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高中数学第2章指数函数、对数函数和幂函数23幂函数命题与探究素材湘教版1!

2.3 幂函数
问题探究
m

问题 如何理解分数指数幂 a n 的意义?
m

探 究 : 分 数指 数 幂 a n 不 可 理 解 为
m n

m 个 a 相 乘 , 它是 根 式 的 一种 新 的 写法 . 规 定 n
? m n

a = a

n

m

(a>0,m、n 都是正整数,n>1), a

=

1 a
m n

?

1
n

am

(a>0,m、n 都是正整数,n>1),

在这样的规定下,根式与分数指数幂表示相同意义的量,它们只是形式上的不同而已.0 的正 分数指数幂为 0,0 的负分数指数幂无意义,负数的分数指数幂是否有意义,应视 m、n 的具体 数而定. 典题精讲 例 1:若(a+1 ) 思路解析:
? 1 2

<(3-2a )

?

1 2

,则 a 的取值范围是___________.

?a ? 1 ? 3 ? 2 a , ? 因为函数 y= x 在[0,+∞ ) 上单调,所以 y= 2 在[0,+∞ ) 上单调减,所以 ?a ? 1 ? 0, ?3 ? 2a ? 0. ?
1 2
? 1 2

2 3 <a< . 3 2 2 3 答案:( , ) 3 2
解得 例 2:已知 0<a<1,试比较 a ,(a ) , a
a a a

( aa )

的大小.

思路分析: 利用幂函数和指数函数的性质求解. a a a a 解:为比较 a 与(a ) 的大小,将它们看成指数相同的两个幂.由于幂函数 f(x)=x (0<a<1)在区 间[0,+∞ ) 上是增函数,因此只需比较底数 a 与 a 的大小. 由于指数函数 y=a (0<a<1)是减函数,且 a<1,所以 a<a 从而 a <(a ) . a a a a 比较 a 与(a ) 的大小,也可将它们看成底数相同(都是 a )的两个幂,于是可以利用指数函数 x a a a a y=b (b=a ,0<b<1)是减函数,由 a<1,得到 a <(a ) . 由于 a<a ,函数 y=a (0<a<1)是减函数,因此 a >(a ).综上,得 a
a z a a α z a a a a a

( aa )

< a <(a ) .

a

a a

例 3:图 2-3-2 中曲线是幂函数 y=x 在第一象限的图象,已知α 取±2,± 曲线 C1,C2,C3,C4 的指数α 依次为( )

1 四个值,则对应于 2

1

图 2-3-2

1 1 , ,2 2 2 1 1 C.,-2,2, 2 2
A.-2,-

B.2,

1 1 ,- ,-2 2 2 1 1 D.2, ,-2,2 2

思路解析: α α 要确定一个幂函数 y=x 在坐标系内的分布特征,就要弄清幂函数 y=x 随着α 值的改变图象 α 的变化规律.随着α 的变大,幂函数 y=x 的图象在直线 x=1 的右侧从低向高分布.从图中可以 看出,直线 x=1 右侧的图象,由低向高依次为 C1,C2,C3,C4,所以α 依次为 2, 择答案 B. 答案:B 例 4:画函数 y=1+ 3 ? x 的草图,并求出其单调区间. 思路分析: 此函数的作图有两个途径,一是根据描点的方法作图,二是利用坐标系的平移来作图.一般说 来,作草图时,利用坐标平移较为方便. 解:由 y=1+ 3 ? x ,得 y-1= 3 ? x ,∴y= ? ( x ? 3) +1. 此函数的图象可由下列变换而得到: 先作函数 y= x 的图象,作其关于 y 轴的对称图象,即 y= ? x 的图象,将所得图象向右平移 3 个单位,向上平移 1 个单位,即为 y=1+ 3 ? x 的图象(如图 2-3-3 所示).

1 1 ,- ,-2,故选 2 2

图 2-3-3 例 5:若幂函数 f(x)= x 的表达式. 思路分析:
2
m2 ?2 m?3

(m∈Z)的图象与坐标轴没有公共点,且关于 y 轴对称,求 f(x)

要求幂函数 y= x m

2

?2 m?3

(m∈Z)的解析式,也就是求整数 m,考虑到该幂函数的图象特征:1°

与坐标轴无公共点,2°关于 y 轴对称,可 2 2 知指数 m -2m-3≤0 且 m -2m-3 为偶数(m∈Z),容易解得 m 的值,进而得到 f(x). 解:由题意知,幂函数 f(x)= x m
2 2
2

?2 m?3

(m∈Z)在第一象限内递减(或无增减性),且为偶函数,

∴m -2m-3≤0,且 m -2m-3 为偶数,m∈Z. 由?

?m 2 ? 2m ? 3 ? 0, ?m ? Z ,
2

得 m=0,1,2,-1,3.

又 m -2m-3=0 为偶数, ∴m=-1 或 1 或 3. 0 当 m=-1 或 3 时,f(x)=x (x≠0); -4 当 m=1 时,f(x)=x (x≠0).

3


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