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针对练习-高中数学一二轮复习第三篇导数专题4讲合集-含答案

第 2 讲 导数的应用(一) A级 基础演练(时间:30 分钟 满分:55 分) 一、 选择题(每小题 5 分,共 20 分) k k 1 (· 石景山模拟)若函数 h(x)=2x-x+3在(1,+∞)上是增函数,则实数 k 的取值 O 范围是 A (-2,+∞) O ( B (2,+∞) O ) O C (-∞,-2) O D (-∞,2) O 2 k 2x +k 解析 由条件得 h′(x)=2+x2= x2 ≥0 在(1, +∞)上恒成立, 即 k≥-2x2 在(1,+∞)上恒成立,所以 k∈(-2,+∞) 答案 A O 2 (· 郑州检测)函数 f(x)=(4-x)ex 的单调递减区间是 O ( ) O A (-∞,4) O B (-∞,3) O C (4,+∞) O D (3,+∞) O 解析 f′(x)=ex+(4-x)· ex=ex(3-x),令 f′(x)<0,由于 ex>0,∴3-x<0, 解得 x>3 答案 D 3 (· 安庆模拟)下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是 O O ( ) O A f(x)=sin 2x O B f(x)=xex O C f(x)=x3-x O D f(x)=-x+ln x O 解析 sin 2x=2sin xcos x,(sin 2x)′=2(cos2x-sin2x),在(0,+∞)不恒大于 1 零;(x3-x)′=3x2-1,在(0,+∞)不恒大于零;(-x+lnx)′=-1+x 在(0, +∞)不恒大于零;(xex)′=ex+xex,当 x∈(0,+∞)时 ex+xex>0,故选 B 答案 B 4 函数 f(x)的定义域是 R, f(0)=2, 对任意 x∈R, f(x)+f′(x)>1, 则不等式 ex· f(x)>ex O O +1 的解集为 A {x|x>0} O ( B {x|x<0} O ) O C {x|x<-1 或 x>1} O D {x|x<-1 或 0<x<1} O 解析 构造函数 g(x)=ex· f(x)-ex,因为 g′(x)=ex· f(x)+ex· f′(x)-ex=ex[f(x) +f′(x)]-ex>ex-ex=0,所以 g(x)=ex· f(x)-ex 为 R 上的增函数,又因为 g(0) =e0· f(0)-e0=1,所以原不等式转化为 g(x)>g(0),解得 x>0 答案 A 二、 填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5 函数 y=x-2sin x 在[0,π]上的递增区间是________ O O O 1 π 解析 y′=1-2cos x,令 1-2cos x≥0,得 cos x≤2,解得 2kπ+3≤x≤2kπ 5 π +3π,k∈R,又 0≤x≤π,∴3≤x≤π ?π ? 答案 ?3,π? ? ? 6 已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为________ O O O 解析 y0=x0+1, ? ?y0=ln?x0+a?, 1 设切点坐标为(x0,y0)又 y′= ,由已知条件? x+a 1 ? ?x0+a=1, O 解 得 a=2 答案 2 三、 解答题(共 25 分) 7 (12 分)设函数 f(x)=ax3-3x2,(a∈R),且 x=2 是 y=f(x)的极值点,求函数 g(x) O =ex· f(x)的单调区间 O 解 f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2) O 因为 x=2 是函数 y=f(x)的极值点 O 所以 f′(2)=0,即 6(2a-2)=0,因此 a=1, 经验证,当 a=1 时,x=2 是函数 f(x)的极值点, 所以 g(x)=ex(x3-3x2), g′(x)=ex(x3-3x2+3x2-6x) =ex(x3-6x)=x(x+ 6)(x- 6)ex O 因为 ex>0,所以 y=g(x)的单调增区间是(- 6,0)和( 6,+∞);单调减区间 是(-∞,- 6)和(0, 6) O O ?2? 8 (13 分)已知函数 f(x)=x3+ax2-x+c,且 a=f′?3? ? ? O (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)设函数 g(x)=(f(x)-x3)· ex,若函数 g(x)在 x∈[-3,2]上单调递增,求实数 c 的取值范围 O 解 (1)由 f(x)=x3+ax2-x+c,得 f′(x)=3x2+2ax-1 2 ?2? ?2? ?2? 当 x=3时,得 a=f′?3?=3×?3?2+2a×?3?-1, ? ? ? ? ? ? 解之,得 a=-1 O O (2)由(1)可知 f(x)=x3-x2-x+c O ? 1? 则 f′(x)=3x2-2x-1=3?x+3?(x-1),列表如下: ? ? x f′(x) f(x) 1? ? ?-∞,-3? ? ? + 1 -3 0 极大值 ? 1 ? ?-3,1? ? ? - 1 0 极小值 (1,+∞) + 1 所以 f(x)的单调递增区间是(-∞,-3)和(1,+∞); ? 1 ? f(x)的单调递减区间是?-3,1? ? ? O (3)函数 g(x)=(f(x)-x3)· ex=(-x2-x+c)· ex, 有 g′(x)=(-2x-1)ex+(-x2-x+c)ex =(-x2-3x+c-1)ex, 因为函数 g(x)在 x∈[-3,2]上单调递增, 所以 h(x)=-x2-3x+c-1≥0 在 x∈[-3,2]上恒成立 O 只要 h(2)≥0,解得 c≥11,所以 c 的取值范围是[11,+∞) 探究提高 利用导数研究函数单调性的一般步骤: O (1)确定函数的定义域; (2)求导数 f′(x); (3) 若求单调区间(或证明单调性),只需在函数 f(x)的定义域内解(或证明)不等 O 式 f′(x)>0 或 f′(x)<0

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