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高中数学选修4-4极坐标系1

高中数学选修 4-4 教案
第一备课人:姚雪艳

第一讲

坐标系

二极坐标系 课题:1、极坐标系的的概念 教学目标: 知识与技能:理解极坐标的概念 过程与方法:能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置, 体会在极坐标系和平 面直角坐标系中刻画点的位置的区别. 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:理解极坐标的意义 教学难点:能够在极坐标系中用极坐标确定点位置 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 情境 1:军舰巡逻在海面上,发现前方有一群水雷,如何确定它们的位置以便将 它们引爆? 情境 2: 如图为某校园的平面示意图, 假设某同学在教学楼处。 (1)他向东偏 60°方向走 120M 后到达什么位置?该位 置惟一确定吗? (2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置,他应如何描 述? 问题 1:为了简便地表示上述问题中点的位置,应创建怎 样的坐标系呢? 问题 2:如何刻画这些点的位置? 这一思考, 能让学生结合自己熟悉的背景,体会在某些情况下用距离与角度 来刻画点的位置的方便性,为引入极坐标提供思维基础. 二、讲解新课: 从情镜 2 中探索出:在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。 这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想,就是极坐标的基本思想。 1、极坐标系的建立: 在平面上取一个定点 O, 自点 O 引一条射线 OX,同时确定一个单位长度和计 算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向) ,这样就建立了一个极坐标系。 (其中 O 称为极点,射线 OX 称为极轴。 ) 2、极坐标系内一点的极坐标的规定

对于平面上任意一点 M, 用 ? 表示线段 OM 的长度, 用 ? 表示从 OX 到 OM 的角度,? 叫做点 M 的极径,? 叫做点 M 的极角,有序数对(?,?)就叫做 M 的极坐标。 特别强调: 由极径的意义可知 ?≥0;当极角 ? 的取值范围是[0,2 ? )时,平面上 的点(除去极点)就与极坐标(?,?)建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标 是极径 ?=0,极角是任意角. 3、负极径的规定 在极坐标系中,极径 ? 允许取负值,极角 ? 也可以去任意的正角或负角 当 ?<0 时,点 M (?,?)位于极角终边的反向延长线上,且 OM= ? 。 M (?,?)也可以表示为 ( ? ,? ? 2k? )或(?? ,? ? (2k ? 1)? ) (k ? z ) 4、数学应用 例 1 写出下图中各点的极坐标(见教材 14 页) A(4,0)B(2 )C( ) D( )E( )F( ) G( ) ① 平面上一点的极坐标是否唯一? ② 若不唯一,那有多少种表示方法? ③坐标不唯一是由谁引起的? ③ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式 约定:极点的极坐标是 ? =0, ? 可以取任意角。 变式训练 在极坐标系里描出下列各点 5? ? 4? A(3,0) B(6,2 ? )C(3, )D(5, )E(3, )F(4, ? )G(6, 6 2 3 5? 3 点的极坐标的表达式的研究 5? ? 例 2 在极坐标系中,(1)已知两点 P(5, ) ,Q (1, ) ,求线段 PQ 的长度; 4 4 ? (2)已知 M 的极坐标为(?,?)且 ?= ,? ? R ,说明满足上述条件的点 M 的位 3 置。 例 3 已知 Q(?,?) ,分别按下列条件求出点 P 的极坐标。 (1) P 是点 Q 关于极点 O 的对称点; ? (2) P 是点 Q 关于直线 ? ? 的对称点; 2 (3) P 是点 Q 关于极轴的对称点。 三、巩固与练习 ? 1.在极坐标系中,与点 ( ?8, ) 关于极点对称的点的一个坐标是( ) 6

? 5 2 在极坐标系中,如果等边 ?ABC 的两个顶点是 A(2, ), B(2, ), 求第三个顶点 C 4 4 的坐标。

? 5? 5? ? A(8, ), B(8,? ), C (?8, ), D(?8,? ) 6 6 6 6

四、小结: 本节课学习了以下内容: 1.如何建立极坐标系。 2.极坐标系的基本要素是:极点、极轴、极角和度单位。 3.极坐标中的点与坐标的对应关系。 五、课后作业: 1、若 ?ABC 的的三个顶点为 A(5,
5? 5? 7? ), B(8, ), C (3, ), 判断三角形的形状 . 2 6 6

2、若 A、B 两点的极坐标为 ( ?1 ,?1 ), ( ? 2 ,? 2 ) 求 AB 的长以及 ?AOB 的面积。 (O 为极点) 六、板书设计:

新课知识

课题 例1 例2

练习 作业

七、课后反思:
将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程,直接利用公式 x=ρcosθ,y=ρsinθ 即可.将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程,要灵活运用 x=ρcosθ,y= y ρsinθ 以及 ρ= x2+y2,tanθ= (x≠0),同时要掌握必要的技巧. x


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