 573. 四棱锥 V—ABCD 底面是边长为 4 的菱形,∠BAD=120 ,VA⊥底面 ABCD,VA=3,AC 与 BD 交于 O, (1)求点 V 到 CD 的距离; (2)求点 V 到 BD 的距离; (3)作 OF⊥VC,垂足为 F,证明 OF 是 BD 与 VC 的公垂线段; (4)求异面直线 BD 与
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VC 间的距离。 解析:用三垂线定理作点到线的垂线 在平面 ABCD 内作 AE⊥CD,E 为垂足 ∵ VA⊥平面 ABCD ∴ AE 为 VE 在平面 ABCD 上的射影 ∴ VE⊥CD ∴ 线段 VE 长为点 V 到直线 CD 的距离 0 ∵ ∠BAD=120 0 ∴ ∠ADC=60 ∴ △ACD 为正三角形 ∴ E 为 CD 中点,AE=
3 ?4?2 3 2

∴ VE= VA 2 ? AE2 ? 21 (2)∵ AO⊥BD ∴ 由三垂线定理 VO⊥BD ∴ VO 长度为 V 到直线 BD 距离 VO= VA 2 ? AO2 ? 13 (3)只需证 OF⊥BD ∵ BD⊥HC,BD⊥VA ∴ BD⊥平面 VAC ∴ BD⊥OF ∴ OF 为异面直线 BD 与 VC 的公垂线 (4)求出 OF 长度即可 在 Rt△VAC 中 1 OC= AC=2,VC= VA 2 ? AC2 ? 5 2 VA 3 6 ∴ OF=OC·sin∠ACF=OC· ? 2? ? VC 5 5 574. 空间四边形 DABC 中,P、Q 为边 CD 上两个不同的点,M、N 为 AB 上两个不同的点,连 PM、QN,如图,问图中共有 多少对异面直线? 解析:为使计算异面直线条数的过程中不出现重、漏的现象,可采用逐步添加的方法。 首先考 虑空间四边形 DABC 的四条边 DA、AB、BC、CD 连同对角线 AC、BD,这六条线段可形成三 对异面 直线 DA 与 BC,AB 与 CD,AC 与 BD。 其次添加线段 PM,则除去与 PM 相交的 CD、AB,又可新形成 4 对异面直线,即 PM 与 DA、 BC、AC、 BD。 因 QN 与 PM 位置等同,当添上 QN 时,也同样新增 4 对异面直线。 最后注意到,PM 与 QN 也是异面直线。 ∴ 图中共有 3+4+4+1=12(对)异面直线 575. 长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=a,BC=b,AA1=c,求异面直线 BD1 和 B1C 所成角的余弦值。 解析:显然,通过平移在长方体的表面及内部不可能构造出一个 BD1 和 B1C 所成的角,但同时又为了使构造出的角便于 计算,故可考虑补上一个与已知长方体相同的长方体 DCEF—D1C1E1F1。具体作法是:延长 A1D1,使 A1D1=D1F1,延长 B1C1
// // 至 E1,使 B1C1=C1E1,连 E1F1,分别过 E1、F1,作 E1E ?? C1C,F1F ?? D1D,连 EF,则长方体 C1D1F1E—CDFE 为所作长方体。 // ∵ BC ?? D1F1

∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴

// BD1 ?? CF1 ∠B1CF1 就是异面直线 BD1 与 B1C 所成的角。 2 2 2 BD =a +b 2 2 2 2 2 2 Rt△BDD1 中,BD1 =BD +DD1 =a +b +c 2 2 2 2 2 CF1 =BD1 =a +b +c 2 2 2 2 2 2 B1C =b +c ,B1F1 =a +4b △B1CF1 中

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CF1 2 ? B1C 2 ? B1 F1 2 c2 ? b2 ? 2CF1 ? B1C a 2 ? b2 ? c2 ? b2 ? c2 (1) 当 c>b 时, cos∠B1CF1>0 ∴ ∠B1CF1 为锐角,∠B1CF1 就是异面直线 BD1 和 B1C 所成的角 (2) 当 c<b 时,cos∠B1CF1<0 ∴ ∠B1CF1 是钝角 ∴ π -∠B1CF1 就是异面直线 BD1 和 B1C 所成的角 0 (3) 当 c=b 时,∠B1CF1=90 ∴ BD1⊥B1C 法二:作异面直线所成角的过程,其实就是平移异面直线的过程。借助于三角形中位线的平行性,也可以达到平移的 目的。 如图,分别取 BC、BB1、B1D1 的中点 P、M、Q,连 PM、MQ、PQ 则 MP∥B1C,MQ∥BD1 ∴ ∠PMQ(或其补角)就是异面直线 BD1 与 B1C 所成的角 1 1 △ PMQ 中,MP= B1C= b2 ? c2 2 2
cos∠B1CF1=
a2 1 1 2 BD1= a ? b 2 ? c 2 ,PQ= c 2 ? 4 2 2 利用余弦定理可以得到与解法一同样的结果



MQ ?

576. M、N 分别是空间四边形 ABCD 中 AB、CD 中点,求证:MN< 证明:取 AC 中点 P,则 MP= ∴ MN<MP+NP=

1 (AD+BC) 。 2

1 1 BC,NP= AD 2 2

1 (BC+AD) 2 577. 长方体 ABCD—A’B’C’D’中,AB=2,BC=BB’=1,M、N 分别是 AD 和 BC 中点,求异面直线 MN 和 BC’所成角的大小 解析:∵MN∥AC,AC∥A’C’,∴MN∥A’C’ ∴ ∠BC’A’就是 MN 与 BC’所成的角
△ BA’C 中,BC’= 2 ,BA’=A’C’= 5
BC' 2 ? A ' C' 2 ? A ' B' 2 10 ? 2BC'?A ' C' 10 578. 正方体 ABCDA1B1C1D1 中,若 E、M、N 分别是棱 AB、BC 及 B1D1 的 MC1 所成的角。 解析:连 NG、EM、EN、DE // 1 // 1 ∵ EM ?? AC,NC1 ?? AC 2 2

∴ cos∠BC’A’=

中点, 求异面直线 DN 与

// ∴ NC1 ?? EM ∴ NE∥MC1 ∴ ∠DNE 为异面直线 DN 与 MC1 所成的角

设 AB=a,则 DE=EN=GM= △

5 6 2 a a ,DN= DD1 ? D 2 N 2 ? 2 2

DNE 中,cos∠DNE=

DN 2 ? EN 2 ? dE 2 30 ? 2DE ? NE 10

30 . 10 579. 如图,在正方体 ABCD——A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AA1、AB 的中点,试判断下列各对线段所在直线的位置关系:

∴ 异面直线 DN 与 MC1 所成的角为 arccos

(1)AB 与 CC1; (2)A1B1 与 DC; (3)A1C 与 D1B; (4)DC 与 BD1; (5)D1E 与 CF
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解析: (1)∵C∈平面 ABCD,AB ? 平面 ABCD 又 C ? AB,C1 ? 平面 ABCD ∴AB 与 CC1 异面 (2)∵A1B1∥AB,AB∥DC,∴A1B1∥DC (3)∵A1D1∥B1C1,B1C1∥BC,∴A1D1∥BC 则 A1、B、C、D1 在同一平面内 ∴A1C 与 D1B 相交 D1 C1 (4)∵B∈平面 ABCD,DC ? 平面 ABCD A1 B1 又 B ? DC,D1 ? 平面 ABCD ∴DC 与 BD1 异面 E D C (5)如图,CF 与 DA 的延长线交于 G,连结 D1G, ∵AF∥DC,F 为 AB 中点, A B F ∴A 为 DG 的中点,又 AE∥DD1, G ∴GD1 过 AA1 的中点 E, ∴直线 D1E 与 DF 相交 580. 求证:空间四边形的两条对角线是异面直线。 证明:如图,假设空间四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 不是异面直线。 则 AC、BD 共面于α ,则 A、B、C、D 均在平面α 内,这与已知“ABCD 是空间四边形(四个顶点不在同一平面内) ”相矛 A 盾。 故假设错误,因此 AC、BD 是异面直线。 D 点评:反证法是间接证法的一种,在立体几何的证中经 B C 常用到。 581. 已知空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是 AB、AD 的中点。 (1)如图(甲)中,F、G 分别是 BC、CD 的中点,求证: 四边形 EFGH 是平行四边形; (2)如图(乙)中,若 F 是 BC 上的点,G 是 DC 上的点,且 EFGH 是梯形,并且直线 EF、GH、AC 共点。 证明: (1)如图(甲) ,连结 BD。 ∵EH 是的△ABD 中位线, ∴EH //
1 1 BD,同理 FG // BD 2 2

CF CG 2 ? ? ,求证:四边形 CB GD 3

根据公理 4,EH // FG ∴四边形 EFGH 是平行四边形。 (2)如图(乙)由(1)知 EH // ∴FG∥BD,FG=
2 BD 3
1 CF CG 2 BD,又在△ABD 中, ? ? 2 CB GD 3

A

H 由公理 4,∴EH∥FG,又 FG>EH。 E ∴四边形 EFGH 是梯形。 D 则直线 EF、GH 相交,设 EF∩GH=P G 则 P∈EF,又 EF ? 平面 ABC B F ∴P∈平面 ABC,同理 P∈平面 ADC。 乙 又平面 ABC∩平面 ADC=AC 由公理 2,得 P∈AC, 即 EF、GH、AC 三条直线共点。 点评:证明四边形是平行四边形或者梯形,首先必须证明它是平面图形,本题中的 EH∥FG 是关键
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C

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582. 如图,在正方体 ABCD——A1B1C1D1 中,E、F 分别是 B1D1,A1B 的中点,求证:EF∥AD1。 解析:要证两条直线平行一是证这两条直线在同一平面内,再用平面几何知识证明它们平行;二是用平行公理即平行 直线的传递性,找到与它们都平行的“公共”直线。 这里 E 为 D1B1 的中点,易想到用构造三角形的中位线的方法直接证明平行。因此,连 AB1 是非常重要的步骤。 证明:连 AB1,则 AB1 过 A1B 的中点 F。 D1 C1 E 又 E 为 D1B1 的中点, A1 B1 ∴EF 为△AD1B1 的中位线, 则 EF∥AD1 F 583. 如图,α ∩β =C,a ? α ,a∩c=A,b ? β ,b∩c=B,A、B 为不同点。则 a 与 b 的位置关系为(C ) D A、平行 B A a α B、异面 c A C、平行、异面均可能 B D、平行、相交、异面均可能 b β 解析:B 符合两条异面直线的判定,选 B 584. 下面的三个命题:①四边相等的四边形是菱形;②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;③若四边形有一组 对角都是直角,则这个四边形是圆的内接四边形。 其中正确命题的个数是: ( ) A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、0 个 D1 解析:D C1 均不能保证它们是平面图形,故均不正确,选 D A1 B1 585. 空间两个角α 和β ,若α 和β 的两边对应平行,当α =50°时,β = 。 解析:50°或 130° D C β 与α 相等或互补 586. 正方体的 12 条面对角线所在的直线中,互相异面的直线共有 对。 B A 解析:30 面对角线中,与 AC 相交的有 5 条,平行的有 1 条, (自身为 1 条)故与 AC 异面的直线有 12-5-1-1=5(条) 。 则共有 12×5×
1 =30(对 2

587. 四面体 ABCD 中,AB=CD,AC=BD,AD=BC,则∠BAC+∠CAD+∠DAB= 。 解析:180° 四个三角形均是全等的三角形,故所求三个角即其中任一三角形的三个内角 588. 在四面体 ABCD 中,已知点 M,N,P 分别在棱 AD,BD,CD 上,点 S 在平面 ABC 内,画出线段 SD 与过点 M,N,P 的截面的交点 O。 解析:图中,SD 与平面 MNP 的交点 O 点画在△MNP 内的任何位置好象都“象” ,即直观上不能直接看出画在何处才是准 确的。采用上一题的思想方法,找出经过直线 SD 的平面,如平面 ASD(平面 CSD?) ,作出它与平面 MNP 的交线。 A 解:连接 AS 交 BC 于 E,连 ED 交 NP 于 F,连 MF。 ∵M∈AD,AD ? 平面 AED, M ∴M∈平面 AED S B D ∵F∈ED,ED ? 平面 AED, N ∴F∈平面 AED P C 又 M∈平面 MNP,F∈平面 MNP, A ∴平面 AED∩平面 MNP=MF ∵O∈SD,SD ? 平面 AED, M O ∴O∈平面 AED,又 O∈平面 MNP S N B D 则 O∈MF F E P 选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 C

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即 O 为 MF 与 SD 的交点。 589. 已知直线 a∥b,c∩a=A,c∩b=B。求证:a、b、c 在同一平面内。 证明:∵a∥b C ∴经过 a、b 可确定一个平面α A a ∵c∩a=A,∴A∈a,而 a ? α B b α ∴A∈α ,同理 B∈α 则 AB ? α ,即 c ? α ∴a、b、c 在同一平面α 内 点评:利用 a∥b,可确定平面α ,易证 c ? α 。若利用 c∩a=A,也可确定平面α ,但证 b ? α 就较困难。因此,选择 恰当的点或线确定平面是非常重要的。 590. 空间四边形 ABCD 中,P、Q、R 分别 AB、AD、CD 的中点,平面 PQR 交 BC 于 S , 求证:四边形 PQRS 为平 行四边形。 证明:∵PQ 为 AB、AD 中点 ∴PQ‖BD 又 PQ ? 平面 BCD ,BD ? 平面 BCD ∴ PQ‖平面 BCD 又平面 PQR∩平面 BCD=RS , PQ ? 平面 RQR ∴ PQ‖RS ∵R 为 DC 中点,∴ S 为 BC 中点,∴PQ RS ∴ PQRS 为平行四边形 评述:灵活运用线面平行的判定定理和性质定理,“线线平行 ? 的常用方法。 变式题: 如图, 在四面体 ABCD 中, 截面 EFGH 是平行四边形. 求 证明 ∵面 EFGH 是截面.∴点 E,F,G,H 分别在 BC,BD, ABC, GF 面 ABD, 由已知, EH∥GF. ∴EH∥面 ABD. 又 ∵ ∩面 ABD=AB∴EH∥AB. ∴AB∥面 EFG. 591. 两个惟一性定理. (1)过一点有且只有一条直线和一已知平面垂直 (2)过一点有且只有一个平面和一已知直线垂直 过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A,且垂直于直线 a 的平面内,试证之. 线面平行”是证平行关系

证:AB∥平面 EFG. DA,AC 上.∴EH 面 EH 面 BAC,面 ABC

已知:A∈α ,a⊥α 于点 O,AB⊥a.求证: AB ? ? 证明:假 AB 不在平面α 内,连结 AO. ∵a⊥α ∴a⊥AO.又 a⊥AB,且 AO∩AB=A. ∴a 垂直于相交直 AO、AB 所确定的平面β .

说明: 关于直线和平面垂直的问题中,有两个基本作图: (1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直.(2)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 这两个基本作图可作为公理直接使用. 592. 直线 l 上有两点到平面α 的距离相等,这条直线和平面α 的位置如何? 解析:(1)若直线 l 上的两点到平面α 的距离都等于 0,这时直线 l 在平面α 内(如图)
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(2)若直线 l 上的两点在平面α 的两侧,且到平面α 的距离相等,这时直线 l 与平面α 相交(如

图). (3)若直线 l 上的两点在平面α 的同一侧,且到平面α 的距离相等(如图). ∵AA1⊥α 于点 A1,BB1⊥α 于点 B1.又 A、B 均在 l 上,且在α 的同侧.∴AA1 BB1

∴AA1BB1 为一平行四边形.∴AB∥A1B1 ∴这时直线 l 与平面α 平行. 想一想:若直线 l 上各点到平面α 的距离都相等,那么直线 l 和平面α 的位置关系又怎样? 593. 经过两条相交直线,有且只有一个平面 证明:如图:设直线 a、b 相交于点 A,在 a、b 上分别取不同于点 A 的点 B、C,得不在 a B A 一直线上的三点 A、B 和 C,过这三点有且只有一个平面α (公理 3) ,因此 a、b 各有两点在 平面α 内,所以 a、b 在平面α 内,因此平面α 是过相交直线 a、b 的平面. C b α 如果过直线 a 和 b 还有另一个平面β ,那么 A、B、C 三点也一定都在平面β 内,这样过不在 一条直线上的三点 A、B、C 就有两个平面α 、β 了,这和公理 3 矛盾,所以过直线 a、b 的平面只有一个. 594. 经过两条平行直线,有且只有一个平面 证明:因为当两条直线在同一个平面内,且不相交时叫做平行线,所以两条平行直线 a 和 b 必 a 在某个平面α 内,就是说过两条平行直线有一个平面.如果过 a 和 b 还有一个平面β ,那么在 a 上的任意一点 A 一定在β 内这样过点 A 和直线 b 有两个平面α 和β ,这和推论 1 矛盾,所以 b α 过平行直线 a 和 b 的平面只有一个. 595. 直线 l 与平面α 所成角θ 的范围是( ) A、0°<θ <90° B、0° ? θ ? 90° C、0°<θ <180° D、0° ? θ ? 180° 解析:B 596.两条一异面直线所成的角的范围是? 直线与平面所成的角的范围是? 两个半平面所成二面角的范围是? 斜线与平面所成的角的范围是? 解析: 0 ? ?

? 90? ,

0 ? ? ? 90? ,直线在平面内或直线与平面平行定为 0 0 ? ? ? 180? ,规定两个半平面重合时为 0,两个半平面展成一个平面为 180 度。 0 ? ? ? 90?
597. AB、CD 为夹在两个平行平面α 、β 间的异面线段,M、N 分别为 AB、CD 的中点,求证:MN∥α .

解析:过 C 作 CE∥AB 交β 于 E,取 CE 中点 P 则 AB∥CE AC∥BE MP∥AC BP∥α (1)MP∥β ;(2)PN∥ED ? PN∥β .∴面 MN∥面β ∴MN∥面α ,MN∥α
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598. 平面α ∥平面β ,A、B∈α ,C∈β ,AA′⊥β 于 A′,BB′⊥β 于 B′,若 AC⊥AB,AC 与β 成 60°的角, AC=8cm,B′C=6cm,求异面直线 AC 与 BB′间的距离. 解析:∵BB′⊥α ∴BB′⊥AB 又∵AC⊥AB ∴AB 为 AC 与 BB′的公垂线 又∵AB=A′B′ AB∥A′B′ AC⊥A′B′ ∴A′C′⊥A′B′
2 3 A′B′= B?C? ? A?C ? ?

6 2 ? (9 cos 60?) 2 ? 6 2 ? 4 2 ? 20 ? 2 5

599. 某人买了一罐容积为 V 升、高为 a 米的直三棱柱型罐装进口液体车油,由于不小心摔落地上,结果有两处破损并 发生渗漏,它们的位置分别在两条棱上且距底面高度分别为 b、c 的地方(单位:米).为了减少罐内液油的损失,该人 采用罐口朝上,倾斜罐口的方式拿回家.试问罐内液油最理想的估计能剩多少?

解析:如图所示,建立模型,设直三棱柱为 ABC—A′B′C′,破损处为 D、E.并且 AD=b,EC=c,BB′=a.则罐内所剩 液油的最大值即为几何体 ABC—DB′E 的体积. 连结 BD、CD ∵ VD?BCEB? = VA??BCEB? , 而

VD ? BCEB? 2 a?c = , VA??BCC?B? = V, 3 2a V A?? BCC ?B?
( a ? c )V . 3a

∴ VD?BCEB? = 又∵

VD? ABC b b V bV = ,∴VD-ABC= · = . a 3 3a VA?? ABC a
( a ? b ? c )V ( a ? b ? c )V ,即最理想的估计是剩下 升. 3a 3a

故 VABC? DB?E = VD?BCEB? +VD-ABC=

600. 要修建一座底面是正方形且四壁与底面垂直的水池,在四壁与底面面积之和一定的前提下,为使水池容积最大, 求水池底面边长与高的比值. 解析:为了建立体积 V 的函数,我们选底面边长和高为自变量. 2 设水池底面边长为 a,水池的高为 h,水池容积为 v,依题意,有 a +4ah=k(k 为定值).

a (k ? a 2 ) k ? a2 ∴v=a h=a 4a = (v>0), 4
2 2

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∴v =

2

1 2 1 2 2 2 2 2 a (k-a ) = ·2a (k-a )(k-a ) 32 16



1 2a 2 ? k ? a 2 ? k ? a 2 3 1 8k 3 k3 2 2 2 ( )= · = (当且仅当 2a =k-a 时,即 k=3a 时等号成立), 32 32 27 108 3
2 2

故 a +4ah=3a , 即 a∶h=2∶1 时,水池容积最大为

k k . 6 3

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