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九类常见递推数列求通项公式方法


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递推数列通项求解方法举隅
类型一: 类型一: an+1 = pan + q ( p ≠ 1 )
思路 1(递推法) an = pan ?1 + q = p ( pan ? 2 + q ) + q = p ? p ( pan ?3 + q ) + q ? + q = : ? ? …… = p
n ?1

? q ? n ?1 q a1 + q (1 + p + p 2 + … + p n ? 2 ) = ? a1 + 。 ?? p + p ?1 ? 1? p ?
q ,数列 p ?1

思路 2(构造法) :设 an +1 + ? = p ( an + ? ) ,即 ? ( p ? 1) = q 得 ? =

{an + ?} 是以 a1 + ? 为首项、 p 为公比的等比数列,则 an +
? q ? n ?1 q an = ? a1 + 。 ?p + p ?1 ? 1? p ?
例1

? q q ? n ?1 = ? a1 + ? p ,即 p ?1 ? p ?1 ?

已知数列 {an } 满足 an = 2an ?1 + 3 且 a1 = 1 ,求数列 {an } 的通项公式。

解:方法 1(递推法) :

an = 2an ?1 + 3 = 2(2an ? 2 + 3) + 3 = 2 ? 2 ( 2an ?3 + 3) + 3? + 3 = …… ? ?

3 ? n ?1 3 ? = 2 n?1 + 3(1 + 2 + 22 + … +2n ? 2 ) = ?1 + = 2n +1 ? 3 。 ??2 + 1? 2 ? 2 ?1 ?
方法 2 (构造法) an +1 + ? = 2 ( an + ? ) , ? = 3 , 数列 {an + 3} 是以 a1 + 3 = 4 :设 即 ∴ 为首项、 2 为公比的等比数列,则 an + 3 = 4 ? 2
n ?1

= 2n +1 ,即 an = 2n +1 ? 3 。

类型二: 类型二: an+1 = an + f (n)
思路 1(递推法) :

an = an ?1 + f (n ? 1) = an ? 2 + f (n ? 2) + f (n ? 1) = an ?3 + f (n ? 3) + f (n ? 2) + f (n ? 1) =
… = a1 +

∑ f ( n) 。
i =1

n ?1

1

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思路 2(叠加法) an ? an ?1 = f ( n ? 1) ,依次类推有: an ?1 ? an ? 2 = f ( n ? 2) 、 :

an ? 2 ? an ?3 = f (n ? 3) 、…、 a2 ? a1 = f (1) ,将各式叠加并整理得 an ? a1 = ∑ f (n) ,即
i =1

n ?1

an = a1 + ∑ f (n) 。
i =1

n ?1

例 2 已知 a1 = 1 , an = an ?1 + n ,求 an 。 解: 方法 1 (递推法) an = an ?1 + n = an ? 2 + ( n ? 1) + n = an ?3 + ( n ? 2) + ( n ? 1) + n = : …… = a1 + [2 + 3 + … + ( n ? 2) + ( n ? 1) + n] =

∑n =
i =1

n

n(n + 1) 。 2

方法 2 (叠加法) an ? an ?1 = n , : 依次类推有:an ?1 ? an ? 2 = n ? 1 、an ? 2 ? an ?3 = n ? 2 、 …、

a2 ? a1 = 2 ,将各式叠加并整理得 an ? a1 = ∑ n , an = a1 + ∑ n = ∑ n =
i =2 i =2 i =1

n

n

n

n(n + 1) 。 2

类型三: 类型三: an+1 = f (n) ? an
思路 1(递推法) :

an = f (n ? 1) ? an ?1 = f (n ? 1) ? f (n ? 2) ? an ? 2 = f (n ? 1) ? f (n ? 2) ? f (n ? 3) ? an ?3 = …
= f (1) ? f (2) ? f (3) ? … ? f (n ? 2) ? f (n ? 1) ? a1 。
思路 2(叠乘法) :

an a = f (n ? 1) ,依次类推有: n ?1 = f (n ? 2) 、 an ?1 an ? 2

an ? 2 a a = f (n ? 3) 、…、 2 = f (1) ,将各式叠乘并整理得 n = f (1) ? f (2) ? f (3) ? … an ? 3 a1 a1 ? f (n ? 2) ? f (n ? 1) ,即 an = f (1) ? f (2) ? f (3) ? … ? f (n ? 2) ? f (n ? 1) ? a1 。
例 3 已知 a1 = 1 , an =

n ?1 an ?1 ,求 an 。 n +1 n ?1 n ?1 n ? 2 n ?1 n ? 2 n ? 3 解: 方法 1 (递推法) an = : an ?1 = ? an ? 2 = ? ? an ? 3 = … n +1 n +1 n n + 1 n n ?1
2

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=

2 。 n(n + 1)
方法 2 叠乘法) ( :

an a a n ?1 n ? 2 an ? 2 n ? 3 2 = , 依次类推有: n ?1 = 、 = 、 …、 3 = 、 a2 4 an ?1 n + 1 an ? 2 n an ? 3 n ? 1

a n ?1 n ? 2 n ? 3 a2 1 2 1 = ,将各式叠乘并整理得 n = ? ? ? … ? ? ,即 a1 n + 1 n n ? 1 a1 3 4 3
an = n ?1 n ? 2 n ? 3 2 1 2 ? ? ?…? ? = 。 n + 1 n n ?1 4 3 n(n + 1)

类型四: 类型四: an+1 = pan + qan?1
思路(特征根法) :为了方便,我们先假定 a1 = m 、 a2 = n 。递推式对应的特征方程

? p? 为 x = px + q ,当特征方程有两个相等实根时, an = ( cn + d ) ? ? ? ?2?
2

n ?1

( c 、 d 为待定系

数,可利用 a1 = m 、 a2 = n 求得);当特征方程有两个不等实根时 x1 、 x2 时,

an = ex1n ?1 + fx2 n ?1 ( e 、 f 为待定系数,可利用 a1 = m 、 a2 = n 求得);当特征方程的根
为虚根时数列 {an } 的通项与上同理,此处暂不作讨论。 例 4 已知 a1 = 2 、 a2 = 3 , an +1 = 6an ?1 ? an ,求 an 。 解:递推式对应的特征方程为 x = ? x + 6 即 x + x ? 6 = 0 ,解得 x1 = 2 、 x2 = ?3 。
2 2

设 an = ex1

n ?1

+ fx2 n ?1 ,而 a1 = 2 、 a2 = 3 ,即

9 ? ?e = 5 ?e + f = 2 9 n ?1 1 ? n ?1 ,解得 ? ,即 an = ? 2 + ? ( ?3) 。 ? 5 5 ? 2e ? 3 f = 3 ?f =1 ? 5 ?

类型五: 类型五: an+1 = pan + rq n ( p ≠ q ≠ 0 )
3

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思路(构造法) an = pan ?1 + rq :

n ?1

,设

?a ? an + ? = λ ? n ?1 + ? ? ,则 n n ?1 q ?q ?

p ? ?λ = q ?λ q = p ?a a1 r r ? ? ? , 从而解得 ? 。 那么 ? n + 为首项, ? 是以 + ? n n ?1 n p?q? q p?q ? ? ( λ ? 1) q = rq ?q ?? = r ? ? p?q ? p 为公比的等比数列。 q
例 5 已知 a1 = 1 , an = ? an ?1 + 2
n ?1

,求 an 。

解: 设

an ?a + ? = λ ? n ?1 n n ?1 2 ?2

1 ? ?λ = ? 2 ?2λ = ?1 ? ? ? ?a 1? , 解得 ? , ? n ? ? + ? ? ,则 ? ∴ n n n ?1 ? ?2 3? ? ? ( λ ? 1) 2 = 2 ? ?? = ? 1 ? 3 ?
n ?1

a 1 1 ?1? 1 1 1 1 是以 ? = 为首项, 为公比的等比数列,即 n ? = ? ? ? 2 3 6 2 2n 3 6 ? 2 ?

2n + 1 ,∴ an = 。 3

类型六: 类型六: an+1 = pan + f (n) ( p ≠ 0 且 p ≠ 1 )
思路(转化法) an = pan ?1 + f (n ? 1) ,递推式两边同时除以 p n 得 :

an an ?1 f (n ? 1) a = n ?1 + ,我们令 n = bn ,那么问题就可以转化为类型二进行求解了。 n n p p p pn
例 6 已知 a1 = 2 , an +1 = 4an + 2
n n +1

,求 an 。

解: an = 4an ?1 + 2 ,式子两边同时除以 4n 得

an an ?1 ? 1 ? a = n ?1 + ? ? ,令 n = bn ,则 n 4n 4 4 ?2?

n

?1? ?1? bn ? bn ?1 = ? ? ,依此类推有 bn ?1 ? bn ? 2 = ? ? ?2? ?2?
2
n

n

n ?1

、 bn ? 2 ? bn ?3

?1? =? ? ?2?

n?2

、…、

n ?1? ?1? b2 ? b1 = ? ? ,各式叠加得 bn ? b1 = ∑ ? ? ,即 ?2? i=2 ? 2 ?

4

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n n ?1? 1 n ?1? ?1? ?1? bn = b1 + ∑ ? ? = + ∑ ? ? = ∑ ? ? = 1 ? ? ? 2 i=2 ? 2 ? ?2? i =2 ? 2 ? i =1 ? 2 ? n n n n

? ? 1 ?n ? ∴ an = 4 ? bn = 4 ? ?1 ? ? ? ? = 4n ? 2n 。 ? ?2? ? ? ?
n n

类型七: 类型七: an+1 = pan r ( an > 0 )
思路(转化法) :对递推式两边取对数得 log m an +1 = r log m an + log m p ,我们令

bn = log m an ,这样一来,问题就可以转化成类型一进行求解了。
例 7 已知 a1 = 10 , an +1 = an ,求 an 。
2

解:对递推式 an +1 = an 左右两边分别取对数得 lg an +1 = 2 lg an ,令 lg an = bn ,则
2

bn +1 = 2bn ,即数列 {bn } 是以 b1 = lg10 = 1 为首项, 2 为公比的等比数列,即 bn = 2n ?1 ,
因而得 an = 10
bn

= 102 。

n?1

类型八: 类型八: an+1 =

c ? an (c ≠ 0) pan + d
pa + d 1 1 d 1 p = n ,那么 = ? + , an +1 c ? an an +1 c an c

思路(转化法) :对递推式两边取倒数得

令 bn =

1 ,这样,问题就可以转化为类型一进行求解了。 an 2 ? an ,求 an 。 2 an + 1 2a + 1 1 1 1 1 1 = n 即 = ? + 1 ,令 = bn 则 an +1 2 an an +1 2 an an

例 8 已知 a1 = 4 , an +1 =

解:对递推式左右两边取倒数得

1 1 1 7 bn +1 = bn + 1 。设 bn +1 + ? = ( bn + ? ) ,即 ? = ?2 ,∴ 数列 {bn ? 2} 是以 ? 2 = ? 为 2 2 4 4

5

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首项、

1 7 2n + 2 ? 7 2n +1 为公比的等比数列,则 bn ? 2 = ? n +1 ,即 bn = , ∴ an = n + 2 。 2 2 2 n +1 2 ?7

类型九: an+1 = 类型九:

a ? an + b ( c ≠ 0 、 ad ? bc ≠ 0 ) c ? an + d

ax + b 2 即 cx + ( d ? a ) x ? b = 0 。当 cx + d ? ? ? ? 1 ? ? 1 特征方程有两个相等实根 x1 = x2 = δ 时,数列 ? ?即? ? 为等差数列,我 ? an ? δ ? ? an ? a ? d ? 2c ? ? 1 1 们可设 = + λ ( λ 为待定系数,可利用 a1 、 a2 求得) ;当特征方程 a?d a?d an +1 ? an ? 2c 2c
思路(特征根法) :递推式对应的特征方程为 x = 有两个不等实根 x1 、 x2 时,数列 ?

? an ? x1 ? a1 ? x1 为首项的等比数列,我们可设 ? 是以 a1 ? x2 ? an ? x2 ?

an ? x1 ? a1 ? x1 ? n ?1 =? ;当特征方程 ? ? ? ( ? 为待定系数,可利用已知其值的项间接求得) an ? x2 ? a1 ? x2 ?
的根为虚根时数列 {an } 通项的讨论方法与上同理,此处暂不作讨论。 例 9 已知 a1 =

4an ?1 + 3 1 , an = (n ≥ 2) ,求 an 。 2 an ?1 + 2 4x + 3 2 即 x ? 2 x ? 3 = 0 ,解得 x+2

解:当 n ≥ 2 时,递推式对应的特征方程为 x =

? a +1? a1 ? x1 2 x1 = ?1 、 x2 = 3 。数列 ? n = = ?1 为首项的等比数列,设 ? 是以 a1 ? x2 ?2 ? an ? 3 ?
an + 1 a +1 1 = ( ?1) ? ? n ?1 ,由 a1 = 得 a2 = 2 则 ?3 = ? ? ,∴ ? = 3 ,即 n = ( ?1) ? 3n ?1 , an ? 3 2 an ? 3

?1 ,n =1 ?2 3 ?1 ? 从而 an = n ?1 ,∴ a n = ? n 。 3 +1 ? 3 ?1 , n ≥ 2 ? 3n ?1 + 1 ?
n

6

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寒假专题——常见递推数列通项公式的求法 寒假专题——常见递推数列通项公式的求法 ——
重、难点: 1. 重点: 递推关系的几种形式。 2. 难点: 灵活应用求通项公式的方法解题。

【典型例题】 典型例题】
[例 1] a n +1 = ka n + b 型。 (1) k = 1 时, a n +1 ? a n = b ? {a n } 是等差数列, a n = b ? n + ( a1 ? b) (2) k ≠ 1 时,设 a n +1 + m = k (a n + m) ∴ a n +1 = ka n + km ? m

比较系数: km ? m = b



m=

b k ?1



{a n +

b b } a1 + k ? 1 是等比数列,公比为 k ,首项为 k ?1 a n = ( a1 + b b ) ? k n ?1 ? k ?1 k ?1



an +

b b = ( a1 + ) ? k n ?1 k ?1 k ?1



[例 2] a n +1 = ka n + f ( n) 型。 (1) k = 1 时, a n +1 ? a n = f ( n) ,若 f (n ) 可求和,则可用累加消项的方法。

例:已知 {a n } 满足 a1 = 1 , 解:

a n+1 ? a n =

1 n( n + 1) 求 {a n } 的通项公式。



a n +1 ? a n =

1 1 1 = ? n( n + 1) n n + 1 1 1 ? n ?1 n a n ?1 ? a n ? 2 = 1 1 ? n ? 2 n ?1



a n ? a n ?1 =

7

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a n ? 2 ? a n ?3 = a3 ? a 2 =

1 1 ? n ? 3 n ? 2 …… a 2 ? a1 = 1 ? 1 2 1 n


1 1 ? 2 3

对这( n ? 1 )个式子求和得:

a n ? a1 = 1 ?

an = 2 ?

1 n

(2) k ≠ 1 时,当 f ( n ) = an + b 则可设 a n +1 + A( n + 1) + B = k ( a n + An + B ) ∴ a n +1 = ka n + ( k ? 1) An + ( k ? 1) B ? A

?(k ? 1) A = a ? ∴ ?( k ? 1) B ? A = b

解得:

A=

b a a B= + k ? 1 ( k ? 1) 2 k ?1 ,

∴ {a n + An + B} 是以 a1 + A + B 为首项, k 为公比的等比数列
n ?1 ∴ a n + An + B = ( a1 + A + B ) ? k n ?1 ? An ? B ∴ a n = ( a1 + A + B ) ? k

将 A、B 代入即可

n (3) f ( n) = q ( q ≠ 0,1)

等式两边同时除以 q

n +1

a n +1 k a n 1 = ? n + n +1 q q q 得q
k 1 Cn + q q
∴ {C n } 可归为 a n +1 = ka n + b 型



Cn =

an qn



C n +1 =

[例 3] a n+1 = f ( n) ? a n 型。 (1)若 f (n ) 是常数时,可归为等比数列。 (2)若 f (n ) 可求积,可用累积约项的方法化简求通项。

例:已知:

a1 =

1 2n ? 1 an = a n ?1 3, 2n + 1 ( n ≥ 2 )求数列 {a n } 的通项。
8

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a n a n ?1 a n ? 2 a3 a 2 2n ? 1 2n ? 3 2n ? 5 5 3 3 ? ? L ? = ? ? L ? = a 2 a1 2n + 1 2n ? 1 2n ? 3 7 5 2n + 1 解: a n ?1 a n ? 2 a n ?3
a n = a1 ? 3 1 = 2n + 1 2n + 1



an = k ?
[例 4]

m ? a n ?1 m + a n ?1 型。
k 1 1 =k? + a n ?1 m ∴ an

1 1 1 = k( + ) a n ?1 m 考虑函数倒数关系有 a n Cn = 1 an



则 {C n } 可归为 a n +1 = ka n + b 型。

练习: 1. 已知 {a n } 满足 a1 = 3 , a n +1 = 2a n + 1 求通项公式。 解: 设 a n +1 + m = 2( a n + m)

a n +1 = 2a n + m

∴ m =1

∴ {a n +1 + 1} 是以 4 为首项,2 为公比为等比数列
n ?1 ∴ an + 1 = 4 ? 2 n +1 ∴ an = 2 ? 1

* 2. 已知 {a n } 的首项 a1 = 1 , a n +1 = a n + 2n ( n ∈ N )求通项公式。

解:

a n ? a n ?1 = 2(n ? 1) a n ?1 ? a n ?2 = 2(n ? 2) a n ?2 ? a n ?3 = 2(n ? 3) …… a3 ? a 2 = 2 × 2

+ a 2 ? a1 = 2 × 1
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a n ? a1 = 2[1 + 2 + L + ( n ? 1)] = n 2 ? n
∴ an = n ? n ? 1
2

n {a n } 中, a n +1 = n + 2 a n 且 a1 = 2 求数列通项公式。 3. 已知
解:

a n a n?1 a n ?2 a3 a 2 n ? 1 n ? 2 n ? 3 n ? 4 2 1 2 ? ? L ? = ? ? ? L ? = a n ?1 a n ?2 a n ?3 a 2 a1 n + 1 n n ? 1 n ? 2 4 3 n(n + 1) an 2 = n(n + 1) ∴ a1
a n +1 an = 4 n( n + 1)



4. 数列 {a n } 中, 解:

2 n +1 ? a n = n +1 2 + a n , a1 = 2 ,求 {a n } 的通项。

1 a n+1

=

2 n +1 + a n 2 n +1 a n

1
∴ a n +1

= 1 2

1 1 + n +1 an 2 bn = bn ?1 + 1 2n



bn =

1 an



bn +1 = bn +

n +1





bn ? bn ?1 =

1 2n 1

bn ?1 ? bn ? 2 = bn ? 2 ? bn ? 3 = b3 ? b2 = + b2 ? b1 = 1 23 1 22

2 n ?1 1 2 n ? 2 ……

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1 1 [1 ? ( ) n?1 ] 2 1 1 2 = 2 = ? n 1 1 1 1 2 2 bn ? b1 = 2 + 3 + L + n 1? 2 2 2 2


bn =

1 1 1 2n ?1 ? + = 2 2n 2 2n an =



an =

2n 2n ? 1

5. 已知: a1 = 1 , n ≥ 2 时, 解:

1 a n ?1 + 2n ? 1 2 ,求 {a n } 的通项公式。

1 a n + An + B = [a n ?1 + A(n ? 1) + B] 2 设 an = 1 1 1 1 a n ?1 ? An ? A ? B 2 2 2 2

? 1 ?? 2 A = 2 ? ? ? ? 1 A ? 1 B = ?1 ? 2 ∴ ? 2

? A = ?4 ? 解得: ? B = 6

∴ a1 ? 4 + 6 = 3

1 ∴ {a n ? 4n + 6} 是以 3 为首项, 2 为公比的等比数列 1 a n ? 4n + 6 = 3 ? ( ) n ?1 2 ∴ 【模拟试题】 模拟试题】
n 1. 已知 {a n } 中, a1 = 3 , a n +1 = a n + 2 ,求 a n 。



an =

3 2 n ?1

+ 4n ? 6

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2. 已知 {a n } 中, a1 = 1 , a n = 3a n ?1 + 2 ( n ≥ 2 )求 a n 。

n 3. 已知 {a n } 中, a1 = 1 , a n = 2 a n ?1 + 2 ( n ≥ 2 )求 a n 。

4. 已知 {a n } 中, a1 = 4 ,

an = 4 ?

4 a n ?1 ( n ≥ 2 )求 a n 。

2 2S n an = 2S n ? 1 ( n ≥ 2 ) 5. 已知 {a n } 中, a1 = 1 ,其前 n 项和 S n 与 a n 满足

1 } S n 为等差数列 (2)求 {a n } 的通项公式 (1)求证: {

1 2 {a n } 中,前 n 项和 S n 满足 S n = 8 ( a n + 2) 6. 已知在正整数数列 1 bn = 2 a n ? 30 求 {bn } 的前 n 项和的最小值 (2)若
12

(1)求证: {a n } 是等差数列

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1. 解: 由 a n +1 = a n + 2 ,得 a n = a n ?1 + 2
n n ?1

∴ a n ? a n ?1 = 2

n ?1

a n ?1 ? a n ? 2 = 2 n ? 2 ……

+ a 2 ? a1 = 2
2(1 ? 2 n ?1 ) a n ? a1 = = 2n ? 2 1? 2 ∴
2. 解: 由 a n = 3a n ?1 + 2 得: a n + 1 = 3( a n ?1 + 1)
n n ∴ a n = 2 ? 2 + a1 = 2 + 1

an + 1 =3 a n?1 + 1 ∴

即 {a n + 1} 是等比数列
n ?1 n ?1 ∴ a n = ( a1 + 1) ? 3 ? 1 = 2 ? 3 ? 1

a n + 1 = ( a1 + 1) ? 3 n ?1
3. 解:

an 1 a n a n ?1 a ? n ?1 = 1 { n} = + (n ? 1) n n n 2 2 由 a n = 2 a n ?1 + 2 得 2 ∴ 2 成等差数列, 2
n



a n = n ? 2 n ? 2 n ?1
4. 解:

a n +1 ? 2 = 2 ?
1
∴ a n +1 ? 2

4 2(a n ? 2) = an an

1
∴ a n +1 ? 2

=

an 1 1 = + 2(a n ? 2) 2 a n ? 2 ( n ≥ 1 )

?

1 1 1 = bn = a n ? 2 2 ( n ≥ 1 )设 an ? 2
1 (n ≥ 1) 2 1 1 1 n = + (n ? 1) ? = 2 2 ∴ a n ? 2 a1 ? 2
13



bn +1 ? bn =

∴ {bn } 是等差数列

an =

2 +2 n

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5. 解:

(1)

S n ? S n ?1 =

2 2S n 2S n ? 1

∴ S n ?1 ? S n = 2 S n S n ?1

1 1 ? =2 S n S n ?1 1 = 2n ? 1 ∴ Sn

{


1 } S n 是首项为 1,公差为 2 的等差数列

(2)

Sn =

1 2n ? 1

1 2 ) ?2 2n ? 1 = an = (n ≥ 2) 2 1 4n ? 8n + 3 2? ?1 2n ? 1 ∴ 2(
?1 ? an = ? ?2 ? 4 n 2 ? 8n + 3 ? ∴ n =1 ( n ≥ 2)

又 ∵ a1 = 1 6. 解:

1 a1 = S1 = (a1 + 2) 2 8 (1)

∴ a1 = 2

1 1 a n = S n ? S n ?1 = (a n + 2) 2 ? (a n ?1 + 2) 2 n ≥ 2 时, 8 8
整理得: ( a n + a n ?1 )( a n ? a n ?1 ? 4) = 0 ∵ {a n } 是正整数数列 ∴ a n + a n ?1 ≠ 0 ∴ a n ? a n ?1 = 4 ∴ a n = 4n ? 2

∴ {a n } 是首项为 2,公差为 4 的等差数列

(2)

bn =

1 (4n ? 2) ? 30 = 2n ? 31 2
2 ∴ S n = n ? 30n

∴ {bn } 为等差数列

2 ∴ 当 n = 15 时, S n 的最小值为 15 ? 30 × 15 = ?225

14


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