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幂函数图像_图文

成功始于方法 巩固才能提高

幂函数的性质与图象

问题引入

我们先看几个具体问题:

(1) 如果回收旧报纸每公斤1元,某班每年卖旧报 y?x 纸x公斤,所得价钱y是关于x的函数 (2) 如果正方形的边长为x,面积y,这里y是关于 2 x的函数; y?x (3) 如果正方体的边长为x, 正方体的体积为y, 3 这里y是关于x函数; y?x (4)如果一个正方形场地的面积为x, 这个正方形的 1 边长为y,这里y是关于x的函数; y ? x2 (5)如果某人x秒内骑车行驶了1km,他骑车的平 ?1 均速度是y,这里y是关于x的函数. y?x 1:以上各题目的函数关系分别是什么?
2:以上问题中的函数具有什么共同特征?
y?x
?

一、幂函数的定义
? K 一般地,函数yy= x ? x 叫做幂函数,其中x

是自变量, k是常数。 ?

注 意

1、幂函数的解析式必须是yy=? 项. 2、定义域与 ? 的值有关系.

? K x

x

的形式,

其特征可归纳为“两个系数为1,只有1

二、幂函数与指数函数比较
名称 式子 指数函数: y=a
(a>0且a≠1)
x

常数 a为底数 α为指数

x
指数 底数

y
幂值 幂值

幂函数: y= xα

判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看未知数x是指数还是底数
指数函数

幂函数

例1 :已知f ( x) ? m ? m ? 1 x
2

?

?

2 m ?3

是幂函数,

求m的值。

例2:已知函数 f (x) ? ?m ? 3m ? 3?x 是幂函数,并且是偶函数, 求m的值。
2

m2 ?2

下面将5个函数的图像画在同一坐标系中
3 2 y ? x y ? x (1) (2) y ? x (3)

(4) y ? x

1 2

(5) y ? x

?1

4

3

2

1

(1,1)
2 4 6

-6

-4

-2

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x2 9 4 1 0 1 4 9

4

3

y=x

2

1

(1,1)
2 4 6

-6

-4

-2

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

(2,4) y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

(2,4) y=x2 y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x3 -27 -8 -1 0 1 8 27

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

x

0
1 2

1

2

4

-3

y?x

0

1

2

2

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

x -3 -2 -1 1 2 3 y ? x?1 -1/3 -1/2 -1 1 1/2 1/3

-3

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4) 在第一象限内 , 函数图象的变化 趋势与指数有什 么关系? (-1,1)
-6 -4 -2

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

在第一象限内, 当 >0时,图象随x增大而上升。 当? <0时,图象随x增大而下降

?

-3

-4

不管指数是多少, (-2,4) 图象都经过哪个 定点?

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x0
6

y=x-1
4

-1

(-1,-1)
-2

-3

?

在第一象限内, 当 ? >0时,图象随x增大而上升。 当 ? <0时,图象随x增大而下降。 图象都经过点(1,1) >0时,图象还都过点(0,0)点

-4

理论
归纳:幂函数 y=xa 在第一象限的图象特征
y a>1 a=1 0<a<1 a<0 x
指数大于1,在第一象限为 抛物线型(凹); 指数等于1,在第一象限为 上升的射线; 指数大于0小于1,在第一象 限为抛物线型(凸); 指数等于0,在第一象限为 水平的射线; 指数小于0,在第一象限为 双曲线型;

1

0

1

归纳:幂函数图象在第一象限的分布情况
? ?1
? ?0
0 ?? ?1
在 (1,??) 上 任取一 点作 x 轴 的垂线, 与幂函数 的图象交 点越高, ? 的值就越 大。

0 ?? ?1

? ?1

? ?0

练习.如图,图中曲线是幂函数 y=x 在第一象限的 1 1 大致图象,已知 α 取-2,- , ,2 四个值,则相应于曲 2 2 线 C1,C2,C3,C4 的 α 的值依次为(
1 1 A.-2,- , ,2 2 2 1 1 C.- ,-2,2, 2 2

α

)

1 1 B.2, ,- ,-2 2 2 1 1 D.2, ,-2,- 2 2

例3. 利用单调性判断下列各值的大小。 (1)5.20.8 与 5.30.8 (2)0.20.3-2 与 0.30.3 -2

(3)

2.5

5

与 2.7

5

解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数

∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5

练习
1)

1.3
?2

0.5<

1.5

0.5

?2 < 5.1 2) 5.09
1 4

3) ?1.79 > ?1.81 4)

1 4

(2 ? a )

2 ? 2 3 ≤

2

2 ? 3

比较各组数的大小
1 2 1 2 1 3 2 3

(1)1.1 ,1.4 ,1.1
1 4 1 4

(2)2.5 ,2.6 ,0.8

例3

若 ? m ? 4?

?

1 2

? ? 3 ? 2m ?
1 2

?

1 2

,

则求m的取值范围.
解 : 幂函数f ( x) ? x 的定义域是(0, ??) 且在定义域上是减函数, ? 0 ? 3 ? 2m ? m ? 4 1 3 ?? ? m ? ,即为m的取值范围. 3 2
?

小结: 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性,随 常数α取值的不同而不同.

1.所有幂函数的图象都通过点(1,1);

2.当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
3.如果α>0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数; 如果α<0,则幂函数 在(0,+∞)上为减函数。
α>1 0<α<1
α<0

a=1