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专家指导:行测 — 最不利原则与抽屉原理


专家指导:行测 — 最不利原则与抽屉原理
中公资深教师宋丽娜将为考生深入解析最不利原则与抽屉原理问题。抽屉原理有时也被 称为鸽巢原理(“如果有五个鸽子笼,养鸽人养了6只鸽子,那么当鸽子飞回笼中后,至少有 一个笼子中装有2只鸽子”)。 它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数 论中的问题,因此,也称为狄利克雷原理。它是组合数学中一个重要的原理。 一、抽屉原理的含义 例如:桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,有的抽屉可以 放一个,有的可以放两个,有的可以放五个,但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉 里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的抽屉原理。 抽屉原理的一般含义为:“如果每个抽屉代表一个集合,每一个苹果就可以代表一个元 素,假如有 n+1或多于 n+1个元素放到 n 个集合中去,其中必定至少有一个集合里至少有两 个元素。” 二、抽屉原理最常见的形式 1.第一抽屉原理 原理1 把多于 n 个的物体放到 n 个抽屉里, 则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。 原理2 把多于 mn(m 乘以 n)个的物体放到 n 个抽屉里,则至少有一个抽屉里有 m+1个或 多于 m+1个的物体。 2.第二抽屉原理: 把(mn-1)个物体放入 n 个抽屉中,其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物体。 三、最不利原则解决抽屉问题 抽屉原理的内容简明朴素,易于接受,它在数学问题中有重要的作用。在国家公务员考 试、省考及事业单位考试中,有关抽屉的原理题型的考查也比较常见。对这个知识点的考查 很少去求“抽屉”的数量, 而是求抽屉中至少放多少苹果。 基本的题型特征为“至少???, 才能保证??”。“保证”后面的情况是一种必然发生的情况。针对这类抽屉问题,我们常 用的解题方法为:最不利原则,即考虑最差的情况,让最差的情况都发生,则其他情况也就

一定会发生。 例.一副扑克去掉大王和小王共有52张牌,问:至少抽出多少张,才能保证有3张牌的花 色相同? 【解析】一副扑克,有4种花色:梅花、方片、红桃、黑桃, 现在要求的是至少抽出多 少张,才能保证有3张牌的花色相同。此处,梅花、方片、红桃、黑桃就相当于4个抽屉,把 抽出的每张牌放进这4个抽屉里, 保证一定有一个抽屉放了不少于3张牌, 求的至少要抽出多 少张牌,其实就相当于求原理2中的 mn 的最小值。 解题方法:最不利原则。 最好的情况,就是抽出的前三张牌的花色恰好相同。但是,这种情况不是一定发生的。 考虑最差的情况。抽出1张牌(肯定为梅花、方片、红桃、黑桃之一),接下来,抽第二张牌, 花色和前一张相同, 很幸运;但是第三张牌的花色就和前两张不同了, 第4张又和第三张花色 相同,若第五张还和第1,2,或3,4张花色相同,我们就达到目的了,但是,很不幸,又抽 到另一种花色,依次类推:每种花色恰好都只抽出了两张,还是没达到有三张花色相同的目 的。此时,若再抽出一张牌,这张牌肯定在四种花色之中,所以一定有三张花色相同,故至 少抽出:2+2+2+2+1=9张牌。 注:在做这类题目,不是一定要区分清楚谁是抽屉,谁是苹果,只要记住它的最基本的 问法:“至少???,才能保证??”保证后面的情况是一种必然发生的情况,然后用最不 利原则,找到最糟糕,最坏的情况,让其发生即可。 练 习 : 一 副 扑 克 54 张 牌 , 问 : 至 少 抽 出 多 少 张 才 能 保 证 有 4 张 花 色 相 同 ? (答案:14)


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