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江西省南昌市2015届高三第一次模拟测试


江西省南昌市 2015 届高三第一次模拟测试(改编)
数 学(文) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1、已知 i 为虚数单位,则复数 z ? ? ?1 ? 2i ? i 在复平面内对应的点位于( ) 2、若集合 ? ? x x ? x ? 4 ? ? 0 , ? ? x log 2 ? x ? x ? ? 1 ,则 ? ? ? (
2

A.第一象限

?

B.第二象限

?

A. ? 2, 4? C. ? ??,0?

?

C.第三象限

?0,4?

B. ? 2, 4? D. ? ??, ?1?

?

D.第四象限 )

?0, 4?

3、如图,在正四棱柱 ??CD ? ?1?1C1D1 中,点 ? 是面 ?1?1C1D1 内一 点,则三棱锥 ? ? ? CD 的正视图与侧视图的面积之比为( ) A. 1:1 B. 2 :1 C. 2 : 3 D. 3 : 2 4、 已知过定点 ? ? 2,0 ? 的直线 l 与曲线 y ? 2 ? x 2 相交于 ? ,? 两点,
? 为坐标原点,当 S???? ? 1时,直线 l 的倾斜角为(

) C. 120 D.不存在

A. 150

B. 135

?x ?1? y ? 0 ? 5、已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值与最小值的差为 2 ,则 ?y ? m ?

实数 m 的值为( A. 4

) B. 3 C. 2 D. ?
1 2

6、给出下列命题: 2 ①命题“ ?x ? R , x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R , x0 ? x0 ? 1 ? 0 ” ? ? 2 ? 3x ,当变量 x 增加一个单位时, y ? 平均增加 3 个单位 ②设回归直线方程 y

?? 1 ? ?? ? 7 ③已知 sin ? ? ? ? ? ,则 cos ? ? 2? ? ? 6? 3 ? ?3 ? 9 其中正确命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2

D. 3

3 7、在 ??? C 中,角 ? , ? , C 所对的边分别是 a , b , c ,若 c ? 1 , ? ? 45 , cos ? ? ,则 5 b 等于( ) 5 10 5 5 2 A. B. C. D. 3 7 7 14

8、若双曲线 C :

? x2 y 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线倾斜角为 ,则双曲线 C 的离心率为( 2 6 a b 2 3 2 3 A. 2 或 3 B. C. 2 或 D. 2 3 3



1

9、如图所示程序框图,其功能是输入 x 的值,输出相应的 y 值.若要使输入的 x 值与输 出的 y 值相等,则这样的 x 值有( )

A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个

10、如图, ? ? x? , y? ? , ? ? x? , y? ? 分别是函数 f ? x ? ? ? sin ??x ? ? ? ( ? ? 0 , ? ? 0 ) 的 图 象 与 两 条 直 线 l1 : y ? m , l2 : y ? ?m (? ? m ? 0) 的两个交点, 记 S ? x? ? x? , 则 S ? m? 图象大致是 ( )

[来源:学+科+网]

A.

B.

C.

D.

11、设无穷数列 ?an ? ,如果存在常数 ? ,对于任意给定的正数 ? (无论多小) ,总存在正整数
? ,使得 n ? ? 时,恒有 an ? ? ? ? 成立,就称数列 ?an ? 的极限为 ? .则四个无穷数列:①

1 1 1 1 ?1 ? ? ? ? ??? ? ?? ?1? ? 2? ;② ?n? ;③ ? 2 ? 2 2 2
n
2 3

n ?1

A. 1 个

B. 2 个

? ? 2n ? 1 ? ) ? ;④ ? ? ,其极限为 2 共有( ? ? n ? C. 3 个 D. 4 个

12、设函数 y ? f ? x ? 的定义域为 D ,若对于任意的 x1 , x2 ? D ,当 x1 ? x2 ? 2a 时,恒有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2b ,则称点 ? a, b ? 为函数 y ? f ? x ? 图象的对称中心,研究函数
f ? x ? ? x3 ? sin x ?1 的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到

f ? ?2015? ? f ? ?2014? ? f ? ?2013? ? … ? f ? 2014? ? f ? 2015? ? (
A. 0 B. 2014 C. 4028

) D. 4031

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13、 若 1,2,3,4, m 这五个数的平均数为 3,则这五个数的方差为



14、已知三角形 ?? C 中, ?? ? ?C , ?C ? 4 , ???C ? 90 , ?? ? 3?C ,若 ? 是 ? C 边上的 动点,则 ?? ? ?? 的取值范围是 .
2

15 、已知直三棱柱 ??C ? ?1?1C1 中, ???C ? 90 ,侧面 ?CC1?1 的面积为 2 ,则直三棱柱

??C ? ?1?1C1 外接球表面积的最小值为



? a ,x ?0 ? 16、 已知函数 f ? x ? ? ? x ? 1 (a ? 0) , 若关于 x 的方程 f ? ? f ? x ?? ? ? 0 有且只有一个实数解, ? ?lg x, x ? 0
则实数 a 的取值范围为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
17、 (本小题满分 12 分) (2015 年安徽文科已知数列 ?an ? 是递增的等比数列,且 a1 ? a4 ? 9, a2a3 ? 8. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, bn ?

an ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn Sn ?1

Tn 。

18、 (15 年天津文科)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27,9,18,先采用分层抽样的
方法从这三个协会中抽取 6 名运动员参加比赛. (I)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数; (II)将抽取的 6 名运动员进行编号,编号分别为 A 1 , A2 , A 3 , A4 , A 5, A 6 ,从这 6 名运动员中随机抽取 2 名 参加双打比赛;(i)用所给编号列出所有可能的结果; (ii)设 A 为事件“编号为 A5 , A6 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件 A 发生的概率.

3

19、 (本小题满分 12 分)如图 4,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面ABCD , AD ? CD ,且 DB 平分 ?ADC , E 为 PC 的中点, AD ? CD ? 1 , DB ? 2 2 , PD ? 2 . (1)证明: PA // 平面BDE ; (2)证明: AC ? PB ; (3)求三棱锥 E ? ABD 的体积.

x2 y 2 20、 (本小题满分 12 分) (2015 年天津文科)已知椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的上顶点为 B,左焦点为 F , a b 5 离心率为 , (I)求直线 BF 的斜率; 5
(II)设直线 BF 与椭圆交于点 P(P 异于点 B),故点 B 且垂直于 BF 的直线与椭圆交于点 Q(Q 异于点 B) 直线 PQ 与 x 轴交于点 M, |PM |=l |MQ| . (i)求 l 的值; (ii)若 |PM |sin?BQP =

7 5 ,求椭圆的方程. 9

4

21、 (本小题满分 12 分) (15 年福建文科)已知函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅱ)证明:当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1; (Ⅲ)确定实数 k 的所有可能取值,使得存在 x0 ? 1 ,当 x ? (1, x0 ) 时,恒有 f ? x ? ? k ? x ?1? .

( x ? 1) 2 ;(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; 2

请考生在第 22-24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,?? 为圆 ? 的切线,? 为切点,?? 交圆 ? 于 ? ,C 两点,?? ? 20 ,?? ? 10 ,???C 的角平分线与 ? C 和圆 ? 分别交于点 D 和 ? .

?1? 求证: ?? ? ?C ? ?? ? ?C ; ? 2 ? 求 ?D ? ?? 的值.

5

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? 3? t ? 2 ? (15 年陕西文科)在直角坐标版权法 xOy 吕,直线 l 的参数方程为 ? ,以原点为 (t 为参数) ?y ? 3 t ? ? 2
极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, (I)写出

C 的极坐标方程为 ? ? 2 3sin ? .

C 的直角坐标方程;(II) P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求点 P 的坐标.

[来源:Zxxk.Com]

24、 (本大题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

已知函数 f ? x ? ? x x ? a ( a ? R ) .

?1? 若 a ? 2 ,解关于 x 的不等式 f ? x? ? x ; ? 2 ? 若对任意的 x ? ? 0, 4? 都有 f ? x? ? 4 ,求 a 的取值范围.

6

江西省南昌市 2015 届高三 第一次模拟测试 数学(文)参考答案及评分标准
一、选择题 题目 答案 二、填空题 13. 2 三、解答题 17、 1 D 2 A 14. [2, 6] 3 A 4 A 5 C 6 B 7 C 8 B 9 B 10 C 11 B 12 D

15. 4?

16. (?1, 0)

=1 ?

1 2n ?1 ? 1

?

2n ?1 ? 2 . 2n ?1 ? 1

[学优高考网]

18、解: (I)应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为 3,1,2;

(II) (i)从这 6 名运动员中随机抽取 2 名参加双打比赛,所有可能的结果为 ? A 1, A 2? ,

?A1, A3? , ? A1, A4? , ?A1, A5? , ?A1, A6? , ? A2 , A3? , ? A2 , A4? , ? A2 , A5? , ? A2 , A6? , ? A3 , A4? , ? A3 , A5? , ? A3 , A6? , ? A4 , A5? , ? A4 , A6 ? , ? A5 , A6 ? ,共 15 种. ( ii )编号为 A5 , A6 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为 ? A 1, A 5? , ? A 1, A 6? , ? A 2, A 5? , ? A 2, A 6? ,
? A3 , A5? , ? A3 , A6? , ? A4 , A5? , ? A4 , A6? , ? A5 , A6? ,共 9 种,所以事件 A 发生的概率 P ? A? ? 15 ? 5 .
19、解: (1)证明:如图,设 AC BD ? F ,连接 EF ,因为 AD ? CD ,且 DB 平分 ?ADC , 所以 F 为 AC 中点,又因为 E 为 PC 的中点,所以 EF 为 ?PAC 的中位线,所以 PA / / EF , 又因为 EF ? 平面 BDE ,所以 PA // 平面BDE .………………………………………4 分
7

9

3

(2)证明:因为 AD ? CD ,且 DB 平分 ?ADC ,所以 AC ? BD ,又 PD ? 平面ABCD ,

AC ? 平面ABCD , 所以 PD ? AC ,又因为 PD BD ? D , 且 PD ? 平面 PBD 、 BD ? 平面 PBD ,所以 AC ? 平面 PBD ,又 PB ? 平面 PBD , 所以 AC ? PB .………………………………………8 分 (3)由(2)知 AF ? BD ,又因为 AD ? CD 、 AD ? CD ? 1 , 1 1 2 2 所以 AF ? ,所以 S?ABD ? BD ? AF ? ? 2 2 ? ? 1 ;……………………………9 分 2 2 2 2 又因为 PD ? 平面ABCD , PD ? 2 , E 为 PC 中点, 1 所以 E 到平面 ABD 的距离为 h ? PD ? 1 ; …11 分 2 1 1 1 所以 VE ? ABD ? S ?ABD ? h ? ?1?1 ? , 3 3 3 1 即三棱锥 E ? ABD 的体积为 .……………12 分 3 c 5 20、解: (I) F ? ?c,0 ? ,由已知 ? 及 a 2 ? b2 ? c 2 , 可得 a ? 5c, b ? 2c ,又因为 B ? 0, b ? ,故直线 a 5 b?0 b ? ?2 . BF 的斜率 k ? 0 ? ? ?c ? c
[来源:学.科.网]

(II)设点 P ? xP , yP ? , Q xQ , yQ , M ? xM , yM ? ,

?

?

x2 y2 ? ? 1, 直线 BF 的方程为 y ? 2 x ? 2c , 两方程联立消去 y 得 5c 2 4c 2 5c 1 .因为 BQ ? BP ,所以直线 BQ 方程为 y ? ? x ? 2c ,与椭圆方程联立消 3x2 ? 5cx ? 0, 解得 xP ? ? 3 2 xM ? xP x PM 7 40c 2 ? P ? . 去 y 得 21x ? 40cx ? 0 ,解得 xQ ? .又因为 ? ? ,及 xM ? 0 得 ? ? 21 xQ ? xM xQ 8 MQ
( i )由( I )可得椭圆方程为 (ii) 由 (i) 得

PM MQ

?

PM 15 7 5 7 7 7 PM ,又因为 |PM |sin?BQP = ,所以 , ? ? ,即 PQ ? 7 9 PM ? MQ 7 ? 8 15 8
15 |PM |sin? BQP 7 5 5 . 3
2 2

所以 BP =|PQ|sin?BQP =

5c ? ? 4c ? 5 5 4 5 5 5 5 ? c ,因此 又因为 yP ? 2 xP ? 2c ? ? c , 所以 BP ? ? 0 ? c? , c ? 1, ? ? ? 2c ? ? ? 3 3? ? 3 ? 3 3 3 ?

x2 y 2 ? ? 1. 5 4 1 ? x2 ? x ? 1 21、解: (I) f ? ? x ? ? ? x ? 1 ? , x ? ? 0, ??? . x x ?x ? 0 1? 5 由 f ? ? x? ? 0 得 ? 2 解得 0 ? x ? . 2 ?? x ? x ? 1 ? 0 ? 1? 5 ? 故 f ? x ? 的单调递增区间是 ? 0, ? ? ?. 2 ? ? 1 ? x2 (II)令 F ? x ? ? f ? x ? ? ? x ?1? , x ? ? 0, ??? .则有 F? ? x ? ? . x 当 x ? ?1, ?? ? 时, F? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递减,
所以椭圆方程为
8

故当 x ? 1 时, F ? x ? ? F ?1? ? 0 ,即当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1. (III)由(II)知,当 k ? 1 时,不存在 x0 ? 1 满足题意. 当 k ? 1 时,对于 x ? 1 ,有 f ? x ? ? x ?1 ? k ? x ?1? ,则 f ? x ? ? k ? x ?1? ,从而不存在 x0 ? 1 满足题意. 当 k ? 1 时,令 G ? x ? ? f ? x ? ? k ? x ?1? , x ? ? 0, ??? ,

? x 2 ? ?1 ? k ? x ? 1 1 则有 G? ? x ? ? ? x ? 1 ? k ? . x x 由 G? ? x ? ? 0 得, ? x2 ? ?1 ? k ? x ? 1 ? 0 .
解得 x1 ?

1? k ?

?1 ? k ?

2

?4

2 2 当 x ? ?1, x2 ? 时, G? ? x ? ? 0 ,故 G ? x ? 在 ?1, x2 ? 内单调递增.
综上, k 的取值范围是 ? ??,1? .

? 0 , x2 ?

1? k ?

?1 ? k ?

2

?4

? 1.

从而当 x ? ?1, x2 ? 时, G ? x ? ? G ?1? ? 0 ,即 f ? x ? ? k ? x ?1? ,

22、解: (Ⅰ)∵ PA 为圆 O 的切线, ??PAB ? ?ACP, 又 ?P 为公共角,

?PAB ∽ ?PCA

AB ? PC ? PA ? AC

…………4 分

(2)∵ PA 为圆 O 的切线, BC 是过点 O 的割线,

? PA2 ? PB ? PC , ………6 分 ? PC ? 40, BC ? 30 0 2 2 2 又∵ ?CAB ? 90 , ? AC ? AB ? BC ? 900 AB PA 1 又由(Ⅰ)知 ? ? ? AC ? 12 5 AB ? 6 5 , AC PC 2 连接 EC ,则 ?CAE ? ?EAB, ?ACE ∽ ?ADB , AB AD AD ? AE ? AB ? AC ? 6 5 ? 12 5 ? 360 ? AE AC
23、解:(I)由 ? ? 2 3sin ? ,得 ? 2 ? 2 3? sin? , 从而有 x 2 ? y 2 ? 2 3 y (II)设 P ? 3 ? 所以 x ? y ? 3
2

………8 分 ………10 分

?

?

2

?3

? ?

1 3 ? t, t ? ,又 C (0, 3) , 2 2 ?
2

2 ? 1 ? ? 3 ? 则 PC ? ? 3 ? t ? ? ? t ? 3 ? ? t 2 ? 12 , 2 ? ? 2 ? ? 故当 t ? 0 时, PC 取得最小值,此时 P 点的坐标为 (3,0) .

24、解: (Ⅰ)当 a ? 2 时,不等式 f ( x) ? x 即 x | x ? 2 |? x 显然 x ? 0 ,当 x ? 0 时,原不等式可化为:

| x ? 2 |? 1 ? ?1 ? x ? 2 ? 1 ? 1 ? x ? 3 当 x ? 0 时,原不等式可化为: | x ? 2 |? 1 ? x ? 2 ? 1 或 x ? 2 ? ?1 ? x ? 3或 x ? 1 ∴ x ? 0

……………………2 分

……….4 分
9

综上得:当 a ? 2 时,原不等式的解集为 {x |1 ? x ? 3或x ? 0} (Ⅱ)∵对任意 x ? (0, 4] 都有 f ( x) ? 4 即 ?4 ? x( x ? a ) ? 4 ? ?x ? (0, 4] , x ? 设 g ( x) ? x ?

……….5 分

4 4 ? a ? x ? 恒成立 x x

………6 分

4 4 , x ? (0, 4] , p ( x) ? x ? , x ? (0, 4] ,则对任意 x ? (0, 4] , x x 4 4 x ? ? a ? x ? 恒成立 ? g ( x) max ? a ? p ( x) min , x ? (0, 4] ………7 分 x x 4 ∵ g '( x) ? 1 ? 2 , 当 x ? (0, 4] 时 g '( x) ? 0 x ∴函数 g ( x) 在 (0, 4] 上单调递增, ∴ g ( x) max ? g (4) ? 3 ………8 分 4 ( x ? 2)( x ? 2) 又∵ p '( x) ? 1 ? 2 = , x x2 ∴ p ( x) 在 (0, 2] 上递减, [2,4] 上递增 ∴ p ( x) min ? p (2) ? 4 . ………9 分 故 a ? (3,4) ………10 分

10


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