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二综合法与分析法_图文

第二节 不等式的证明

[基础知识填充] 1.基本不等式 定理 1:设 a,b∈R,则 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时,等号成立. 定理 2:如果 a,b 为正数,则a+b≥ ab,当且仅当 a=b 时,等号成立.
2 定理 3:如果 a,b,c 为正数,则a+b+c≥3 abc,当且仅当 a=b=c 时,
3 等号成立.

定理 4:(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1,a2,…,an 为 n 个正 数,则a1+a2+n …+an≥n a1a2…an,当且仅当 a1=a2=…=an 时,等号成立.

2.柯西不等式 (1)柯西不等式的代数形式:设 a,b,c,d 都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥ (ac+bd)2 (当且仅当 ad=bc 时,等号成立). (2)柯西不等式的向量形式:设 α,β 是两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且仅当 β 是零向量,或存在实数 k,使 α=kβ 时,等号成立. (3)柯西不等式的三角不等式:设 x1,y1,x2,y2,x3,y3∈R, 则 ?x1-x2?2+?y1-y2?2+ ?x2-x3?2+?y2-y3?2≥ ?x1-x3?2+?y1-y3?2.

(4)柯西不等式的一般形式:设 a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn 是 实数,则(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当 bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数 k,使得 ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.

3.不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等. (1)比较法: ①比差法的依据是:a-b>0? a>b 步骤是:“作差→ 变形 → 判断差的符号 ”.变形是手段,变形的目的是判断差的符号. ②比商法:若 B>0,欲证 A≥B ,只需证AB≥1.

(2)综合法与分析法: ①综合法:利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质,推导出所要证明 的不等式,这种方法叫综合法.即“ 由因导果 ”的方法. ②分析法:从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的 充分条件 ,把 证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,如果能够肯定这些充分条 件都已经具备,那么就可以判定原不等式成立,这种方法叫作分析法.即 “ 执果索因 ”的方法.

[基本能力自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.( ) (2)综合法是从原因推导到结果的思维方法,它是从已知条件出发,经过逐 步推理,最后达到待证的结论.( ) (3)分析法又叫逆推证法或执果索因法,是从待证结论出发,一步一步地寻 求结论成立的必要条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.( ) (4)使用反证法时,“反设”不能作为推理的条件应用.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×

2.(教材改编)若 a>b>1,x=a+1a,y=b+b1,则 x 与 y 的大小关系是( )

A.x>y

B.x<y

C.x≥y

D.x≤y

A [x-y=a+a1-????b+1b???? =a-b+b- aba=?a-b?a?bab-1?. 由 a>b>1 得 ab>1,a-b>0, 所以?a-b?a?bab-1?>0,即 x-y>0,所以 x>y.]

3.若 a= 3- 2,b= 6- 5,c= 7- 6,则 a,b,c 的大小关系为( )

A.a>b>c

B.a>c>b

C.b>c>a

D.c>a>b

A

[“分子”有理化得 a=

1 3+

2,b=

1 6+

5,c=

1 7+

6,∴a>b>c.]

4.已知 a>0,b>0 且 ln(a+b)=0,则1a+1b的最小值是________. 【导学号:97190403】

4 [由题意得,a+b=1,a>0,b>0, ∴1a+1b=????1a+1b????(a+b)=2+ba+ab ≥2+2 ab·ab=4, 当且仅当 a=b=12时等号成立.]

5.已知 x>0,y>0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.
[证明] 因为 x>0,y>0, 所以 1+x+y2≥33 xy2>0,1+x2+y≥33 x2y>0, 故(1+x+y2)(1+x2+y) ≥33 xy2·33 x2y=9xy.

比较法证明不等式

(对应学生用书第 207 页)

已知

a>0,b>0,求证:

a+ b

b≥ a

a+

b.

[证明]

法一:∵????

a+ b

ba????-(

a+

b)

=????

a- b

b????+????

b- a

a????=a-bb+b-aa

=?a-b?? a- ab

b?=?

a+

b?? a- ab

b?2≥0,

∴a+b≥ ba

a+

b.

a+b

法二:由于

b a+

a= b

a a+b b ab? a+ b?

=?

a+ b??a- ab? a+

ab+b? b?

=a+abb-1≥2 aabb-1=1.

又 a>0,b>0, ab>0,

∴a+b≥ ba

a+

b.

[规律方法] 作差比较法证明不等式的步骤:?1?作差;?2?变形;?3?判断差的符 号;?4?下结论.其中“变形”是关键,通常将差变形成因式连乘的形式或平方和 的形式,再结合不等式的性质判断出差的正负. 注:作商比较法也有类似的步骤,但注意其比较的是两个正数的大小,且第?3? 步要判断商与“1”的大小.

[跟踪训练] (2018·南京、盐城、连云港二模)设 a≠b,求证:a4+6a2b2+ b4>4ab(a2+b2).
[证明] 因为 a4+6a2b2+b4-4ab(a2+b2) =(a2+b2)2-4ab(a2+b2)+4a2b2 =(a2+b2-2ab)2=(a-b)4. 又 a≠b,所以(a-b)4>0, 所以 a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).

综合法证明不等式
(2017·全国卷Ⅱ)已知 a>0,b>0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+ b5)≥4;
(2)a+b≤2.

[证明] (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b) ≤2+3?a+4 b?2(a+b)=2+3?a+4 b?3, 所以(a+b)3≤8,因此 a+b≤2.

[规律方法] 1.综合法证明的实质是由因导果,其证明的逻辑关系是:A?B1?B2 ?…?Bn?B?A 为已知条件或数学定义、定理、公理,B 为要证结论?,它的常见 书面表达式是“∵,∴”或“?”. 2.综合法证明不等式,要着力分析已知与求证之间,不等式的左右两端之间的差 异与联系.合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键.

[跟踪训练] 已知 a>0,b>0,a+b=1,求证: (1)1a+1b+a1b≥8; (2)????1+1a????????1+1b????≥9.

[证明] (1)∵a+b=1,a>0,b>0, ∴1a+1b+a1b=a1+b1+aa+b b =2????1a+b1????=2????a+a b+a+b b???? =2????ba+ba????+4≥4 ba·ab+4=8 (当且仅当 a=b=12时,等号成立), ∴1a+1b+a1b≥8.

(2)∵????1+1a????????1+1b????=1a+1b+a1b+1,由(1)知a1+b1+a1b≥8. ∴????1+1a????????1+1b????≥9.

用分析法证明不等式
(1)设 a,b,c>0 且 ab+bc+ca=1,求证:a+b+c≥ 3; (2)设 x≥1,y≥1,求证 x+y+x1y≤1x+1y+xy. 【导学号:97190404】

[证明] (1)因为 a,b,c>0, 所以要证 a+b+c≥ 3, 只需证明(a+b+c)2≥3. 即证:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3, 而 ab+bc+ca=1, 故需证明:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca) ≥3(ab+bc+ca).

即证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 而 ab+bc+ca≤a2+2 b2+b2+2 c2+c2+2 a2=a2+b2+c2(当且仅当 a=b=c 时等 号成立)成立. 所以原不等式成立.

(2)由于 x≥1,y≥1, 要证 x+y+x1y≤1x+1y+xy, 只需证 xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2. 因为[y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1] =[(xy)2-1]-[xy(x+y)-(x+y)]

=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1) =(xy-1)(xy-x-y+1) =(xy-1)(x-1)(y-1), 因为 x≥1,y≥1, 所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0, 从而所要证明的不等式成立.

[易错警示] 分析法证明不等式的注意事项:用分析法证明不等式时,不要把 “逆求”错误地作为“逆推”,分析法的过程仅需要寻求充分条件即可,而不 是充要条件,也就是说,分析法的思维是逆向思维,因此在证题时,应正确使 用“要证”“只需证”这样的连接“关键词”.

[跟踪训练] (2018·广州综合测试(二))(1)已知 a+b+c=1,证明:(a+1)2 +(b+1)2+(c+1)2≥136;
(2)若对任意实数 x,不等式|x-a|+|2x-1|≥2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

[证明] (1)法一:因为 a+b+c=1, 所以(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2=a2+b2+c2+2(a+b+c)+3=a2+b2+c2+ 5. 所以要证(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2≥136, 只需证 a2+b2+c2≥13.

因为 a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca) ≥(a+b+c)2-2(a2+b2+c2), 所以 3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2. 因为 a+b+c=1,所以 a2+b2+c2≥31. 所以(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2≥136.

法二:因为 a+b+c=1, 所以(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2=a2+b2+c2+2(a+b+c)+3=a2+b2+c2+ 5. 所以要证(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2≥136, 只需证 a2+b2+c2≥13.

因为 a2+19≥23a,b2+19≥23b,c2+19≥23c, 所以 a2+b2+c2+31≥32(a+b+c). 因为 a+b+c=1, 所以 a2+b2+c2≥31. 所以(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2≥136.

法三:因为(a+1)2+196≥83(a+1), (b+1)2+196≥83(b+1), (c+1)2+196≥83(c+1), 所以(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2+136≥83[(a+1)+(b+1)+(c+1)]. 因为 a+b+c=1, 所以(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2≥136.

(2)设 f(x)=|x-a|+|2x-1|, 则“对任意实数 x,不等式|x-a|+|2x-1|≥2 恒成立”等价于“f(x)min≥2”.
?-3x+a+1,x<a, ? 当 a<12时,f(x)=?????- 3x-x+a1--1a,,x>a2≤ 1. x≤12, 此时 f(x)min=f????12????=21-a,

要使|x-a|+|2x-1|≥2 恒成立, 必须12-a≥2, 解得 a≤-32. 当 a=12时,f(x)=????x-12????+|2x-1|=3????x-12????≥2,即????x-21????≥23不可能恒成立.

当 a>12时,f(x)=?????- x+3ax+ -a1+ ,121, ≤xx<≤12a,, ??3x-a-1,x>a.
此时 f(x)min=f????12????=a-21, 要使|x-a|+|2x-1|≥2 恒成立,

必须 a-21≥2, 解得 a≥25. 综上所述,实数 a 的取值范围为????-∞,-23????∪????52,+∞????.

柯西不等式的应用
已知 x,y,z 均为实数. (1)若 x+y+z=1,求证: 3x+1+ 3y+2+ 3z+3≤3 3; (2)若 x+2y+3z=6,求 x2+y2+z2 的最小值.

[解] (1)证明:因为( 3x+1+ 3y+2+ 3z+3)2≤(12+12+12)(3x+1+3y +2+3z+3)=27.
所以 3x+1+ 3y+2+ 3z+3≤3 3. 当且仅当 x=23,y=31,z=0 时取等号. (2)因为 6=x+2y+3z≤ x2+y2+z2· 1+4+9, 所以 x2+y2+z2≥178, 当且仅当 x=2y=3z,即 x=37,y=67,z=79时,x2+y2+z2 有最小值178.

[规律方法] 1.使用柯西不等式证明的关键是恰当变形,化为符合它的结构形式,

当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时,就可使用柯西不等式









.,2.







西



























?a

2 1



a

2 2







a

2n?

????a121+a122+…+a12n????≥?1+1+…+1?2=n2.在使用柯西不等式时,要注意右边常数且 应注意等号成立的条件.

[跟踪训练] (2017·江苏高考)已知 a,b,c,d 为实数,且 a2+b2=4,c2+ d2=16,证明:ac+bd≤8.
[证明] 由柯西不等式,得(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2). 因为 a2+b2=4,c2+d2=16, 所以(ac+bd)2≤64, 因此 ac+bd≤8.