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三角函数练习题(附详细解答过程)


三角函数
sin 2a ? cos2 ? ? 1 1.已知 tan( ? ? ) ? , (1)求 tan? 的值; (2)求 的值。 1 ? cos 2? 4 2

2.求证:

1 ? 2 sin x cos x 1 ? tan x ? cos2 x ? sin 2 x 1 ? tan x

? ? 1 ? ? 3.已知 sin( ? 2? ) ? sin( ? 2? ) ? ,? ? ( , ), 求2 sin 2 ? ? tan? ? cot? ? 1 的值. 4 4 4 4 2

0 0 4.设 m 为实数,且点 A?tan?,? , B?tan ?,? 是二次函数 f ?x ? ? mx 2 ? ?2m ? 3? ? x ? m ? 2

图像上的点. (1)确定 m 的取值范围 (2)求函数 y ? tan?? ? ? ? 的最小值.

5.已知 tan( ? ? ) ?
4

?

sin 2 ? ? cos 2 ? 1 , (1)求 tan ? 的值; (2)求 的值. 1 ? cos 2 ? 2

高一年级数学试卷第 1 页(共 13 页)

6. 设函数 f ( x) ? a ? (b ? c) , 其中 a =(sinx,-cosx),b =(sinx,-3cosx),c =(-cosx,sinx), x∈R; (1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期; (2) 将函数 y=f(x)的图象按向量 d 平移,使平移后的图象关于坐标原点成中心对称,求| d | 最小的 d .

7.在△ABC 中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,求角 A、B、C 的大小.

8.设 f (x)=cos2x+2 3 sinxcosx 的最大值为 M,最小正周期为 T. ⑴ 求 M、T. ⑵ 若有 10 个互不相等的函数 xi 满足 f (xi)=M,且 0<xi<10π,求 x1+x2+…+x10 的值.

9.已知 f (x)=2sin(x+

? ? ? )cos(x+ )+2 3 cos2(x+ )- 3 。 2 2 2

⑴ 化简 f (x)的解析式。 ⑵ 若 0≤θ≤π,求 θ 使函数 f (x)为偶函数。 ⑶ 在⑵成立的条件下,求满足 f (x)=1,x∈[-π,π]的 x 的集合。

10.已知函数 f (x) =2cos2x+2 3 sinx cosx+1. (1) 若 x∈[0,π]时, f (x) =a 有两异根,求两根之和;
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(2) 函数 y= f (x) ,x∈[

? 7? , ]的图象与直线 y=4 围成图形的面积是多少? 6 6

11.已知函数 f ( x) ? 4sin x ? 2sin 2 x ? 2,x ? R 。
2

(1)求 f ( x) 的最小正周期、 f ( x) 的最大值及此时 x 的集合; (2)证明:函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ?

π 对称。 8

sin sin | 12.已知向量 a ? (cos α, α ),b = (cos β, β ),a ? b |?
(1) 求 cos(α ? β ) 的值; (2) (2)若 0 ? α ?

?

?

?

?

2 5 , 5

π π 5 , ? β ? 0,且 sin β ? ? ,求 sin α 的值。 ? 2 2 13

高一年级数学试卷第 3 页(共 13 页)

13.已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ? (I)求函数 f ( x) 的值域;

? ?

π? π? ? 2 ?x ,x ? R (其中 ? ? 0 ) ? ? sin ? ? x ? ? ? 2 cos 6? 6? 2 ?

( II) 若 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 与直 线 y ? ?1 的 两 个 相 邻 交点 间的 距 离 为

π ,求函数 2

y ? f ( x) 的单调增区间.

14. 已知函数 y=

3 1 2 cos x+ sinx·cosx+1 (x∈R), 2 2

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?

15.在 ? ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且

cos C 3a ? c , ? cos B b

(1)求 sin B 的值;(2)若 b ? 4 2 ,且 a=c,求 ? ABC 的面积。

高一年级数学试卷第 4 页(共 13 页)

16.设函数 f(x)=cos(2x+

? )+sin 2 x. 3
c 1 1 , f ( ) ? ? ,且 C 为锐角,求 sinA 2 4 3

(1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期. (2)设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB=

. 17. 在 ? ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , sinB=

1 . 3

(I)求 sinA 的值;(II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积.

18.已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,? ? ? π) , x ?R 的最大值是 1,其图像经过点 0

3 12 ?π 1? ? π? M ? ,?. (1)求 f ( x) 的解析式; (2)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ? , f ( ? ) ? , 5 13 ? 3 2? ? 2?
求 f (? ? ? ) 的值.

19.已知函数 f ( x) ? 2sin ?
2

?π ? ?π π? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?

(I)求 f ( x) 的最大值和最小值; (II)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2
高一年级数学试卷第 5 页(共 13 页)

?π π? ? ?

1 π? ? ? , g ( x) ? 1 ? sin 2 x . 12 ? 2 ? (I)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值.
20.已知函数 f ( x) ? cos ? x ?
2

(II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间.

1 解: (1) tan(

?
4

??) ?

tan

?
4

? tan?

tan? 4 ? 1 1 ? tan? 1 1 由 tan( ? ? ) ? ,有 ? ,解得 tan? ? ? 4 2 1 ? tan? 2 3 1 ? tan
sin 2? ? cos2 ? 2 sin ? cos? ? cos2 ? ? (2) 1 ? cos 2? 1 ? 2 cos2 ? ? 1

?

?

1 ? tan? , 1 ? tan?

?

2 sin ? ? cos? 1 1 1 5 ? tan? ? ? ? ? ? ? 2 cos? 2 3 2 6

2

(cos ? ? sin ? ) 2 cos 2 ? ? 2sin ? cos ? ? sin 2 ? 证明:左边 = = (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) cos 2 ? ? sin 2 ?

? ?
3

sin ? 1? cos ? ? sin ? cos ? = 1 ? tan ? = = sin ? cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 1? cos ? 左边 = 右边 原式成立。

解:由 sin(

?

? 2? ) ? sin( ? 2? ) ? sin( ? 2? ) ? cos( ? 2? ) 4 4 4 4

?

?

?

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得 于是

1 ? 1 1 sin( ? 4? ) ? cos 4? ? , 2 2 2 4 1 ? ? 5? c o s ? ? . 又 ? ? ( , ), 所以? ? 4 . 2 4 2 12 ?
2 s i n? ? c o 2 ? s ? 2 c o s? 2 ? ? c o s? ? 2 s in c o? ? s s i n? 2 5? 5? 3 5 ? ?(cos 2? ? 2 cot 2? ) ? ?(cos ? 2 cot ) ? ?(? ? 2 3) ? 3. 6 6 2 2 2 2 s i n ? ? t a n ? c o ? ? 1 ? ? c o s? ? ? t 2

4 解 : 由 已 知 t a n , tan ? 必 为 方 程 mx 2 ? ?2m ? 3? ? x ? m ? 2 ? 0 的 两 根 , ?
3 ? 2m m?2 ? , tan? tan ? ? , 故 t a n? ? ? ? =3/2-m , 又 由 △ ≥ m m 3 9 0 ?m ? 0 ? ,得 m ? ?m ? 0 ? , tan?? ? ? ? 的最小值是 ? . 4 4 tan ?tan ? ? ?

5.解:(1)

tan(
1 3

1 ? 1 ? tan ? + ? )= = 2 4 1 ? tan ?

解得 tan ? =- (2) =

sin 2? ? cos 2 ? 2 sin? cos ? ? cos 2 ? ? 1 ? cos 2? 1 ? 2 cos 2 ? ? 1

2 sin? ? cos ? 1 5 ? tan ? ? ? ? 2 cos ? 2 6

6. 解:(1)由题意得 f(x)= a ? (b ? c) =(sinx,-cosx)· (sinx-cosx,sinx-3cosx) 2 =sin x-2sinxcosx+3cos2x =2+cos2x-sin2x =2+ 2 sin(2x+
3? ) 4 2? ?? 2

故 f(x)的最大值 2+ 2 ,最小正周期为 (2) 由 sin(2x+ 即 x=
3? 3? )=0 得 2x+ =k ? 4 4

k? 3? - ,k∈z 2 8 3? k? - ,-2) 8 2
高一年级数学试卷第 7 页(共 13 页)

于是 d =(

k? 3? | d |= ? ? ? ? 4 ? ? ? 2 8 ?

2

(k∈z)
? ,-2)为所示. 8

因为 k 为整数,要使| d |最小,则只有 k=1,此时 d =(- 7.∵ sinA(sinB+cosB)-sinC=0 ∴ sinA sinB+sinA cosB=sinA cosB+cosA sinB ∵ sinB > 0 sinA=cosA,即 tanA=1 又 0 < A<π ∴ A=
? 3? ,从而 C= -B 4 4
3? -B)=0 4

由 sinB+cos2C=0,得 sinB+cos2( 即 sinB(1-2cosB)=0 ∴cosB=
1 2

B=

? 3

C=
? ) 6

5? 12

8. f (x) =2sin(2x+ (1) M=2 T=π (2) ∵ f ( xi ) =2 2xi+

∴ sin(2xi+

? )=1 6 ? 6

? ? =2kπ+ 2 6

xi=2kπ+

(k∈z)

又 0 < xi<10π ∴ k=0, 1, 2,…9 ∴ x1+x2+…+x10=(1+2+…+9)π+10× =
140 π 3

? 6

9.解:(1) f (x)=sin(2x+θ)+ 3 cos(2x+θ) =2sin(2x+θ+
? 3

)

(2) 要使 f (x)为偶函数,则必有 f (-x)=f (x) ∴ 2sin(-2x+θ+ ∴ 2sin2x cos(θ+ ∴ cos(θ+ (3) 当 θ=
? 3 ? 6

? 3

)=2sin(2x+θ+

? 3

)

? 3

)=0 对 x∈R 恒成立 θ=
? 2 ? 6

)=0 又 0≤θ≤π

时 f (x)=2sin(2x+

)=2cos2x=1

高一年级数学试卷第 8 页(共 13 页)

∴cos2x=

1 2

∵x∈[-π,π]
? )+2 6

∴x=-

? 3



? 3

10. f (x) =2sin(2x+

由五点法作出 y= f (x) 的图象(略) (1) 由图表知:0<a<4,且 a≠3 当 0<a<3 时,x1+x2= 当 3<a<4 时,x1+x2=
4? 3

? 3
1 2

(2) 由对称性知,面积为 (
2

? 7? - )× 4=2π. 6 6
2

11、解: f ( x) ? 4sin x ? 2sin 2 x ? 2 ? 2sin x ? 2(1 ? 2sin x)

π ? 2sin 2 x ? 2cos 2 x ? 2 2 sin(2 x ? ) 4
(1)所以 f ( x) 的最小正周期 T ? π ,因为 x ? R ,

π π 3π ? 2kπ ? ,即 x ? kπ ? 时, f ( x) 最大值为 2 2 ; 4 2 8 π (2)证明:欲证明函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ? 对称,只要证明对任意 x ? R ,有 8 π π f (? ? x ) ? f (? ? x )成立, 8 8 π π π π 因为 f (? ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin(? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π π f (? ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin(? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π 所以 f (? ? x) ? f (? ? x) 成立,从而函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ? 对称。 8 8 8 ? ? sin sin 12、解:(1)因为 a ? (cos α, α),b = (cos β, β),
所以,当 2 x ?

sin 所以 a ? b ? (cos α ? cos β, α ? sin β ),
又因为 | a ? b |?

?

?

?

?

2 5 2 5 2 2 ,所以 (cos α ? cos β ) ? (sin α ? sin β ) ? , 5 5

即 2 ? 2cos(α ? β ) ? , α ? β ) ? cos( (2) 0 ? α ?

4 5

3 ; 5

π π , ? β ? 0, ? α ? β ? π , ? 0 2 2
高一年级数学试卷第 9 页(共 13 页)

又因为 cos(α ? β ) ?

3 4 ,所以 sin(α ? β ) ? , 5 5 5 12 63 sin β ? ? ,所以 cos β ? ,所以 sin α ? sin[(α ? β ) ? β ] ? ? ? 13 13 65
f ( x) ? ? 2( 3 1 3 1 sin x ? cos x ? sin x ? cos x ? (cos x ? 1) 2 2 2 2

13、答案:

3 1 sin x ? cos x) ? 1 2 2

? 2 sin(cos?

?

6

) ? 1.

由-1≤ sin(cos x ?

?

6 可知函数 f (x) 的值域为[-3,1].

) ≤1,得-3≤ 2 sin(cos x ?

?
6

) ? 1 ≤1。

(Ⅱ) 由题设条件及三角函数图象和性质可知, ? f (x) 的周其为 w, 解: 又由 w>0, 得 y 即得 w=2。 于是有 f ( x) ? 2 sin(2 x ?
k? ?

2? ?, w

?
6

) ? 1 ,再由 2k? ?

?
2

? 2? ?

?
6

? 2k? ?

?
2

(k ? Z) ,解得

?
6

? x ? k? ?

?
3

(k ? Z) 。

所以 y ? f (x) 的单调增区间为[ k? ? 14、解: (1)y=

?
6

, k? ?

?
3

(k ? Z) ]

3 3 1 1 1 2 2 cos x+ sinx·cosx+1= (2cos x-1)+ + (2sinx·cosx)+1 2 2 4 4 4 3 1 5 1 ? ? 5 = cos2x+ sin2x+ = (cos2x·sin +sin2x·cos )+ 4 4 4 2 6 6 4 1 ? 5 = sin(2x+ )+ 2 6 4 ? ? ? 所以 y 取最大值时,只需 2x+ = +2kπ ,(k∈Z) ,即 x= +kπ ,(k∈Z) 。 6 2 6 ? 所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= +kπ ,k∈Z} 6
(2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换:

? ? ,得到函数 y=sin(x+ )的图像; 6 6 1 ? (ii) 把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 倍 (纵坐标不变)得到函数 y=sin(2x+ ) , 2 6
(i)把函数 y=sinx 的图像向左平移 的图像; ( iii ) 把 得 到 的 图 像 上 各 点 纵 坐 标 缩 短 到 原 来 的

1 倍(横坐标不变) 得到函数 , 2

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y=

1 ? sin(2x+ )的图像; 2 6

(iv)把得到的图像向上平移 综上得到 y=

5 1 ? 5 个单位长度,得到函数 y= sin(2x+ )+ 的图像。 4 2 6 4

3 1 2 cos x+ sinxcosx+1 的图像。 2 2 cos C 3a ? c cos C 3sin A ? sin C 15、解:(1)由正弦定理及 ,有 , ? ? cos B b cos B sin B
即 sin B cos C ? 3sin A cos B ? sin C cos B ,所以 sin( B ? C ) ? 3sin A cos B , 又因为 A ? B ? C ? π , sin( B ? C ) ? sin A ,所以 sin A ? 3sin A cos B ,因为 sin A ? 0 , 所以 cos B ?

2 2 1 2 ,又 0 ? B ? π ,所以 sin B ? 1 ? cos B ? 。 3 3
2 2

(2)在 ? ABC 中,由余弦定理可得 a ? c ? 所以有

2 ac ? 32 ,又 a ? c , 3

4 2 a ? 32,即a 2 ? 24 ,所以 ? ABC 的面积为 3 1 1 S ? ac sin B ? a 2 sin B ? 8 2 。 2 2

16、解: (1)f(x)=cos(2x+

? ? 1 ? cos 2 x 1 3 ? 2 ? ? sin 2 x )+sin x.= cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? 3 3 2 2 2 3
1? 3 ,最小正周期 ? . 2
所以 sin C ? 所以

所以函数 f(x)的最大值为

(2) f ( ) =

c 2

1 3 1 ? sin C =- , 2 2 4

3 , 2
, 3

因为 C 为锐角, 所以

所以 C ?

?
3

,

又因为在 ? ABC 中, cosB=

1 , 3

sin ? B

2 3

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?
17 、 解 : ( Ⅰ ) 由 C ? A ?

2 1 1 3 2 2? 3 2? ? ? ? 3 2 3 2 6
, ?B ∴ A ?

? , 且 C? A? ? 2
s i n )

? B , ∴ ? 4 2

s i An?

? B 2 B B , s i? n ( ? ) ?( c o s 4 2 2 2 2

高一年级数学试卷第 11 页(共 13 页)

3 1 1 ∴ sin A ? (1 ? sin B) ? ,又 sin A ? 0 ,∴ sin A ? 3 2 3
2

C

(Ⅱ)如图,由正弦定理得

AC BC ? sin B sin A

A

B

AC sin A ∴ BC ? ? sin B

6? 1 3

3 3 ? 3 2 ,又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B

?

3 2 2 6 1 6 ? ? ? ? 3 3 3 3 3 1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2 2 2 3

∴ S?ABC ?

18、解(1)依题意有 A ? 1 ,则 f (x) ?sin( x ? ? ,将点 M ( ) 而 0 ? ? ? ? ,? ( 2 ) 依

? 1

5 ? ? ? ? ? ? ,?? ? ,故 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x ; 3 6 2 2 3 12 题 意 有 cos ? ? , cos ? ? , 而 ?, ? ? 5 13

?

? 1 , ) 代入得 sin( ? ? ) ? , 3 2 3 2

( 0 , , 2

?

)

3 4 12 5 ? sin ? ? 1 ? ( ) 2 ? ,sin ? ? 1 ? ( ) 2 ? , 5 5 13 13
19、解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? ?1 ? cos ?

? ?

?π ?? ? 2 x ? ? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ?2 ??

π? ? ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? . 3? ?
又∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ ,即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ? ? ≤ 3 , 3? 6 3 3 ? ?4 2?

?π π?

π

π



?

π?

∴ f ( x)max ? 3,f ( x)min ? 2 .
(Ⅱ)∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? ? , ? , 4 2

?π π? ? ?

∴ m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2 ,

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, ∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1 4) .
20、答案:解: (I)由题设知 f ( x) ?

1 π [1 ? cos(2 x ? )] . 2 6 π ? kπ , 6

因为 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,所以 2 x0 ? 即 2 x0 ? kπ ?

π ( k ?Z ) . 6 1 1 π 所以 g ( x0 ) ? 1 ? sin 2 x0 ? 1 ? sin(kπ ? ) . 2 2 6 1 π? 1 3 ? 当 k 为偶数时, g ( x0 ) ? 1 ? sin ? ? ? ? 1 ? ? , 2 ? 6? 4 4 1 π 1 5 当 k 为奇数时, g ( x0 ) ? 1 ? sin ? 1 ? ? . 2 6 4 4 1? π ?? 1 ? (II) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ?1 ? cos ? 2 x ? ? ? ? 1 ? sin 2 x 2? 6 ?? 2 ?
? 3 1? ? π? ? 3 1? 3 1 ? cos ? 2 x ? 6 ? ? sin 2 x ? ? 2 ? 2 ? 2 cos2x ? 2 sin 2 x ? ? 2 ? ? 2? ? ? ? ? ? 1 π? 3 ? ? sin ? 2 x ? ? ? . 2 ? 3? 2 π π π 5π π 当 2kπ ? ? 2 x ? ? 2kπ ? ,即 kπ ? ? x ? kπ ? ( k ?Z )时, 2 3 2 12 12 1 π? 3 ? 函数 h( x) ? sin ? 2 x ? ? ? 是增函数, 2 ? 3? 2 5π π? ? ,kπ ? ? ( k ?Z ) 故函数 h( x ) 的单调递增区间是 ? kπ ? . 12 12 ? ? ?

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