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2016年高考数学总复习 第三章 三角函数与解三角形 第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件 理


第2讲

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

π 1.能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 ± α,π±α的正 弦、余弦、正切的诱导公式. 2.理解同角三角函数的基本关系式: sinx sin x+cos x=1,cosx=tanx.
2 2

1.同角三角函数关系式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. sinα =tanα. (2)商数关系: cosα

2.六组诱导公式 组数 角 一 2kπ+α (k∈Z) sinα cosα tanα 二 π+α - sinα ______ 三 -α -sinα 四 π-α sinα 五 π -α 2 cosα sinα — 六 π +α 2 cosα -sinα —

正弦 余弦 正切
口诀

cosα -cosα -cosα ______ tanα -tanα -tanα ______

函数名不变 符号看象限

函数名改变 符号看象限

3.三角函数线 设角α的顶点在坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边与 单位圆相交于点 P,过点 P 作 PM 垂直于 x 轴于点 M,则点 M 是点 P 在 x 轴上的正射影.由三角函数的定义知,点 P 的坐标 为(cosα,sinα),其中cosα=OM,sinα=MP.单位圆与x轴的正 半轴交于点 A,单位圆在点 A 的切线与角α的终边或其反向延长 线相交于点 T,则 tanα=AT.我们把有向线段 OM,MP,AT 分 别叫做α的余弦线、正弦线、正切线.

三角 函数线 有向线段 OM 为余弦线

有向线段 MP 为 有向线段 AT 为正
正弦线 切线

1.cos330°=( C )
1 A.2 1 B.-2 3 C. 2 3 D.- 2

2.sin585°的值为( A )
2 A.- 2 3 C.- 2 2 B. 2 3 D. 2

3 π 3.若cosα=5,-2<α<0,则tanα=( C ) 4 A.3 4 C.-3 3 B.4 3 D.-4

sinα+cosα 4 4.已知tanα=3,则 =________. sinα-2cosα

考点1

求三角函数值

5 例1:(2013年大纲)已知角α是第二象限角,sinα= ,则 13 cosα=( ) 12 A.- 13 5 B.- 13
2

5 C. 13

12 D. 13

12 ?5? 解析:cosα=± 1 ? ? ? =±13 ,因为角α是第二象限角, ? 13 ? 12 所以cosα=-13.故选A.

答案:A

【规律方法】(1)已知sinα,cosα,tanα三个三角函数值中

的一个,就可以求另外两个.但在利用平方关系实施开方时,
符号的选择是看α属于哪个象限,这是易出错的地方,应引起重

视.而当α的象限不确定时,则需分象限讨论,不要遗漏终边在
坐标轴上的情况. (2)同角三角函数的基本关系式反映了各种三角函数之间 的内在联系,为三角函数式的性质、变形提供了工具和方法.

【互动探究】
?5π ? 1 1.(2013年广东)已知sin? 2 +α?=5,则cosα=( ? ?

C )

2 A.-5 1 C. 5

1 B.-5 2 D. 5

?5π ? ? ? ?π ? π 1 解析:sin? 2 +α?=sin?2π+2+α?=sin?2+α?=cosα=5. ? ? ? ? ? ?

考点2

三角函数的化简

1-2sin10° cos10° 例2:化简:(1) ; 2 cos10° - 1-cos 10° 1-sin4α-cos4α (2) . 1-sin6α-cos6α
?sin10° -cos10° ?2 解:(1)原式= cos10° -|sin10° | |sin10° -cos10° | cos10° -sin10° = = =1. cos10° -sin10° cos10° -sin10°

?cos2α+sin2α?2-cos4α-sin4α (2)方法一:原式= ?cos2α+sin2α?3-cos6α-sin6α 2cos2α· sin2α 2 = = . 3cos2αsin2α?cos2α+sin2α? 3 1-?cos4α+sin4α? 方法二:原式= 1-?cos6α+sin6α? 1-[?cos2α+sin2α?2-2cos2α· sin2α] = 1-?cos2α+sin2α??cos4α-cos2α· sin2a+sin4α? 1-1+2cos2α· sin2α = 1-[?cos2α+sin2α?2-3cos2α· sin2α] 2cos2α· sin2α 2 =3cos2α· sin2α=3.

?1-cos2α??1+cos2α?-sin4α 方法三:原式= ?1-cos2α?· ?1+cos2α+cos4α?-sin6α sin2α?1+cos2α-sin2α? = 2 sin α?1+cos2α+cos4α-sin4α? 2cos2α = 1+cos2α+?cos2α+sin2α??cos2α-sin2α? 2cos2α 2cos2α 2 = = 2 = . 1+cos2α+cos2α-sin2α 3cos α 3

【规律方法】化简三角函数式应看清式子的结构特征并作

有目的的变形,注意“1”的代换、乘法公式、切化弦等变形技巧,

对于有平方根的式子,去掉根号的同时加绝对值号再化简.本
题出现了sin4α,sin6α,cos4α,cos6α,应联想到把它们转化为 sin2α,cos2α的关系,从而利用1=sin2α+cos2α进行降幂解决.

【互动探究】
? π? 2.设函数f(x)=sin?2x-2?,x∈R,则f(x)是( ? ?

B )

A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 π C.最小正周期为2的奇函数 π D.最小正周期为2的偶函数
解析:f(x)=-cos2x 是周期为π的偶函数.故选 B.

考点3

三角函数的证明

tanα· sinα tanα+sinα 例3:求证: = sinα . tanα-sinα tanα·

tan2α-sin2α 证明:方法一:右边= ?tanα-sinα?· tanαsinα tan2α-tan2αcos2α = ?tanα-sinα?· tanαsinα tan2α?1-cos2α? = ?tanα-sinα?· tanαsinα tan2αsin2α = ?tanα-sinα?tanαsinα

tanαsinα = =左边. tanα-sinα ∴原等式成立. tanα· sinα sinα 方法二:左边= = , tanα-tanαcosα 1-cosα tanα+tanαcosα 1+cosα 右边= = tanαsinα sinα 1-cos2α sin2α sinα = = = . sinα?1-cosα? sinα?1-cosα? 1-cosα ∵左边=右边,∴原等式成立.

方法三:∵tanα-sinα≠0,tanα· sinα≠0, 要证原等式成立, 只要证 tan2α· sin2α=tan2α-sin2α成立, 而 tan2α· sin2α=tan2α(1-cos2α)=tan2α-(tanαcosα)2 =tan2α-sin2α,即 tan2α· sin2α=tan2α-sin2α成立, ∴原等式成立. 【规律方法】证明三角恒等式,可以从左向右证,也可以 从右向左证,证明两端等于同一个结果,对于含有分式的还可

以考虑应用比例的性质.

【互动探究】
tan?2π-α?sin?-2π-α?cos?6π-α? 3.求证: =tanα. cos?α-π?sin?5π+α?

sin?2π-α? · sin?-α?cos?-α? cos?2π-α? 证明:左边= cos?α-π+2π?sin?π+α? sin?-α?· ?-sinα?cosα -sinαcosα = = =tanα=右 cos?-α?cos?π+α??-sinα? cosα· ?-cosα? 边. ∴原等式成立.

●难点突破●

⊙三角齐次式问题
例题:已知 3sinα-2cosα=0,求下列各式的值:

cosα-sinα cosα+sinα (1) + ; cosα+sinα cosα-sinα (2)sin2α-2sinαcosα+4cos2α.

2 解:由已知,得tanα=3. cosα-sinα cosα+sinα (1) + cosα+sinα cosα-sinα 1-tanα 1+tanα = + 1+tanα 1-tanα 2 2 1-3 1+3 = 2+ 2 1+ 1- 3 3 26 =5.

(2)sin2α-2sinαcosα+4cos2α sin2α-2sinαcosα+4cos2α = sin2α+cos2α tan2α-2tanα+4 = tan2α+1 4 4 - +4 9 3 = 4 +1 9 28 =13.

m sin?+ncos? 【规律方法】已知tanα的值,求形如 式子的 m sin?-ncos?
sin? m tan?+n 值时,可利用tanα= 把上式转化为 求值;而对 cos? m tan?-n

形如asin2α+bsinαcosα+ccos2α的式子,可把分母看作1,进而 将1=sin2α+cos2α代入,转化为关于tanα的函数后再求值.

【互动探究】
4.已知 tanα=-2,求下列各式的值:

4sinα-2cosα (1) ; 5cosα+3sinα

1 2 2 2 (2)4sin α+5cos α.

解:tanα=-2,则cosα≠0. 4sinα-2cosα 4tanα-2 4×?-2?-2 (1) = = =10. 5cosα+3sinα 5+3tanα 5+3×?-2? 1 2 2 2 1 2 2 sin α+ cos α tan α+ 4 5 4 5 1 2 2 2 (2) sin α+ cos α= = 2 2 2 4 5 sin α+cos α tan α+1 1 2 2 4×?-2? +5 7 = = . 25 ?-2?2+1


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