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高考理科数学一轮复习考案2.4 二次函数与幂函数_图文

§2.4 二次函数与幂函数
考纲解读 知识盘点 命题预测

基础拾遗
技巧归纳 例题备选

?

典例精析

真题探究

?
考 1 点 考纲解读 掌握含参数的二次函数的 最值、单调性,会利用分 类讨论解决问题. 2 二次函数与方程、不等式 会用函数研究方程和不等 、函数 式,结合其他函数研究二 二次函数的性质及应用

次函数的性质.
3 幂函数 了解幂函数的性质.

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?
高考中常以二次函数为载体,考查数形结合及等价转化、函数 与方程的思想.在高考中对基础知识的考查多以选择题、填空题为 主,对知识技能的考查多出现与函数的性质、二次方程、不等式相 结合的综合性较强的解答题,极可能出现与导数相结合的解答题.

?

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基础拾遗 例题备选

1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式: ①一般式:y=ax2+bx+c(a≠0).

②顶点式:f(x)=a(x-k)2+h(其中点(k,h)为二次函数的顶点).
③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(其中二次函数的零点为x1与x2). 2.二次函数的图象与性质

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基础拾遗 例题备选

f(x)=ax2+bx+c 图象

a>0

a<0

?
分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况 R

?

Δ 定义域

值域

[

?

4ac ? b 2 4a ,+∞)

(-∞,

?

4ac ? b 2 4a ]

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基础拾遗 例题备选

(续表)
f(x)=ax2+bx+c 单调性 在(-∞,b 2a

a>0

a<0

?)上单调递减
b 2a

在(-∞,b 2a

?

b 2a

)上单调递增

在(对称性

?,+∞)上单调递增 ?对称

在(-

?,+∞)上单调递减

图象关于直线x=a、b、c的作用

a决定图象开口方向,a与b决定对称轴,

b 2a

c决定与y轴的交点,a、b、c共同决定图 象的顶点.

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基础拾遗 例题备选

3.幂函数 (1)幂函数的概念:形如y=xα的函数称为幂函数,其中α为常数. (2)幂函数(y=xα)的性质:

当α>0时

① 图象都通过点(1,1).

② 在第一象限内,函数值随x的增大而增大. ③ 在第一象限内,α>1与0<α<1的图象凹凸性不一样. ④ 图象在点(1,1)处发生交叉. ① 图象都通过点(1,1). 当α<0时

② 在第一象限内,函数值随x的增大而减小.
③ 图象在点(1,1)处发生交叉.

?

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基础拾遗 例题备选

1.(2011年辽宁沈阳二中月考)已知幂函数f(x)过点(4,2),则f(9)等于? ( (A)1. ) (B)2. (C)3. (D)4

【解析】设f(x)=xα,点(4,2)在函数图象上,∴2=4α,
1 1 ∴α=? ,∴f(9)=?=3. 92 2

【答案】C

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基础拾遗 例题备选

2.(2011届福州三中月考)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足2a+? >b且c <0,则含有f(x)零点的一个区间是? ( (A)(-2,0).
c 2

c 2

) (C)(0,1). (D)(0,2).

(B)(-1,0).

【解析】∵2a+? >b且c<0,∴4a-2b+c>0且c<0,
? f (?2) ? 0, ∴? ∴在(-2,0)内存在零点. f (0) ? 0, ?

?

【答案】A

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3.(2011年广东中山实验高中)在同一坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=

ax-? 的图象可能是? (

1 a

)

?
1 <0,此时幂函 【解析】当a>0时,直线的斜率为正,在y轴上的截距为-? a

数y=xa在(0,+∞)上是增函数,故A、D图象不可能,对于C,由y=xa的图 象知a>1,而直线的斜率0<a<1,不符合.故选B. 【答案】B
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4.若f(x)=x2-ax+1有负值,则实数a的取值范围是( (A)a≤-2. (C)a>2或a<-2. (B)-2<a<2. (D)1<a<3.

)

【解析】∵f(x)=x2-ax+1有负值, ∴Δ=a2-4>0,即a>2或a<-2.

【答案】C

?
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题型1二次函数、幂函数基础试题

? 例1 (1)已知函数f(x)=-2x2+6x-m的值恒小于0,则实数m取值范
围为 .

(2)若函数f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图象关于直线x=1对称,则函
数f(x)的最大值为 . .

(3)若-1<x<0,则0.5x、5-x及5x从小到大的顺序为

【分析】(1)二次函数的开口向下,故只需二次函数的顶点在x轴的 下方即可.
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(2)函数的图象关于直线x=1对称,则定义域关于1对称,可列出一个方 程.对称轴为直线x=1,也可列出一个方程.解二元一次方程组得出a,b 的值. (3)三个数的指数都有x,故把三个数的指数化成正数,再分析底数即可.

【解析】(1)f(x)=-2x2+6x-m=-2(x2-3x+? ? )-m+ =-2(x-?2 ? )2-m+ ≤-m+? , 2 <0,∴m>? . ∵函数f(x)=-2x +6x-m的值恒小于0, ∴-m+? 2 2
2

9 4

9

3

9 2

9 2

9

9

(2)∵ 函数的图象关于直线x=1对称, ∴
? a?2 ? 1, ?? 2 ? ?a ? b ? 2, ?

?∴

?a ? ?4, ?∴f(x)=x2-2x+6(-4≤x≤6), ? ?b ? 6,
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∵f(x)开口向上,图象关于[-4,6]对称,函数f(x)的最大值为f(-4)=f(6)=30. (3)0.5x=2-x,5x=0.2-x,∵-1<x<0,0<-x<1,0.2<0.5<5, 且y=xα(α>0)在(0,+∞)上是增函数, ∴0.2-x<2-x<5-x(-1<x<0), ∴5x<0.5-x<5-x.
9 【答案】(1)(? ,+∞) 2

(2)30 (3)5x<0.5-x<5-x

【点评】(1)(2)从二次函数的开口方向与参数的结合命题,还结合了
恒成立与对称轴等问题,属二次函数的性质与应用范围.(3)从比较大 小入手,考查幂函数的性质.

变式训练1

(1)若函数f(x)=x2+ax(a∈R),则下列结论成立的是 (

)

(A)函数f(x)一定是偶函数. (B)函数f(x)一定存在零点. (C)函数f(x)在(0,+∞)上一定是增函数. (D)函数f(x)在(a,+∞)上一定是增函数. (2)已知函数f(x)=x2-2x,x∈[a,b]的值域为[-1,3],则b-a的取值范围是

.
(3)当x∈(0,+∞)时,幂函数f(x)=(m2-m-1)x-m+1为减函数,则实数m= .
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【解析】(1)只有a=0时,函数f(x)才是偶函数,故A错; 函数f(x)在(-∞,-? )上是减函数,在(-? ,+∞)上是增函数,故C、D错.
(2)f(x)=(x-1)2-1≥-1,知1∈[a,b],令x2-2x=3,则x=3或x=-1, ∴? ?
?a ? ?1, ?1 ? b ? 3

a 2

a 2

或?

??1 ? a ? 1, ∴2≤b-a≤4. ?b ? 3,

?

? m 2 ? m ? 1 ? 1, (3)由题知 ? ? ? m ? 1 ? 0,

?

,∴m=2.

【答案】(1)B (2)[2,4]

(3)2

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题型2与二次函数有关的问题

? 例2 已知二次函数f(x)满足:①f(3-x)=f(x),②f(1)=0,③对任意实
数x,f(x)≥?-? 恒成立,求f(x)的解析式. 【分析】由f(3-x)=f(x),可得到f(x)的对称轴为x=? ;由f(1)=0可得a、b 、c的一个方程;由③对任意实数x,f(x)≥?-? 恒成立,可知把f(x)表示
1 1 4a 2
3 2

1 1 4a 2

成a的形式后转化为含参不等式恒成立问题.
【解析】∵f(x)为二次函数,故设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), ∵f(3-x)=f(x),可得到f(x)的对称轴为x=? ,
3 2

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基础拾遗 例题备选

∴-?=? ,∴b=-3a, ∵f(1)=0,∴a+b+c=0,∴c=-a-b=2a, ∴f(x)=ax2-3ax+2a, ∵对任意实数x,f(x)≥?-? 恒成立, ∴ax2-3ax+2a-?+? ≥0恒成立.
?a ? 0, ?a ? 0, ? ? ∴?? 9a 2 ? 4a(2a ? 1 ? 1 ) ? 0, ?a 2 ? 2a ? 1 ? 0, ? ?Δ 4a 2 ?
1 4a
1 2

b 2a

3 2

1 1 4a 2

∴ax2-3ax+2a≥?-? 恒成立.

1 1 4a 2

∴a=1.∴f(x)=x2-3x+2.

【点评】本题利用数形结合的思想确定函数的对称轴,并对恒成立

问题进行转化分析再结合二次函数图象确定Δ≤0.本题也可以设出f
(x)=ax2+bx+c(a≠0),直接分析f(3-x)=f(x),可得到a、b的关系.
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变式训练2 函数f(x)=x2-2x+2在[t,t+1](t∈R)上的最小值为g(t),求g(t) 的解析式.

【解析】函数f(x)=x2-2x+2的对称轴为x=1,开口向上,
∴f(x)在(-∞,1)上是减函数;在(1,+∞)上是增函数. 当t<0时,t+1<1,函数f(x)在[t,t+1]上是减函数,g(t)=f(t+1)=t2+1;

当0≤t≤1时,x∈[t,t+1],函数f(x)的最小值g(t)=f(1)=1;
当t>1时,函数f(x)在[t,t+1]上是增函数,g(t)=f(t)=t2-2t+2.
?t 2 ? 1(t ? 0), ? ∴g(t)= ?1(0 ? t ? 1), ?t 2 ? 2t ? 2(t ? 1). ?

?

题型3二次函数与其他基本函数的结合

? 例3

3? 已知函数f(x)=?2 x ?ax?1(a∈R).
2

(1)若函数的单调递增区间为(-∞,1),求a的值; (2)若函数f(x)的值域为(0,9],求a的值. 【分析】(1)利用复合函数确定函数的单调区间,再利用单调区间求 a的值;
(2)利用函数的值域分析指数的范围,再求a的值.

【解析】(1)设g(x)=-2x2-ax+1,对称轴为x=-? ,开口向下,
a a 则g(x)在(-∞,-? )上是增函数,在(-? ,+∞)上是减函数. 4 4
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a 4

y=3x在R上是增函数,
则f(x)= 3?2 x ?ax?1 (a∈R)在(-∞,- ?)上是增函数,在(-?,+∞)上是减函数.
2

a 4

a 4

a ∴-? =1,∴a=-4. 4

(2)函数f(x)的值域为(0,9],则g(x)=-2x2-ax+1的值域为(-∞,2],
a2 a 2 a2 g(x)=-2(x+?) +?+1≤?+1, 8 8 4 a2 ∴?+1=2,∴a=±2?. 2 8

【点评】本题需要对问题进行转化,对二次函数有关问题的探究需

要数形结合,故需要运用化归与数形结合的思想,第一小题也可以用
导数的方法进行解答.
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变式训练3 设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|. (1)若f(0)≥1,求a的取值范围; (2)求f(x)的最小值; (3)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式h (x)≥1的解集. 【解析】(1)因为f(0)=-a|-a|≥1,所以-a>0,即a<0. 由a2≥1知a≤-1.因此,a的取值范围为(-∞,-1].
? a 2 2a 2 , x ? a, ① ?3( x ? ) ? (2)记f(x)的最小值为g(a).有f(x)=2x2+(x-a)· |x-a|= ? 3 3 ?( x ? a ) 2 ? 2 a 2 , x ? a , ② ?

?

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基础拾遗 例题备选

(ⅰ)当a≥0时,f(-a)=-2a2,由①②知f(x)≥-2a2,此时g(a)=-2a2.
2 2 2 a (ⅱ)当a<0时,f(?)=?a .若x>a,则由①知f(x)≥?a2;若x≤a,则x+a≤2a<0, 3 3 3

由②知f(x)≥2a2>?a2.此时g(a)=?a2.
??2a 2 , a ? 0, 综上得g(a)= ? 2a 2 ? , a ? 0. ? ? 3

2 3

2 3

?

(3)(ⅰ)当a∈(-∞,-?]∪[?,+∞)时,解集为(a,+∞); (ⅱ)当a∈[a ? 3 ? 2a 2 2 2 ?,?)时,解集为[ ?,+∞); 3 2 2

6 2

2 2

6 2 a ? 3 ? 2a 2 (ⅲ)当a∈(-?,-?)时,解集为(a,? 2 2 3
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]∪[?
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a ? 3 ? 2a 2 3

,+∞).

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1.注意数形结合,密切联系图象是研究掌握二次函数性质的基本方 法.二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象开口方向、顶点坐标、对称轴及 单调区间等是处理二次函数的重要依据. 2.注意二次函数与方程、不等式和导数等的结合,充分利用二次函 数的性质解决问题.

3.注意对二次函数的零点问题、判别式、函数区间端点值的正负的
分析. 帮助学生从知识、方法、思想等方面总结归纳,反思提高.
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1.(2011年安徽卷)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,

则f(1)等于? (
(A)-3. (B)-1.

)
(C)1. (D)3.

【解析】f(x)为奇函数,则f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-(-1)]=-3.
【答案】A

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2.(2011年浙江卷)若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a= 【解析】因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x), 即x2-|x+a|=(-x)2-|-x+a|?|x+a|=|x-a|,所以a=0. 【答案】0

.

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基础拾遗 例题备选

3.(2011年广东卷)设a>0,讨论函数f(x)=ln x+a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性. 【解析】函数的定义域为(0,+∞),对f(x)求导可得:
1 f'(x)=? +2a(1-a)x-2(1-a) x
2a(1 ? a) x 2 ? 2(1 ? a) x ? 1 =? , x

令g(x)=2a(1-a)x2-2(1-a)x+1,
(1)当a=1时,g(x)=1,f'(x)>0,此时函数在(0,+∞)是增函数; (2)当0<a<1时,令g(x)=0,则Δ=4(1-a)2-8a(1-a)=4(1-a)(1-3a),

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①当0<a<?时,g(x)=0有两个不等实数根,x1=?
1 3

(1 ? a) ? (1 ? a)(1 ? 3a) 2a(1 ? a)

>0,

x2=

(1 ? a) ? (1 ? a)(1 ? 3a) , 2a(1 ? a)

且x2>x1,函数开口向上, 当x∈(0,x1)时,g(x)>0,此时f'(x)>0,函数在(0,x1)上单调递增; 当x∈(x1,x2)时,g(x)<0,此时f'(x)<0,函数在(x1,x2)上单调递减; 当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,此时f'(x)>0,函数在(x2,+∞)上单调递增. ②当a=?时,g(x)=0有两个相等正实根,则g(x)≥0,此时f'(x)≥0,函数在 (0,+∞)是增函数.
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1 3

③当?<a<1时,g(x)=0无实数解,此时g(x)>0,则f'(x)>0,函数在(0,+∞)是 增函数. (3)当a>1时,函数图象开口向下,g(x)=0有一正根和一负根,

1 3

其中x1=
x2=

(1 ? a) ? (1 ? a)(1 ? 3a) >0, 2a(1 ? a)

?

(1 ? a) ? (1 ? a)(1 ? 3a) 2a(1 ? a)

?<0,

函数在(0,x1)上单调递增,在(x1,+∞)上单调递减.

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? 例1 已知二次函数f(x)=ax2+bx满足条件:①f(0)=f(1);②f(x)的最
小值为-? . (1) 求函数f(x)的解析式; (2) 设数列{an}的前n项积为Tn,
4 f(n) 且Tn=(? , ) 5

1 8

求数列{an}的通项公式.

【解析】(1) 由题知:

?

? ?a ? b ? 0, ? ?a ? 0, ? b2 1 ?? ?? , 8 ? 4a

1 ? a? , ? 解得 ? 2 ? ?b ? ? 1 , ? 2 ?

?

故f(x)=?2-? x x.
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1 2

1 2

4 2 ) (2)Tn=a1a2…an=(??, 5 4 ) Tn-1=a1a2…an-1=(??2 5
T Tn?1
( n ?1)2 ?( n ?1)

n2 ?n

(n≥2),

n ∴an=?=(?)n-1(n≥2),

4 5

又a1=T1=(?)f(1)=1满足上式,所以an=(?)n-1(n∈N*).

4 5

4 5

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? 例2 已知幂函数f(x)的图象过点(2,4),幂函数g(x)的图象过点(2,
1 ? ). 8

(1)求f(x),g(x)的解析式; (2)解不等式f(x)>g(x). 【解析】(1)设f(x)=xα,g(x)=xβ, ∵幂函数f(x)的图象过点(2,4),幂函数g(x)的图象过点(2,? ), ∴2α=4,2β=? ,∴α=2,β=-3,
1 8 1 8

∴f(x)=x2,g(x)=x-3.
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(2)由f(x)>g(x)可得x2>x-3, 当x≥0时,x2>x-3>0,∴x5>1,∴x>1.

当x<0时,x2>0,x-3<0,∴x2>x-3恒成立.
综上:不等式f(x)>g(x)的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).

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? 例3 已知函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在区间[0,2]上有最小值3,求
a的值.

【解析】∵f(x)=4(x-?2-2a+2,对称轴为x=? ) .
①当? ≤0,即a≤0时,函数f(x)在[0,2]上是增函数, ∴f(x)min=f(0)=a2-2a+2.
2 2 由a2-2a+2=3,得a=1±? .∵a<0,∴a=1-? .

a 2

a 2

a 2

a ②当0<? <2,即0<a<4时, 2

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f(x)min=f(? )=-2a+2. 由-2a+2=3,得a=-? ?(0,4),舍去. ③当? ≥2,即a≥4时,函数f(x)在[0,2]上是减函数,f(x)min=f(2)=a2-10a+1 8.
10 由a2-10a+18=3,得a=5±? , 10 ∵a≥4,∴a=5+? . 10 综上所述,a=1-?2 或a=5+? .

a 2

1 2

a 2

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