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第一章 微积分学


大学文科数学
授课人: 数学教研室 张政辉
Email:zhzhang@njmu.edu.cn Tel:15345187545 Office: 行政楼A210

数学知识可以记忆一时,但数学精神、 思想和方法却永远发挥作用,可以受益终生。 ——米山国藏

本课程分三部分(章)
第一章 微积分 第二章 概率统计初步 第三章 线性代数入门

第一章 微积分
第一节 函数
第二节 极限 第三节 导数与微分 第四节 导数的应用 第五节 不定积分 第六节 定积分

第一节 函数
1、函数定义
若存在一个对应 定义 设 D 是一数集, R 是实数集, 法则 f , 使得

?x ? D
f
?

唯一确定的 y ? R
?

x

y

D

R

则称对应法则 f : D ? R 为定义在 D上的函数 ,

记为

y ? f ( x), x ? D

因变量

自变量

定义域Df

y ? f ( x), x ? D
值域Rf

R f ? f (D ) ? { y | y ? f ( x ), x ? D}

函数的两要素: 定义域与对应法则. 如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的,否则就不同。
例, y? x 2 与 y ?| x | 是相同的函数吗?

约定: 函数的自然定义域是自变量所能取的使 算式有意义的一切实数值.
例如 , y ? 1 ? x2 1 例如 , y ? 1 ? x2

D f : [?1,1]
D f : ( ?1, 1)

练习: 求函数 y ?


x ? x 2 的定义域

x ? x 2 ? x (1 ? x ) ? 0

?x ? 0 ?x ? 0 ? 0 ? x ? 1, ? ? 无解 ? ?1 ? x ? 0 ?1 ? x ? 0 y ? x ? x 2 的定义域为 D f ? [ 0, 1 ]

2、区间和邻域
设a,b是两个实数, 且a<b, 开区间 (a, b) ? ? 有限区间 闭区间 [a, b] ?

[a ,??) ? { x a ? x } ? ? 无限区间 ( ??, b ) ? { x x ? b} ?

点a的? 邻域U (a , ? ) : (a ? ? , a ? ? )

?
a ??

?
a
a ??

x

3、函数的图形
定义:给定函数 y =f (x), 在直角坐标系中, 动点

y
y ? f ( x)

C ? {( x , y ) y ? f ( x ), x ? D}
的轨迹称为函数 y = f (x)的 图形

Rf

y

? ( x, y)
x

o

x

D

4、函数的几种简单性质
(1) 函数的有界性:

设 I ? 定义域 D,
若 ?M ? 0, ?x ? I , 有 f ( x ) ? M成立,
则称函数 f (x) 在 I 上有界, 否则称无界
y M y=f(x) x 有界 I y

M

o

x0
o X
无界

x

?M

?M

(2) 函数的单调性:
设 I ? 定义域 D , 若 ?x1 , x2 ? I , x2 ? x1 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ( f ( x2 ) ? f ( x1 ))

则称函数f (x)在区间I上单调增
y

(单调减)
y ? f ( x)
f ( x1 )

y

y ? f ( x)
f ( x2 ) f ( x1 )

f ( x2 )

o

I

x

o

I

x

(3) 函数的奇偶性:
设函数f (x)的定义域D关于原点对称 (即若x∈D , 则 必-x∈D) , 若?x∈D , 恒有f (-x)= f (x) ,则称f (x)为 偶函数
y

偶函数的图形关于y 轴对称。
y ? f ( x)

f (? x )
-x o x

f ( x)
x 偶函数

如 y ? cos x在区间( ??,??) 上是偶函数.

设函数f (x)的定义域D关于原点对称 (即若x∈D , 则 必-x∈D) ,

若? x∈D ,恒有f (-x)= -f (x) ,则称f (x)为奇函数
奇函数的图形关于原点对称。
y

y ? f ( x)

f ( x)
-x o
f (? x )

x

x

奇函数

如 y ? x 3在区间( ??,??) 上是奇函数.

函数 y ? x ? sin 2 x 在( ??,??)上是非奇非偶函数
4

(4) 函数的周期性:
设函数 y = f (x) 的定义域为D,若存在一个正 数l ≠ 0 ,使得对于任意x ∈D,必有x±l ∈D, 并且使 f (x±l)= f (x) 恒成立,
则称 f (x) 为周期函数,l 称为函数 f (x) 的周期。 (通常是指它的最小正周期) 例如 y = sin x 是以2π为周期的函数

5、反函数
定义:设函数 y = f (x)是定义在Df上的一个单值函数, 如果在其值域Rf 上的任一 y , 都有唯一的x∈Df 使得 f (x) = y , 则定义了一个函数, f -1 : Rf → Df y →x 记作 x = f -1(y) 称为函数 y = f (x) 的反函数.
Rf
y

y
函数y ? f ( ) 反函数 x=f ?1(xy)

o

x
Df

x

按习惯用x 表示自变量, y 表示因变量
函数 y ? f ( x ) 的反函数 x ? f ?1 ( y ) 写成 y ? f ?1 ( x )

直接函数与反函数的图形关于直线 y ? x 对称.
y

反函数 y ? f ?1 ( x )

Q ( b, a ) P (a , b)

直接函数 y ? f ( x )
x

o

6、基本初等函数
(1) 常数函数 y = C

D f ? ( ?? ,?? ), R f ? C
y
?

y?C
(0, C )

O

x

(2) 幂函数

y ? x?

( ?是常数)

y
y ? x2
1
(1,1)

y? x
y? x

o
1 y? x

1

x

y? x
y ? x ?1 y? x

D f ? R, R f ? R

y ? x2

D f ? R, R f ? [0,??)

D f ? ( ??,0) ? (0,??), R f ? ( ??,0) ? (0,??) D f ? [0,??), R f ? [0,??)

(3) 指数函数

y ? ax

(a ? 0, a ? 1)

y ? ex

1 x y?( ) a

y ? ax

(a ? 1)
? (0,1)

D f ? ( ??,?? ), R f ? (0,?? )

?当a ? 1时单调增 y ? a 在( ??,?? )? ?当a ? 1时单调减
x

(4)对数函数

y ? log a x (a ? 0, a ? 1) y ? ln x

y ? log a x
(1,0)

?

(a ? 1)

y ? log 1 x
a

D f ? (0,?? ), R f ? ( ??,?? )
y ? a x 与 y ? log a x 互为反函数 ?当a ? 1时单调增 y ? log a x在( ??,?? )? ?当a ? 1时单调减

(5) 三角函数
正弦函数 y ? sin x 余弦函数 y ? cos x

y ? sin x

y ? cos x

x ? ( ??,??) , y ? [?1,1]

以2p 为周期的函数

正切函数 y ? tan x

余切函数 y ? cot x

x ? ( kp ?

p

, kp ? ) , y ? ( ??,?? ) 2 2

p

x ? ( kp , kp ? p ) , y ? ( ??,??)

以p 为周期的函数

(6) 反三角函数
反正弦函数 y = arcsin x 反余弦函数 y = arccos x

主值分支

主值分支

反正切函数 y = arctan x

反余切函数 y = arccot x

主值分支

主值分支

x ? ( ??,?? ) , y ? ( ?

p p

, ) 2 2

x ? (??,??) , y ? (0, p )

幂函数,指数函数,对数函数,三角函数 和反三角函数统称为基本初等函数.

7、复合函数
定义: 若函数y = f (u)的定义域为Df , 而函数u = g (x) 的定义域为Dg , 值域为Rg , 并且Rg ? Df , 则称函数 y = f [g (x)]为x 的复合函数。
Dg
x

u

Rg

Df

Y

x? 自变量, u? 中间变量, y? 因变量

例 设 y ? u , u ? 1 ? x2

y ? 1 ? x2

注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函 数的; 例如 y = arcsinu, u = 2 + x2, y ≠ arcsin(2 + x2)

2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成. 例如
x x y ? cot , y ? u , u ? cot v , v ? 2 2

8、初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算 和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子 表示的函数, 称为初等函数
例如 整式函数 Pn ( x ) ? a0 x n ? a1 x n?1 ? ? ? an?1 x ? an ( a0 ? 0) 分式函数 y ?
2

Pn ( x ) ( Pn ( x )与Qm ( x )都是整式函数且 Qm ( x ) ? 0) Qm ( x )
2

x y ? 1 ? x , y ? sin x , y ? cos 2 x2 ? 1 ? ? 2 1 ?? y? ? ln ?1 ? arcsin ? x ? ? ? 等都是初等函数 sin 2 x 2 ?? ? ?

9、分段函数
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数, 称为分段函数. 例如

?2 x ? 1 , x ? 0 f ( x) ? ? 2 ?x ?1 , x ? 0
y ? x2 ? 1
y ? 2x ? 1

注意: 分段函数是一个函数而不是几个函数.

(1) 绝对值函数

?x , y ?| x|? ? ?? x,

x ? 0, x?0

定义域D=(-∞, +∞), 值域Rf =[0, +∞)

(2) 符号函数

y 1 o ?1 x

? 1 当x ? 0 ? y ? sgn x ? ? 0 当x ? 0 ? ? 1 当x ? 0 ?

定义域D=(-∞, +∞), 值域Rf ={-1,0,1}

(3) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数
4 3 2 1 o

y

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4

阶梯曲线

定义域D=(-∞, +∞), 值域Rf = Z

练习题
一、填空
2 1? 5 ? 5t ? 2 2 1、 若 f ? ? ? ? 2t ,则 f ( t ) ? __________ , t ?t? t
2 5( t ? 1) ? 2 2 ( t ? 1)2 f ( t ? 1) ? __________ .
2

? ? 1, 2、 若 ? ( t ) ? ? ? sin x , ?

x? x?

p p
3 , 3

则? ( ) =_________,? ( ) =_________.

p

1

p

1

6

3

3、不等式 x ? 5 ? 1的区间表示法是_________.

(4,6)

二、分解复合函数
(1) y ? sin( x 2 ? 1)

y ? sin u, u ? x 2 ? 1
x y ? log 2 u, u ? sin v , v ? 2
x ? x 2 的定义域

? x? ( 2) y ? log 2 sin? ? ? 2?

三、 求函数


y?

x ? x 2 ? x (1 ? x ) ? 0

?x ? 0 ?x ? 0 ? 0 ? x ? 1, ? ? 无解 ? ?1 ? x ? 0 ?1 ? x ? 0 y ? x ? x 2 的定义域为 D f ? [ 0, 1 ]

e x ? e? x 四、求 f ( x ) ? x 的反函数. ?x e ?e



e ?e e ?1 y? x ?x ? y ? 2x e ?e e ?1
x 2x

?x

? ye 2 x ? y ? e 2 x ? 1 ? e 2 x (1 ? y ) ? 1 ? y

?e

2x

1? y ? 1? y

1? y ? 2 x ? ln 1? y

1 1? y 1? y ? x ? ln ? ln 2 1? y 1? y
1? x 所以反函数为 y ? ln , 1? x

五、证明 y ? lg x 在( 0,?? )上的单调性.

证 任取x1 , x2 ? (0,?? ), 且x1 ? x2 , 则 x1 lg x1 ? lg x2 ? lg ? 0 x2 从而 y( x1 ) ? y( x2 ), 所以y ? lg x在(0,?? )内单调递增

作业 P22习题一 2. 3.(1)(3) 4.(4) 5.(3)

第二节 极限
极限是微积分学中的基本概念, 研究在自变量 的一个变化过程中函数变化的趋势。 如果在某个变化过程中, 函数 f (x)无限趋近于 一个固定的数值A, f ( x ) ? A 可以任意小, 则称 即 函数 f (x)在此变化过程中以A为极限, 记为
变化过程

lim f ( x ) ? A

例:刘徽割圆术
三国时代数学家刘徽的割圆术是中国数学史上最 先创造的一个从数学上计算圆周率到任意精确度的 迭代程序。 他将圆内接正多边形的面积来接近圆的面积, 由正六边形算起,逐步把边数加倍,算出正12边形、 正24边形、正48边形、正96边形……, “割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可 割,则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽

这些面积会逐渐地接近圆面积,刘徽他自己通 过分割圆为192边形,计算出圆周率在3.141024 与 3.142704之间.
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2.1 数列极限
定义 以正整数为自变量的函数 y = f (n), 当n依次取 1,2,3,…时所得到的一列数值 a1 ? f (1), a2 ? f ( 2), a3 ? f ( 3),?, an ? f ( n),? 称为无穷数列, 简称数列。其中的各个数称为数列的 项,an称为通项(一般项), 数列常简记为{an} 例如

2, 4, 8, 16, ?

{2 n }
?1? ? n? ?2 ?

1 1 1 1 , , , ,? 2 4 8 16
1, ? 1, 1, ? 1, ?
1 4 3 2, , , , ? 2 3 4

{(?1) n ?1 }
? n ? ( ?1)n?1 ? ? ? n ? ?

3 2 5 4 ( ?1) 0, , , , ,?, 1 ? ,? 例 数列 2 3 4 5 n (?1) n?1 观察数列{1 ? }当 n ? ? 时的变化趋势. n
n=1

n=3 n=5 n=4 n=2 n=6

通过上面演示实验的观察:
( ?1) 当 n 无限增大时, an ? 1 ? n
n=1
n ?1

无限接近于 1.

n=3 n=5 n=4 n=2 n=6

1 4 3 ( ?1) 对于数列 2, , , , ?, 1 ? ,? 2 3 4 n ( ?1)n?1 当 n 无限增大时, 通项an ? 1 ? 无限接近于1 n
n

注意: ? an ? 1 ? ( ?1)

n ?1

1 1 ? n n

? 只要n充分大

an ? 1的值就可以任意小

定义1 如果n 无限增大时,数列{an}的通项an无限接 近常数 a, 即只要n充分大 an ? a 的值就可以任意小 , 则称数列以a为极限, 也称数列收敛到a, 记为

lim an ? a , 或 an ? a ( n ? ? )
n? ?

如果当n ? ?时, an不以任何常数为极限, 则称数列 an }发散. {

数列收敛和发散的性质称为数列的敛散性

练习题
一、观察一般项an如下的数列{an}的变化趋势, 写 出它们的极限 n 1 (1) 1, 1, ?, 1, ( 2) xn ? ( ?1) 0 1 n 1 n?1 2 ( 3) xn ? 2 ? 2 ( 4) xn ? 1 n?1 n
(5) xn ? ( ?1) ? n 无
n

(6) ? 1, 1, ? 1, 1,?, ( ?1) ,?, 无
n

(7)

2, 4, 6,?, 2n, ?, 无

2.2 函数极限 1、自变量趋向无穷大时函数的极限
1 例 讨论当x ? ?时,函数 f ( x ) ? 的极限 x y
1 y? x

当 x 无限增大时, f ( x ) 无限接近于 常数A,

o

记作 lim f ( x ) ? A

x

x ? ??

1 lim ? 0 x ?? x

注:如果 lim f ( x ) ? c ,则直线y = c是函数y = f (x)
的图形的水平渐近线。
x ??

例 讨论函数 f (x)=arctan x当x→∞时的极限

y
p 2

y ? arctan x

o
?

x

p
2

2 x ? ?? 2 而当x→∞时, 函数 f (x)=arctan x的极限不存在
注 : y ? f ( x )有两条水平渐近线



x ? ??

lim arctan x ?

p

, lim arctan x ? ?

p

sin x 当 x ? ? 时的极限. 例 求函数 x
y? sin x x

sin x 1 ? x x

sin x 当x无限增大时, 无限接近于0 x sin x lim ?0 x ?? x

例 讨论函数 f (x)=e x 当 x→+∞时的极限

y

y ? ex

o

x
x ? ??

当x→+∞时, y=e x 的极限不存在,但记作 lim e x ? ??

2、自变量趋向有限值时函数的极限
如果自变量在 x → x0 的过程中,对应的函数值 f (x)无限地接近于确定的值 A,那么就说 A是函数 f (x)当x → x0 时的极限, 记作
x ? x0

lim f ( x ) ? A 或
y

f ( x ) ? A(当x ? x0 )
y ? f (x)

A?? A A??

x 注意:函数极限与 f (x)在点 x0 是否有定义无关

o

x0 ? ?

?
x0

?

x0 ? ?



x ? x0

lim C ? C , (C为常数).

? f ( x ) ? C ? C ? C ? 0 恒成立

?当x ? x0时, f ( x ) ? C ? 0 也成立

? lim C ? C .
x ? x0



x ? x0

lim x ? x0 .
? lim x ? x0 .
x ? x0

当x ? x0时, f ( x ) ? x0 ? x ? x0 ? 0

2.3 极限的四则运算
定理

若 lim x ? A, lim y ? B, 则

lim( x ? y ) ? A ? B lim( x ? y ) ? A ? B x A lim ? , ( B ? 0) y B
推论 常数因子可以提到极限记号外面,即

lim( c y ) ? c lim y
推论

如果 lim y存在,而n是正整数, 则
lim y ? (lim y )
n n

整式函数的极限
x ? x0

lim Pn ( x ) ? lim (a0 x ? a1 x
n x ? x0

n ?1

? ? ? a n ?1 x ? a n )

n n ? a0 x0 ? a1 x0 ?1 ? ? ? an?1 x0 ? an ) ? P ( x ) n 0

分式函数的极限

Pn ( x ) Pn ( x0 ) ? (Qm ( x0 ) ? 0) x ? x0 Q ( x ) Qm ( x0 ) m lim



求 lim( 2 x ? 1)
x ?1

解 lim( 2 x ? 1) ? 2 ? 1 ? 1 ? 1 x ?1
例 解 3 x3 ? 4 x2 ? 2 求 lim x?? 7 x3 ? 5 x2 3 x3 ? 4 x2 ? 2 3 ? 4 ? 2 3 lim ? ? 3 2 x ?1 7x ? 5x 7?5 4

例1 求 lim( 2 x ? 1)
x ?1



lim( 2 x ? 1) ? lim 2 x ? lim 1
x ?1 x ?1 x ?1

? 2 lim x ? lim 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 1
x ?1 x ?1

x3 ? 1 . 例2 求 lim 2 x?2 x ? 3 x ? 5
? lim( x 2 ? 3 x ? 5) ? 2 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? 3 ? 0, 解 x?2

23 ? 1 7 x ?1 x?2 ? . ? ? lim 2 ? 2 x?2 x ? 3 x ? 5 3 3 lim ( x ? 3 x ? 5)
3
x?2

lim ( x 3 ? 1)

2.4 无穷小量与无穷大量
1、无穷小量 如果函数 f (x)当x→x0 (或x→∞) 时的极限为0, 那么称函数 f (x) 为当x→x0 (或x→∞) 时的无穷小量 以0为极限的数列{xn} 也称为n→∞时的无穷小量
1 例 ? lim ? 0, ?函数 1 是当x ? ?时的无穷小量. x ?? x x ( ?1)n ( ?1)n }是当n ? ?时的无穷小量. ? lim ? 0, ? 数列{ n? ? n n

注意 (1)无穷小是极限过程中的变量, 不能与 很小的数混淆; (2)零是可以作为无穷小的唯一的数.

2、 无穷大量

在变化过程中绝对值无限增大的变量称为无穷大量.

记作 lim f ( x ) ? ? (或 lim f ( x ) ? ? )
x ? x0 x ??

1 例 lim ? ? , x ?0 x

x ? ??

lim 2 x ? ??,

x ?0

lim? ln x ? ??

特殊情形:正无穷大,负无穷大.
x ? x0 ( x? ? )

lim f ( x ) ? ?? (或 lim f ( x ) ? ?? )
x ? x0 ( x?? )

注意 (1)无穷大是变量,不能与很大的数混淆;

( 2) 勿将 lim f ( x ) ? ?认为极限存在
x ? x0

3、无穷小量的性质
以下各性质中的极限过程同为 x ? x0 或 x ? ?

性质1 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量.
例如, x ? 0时, sin x和1 ? cos x是无穷小, 则 x ? 0时, sin x ? (1 ? cos x )是无穷小 .

注意

无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.

性质2 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量. 1 例如, x ? 0时, x sin 是无穷小. x 推论1 无穷小量与无穷小量的乘积是无穷小量. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.

性质3 穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷 小的倒数为无穷大. 1 x 例 lim 2 ? ??, 则 lim x ? lim 2? x ? 0 x ? ?? x ?0? 2 x ?0? 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.

4、无穷小量的比较
0 0 两个无穷小量之比写成“ ”的形式, 称为“ ”型未定式 0 0 定义 设? , ?是同一过程中的两个无 穷小, 且? ? 0.
(1) 如果 lim

? ? 0,就说 ? 是比 ? 高阶的无穷小 记作 ? ? o(? ); , ? ? ( ) 如果 lim ? ?,就说 ? 是比 ? 低阶的无穷小; 2 ? ? ( 3) 如果 lim ? C ? 0, 就说 ? 与 ? 是同阶的无穷小; ? ? (4) 如果 lim ? 1, 则称 ? 与 ? 是等价的无穷小 记作 ? ~ ? ; ; ?

例如,
3 x2 lim ? 0, 当x ? 0时, x 2 是比3 x高阶的无穷小 x ?0 x 3 x 2 ? o( x ) ( x ? 0) 1 1 1 lim n ? ? , 当n ? ?时, 是比 2 低阶的无穷小 x ?? 1 n n n2 x2 ? 9 lim ? 6, 当x ? 3时, x 2 ? 9与x ? 3是同阶的无穷小 x ?3 x ? 3

sin x lim ? 1, x ?0 x

当x ? 0时,sin x是与x等价的无穷小

sin x ~ x ( x ? 0)

1 ? cos x 1 lim ? , 当x ? 0时,1 ? cos x是关于x的2阶无穷小 2 x ?0 x 2

常用等价无穷小: 当x→0时,

x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 ? x ) ~ e x ? 1, 1 2 1 ? cos x ~ x 2

例3 解

x?3 求 lim 2 . x ?3 x ? 9
? lim( x 2 ? 9) ? 0, x ?3

商的法则不能用

又 ? lim( x ? 3) ? 6 ? 0,
x ?3

x?3 x?3 ? lim 2 ? lim x?3 x ? 9 x ? 3 ( x ? 3 )( x ? 3 )

1 1 1 ? lim ? ? x ?3 x ? 3 lim ( x ? 3) 6
x ?3

例4

2x ? 3 求 lim 2 . x ?1 x ? 5 x ? 4
x ?1
2

解 ? lim( x 2 ? 5 x ? 4) ? 0
x ? 5x ? 4 但因 lim ? x ?1 2x ? 3
x ?1

商的法则不能用,
12 ? 5 ? 1 ? 4 ? ?0 2 ?1 ? 3

lim ?x 2 ? 5 x ? 4 ? lim ?2 x ? 3?
x ?1

由无穷小与无穷大的关系,得
2x ? 3 lim 2 ? ?. x ?1 x ? 5 x ? 4

例5

3 x3 ? 4 x2 ? 2 求 lim 3 . 2 x ?? 7 x ? 5 x ? 3

? 解 x ? ?时, 分子, 分母的极限都是无穷大 . ( 型 ) ?
先用x 3去除分子分母 , 分出无穷小 , 再求极限.

4 3? ? 3 x3 ? 4 x2 ? 2 x lim 3 ? lim x ?? 7 x ? 5 x 2 ? 3 x ?? 5 7? ? x

2 x3 3 3 x

3 ? . 7

(无穷小分出法)

例8


sin x 求 lim . x ?? x

y?

sin x x

当x ? ?时, 分子及

及分母的极限都不存在,

1 但 为无穷小, x

而sin x是有界函数.

sin x ? lim ? 0. x?? x

2.5 两个重要的极限公式 第1个重要极限 第2个重要极限
sin x lim ?1 x ?0 x

1 x lim (1 ? ) ? e x ?? x

例1

tan x 求 lim . x? 0 x



tan x sin x . 1 ? lim lim x? 0 x? 0 x x cos x sin x . 1 ?1 ? lim lim x?0 x x?0 cos x

sin x ?1 lim x?0 x

例2

1 ? cos x 求 lim . 2 x ?0 x
x 2 sin 2 原式 ? lim x? 0 x2
2



1 ? lim 2 x?0 ? x ? 2 ? ? ? 2?

sin 2

x 2

? sin x ? 2 ? 1 2? ? lim ? x ?0 x ? 2 ? ? ? 2 ?

1 2 1 ? ?1 ? . 2 2

例3

arcsin x 求 lim . x?0 x

解 令t ? arcsin x , 则x ? sin t ,当x ? 0时t ? 0
arcsin x t 于是有 lim ? lim ?1 x ?0 t ?0 sin t x

1 x lim (1 ? ) ? e , lim (1 ? x ) ? e x ?? x ?0 x
例4

1 x 求 lim (1 ? ) . x ?? x
1 ? x ?1 原式 ? lim[(1 ? ) ] ? lim x ?? x ?? ?x

1 x

1 ? . e

1 1 ?x (1 ? ) ?x

1 x lim (1 ? ) ? e , lim (1 ? x ) ? e x ?? x ?0 x
注意 例
u ( x )? 0

1 x

lim ?1 ? u( x )?
1 x

1 u( x )

?e
1 ?3 x

lim (1 ? 3 x )
x ?0

? ? lim ?(1 ? 3 x ) x ?0 ?
1 ?3 x ?3

? ? ?

?3

例 解

? ? ? ?lim (1 ? 3 x ) ? ? e ? 3 ? x ?0 ? 3 ? x 2x 求 lim ( ) . x ?? 2 ? x
原式 ? lim[(1 ?
x ??

1 x?2 2 1 ?4 ) ] (1 ? ) ? e2 . x?2 x?2

练习题
填空题:
x3 ? 3 -5 1、 lim ? __________ . x?2 x ? 3 x ?1 3 2、 lim 3 ? __________ . x ?1 x ?1 1 1 1 2 3、 lim(1 ? )(2 ? 2 ? ) ? __________ . x ?? x x x 1 ( n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) 4、 lim ? __________ . 3 5 n? ? 5n 1 2 0 5、 lim x sin ? __________ . x ?0 x cos x 0 6、 lim x ? __________ . x ? ?? e ? e ? x

填空:

sin?x ? 1、 lim ? _________ . x ?0 x 2 sin 2 x 2、 lim ? __________ . 3 x ? 0 sin 3 x 1 3、 lim x ? cot 3 x ? __________ . 3 x ?0

sin x 0 4、 lim ? __________ . x ?? 2 x 1 e2 x 5、 lim (1 ? 2 x ) ? _________ .
x ?0

1 ? x 2x e2 6、 lim ( ) ? _________ . x ?? x

作业 P52习题二 1, 5(1-4), 8(1-4) ,10(1?4)

第三节 连续函数
3.1 连续函数的概念 1、连续函数的两个定义 定义1 如果
x ? x0

lim f ( x ) ? f ( x0 )

则称函数 f (x)在点x0处连续, x0称为f (x)的连续点。
f ( x )在x0处连续包含了三个条件 即 ,

在点x0处有定义; 在点x0处有极限; 极限值等 于函数值 三个条件中只要有一个不满足, 则称函数f (x) 在点x0处间断, 并称x0为f (x)的间断点.

定义1 设函数y = f (x)在点x0的某 个邻域内有定义, 如果
x ? x0

lim f ( x ) ? f ( x0 )

则称函数 f (x)在点x0处连续, x0称为f (x)的连续点。 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的 连续函数, 或者说函数在该区间上连续.

例如整式函数 Pn ( x )在( ??,?? )连续 Pn ( x ) 分式函数 f ( x ) ? 在分母不为零的区间上连续 Qm ( x )
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.

函数 y ? f ( x ), 在x0的附近取 一点x, ?x ? x ? x0
称为自变量在点 x0的增量.

y
y ? f ( x)

?y ? f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ), 称为
函数 f ( x )相应于?x的增量.
0
x0

?y

?x
x

x

定义2 设函数y = f (x)在点x0的某个邻域内有定义, 如果 lim ?y ? lim [ f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 )] ? 0
?x ?0 ?x ?0

那么就称函数 f (x)在点x0处连续

函数在一点连续的本质意义:当自变量变化很小 时,函数值变化也很小

例 证明函数 y = sin x 在区间(-∞, +∞)内连续 证 任取 x∈(-∞, +∞),
?y ? sin( x ? ?x ) ? sin x ? 2 sin

?x ?x (? cos( x ? ) ? 1) ? 2 sin 2 2 ? ?x (? 对任意的? , 当? ? 0时, 有 sin ? ? ? )
?当?x ? 0时, ?y ? 0.

?x ?x ? cos( x ? ) 2 2

即函数 y = sin x 对任意x∈(-∞, +∞)都是连续的

同样函数 y = cos x 对任意x∈(-∞, +∞)都是连续的



1 ? ? x sin , 试证函数 f ( x ) ? ? x ? 0, ?

x ? 0, x ? 0,

在x = 0处连续
1 证 ? lim x sin ? 0, x?0 x

又f (0) = 0,

? lim f ( x ) ? f (0),
x ?0

由定义知

函数f (x)在 x = 0 处连续

2、函数的间断点
情况1 无定义点
1 例 讨论函数 f ( x ) ? sin x

连续: f ( x ) ? f ( x0 ) lim
x ? x0

在x = 0 处的连续性

解 ? 在x ? 0处没有定义,
y ? sin

∴ x= 0为该函数的间断点

1 x

情况2 极限不存在的点 例

连续: f ( x ) ? f ( x0 ) lim
x ? x0

? x ? 2, 讨论函数 f (x) = ? ? x ? 2,

x ? 0, x ? 0,
y

在x = 0处的连续性

lim f ( x ) ? lim( x ? 2) ? 2
x ?0
?

x ?0

?

y? x?2
2

lim f ( x ) ? lim( x ? 2) ? ?2
x ?0? x ? 0?

o

x

? f (0? ) ? f (0? ),
? lim f ( x )不存在,
x?0

y ? x?2

?2

故函数f (x)在点x = 0 处不连续

情况3 极限值不等于函数 值的点 例 讨论函数

连续: f ( x ) ? f ( x0 ) lim
x ? x0

y
y ? 1? x
2 1

? 2 x , 0 ? x ? 1, ? f ( x ) ? ?1, x ?1 ?1 ? x , x ? 1, ?

y?2 x
1

在x = 1 处的连续性

? f (1) ? 1,
x ?1

o

x

lim f ( x ) ? 2,
x ?1

? lim f ( x ) ? f (1)? f (1),

?x = 0为函数的间断点.

3.2 连续函数求极限法则
由函数的定义可知,如果y = f (x)在x0连续,则
x ? x0

lim f ( x ) ? f ( x0 )



求 lim cos x
x ?p
x ?p

解 lim cos x ? cos p ? ?1

3.3 初等函数的连续性
(1) 基本初等函数在定义域内是连续的. (2) 初等函数在其定义区间上连续.
定义区间是指包含在定义域内的区间.

(3) 初等函数在其定义区间上求极限即求 该点的函数值.




1 ? x2 ? 1 求 lim . x ?0 x ( 1 ? x 2 ? 1)( 1 ? x 2 ? 1) 原式 ? lim x ?0 x( 1 ? x 2 ? 1) x 0 ? lim ? ? 0. x ?0 1 ? x 2 ? 1 2

log a (1 ? x ) . 例6 求 lim x ?0 x 1 解 lim log a (1 ? x ) ? lim log a (1 ? x ) x x ?0 x ?0 x

1 ? log a e ? ln a

例7 解

ax ?1 求 lim . x ?0 x
令a x ? 1 ? t , 则x ? log a (1 ? t ) , x ? 0时t ? 0

ax ?1 t 于是 lim ? lim ? ln a x ?0 t ?0 log (1 ? t ) x a

3.4 闭区间上连续函数的性质
定理1 (最大值最小值定理) 在闭区间上连续的 函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值. 若 f (x)∈C[a, b], 则??1, ?2 ∈[a, b], 使得? x∈[a, b], 有 f (?1) ≥ f (x) f (?2) ≤ f (x)
o
a

y

y ? f ( x)

?2

?1 b

x

定理1 (最大值最小值定理) 在闭区间上连续的 函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值 和最小值. 注意: 1.若区间是开区间, 定理不成立; 2.若区间内有间断点, 定理不成立.
y

y ? f ( x)
1

y

y ? f ( x)

o

p 2

x

o

1

2

x

定义 如果 f (x0) = 0, 则称 x0为函数 f (x) 的零点 . 定理2 (零点定理) 设函数 f (x)在区间[a, b]上连续, 且f (a)与f (b)异号(即f (a) ? f (b)<0) , 那么 在开区间(a, b)内至少有函数 f (x) 的一个零点, 即至少有一点ξ (a<ξ < b) , 使 f (ξ ) = 0 即方程 f (x) = 0在(a, b)内至少存在一个实根
y

y ? f ( x)
a

几何解释:
?3

o

?1

?2

b

连续曲线弧y =f (x) 的 x 两个端点位于x轴的不 同侧, 则曲线弧与x轴 至少有一个交点

例1 证明 方程x3 - 4x2 + 1 = 0 在区间(0,1)内至少有一根 证 令f (x) =x3 - 4x2 + 1, 则 f (x)在 [0,1]上连续, 又 f (0) = 1 > 0, f (1) = -2 < 0, 由零点定理,

? ξ ∈(a, b), 使 f (ξ ) = 0 , 即ξ 3 - 4ξ 2 + 1=0
∴ 方程x3 - 4x2 + 1 = 0 在区间(0,1)内至少有一根ξ

二、 证明方程 x ? a sin x ? b , 其中a ? 0, b ? 0
至少有一正根, 并且它不超过a ? b. 证 设 f ( x ) ? x ? a sin x ? b 则 f ( x )在[0, a ? b]上连续 f (0) ? ? b ? 0, f (a ? b) ? a[1 ? sin( a ? b)] ? 0
若f (a ? b) ? 0, 在[0, a ? b]上引用零点定理 在(0, a ? b)内至少有一点? , 使f (? ) ? 0 若f (a ? b) ? 0, 则即为零点 故在(a , b]至少有一个零点.

练习题
2 1、 lim x 2 ? 3 x ? 4 ? ____________. x ?0 1 x ?1?1 2、 lim ? ____________. 2 x ?0 x 0 3、 lim ln( 2 cos 2 x ) ? ____________.
x?

p

0 2 ? 2 cos x 4、 lim ? ____________. 2 p tan x x? 1 1 4 ? ( 2 ? 1) et ? 1 2 e 5、 lim ? ____________. t ? ?2 t
?e x , x ? 0 1 , 当 a ? _____时, f ( x )在 6、设 f ( x ) ? ? ?a ? x , x ? 0 ( ? ? ,?? ) 上连续 . x4 ? x ? 1 ?? ,?3), ( ?3,2), ( 2,?? 7、函数 f ( x ) ? 2 的连续区间为 (________________. ) x ? x?6

6

作业 P52习题二 13、15(1)、18

第四节 导数与微分
3.1 导数 3.1.1 引例 1. 直线运动的速度
设有一质点作变速直线运动, 其位移方程为 s = f (t) 时刻从 t0到 t , 动点位移从 s0= f (t0) 到 s = f (t )
时间增量为 ?t ? t ? t0 位移增量为 ?s ? f ( t0 ? ?t ) ? f ( t0 )

在上述时间间隔内的平均速度为
?s f ( t 0 ? ?t ) ? f ( t 0 ) v? ? ?t ?t

在上述时间间隔内的平均速度为
?s f ( t 0 ? ?t ) ? f ( t 0 ) v? ? ?t ?t

t0 时刻的瞬时速度 v 可用此平均速度近似代替 时间间隔越小, 近似的程度越好, 当t →t0时,就得到t0时刻的瞬时速度

f ( t 0 ? ?t ) ? f ( t 0 ) ?s v ? lim ? lim ?t ? 0 ? t ?t ? 0 ?t

2.切线斜率
求曲线 y=f (x)在点 M(x0, y0) 处的切线斜率

y
y ? f ( x)

N T

取一点N(x, y) , 得割线MN

C
o

M

N ?? ? ? M , x ? x0 , ?
沿曲线C

x0
播放

x

x

割线MN趋向极限位置MT,

直线MT就称为曲线C在点M处的切线.

割线MN的倾角为? ,

y
y ? f ( x)

切线MT的倾角为? ,
割线MN的斜率为
y ? y0 tan ? ? x ? x0
f ( x ) ? f ( x0 ) ? y ? ? x ? x0 ?x

N

?y T

C
o
?

M ?

?x

x0

x

x

当x ? x0时, 就得到切线MT的斜率
f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) ?y k ? tan ? ? lim ? lim ?x ? 0 ? x x ? x0 ?x

3.1.2 导数概念
上述两个引例都归结为如下的极限:

?y f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) lim 或 lim ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x
定义 设函数 y = ?(x)在点x0的某个邻域内有定义,



?y f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) lim ? lim ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x

存在时,

则称函数y = ?(x)在点x0处可导,并称这个极限为函 数 y = ?(x)在点x0处的 导数

dy 记为 y? x ? x0 , f ?( x0 ) , dx

df ( x ) x ? x0 或 dx

x ? x0

,

导函数
若 f (x) 在I内可导, 则对于任一 x ? I , 都对应着 f (x) 的一个确定的导数值. 这样又定义了一个函数, 记作:

这个函数叫做原来函数 f (x) 的导函数,

dy df ( x ) y?, f ?( x ), 或 . dx dx f ( x ? ?x ) ? f ( x ) f ( x ? h) ? f ( x ) 即 f ?( x ) ? lim ? lim ?x ? 0 h?0 ?x h
注意:

f ?( x0 ) ? f ?( x ) x ? x0 .

求导数步骤:

?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) (1) 求增量比 ? ; ?x ?x ?y ( 2) 求极限 y? ? lim . ?x ? 0 ? x
例1 求函数 f ( x ) ? C (C为常数 ) 的导数 .
f ( x ? h) ? f ( x ) C ?C 解 f ?( x ) ? lim ? 0. ? lim h? 0 h ?0 h h



( C ) ? ? 0.

例2 解

求函数y ? x n ( n为正整数)的导数.
( x ? h) n ? x n ( x n )? ? lim h? 0 h

? lim[nx
h? 0

n ?1

n( n ? 1) n? 2 ? ? x h ? … ? hn 1 ] ? nx n ?1 2!
(? ? R )
.
? 1? 1


更一般地 例如,

? ( x n )? ? nx n 1 .

? ?? ( x )? ? ?x 1 .
1 ?1 2

1 ( x )? ? x 2

?

1 2 x

? 1 ?? ?1 ? ? ? ( x )? ? x?

? ( ?1) x

1 ?? 2. x

例3 设函数 f ( x ) ? sin x , 求(sin x )?及(sin x )?

p x? 4

.



h h 2 cos( x ? ) sin sin( x ? h) ? sin x 2 2 ? lim (sin x )? ? lim h? 0 h? 0 h h
h ? lim cos( x ? ) ? h? 0 h 2 2 sin h 2 ? cos x .



(sin x )? ? cos x .

? (sin x )?

x?

p 4

? cos x

x?

p 4

2 ? . 2

同理可得

(cos x )? ? - sinx

例4 求函数 f ( x ) ? a x (a ? 0, a ? 1) 的导数. 解
a x?h ? a x (a x )? ? lim h ?0 h ah ? 1 x ? a lim ? a x ln a . h? 0 h



(a x )? ? a x ln a .

特别有

( e x )? ? e x .

例5 解

求函数y ? log a x (a ? 0, a ? 1) 的导数.
x?h log a log a ( x ? h) ? log a x x y ? ? lim ? lim h? 0 h h?0 h h log a (1 ? ) x 1 h h 1 x ? ? lim log a (1 ? ) ? lim h? 0 h x h? 0 x x x x 1 1 1 h h ? log a lim (1 ? ) ? log a e ? h? 0 x x ln a x x
1 1 ?log a x ? ? log a e ? x x ln a ?



特别有

?? 1. (ln x ) x

1.5 函数的连续性和可导性之间的关系
定理 若函数 f ( x )在点 x0可导,

则函数 f ( x )在点 x0连续 .
即 凡可导函数都是连续函数.

注意: 该定理的逆定理不成立.

函数 f ( x )在点 x0连续, 在点 x0不一定可导 .

练习题
一、 填空: 1、 设 f ( x ) 在 x ? x 0 处可导,即 f ?( x 0 ) 存在,则 f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) f ?( x 0 ) lim ? _________ , ?x ? 0 ?x f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ? f ?( x0 ) lim ? _________ . ?x ? 0 ?x 2、 已知物体的运动规律为 s ? t 2 (米),则该物体在

4 t ? 2 秒时的速度为_______ .

x2 3 x2 1 3、 y1 ( x ) ? 3 x 2 , y 2 ( x ) ? 2 , y 3 ( x ) ? 设 ,则 它 5 x x 1 2 ?3 x dy1 3 们的导数分别为 =___________________ , dx 5 2 1 ?6 ? 3 x dy 2 dy 3 x 6 =_____________ , =_____________ . dx dx

4x 2 4、 设 f ( x ) ? x , 则 f ? f ?( x )? ? ________________ ;
2

2x f ?? f ( x )? ? _________________.
2

5、 曲 线 y ? e x 在 点 ( 0 , 1 ) 处 的 切 线 方 程 为 x? y?1? 0 __________________.

二、 在下列各题中均假定 f ?( x 0 ) 存在, 按照导数的定义 观察下列极限,分析并指出 A 表示什么? f ( x) ? f ( x0 ) f ?( x 0 ) 1、 lim ? A; x ? x0 x ? x0 f ( h) 2、 lim ? A,其中 f (0) ? 0且f ?(0) 存在; f ?(0) h? 0 h f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ? h) ? A . 2 f ?( x0 ) 3、 lim h? 0 h
三、证明:若 f ( x )为偶函数且 f ?(0) 存在,则 f ?(0) ? 0 .
证 因f ( x )为偶函数, 故f ( ? x ) ? f ( x )

由导数定义有

f ( x ) ? f ( 0) f ( ? x ) ? f ( 0) f ?(0) ? lim ? ? lim ? ? f ?(0) x ?0 ? x ?0 x?0 ? x?0 移项有 2 f ?(0) ? 0, 即 f ?(0) ? 0

1 ? k x sin , x ? 0 ? 四、 设函数 f ( x ) ? ? 问 k 满足什么条件, x ?0 , x ? 0 ? f ( x )在 x ? 0 处 (1)连续; (2)可导.

1 解 当k ? 0时, lim f ( x ) ? lim x sin ? 0 ? f (0) x ?0 x ?0 x
k

f ( x )在x ? 0处连续

当k ? 1时,

lim f ( x ) ? f (0)
x ?0

x?0

? lim
x ?0

x k sin

1 ?0 1 k ?1 x ? lim x sin ? 0 x ?0 x?0 x

f ( x )在x ? 0处可导

作业 P85习题2-1 7(单). 11. 15.

3.2 求导数的方法——法则与公式
3.2.1 求导法则
1. 函数和、差、积、商的求导法则 定理1 如果函数u( x ), v ( x )在点 x处可导,则它

们的和、差、积、商 (分母不为零 ) 在点 x处 也可导, 并且 (1) [u( x ) ? v ( x )]? ? u?( x ) ? v?( x ); ( 2) [u( x ) ? v ( x )]? ? u?( x )v ( x ) ? u( x )v?( x ); u( x ) u?( x )v ( x ) ? u( x )v?( x ) ( 3) [ ]? ? (v ( x ) ? 0). 2 v( x ) v ( x)

推论
(1) [Cf ( x )]? ? Cf ?( x );
( 2) [? ki f i ( x )]? ? ? ki f i?( x );
i ?1 i ?1 n n

例1 解

求 y ? 2 x 3 ? 5 x 2 ? 3 x ? 7 的导数 .

y? ? ?2 x

? ? ?5 x ? ? ?3 x ? ? ?7? ? ? ? ? 2? x ? ? 5? x ? ? 3? x ?
3 2

?

?

?

?

3

2

? 2 ? 3 x2 ? 5 ? 2 x ? 3
? 6 x 2 ? 10 x ? 3

例2



f ( x ) ? x ? 4 cos x ? sin ,求f ?( x )及f ?( ) 2 2 f ?( x ) ? 3 x 2 ? 4 sin x
3

p

p

p 3 ?( ) ? p 2 ? 4 f 2 4

例3 解

y ? e x (sin x ? cos x ), 求y? y? ? (e x )?(sin x ? cos x ) ? e x (sin x ? cos x )? ? e x (sin x ? cos x ) ? e x (cos x ? sin x )

? 2e x cos x

例4 求 y ? tan x 的导数 . 解
y? ? (tan x )? ? ( sin x )? cos x

(sin x )? cos x ? sin x(cos x )? ? cos 2 x

cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x

?

1 ? sec2 x cos 2 x

即 同理可得

(tan x )? ? sec 2 x .

(cot x )? ? ? csc 2 x .

例5 解

求 y ? sec x 的导数 .
1 y ? ? (sec x )? ? ( )? cos x ? (cos x )? sin x ? sec x tan x . ? ? 2 2 cos x cos x

即 (secx)? = secxtanx 同理可得 (csc x )? ? ? csc x cot x .

练习题
sin x x( ? 1、 设 y ? x ? sin x ,则 y ? = __________. cos x ) 2x 2 dy 3a x ln a ? e x ? 2 x x 2、 设 y ? 3a ? e ? ,则 =__________. x2 x dx dy x 2 ?2 3、 设 y ? e ( x ? 3 x ? 1) ,则 = __________. dx x ? 0

p 4、 曲线 y ? ? sin x 在 x ? 0 处的切线 与 x 轴 正向 2 p 的夹角为_________. 4

2. 复合函数的求导法则
定理
设函数 y ? f [? ( x )]是由函数 y ? f ( u), u ? ? ( x )
复合而成 , 如果函数u ? ? ( x )在点x可导, 而 y ? f (u)
在对应的点u ? ? ( x )处也可导, 则有复合函数的导数

dy dy dy du ?( u) ? ? ?( x ) 或 ? f ? ? dx dx du dx

即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链导法则)

函数 y ? f [ g( x )]由y ? f ( u), u ? g( x )复合而成, 则

dy dx

x ? x0

? f ?( u0 ) ? g ?( x0 ) 或 dy ? dy ? du dx du dx
x3

例9


dy y ? e ,求 . dx

y ? e 可看作由y ? e u , u ? x 3复合而成,于是
dy dy du u 2 2 x3 ? ? ? e ? 3x ? 3 x e dx du dx

x3

2x dy ,求 . 例10 y ? sin 2 dx 1? x 解 y ? sin 2 x 可看作由y ? sin u, u ? 2 x 1 ? x2 1 ? x2
复合而成,于是

dy dy du ? ? ? dx du dx

2(1 ? x 2 ) ? ( 2 x )2 ? cos u ? (1 ? x 2 )2

2(1 ? x 2 ) 2x ? ? cos 2 2 2 (1 ? x ) 1? x

例11


求函数 y ? ln sin x 的导数.

cos x dy 1 ? cot x ? ? (sin x )? ? sin x dx sin x
dy y ? 1 ? 2x , 求 . dx
3 2

例12 解

dy ? [(1 ? 2 x ) ]? dx 2 ? 4x ? 1 2 3 2 ? (1 ? 2 x ) ? (1 ? 2 x )? ? 3 3 (1 ? 2 x 2 )2 3

1 2 3

推广 设 y ? f ( u), u ? ? ( v ), v ? ? ( x ),

则复合函数 y ? f {? [? ( x )]}的导数为 dy dy du dv ? ? ? dx du dv dx dy x 例13 y ? ln cos e , 求 . dx x y ? ln u, u ? cos v , v ? e 解
1 dy dy du dv ? ? ( ? sin v ) ? e x ? ? ? dx du dv dx u
sin v x ? ? e x tan e x ?? ?e cos v

例14


y?e

sin
1 x

1 x

, 求y?.
sin 1 x

1 y? ? ( e )? ? e ? (sin )? x 1 sin 1 1 x ?? 2 e ? cos x x
sin

?e

sin

1 x

1 1 ? cos ? ( )? x x

例15

设x ? 0, 证明幂函数的导数公式
( x ? )? ? ?x ? ?1

证 ? x ? ? (e ln x )? ? e ? ln x ? ( x ? )? ? (e ? ln x )? ? e ? ln x ( ? ln x )?

1 ? x ?? ? ? ?x ? ?1 x
?

练习题
填空

8( 2 x ? 5) 3 1、 设 y ? ( 2 x ? 5) ,则 y ? =___________.
4

2、 设 y ? sin 2 x ,则 y ? =____________. sin 2 x

2x 3、 设 y ? arctan(x 2 ) ,则 y ? =____________. 1 ? x4 ? tan x 4、 设 y ? ln cos x ,则 y ? =____________.
5、 设 y ? 10 x tan 2 x ,则 y ? =____________. (tan 2 x ? 2 x sec 2 2 x ) 10 x tan 2 x ln 10

dy 2 xf ?( x 2 ) 6、 设 f ( x )可导,且 y ? f ( x ) ,则 =___________. dx
2

3. 隐函数的导数
定义
由方程F(x, y) = 0所确定的函数y = y(x)称为隐函数.

例 由方程 x ? y 3 ? 1 ? 0 所确定的函数 y ? 3 1 ? x
而 y =f (x) 形式称为显函数.
例 y ? sin x , y ? ln x ? 1 ? x 2 等

F ( x, y) ? 0

y ? f (x)

隐函数的显化

例 由方程 x ? y 3 ? 1 ? 0 可显化出函数 y ? 3 1 ? x
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?

隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.

例1

求由方程 xy ? e x ? e y ? 0所确定的隐函数 dy dy y的导数 及 x ?0 . dx dx
dy e x ? y ? , 解得 y dx x ? e
x?0

解 方程两边对x求导(求导时把y看作x的函数), 得到
dy x y dy y? x ?e ?e ?0 dx dx
由原方程知 x ? 0, y ? 0,

dy ? dx

ex ? y ? x?ey

x?0 y?0

? 1.

例2 求由方程y5 + 3x2y + 5x4 + x = 1所确定的隐函数
y = y(x) 在x = 0处的导数

解 方程两边对x求导(求导时把y看作x的函数), 得到 5y4 y? + 6xy + 3x2y? + 20x3 + 1 = 0
1+ 6xy + 20x3 由此解得 y? = 5y4 + 3x2

因为当x = 0时,可由原方程解得y = 1
所以 y? |x = 0 = - 1 5

2.2 基本初等函数的求导公式
(C )? ? 0

( x ? )? ? ?x ? ?1

(sin x )? ? cos x
(tan x )? ? sec2 x

(cos x )? ? ? sin x
(cot x )? ? ? csc2 x

(sec x )? ? sec x tan x
(a x )? ? a x ln a
1 (log a x )? ? x ln a

(csc x )? ? ? csc x cot x
(e x )? ? e x
(ln x )? ? 1 x

1 ?? (arcsin x ) 1 ? x2 1 (arctan x )? ? 1 ? x2

1 (arccos x )? ? ? 1 ? x2 1 ??? (arc cot x ) 1 ? x2

例17


y ? sin nx ? sin n x ( n为常数) , 求y?
n n?1

y? ? (sin nx )? sin n x ? sin nx(sin n x )?

? n cos nx ? sin x ? sin nx ? n sin x ? cos x n ?1 ? n sin x (cos nx ? sin x ? sin nx ? cos x )

? n sin

n ?1

x ? sin( n ? 1) x

作业
P78习题三 4.(单) 5.(1-8)

§3 函数的微分
3.1 微分
1. 微分的概念 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
边长为x0的正方形面积 A ? x0 ,
2

x0

?x

( ?x ) 2
?x

设边长由x0变到x0 ? ?x ,
2 面积改变量 ?A ? ( x0 ? ?x )2 ? x0

x 0 ?x

2 A ? x0

? 2 x 0 ? ?x ? ( ?x ) 2 .
(1) ( 2)

x 0 ?x

x0

(1) :?x的线性函数 , 且为?A的主要部分; ( 2) : ?x的高阶无穷小, 当?x 很小时可忽略.

再例如,

设函数 y ? x 3在点 x0处的改变量

为?x时, 求函数的改变量?y .
3 ?y ? ( x 0 ? ?x ) 3 ? x 0 2 ? 3 x 0 ? ?x ? 3 x 0 ? ( ?x ) 2 ? ( ?x ) 3 .

(1)

( 2)

当?x 很小时, ( 2)是?x的高阶无穷小 o( ?x ),
2 ? ?y ? 3 x 0 ? ?x .

既容易计算又是较好的近似值

问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?

定义 设函数 y = f (x)在点x处有增量?x, 如果相 应的函数增量? y 可表示成
? y ? f ( x 0 ? ? x ) ? f ( x 0 ) ? A . ? x ? o( ? x )

其中A是与?x无关的常数 ,

则称函数在点 x 可微, 并且称A?x为函数 y = f (x) 在点 x 相应于自变量增量?x的微分
记作 dy
x ? x0 或 df

( x0 ), 即dy

x ? x0

? A . ?x .

微分 dy叫做函数增量 ?y的线性主部. (微分的实质)

可微的条件
函数 f (x)在点x0可微的充要条件是 函数 f (x)在点x0可导,且 A = f ?(x0) 证 (1) 必要性 ∵ f (x)在点x0 可微,
?y o( ?x ) , ? ?y ? A ? ?x ? o( ?x ), ? ? A ? ?x ?x

?y o??x ? 则 lim ? A ? lim ? A. ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ? x

即函数 f (x)在点x0 可导, 且 A ? f ?( x0 ).

(2) 充分性 ∵ f (x)在点x0 可导, ?y ?y ? lim ? f ?( x0 ), 即 ? f ?( x0 ) ? ? , ?x ? 0 ? x ?x 从而?y ? f ?( x0 ) ? ?x ? ? ? ( ?x ) ??? ? 0( ?x ? 0)?
? f ?( x0 ) ? ?x ? o( ?x )
?函数f ( x )在点x0可微, 且f ?( x0 ) ? A.

? 可导 ? 可微.

A ? f ?( x 0 ).

函数 y ? f ( x )在任意点 x的微分 , 称为函数的 微分, 记作 dy或 df ( x ), 即 dy ? f ?( x )?x .

函数 y ? f ( x )在任意点 x的微分 , 称为函数的 微分, 记作 dy或 df ( x ), 即 dy ? f ?( x )?x .

通常把自变量x的增量?x称为自变量的微分, 记作dx, 即

dx ? ?x . dy ? f ?( x ). ? dy ? f ?( x )dx dx
导数也叫 微商

即函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 之商等于 该函数的导数.

例1

求函数 y ? x 2 在 x ? 1和x ? 3 处的微分.

解 ? dy ? ( x 2 )??x ? 2 x?x.
? dy x ?1 ? 2?x dy x ?3 ? 6?x

例2

求函数 y ? x 当 x ? 2, ?x ? 0.02时的微分.
3

解 ? dy ? ( x 3 )? ?x ? 3 x 2 ?x .
? dy
x?2 ?x ? 0.02

? 3 x 2 ?x

x?2 ?x ? 0.02

? 0.24.

2. 微分的几何意义
y ? f ( x )的图形是一条曲线

y
T
N P
o( ?x )

?x0 ? M ( x0 , y0 )
x0 ? ?x ? N ( x0 ? ?x, y0 ? ?y )
y ? f ( x)


M

dy ?y

?x

过M点作曲线的切线MT ,

?
x0

它的倾角为?

o

x0 ? ?x

x

当?y是曲线的纵坐标的增量时, dy 就是切线纵坐标的增量.

当 ?x 很小时 , ?y ? dy ? f ?( x0 )?x ? tan ??x ,
而 ?y ? dy ? o( ?x ) .

3.2 微分公式与法则

dy ? f ?( x )dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式
d (C ) ? 0 d ( x ? ) ? ?x ? ?1dx

d (sin x ) ? cos xdx
d (tan x ) ? sec2 xdx

d (cos x ) ? ? sin xdx
d (cot x ) ? ? csc2 xdx

d (sec x ) ? sec x tan xdx d (csc x ) ? ? csc x cot xdx

d (a x ) ? a x ln adx

d (e x ) ? e x dx

1 d (log a x ) ? dx x ln a 1 d (arcsin x ) ? dx 2 1? x 1 d (arctan x ) ? dx 2 1? x

1 d (ln x ) ? dx x
1 d (arccos x ) ? ? dx 2 1? x 1 d (arc cot x ) ? ? dx 2 1? x

2. 函数和、差、积、商的微分法则
d ( u ? v ) ? du ? dv
d ( uv ) ? vdu ? udv

d (Cu) ? Cdu
u vdu ? udv d( ) ? v v2

3. 复合函数的微分法则(微分形式的不变性)
设函数 y ? f ( x ) 有导数 f ?( x ),

(1) 若x是自变量, dy ? f ?( x )dx

(2)若x是中间变量, 即为另一变量 t 的可微 函数 x = ? (t) 时,则 dy = f ?(x)? ?(t)dt
?? ?( t )dt ? dx
? dy ? f ?( x )dx .

结论: 无论x是自变量还是中间变量, 函数
y ? f ( x )的微分形式总是

dy ? f ?( x )dx

微分形式的不变性

例3 设 y ? sin( 2 x ? 1), 求dy . 解 把 2 x ? 1看作中间变量u,

则 dy ? d (sin u) ? cos udu
? cos(2 x ? 1)d ( 2 x ? 1)
? cos(2 x ? 1) ? 2dx

? 2 cos(2 x ? 1)dx .

例4 设 y ? ln( x ? e ), 求dy.
x2


例5

? y? ?

1 ? 2 xe x?e

x2

x2

,

? dy ?

1 ? 2 xe x?e

x2

x2

dx .

设 y ? e1?3 x cos x , 求dy .

解 dy ? cos x ? d (e 1? 3 x ) ? e 1? 3 x ? d (cos x )
? cos x ? ( ?3e1? 3 x )dx ? e1? 3 x ? ( ? sin x )dx ? ? e 1? 3 x ( 3 cos x ? sin x )dx .

例6

在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使 等式成立.
?

(1) d ( 1 sin ?t ? C ) ? cos ?tdt ; ( 2) d (sin x 2 ) ? ( 4 x x cos x 2 )d ( x ).

解 (1) ? d (sin ?t ) ? ? cos ?tdt ,
1 1 ? cos ?tdt ? d (sin ?t ) ? d ( sin ?t ); ? ?

d (sin x 2 ) 2 x cos x 2 dx ( 2) ? ? ? 4 x x cos x 2 , 1 d( x) dx 2 x

练 习 题
一、 填空题: 1、 已知函数 f ( x ) ? x 2 在点 x 处的自变量的增量为 0.2,对应的函数增量的线性全部是 dy =-0.8,那

?2 么自变量 x 的始值为__________.
1
2、 d ____________ ? sin?xdx . ?

cos ?x ? C

1 ?2 x e ?C 3、 d ____________ ? e 2 x dx . 2 1 tan 3 x __ 4、 d __________? C? sec 2 3 xdx . 3
5、 y ? x 2e 2 x , dy ? e 2 x d ______? x 2d ______ . x2 e2 x

二、 求下列函数的微分: 1、 y ?
x x ?1
2


2

( x 2 ? 1) dx

?

3 2

2 ln(1 ? x ) 2、 y ? [ln(1 ? x )] ; dx x ?1
3、 y ? e p? 3 x cos 3 x ,求 dy x ? p ;
3
2 2

3dx
y dx x

4、求由方程 cos( xy ) ? x y 所确定的 y 微分.

作业 P78习题三 11.(单) 5.(1-8)

第四节 导数应用
4.1 中值定理
定义(极值) 设函数 f (x)在区间(a,b)内有定义, x0(a,b), 如果 存在着x0的一个邻域, 对于这邻域内的任何点x (x ≠ x0), f (x) < f (x0) ( f (x) > f (x0) )均成立, 就称f (x0) 是函数f (x)

的一个极大(极小)值.
y

函数的极大值与极小值统称为极值, 在x0的邻 域里f (x0) 比其他函 数值小
x0

使函数取得极值的点称为极值点. 在x0的邻 域里f (x0) 比其他函 数值大
y

o

x0

x

o

x

定义 使导数为零的点(即方程f ?(x0) = 0的实根) 叫做函数 f (x)的驻点.
费马定理 如果 f ( x )在x0 取得极值又可导,
则x0必为函数的驻点,即 f ?( x0 ) ? 0

从函数图形看,在曲线弧 的最高或最低点处,曲 线有水平的切线
? x0

拉格朗日(Lagrange)中值定理
( 2) 如果函数 f (x)在闭区间[a, b]上连续, 在开区间
(1)

(a, b)内可导, 那么在(a, b)内至少有一点? (a< ? <b),
使得
几何解释:

f (b) ? f (a ) f ?(? ) ? b?a y
C
y ? f ( x)

在曲线弧AB上至少有一 点C, 在该点处的切线平 行于弦AB.

B

A

D

上式亦即

o a

?1

?2 b

x

f (b) - f (a) = f? (?) (b - a)

称为拉格朗日中值公式

拉格朗日中值公式

f (b) ? f (a ) ? f ?(? )(b ? a ) ? ? (a , b)

推论 如果函数 f ( x ) 在区间 I 上的导数恒为零 ,
那末 f ( x ) 在区间 I 上是一个常数 . 证 在区间I上任取两点x1 , x2 ( x1 ? x2 ),

应用拉氏中值公式 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ?(? )( x2 ? x1 ) ( x1 ? ? ? x2 )
由假定, f ?(? ) ? 0, 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0
即对区间I上任意两点x1 , x2都有 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 所以 f ( x ) 在区间 I 上是一个常数 .



2 证 设 f ( x ) ? arcsin x ? arccos x , x ? (-1,1)
1 1 ? (? ) ? 0. 2 2 1? x 1? x

证明 arcsin x ? arccos x ?

p

( ?1 ? x ? 1).

∵ f ?( x ) ?

? f ( x) ? C ,

x ? [?1,1]

p p 又 ∵ f (0) ? arcsin 0 ? arccos 0 ? 0 ? ? , 2 2 p 即C ? . 2 p ? arcsin x ? arccos x ? . 2

练习 证明 arctan x ? arc cot x ?

p
2

( ?? ? x ? ?? ).

4.2 洛必达法则
定义 如果当x ? a (或x ? ?)时, 两个函数 f (x)与g(x)都趋于零或都趋于无穷大, f ( x) 0 ? 或 型未定式. 那末极限 xlim g ( x ) 称为 ?a ? 0 ( x?? )
sin ax ( b ? 0) 例如, lim x ?0 sin bx
x ? 2x ? 3x ? 1 ? lim ( ) 2 x ?? 5x ? 4 ?
3 2

0 ( ) 0
1 x sin x (0) lim x ?0 tan x 0

0 1. 型未定式 0
定理
如果函数 f (x) 和 g(x) 满足:
(1)当x ? a或x ? ?时, f ( x ) ? 0, g( x ) ? 0;
( 2) f ?( x )及 g?( x )都存在, 且g?( x ) ? 0; f ?( x ) ( 3) lim 存在(或为无穷大); x ? a g ?( x ) ( x ?? )

那末

f ( x) f ?( x ) lim ? lim x ?a g ( x ) x ? a g ?( x ) ( x ?? ) ( x ?? )

这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限

来确定未定式的值的方法称为 洛必达法则.

sin ax 例1 求 lim (b ? 0). x ?0 sin bx

0 ( ) 0



(sin ax )? a cos ax a 原式 ? lim ? lim ? x ?0 (sin bx )? x ?0 b cos bx b

f ( x) 0 如果 仍属 型,且f ?( x ), g?( x )满足 g( x ) 0

定理的条件,可以继续 使用洛必达法则,即

f ( x) f ?( x ) f ??( x ) lim ? lim ? lim ?? x ?a g ( x ) x ? a g ?( x ) x ? a g??( x ) ( x ?? ) ( x ?? ) ( x ?? )
例2 解
1 ? cos x 求 lim x ?0 x2

0 ( ) 0
? ?
sin x ? lim x ?0 2 x

原式 ? lim
x ?0

?1 ? cos x ?

?x ?
2

cos x 1 ? lim ? x ?0 2 2

注意 :运用洛必达法则必须认真审查计算的极限是 否是未定式,若不是未定式则不能用洛比达法则, 否则将得出错误的结论。 例
x e ? cos x e ? sinx ? lim lim ?? 2 x?0 x?0 x 2x
x x



e ? cosx 2 ×lim ? ? ?1 x?0 2 2

练习

1.

x ? 3x ? 2 . 求 lim 3 2 x ?1 x ? x ? x ? 1
3

0 ( ) 0

6x 3 x2 ? 3 3 解 原式 ? lim 2 ? lim ? . x ?1 3 x ? 2 x ? 1 x ?1 6 x ? 2 2

2.

x ? sin x 1 ? cos x sin x 1 lim ? lim ? lim ? 3 2 x ?0 x ?0 x 3x x ?0 6 x 6

? 2. 型未定式 ?
定理
如果函数 f (x) 和 g(x) 满足:
(1)当x ? a或x ? ?时, f ( x ) ? ?, g( x ) ? ?;
( 2) f ?( x )及 g?( x )都存在, 且g?( x ) ? 0; f ?( x ) ( 3) lim 存在(或为无穷大); x ? a g ?( x ) ( x ?? )

那末

f ( x) f ?( x ) lim ? lim x ?a g ( x ) x ? a g ?( x ) ( x ?? ) ( x ?? )

例4

ln x lim n (n ? 0) x ??? x
1 ?0 ? lim n x ??? nx

1 解 原式 ? lim x ?1 x ??? nx n
p

? ( ) ?

例5

x ? ??

lim 2

? arctan x 1 x

? ( ) ?

解 原式

1 ? 1 ? x2 ? lim x ? ?? 1 ? 2 x x2 2x ? lim ?1 2 ? lim x ? ?? 1 ? x x ? ?? 2 x

练习题
用洛必达法则求下列极限:
ln(1 ? x ) 1、 lim x?0 x sin x ? sin a 2、 lim x?a x?a

1

cos a
1

1 ln sin x ? 3、 lim ; p ( p ? 2 x )2 8 x?
2

4、 lim x?0

ln tan 7 x ln tan 2 x

1? ? ln? 1 ? ? x? ? 5、 lim x ? ?? arc cot x

1

1 6、lim x cot 2 x ; x ?0 2
lim x sin x ;1 8、 ?
x

2 1 ? ); ? 1 7 、lim( 2 x ?1 x ? 1 x ?1 2

0+

作业 P97习题四 3.

4.3 单调性、极值与最值
4.3.1 函数的单调性 定理 设函数 f (x)在 [a, b]上连续, 在 (a, b)内可导, 如果在 (a, b)内 (1) f ? (x)>0, 那么函数y = f (x) 在[a, b]上单调增加;
(2) f ? (x)<0, 那么函数y = f (x) 在[a, b]上单调减少.

y y

A

y ? f ( x) y ? f ( x)

B B

A

o a o a

b xx b

例1 判定函数y ? x ? sin x在 [0,2p ]上的单调性. 解
? 在 (0,2p )内 y? ? 1 ? cos x ? 0 ?函数y ? x ? sin x在 [0,2p ]上单调增加.

注意:函数的单调性是一个区间上的性质,要用 导数在这一区间上的符号来判定,而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性.

例2 讨论函数 y ? e x ? x ? 1的单调性. 解 ? D f : ( ??,??) , 在( ?? ,0)内, y? ? 0,

y? ? e x ? 1 ,

? 函数单调减少;
在(0,?? )内,
y? ? 0,

? 函数单调增加.
注:此例中,x=0是函数的单调区间升降改变的分 界点, 而在该点处 y? ? 0

例3

确定函数 f ( x ) ? 3 x 2 的单调性.
f ?( x ) ? 2 3 x
3

解 ? D f : ( ?? ,?? ),
, ( x ? 0)
y ? 3 x2

当x ? 0时,导数不存在.
当? ? ? x ? 0时, f ?( x ) ? 0, ? 在( ??,0]上单调减少; 当0 ? x ? ??时, f ?( x ) ? 0, ? 在[0,?? )上单调增加;

注:此例中,x=0是函数的单调区间升降改变的分 界点, 而在该点处 y?不存在 定义 驻点和不可导点统称为临界点.



当x ? 0时, 试证 x ? ln(1 ? x )成立. x . 1? x

证 设f ( x ) ? x ? ln(1 ? x ), 则 f ?( x ) ?

∵ f ( x )在[0,?? )上连续 , 且在 (0,?? )可导, f ?( x ) ? 0,

? 在[0,?? )上单调增加; ∵ f (0) ? 0,
? 当x ? 0时, f ( x ) ? f (0) ? 0,
即 x ? ln(1 ? x ) ? 0, 即 x ? ln(1 ? x ).

4.3.2 函数的极值
定义(极值) 设函数 f (x)在区间(a,b)内有定义, x0(a,b), 如果
存在着x0的一个邻域, 对于这邻域内的任何点x (x ≠ x0), f (x) < f (x0) ( f (x) > f (x0) )均成立, 就称f (x0) 是函数f (x) 的一个极大(极小)值.
y

函数的极大值与极小值统称为极值,
在x0的邻 域里f (x0) 比其他函 数值小
x0

使函数取得极值的点称为极值点. 在x0的邻 域里f (x0) 比其他函 数值大
y

o

x0

x

o

x

极值是函数的局部性概念 y
y ? f ( x)

ax

1

o

x2

x4

x5

x6

b

x

极大值可能小于极小值, 极小值可能大于极大值

函数极值的求法
定理 (必要条件) 若 f (x)在点x0处具有导数, 且在x0 处取得极值, 那么必有f ?(x0) = 0

从函数图形看,在曲线弧 的峰或谷处,曲线有水 平的切线
? x0

定义 使导数为零的点(即方程f ?(x0) = 0的实根) 叫做函数 f (x)的驻点.

注意: 可导函数f (x)的极值点一定是它的驻点, 但 函数的驻点却不一定是它的极值点.
y ? x 3 , y ? x ? 0 ? 0, 例如,

但x ? 0不是极值点.

y
y ? f ( x)

ax

1

o

x2

x3

x4

x5

x6

b

x

连续函数单调区间的分界点即为 极值点 驻点和不可导点(即临界点)可能是极值点

判别法则I (第一充分条件) 设函数f (x)在点x0处连续, 当x 从左到右经过 x0 (跳过x0) 时, 如果 f? (x0) (1) 由正变负, 那么函数 f (x)在x0处取得极大值; (2) 由负变正, 那么函数 f (x)在x0处取得极小值; (3) 不变号, 那么函数 f (x)在x0处没有极值.
y
(是极值点情形) y (不是极值点情形)

? ?? ?
x0 x0

y y

? ? ?
x0 x0

?
xx

oo

oo

xx

求单调区间和极值的步骤: (1)求出 f (x) 的全部临界点(驻点和不可导点);
(2)用临界点划分定义区间, 并在它们的左右考察
f ?( x )的正负号, 判断单调性.

(3)求极值



确定函数 f ( x ) ? 2 x ? 9 x
3

2

? 12 x ? 3的单调区间 .

解 ? D f : ( ??,?? )
f ?( x ) ? 6 x 2 ? 18 x ? 12 ? 6( x ? 1)( x ? 2) 解方程f ?( x ) ? 0 得 x1 ? 1, x2 ? 2.

+

?

+

当 ? ? ? x ? 1时, f ?( x ) ? 0, ? 在( ?? ,1]上单调增加; f ?( x ) ? 0, ? 在[1,2]上单调减少; 当1 ? x ? 2时, 当2 ? x ? ?? 时, f ?( x ) ? 0, ? 在[2,?? )上单调增加; 单调区间为 (??,1], [1,2], [2,?? ).

? x 3 ? 3 x 2 ? 9 x ? 5 的极值 . 求出函数 f ( x ) 解 f ?( x ) ? 3 x 2 ? 6 x ? 9 ? 3( x ? 1)( x ? 3) 令 f ?( x ) ? 0, 得驻点 x1 ? ?1, x2 ? 3. 列表讨论



x

(??,?1)

?1
0
极 大 值

(?1,3)

3 0
极 小 值

( 3,??)

f ?( x )
f ( x)

?

?

?

10
f ( x) ? x 3 ? 3 x 2 ? 9 x ? 5

? 22

的图形

4.3.3 函数的最大值和最小值
若函数 f (x)在 [a, b]上连续,那么函数f (x)在 [a, b]
上一定存在最大值和最小值,且最值一定在临界点

处或端点处取得.

y

y

y

o a

bx

o a

b x

o

a

b x

求最值的步骤:
1. 求函数 f (x)在 (a, b)内的驻点x1, x2, …, xn及不 可导点 x1 , x2 ,?, xm , ? ? ? 2. 比较 ? f (a ), f ( x1 ), f ( x2 ),?, f ( xn ), f ( x1 ), f ( x? ),?, f ( x? ), f (b) 2 m 其中最大的便是 f (x)在[a, b]上的最大值, 最小的便是 f (x)在[a, b]上的最小值. y
y ? f ( x)

ax

1

o

x2

x3

x4

x5

x6

b

x

例 求函数y = 2x3 + 3x2 - 12x + 14 在[-3,4]上的最大值 与取小值 解 ∵ f ?( x ) ? 6( x ? 2)( x ? 1) 解方程 f ?( x ) ? 0, 得
x1 ? ?2, x2 ? 1.
y ? 2 x 3 ? 3 x 2 ? 12 x ? 14

计算 f ( ?3) ? 23; f ( ?2) ? 34;
f (1) ? 7; f (4) ? 142;

比较得 最大值 f (4) ? 142, 最小值 f (1) ? 7.

实际问题求最值应注意:
若 f (x)在一个区间(有限或无限,开或闭)内可 导且只有一个驻点 x0, 并且这个驻点同时也是函数 f (x)的极值点,那么, f (x0)就是 f (x) 在该区间上 的最值.



将一块边长为a的正方形铁皮从每个角截去同样 的小方块,然后把四边折起来做成一个无盖的 方盒,问怎样截才能使方盒的容积最大? V = (a - 2x)2 x , x的变化范围为(0, a/2), 求导得 V ? = (a - 2x)2 - 4(a - 2x)x = (a - 2x)(a -6x) 解方程V ? = 0 得到区间(0, a/2) 内的唯一根 x= a/6 可知当x= a/6时V 取得最大值

解 设截去小方块的边长为x, 则做成的方盒的容积为

小结
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值. 函数的极值必在临界点取得. 求极值的步骤 两个充分定理

注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念.

实际问题求最值的步骤.

作业 P97习题四 3. 7.

第五节 不定积分
5.1 原函数与不定积分
5.1.1 概念 定义1 设函数 F(x)和 f (x) 在区间I 上有定义, 如果 在I上 F? (x) = f (x), 则称函数F(x)为 f (x) 在区 间 I 上的一个 原函数 例

?sin x ? ? cos x
?

?

sin x 是cos x 的原函数.

1 当x ? 0时, ?ln x ? ? , 1 ?x 1 当x ? 0时, ?ln( ? x )? ? ? ( ? x )? ? ?x x 1 ? ln x 是 在区间(0,??)内的原函数. x

如果函数 f (x) 在区 定理1 (原函数存在定理) 间 I 内连续, 那么f (x)在区间 I 内存在原函数 简言之:连续函数一定有原函数. 初等在其有定义的区间上函数一定有原函数. 问题:(1) 原函数是否唯一? (2) 若不唯一它们之间有什么联系?

定理2

设 F(x)是 f (x)在区间 I 上的一个原函数,则

(1) F ( x ) ? C也是 f ( x )的原函数, 其中C为任意常数; ( 2) f ( x )的任意两个原函数之间相差一个常数.

由此可知:

若 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数,

则 F ( x ) ? C 可表示 f ( x ) 的一切原函数.

定义2(不定积分)
在区间 I 内, 函数 f (x) 的带有任意常数项的 原函数(即原函数的全体)称为 f (x) 在区间 I 内的 不定积分, 记为

? f (x)dx
积 分 变 量 任 意 常 数

积 被 分 积 号 函 数

? f ( x )dx ? F ( x ) ? C

x 2 dx . 例1 求 ?

? 解 ?? x ? ? x2 , ? ? ? 3? ? ?
3

x3 2 ? ? x dx ? ? C. 3

1 dx . 例2 求 ? 2 1? x

1 解 ∵ ?arctan x ? ? 2, 1? x 1 ? ? dx ? arctan x ? C . 2 1? x

?

例3 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.



设曲线方程为 y ? f ( x ),

dy 根据题意知 ? 2x , dx 即 f ( x ) 是 2 x 的一个原函数.


? x2 ? C, ? 2 xdx

? f ( x) ? x2 ? C ,

由曲线通过点(1,2)? C ? 1,

y ? x 2 ? 1. 所求曲线方程为

函数 f (x)的原函数的图形称为f (x)的积分曲线.

显然,求不定积分得到一积分曲线族.
由不定积分的定义,可知

d dx

?? f ( x )dx ? ? f ( x ),

d [ ? f ( x )dx ] ? f ( x )dx ,

? F ?( x )dx ? F ( x ) ? C , ? dF ( x ) ? F ( x ) ? C .
结论: 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.

1.2 基本积分表
? ?1 ?x ? 实例 ? ? ? x ? ? ? x ? dx ? x ? C . ??1 ? ? ? 1? ( ? ? ?1)

? ?1

?

启示 能否根据求导公式得出积分公式? 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的,

因此可以根据求导公式得出积分公式.

基 (1) 本 ( 2) 积 分 ( 3) 表 ?

? kdx ? kx ? C (k是常数) x? ? ? x dx ? ? ? 1 ? C ( ? ? ?1) dx ? x ? ln x ? C
?1

1 注 : ln x 是 在区间(0,??)内的原函数. x

基 ( 4) 本 积 ( 5) 分 表 ( 6) ? (7)
( 8)

1 ? 1 ? x 2 dx ? arctan x ? C ; 1 ? 1 ? x 2 dx ? arcsin x ? C ; ? cos xdx ? sin x ? C ;

? sin xdx ? ? cos x ? C ; dx ? ? sec 2 xdx ? tan x ? C ; ? cos 2 x

dx (9) ? 2 ? ? csc 2 xdx ? ? cot x ? C ; sin x

基 (10) ? sec x tan xdx ? sec x ? C ; 本 积 (11) ? csc x cot xdx ? ? csc x ? C ; 分 (12) ? e x dx ? e x ? C ; 表 ?
ax x (13) ? a dx ? ? C; ln a

例 求积分


?

1 dx . 3 x

?3 1 ? x 3dx ? ? x dx

x ? ?1 ? ?C 根据积分公式(2)? x dx ? ? ?1
1 x ? ? C ? ? 2 ? C. 2x ?3?1
? 3?1

例 求积分

?x

1
3

x

dx
4 3



?x

1
3

dx ? x

?x

?

dx

1 ? x ? ? C ? ?3 x 3 ? C 4 ? ?1 3 3 ? ? 3 ? C. x

4 ? ?1 3

1.3 不定积分的线性运算法则
(1)


? [ f ( x ) ? g( x )]dx ? ? f ( x )dx ? ? g( x )dx; ? ?? f ( x )dx ? ? g( x )dx ??

?? f ( x )dx ??? ?? g( x )dx ?? ?

? f ( x ) ? g( x ).

? 等式成立.
(此性质可推广到有限多个函数之和的情况)

( 2)

? kf ( x )dx ? k ? f ( x )dx .

(k是常数, k ? 0)

( x ? 1)3 例 求积分 ? dx . 2 x 3 3 2 ( x ? 1) ( x ? 3 x ? 3 x ? 1) dx ? ? dx 解 ? 2 2 x x

3 1 x2 1 ? ? ( x ? 3 ? ? 2 ) dx ? ? 3 x ? 3 ln x ? ? C x x 2 x



求积分

(e x ? 3cos x )dx . ? ? ? e x dx ? 3? cos xdx

(e x ? 3cos x )dx 解 ?

? e x ? 3 sin x ? C .

例 求积分

x ? 1 ? x 2 dx .

4

x4 x4 ?1 ? 1 解 ? dx ? ? dx 2 2 1? x 1? x ( x ? 1)( x ? 1) ? 1 ?? dx 2 1? x
2 2

1 ? ?( x ?1? ) dx 2 1? x
2

1 3 ? x ? x ? arctan x ? C 3

例 解

求积分

? tan

2

xdx .

tan 2 xdx ?

? ? (sec2 x ? 1)dx ? tan x ? x ? C

§2 换元积分法和分部积分法
2.1 换元积分法
1. 第一换元积分法 问题

? cos 2 xdx ? sin 2 x ? C ,

解决方法 利用复合函数,设置中间变量.
1 过程 令 u ? 2 x ? dx ? du, 2 1 1 1 ? cos 2 xdx ? 2 ? cos udu ? 2 sin u ? C ? 2 sin 2 x ? C .

例1 求 解

? 2 cos 2 xdx.
? ? cos 2 xd ( 2 x )

? 2 cos 2 xdx ? ? cos 2 x ? 2dx
? ? cos 2 x ? ( 2 x )?dx
令u ? 2 x

? cos udu

? sin u ? C

将u ? 2 x代入

sin 2 x ? C

1 dx . 例2 求 ? 3 ? 2x
解 令u = 3 + 2x, 则du = (3 + 2x)?dx = 2dx

1 1 1 ? 3 ? 2 xdx ? 2 ? 3 ? 2 x ? ( 3 ? 2 x )?dx
1 1 1 1 ? ? du ? ln | u | ? C ? ln | 3 ? 2 x | ? C . 2 2 u 2

一般地

?

1 f (ax ? b)dx ? ? ? f ( u)du?u?ax ? b a

定理1(第一换元法) 设g( u)及? ?( x )连续, 且F ?( u) ? g( u), 则作变量替换 u ? ? ( x )后, 有 d? ( x )

? g[? ( x )]? ?( x )dx ? ? g[? ( x )]d? ( x )
u?? ( x )

?

? g(u)du

? F ( u) ? C ? F (? ( x )) ? C

例3 求

? 2 xe
x2

x2

dx .
x2



2 xe dx ? ? e d ( x 2 ) ? ? e udu ?

?e ?C ?e
u

x2

?C

例 解



? tanxdx

?

sin x ? dx tanxdx ? ? cos x 1 ? ?? ? d cos x cos x

= - ln |cosx| + C

? tanxdx = - ln |cosx| + C =
同理

ln |secx| + C

? cotxdx =

ln |sinx| + C = - ln |cscx| + C

1 例 求 ? 2 dx . 2 a ?x 1 1 dx ? 2 ? 解 ? 2 2 a ?x a

1 2 dx x 1? 2 a

1 ? ? a

1 x ? x? 1 ? ? arctan ? C . 2d ? a ? x? ? a? a 1? ? ? ?a?

1 1 x ? a 2 ? x 2 dx ? a arctan a ? C

例 求 解

?

1 dx (a ? 0). 2 2 a ?x

?

1 dx 2 2 a ?x

1 ?? a

1 x 1? 2 a
2

dx

??

x d 2 x a 1? 2 a

1

x ? arcsin ? C a

?

1 x dx ? arcsin ? C . 2 2 a a ?x

例 求

1 ? x(1 ? 2 ln x ) dx.

1 1 dx ? ? d (ln x ) 解 ? x (1 ? 2 ln x ) (1 ? 2 ln x ) 1 1 ? ? d (1 ? 2 ln x ) 2 (1 ? 2 ln x )

1 ? ln 1 ? 2 ln x ? C 2



sin 3 x dx . 求 ?

sin 3 x dx ? ? sin 2 x sin x dx 解 ?
? ? ? (1 ? cos 2 x )d cos x

1 3 ? ? cos x ? cos x ? C 3

cos2 xdx. 例 求 ?


?

1 ? cos 2 x dx cos xdx ? 2
2

?

1 1 ? dx ? cos 2 xd ( 2 x ) 2 4 1 1 ? x ? sin 2 x ? C 2 4

?

?

类似可得

?

1 1 sin xdx ? x ? sin 2 x ? C 2 4
2

作业 P114习题五 1. 单数 2.单数

2.2 分部积分法 定理 (分部积分法) 若函数u = u(x)和v = v(x)可导,
且不定积分? u?( x )v ( x )dx存在, 则? u( x )v?( x )dx也存在,

且有

? u( x )v?( x )dx ? u( x )v( x ) ? ? u?( x )v( x )dx
? ? u?v ? uv?,
两边积分即得



?uv ?

? ? ?uv ?? ? u?v , uv

分部积分公式 dv

du

? uv?dx ? uv ? ? u?vdx

亦即

? udv ? uv ? ? vdu

分部积分公式

? udv ? uv ? ? vdu.

例1 求积分 ? x cos xdx . 解 令 u ? x, cos xdx ? d sin x ? dv uv udv vdu 则 x cos xdx ? ? xd sin x ? xsin x ? sin xdx ?

?

? x sin x ? cos x ? C .
如果 令 u ? cos x,

x2 x2 cos x ? ? sin xdx 则 ? x cos xdx ? 2 2 u 显然, , v? 选择不当,积分更难进行.

例2 求积分 解
设u ? x ,

?

xe x dx .
e x dx ? de x ? dv ,

于是

?

? xe x ? e x dx ? xe x ? e x ? C xe dx
x

?

例 解

求积分

? arctan xdx.
? x arctan x ? ? xd (arctan x )

令 u ? arctan x , dx ? dv

? arctan xdx

x ? x arctan x ? ? dx 2 1? x 1 d (1 ? x 2 ) ? x arctan x ? ? ? 2 1 ? x2

1 ? x arctan x ? ln(1 ? x 2 ) ? C . 2

例 解

x 2e x dx . 求积分 ?
u? x ,
2

e x dx ? de x ? dv ,
2 x x 2

?x e
2

x

dx ? x e ? ? e d ?x

??xe
2

x

? 2? xe dx
x

(再次使用分部积分法)u ? x, e x dx ? dv

? x 2e x ? 2( xe x ? e x ) ? C ? (x2 - 2x + 2) ex + C



求积分

x 3 ln xdx . ?

x4 解 ? dv , u ? ln x , x 3 dx ? d 4 1 4 1 3 3 ? x ln xdx ? 4 x ln x ? 4 ? x dx 1 4 1 4 ? x ln x ? x ? C . 4 16



e x sin xdx . 求积分 ?

e x sin xdx ? ? sin xde x 解 ? ? e x sin x ? ? e x d (sin x ) ? e x sin x ? ? e x cos xdx ? e x sin x ? ? cos xde x ? e x sin x ? (e x cos x ? ? e x d cos x ) ? e (sin x ? cos x ) ? ? e sin xdx
x x
x

注意循环形式

e ? ? e sin xdx? (sin x ? cos x ) ? C . 2
x

练习题
填空: ln x x 2 dx ? _____ , dv ? ________; 1、计算? x ln xdx , 可设 u
2

2、计算? e

?x

cos xdx e , cos xdx ,可设 u ? ____ , dv ? ________;

?x

? x cos x ? sin x ? C x sin xdx ? ____________________ ; 3、 ?

? _______________________; x arcsin x ? 1 ? x 2 ? C 4、 ? arcsin xdx

作业
P114习题五 1(1)?(4) 2(1)?(6) 3(1)?(3)

第六节 定积分
6.1 定积分的概念
引例1 求曲边梯形的面积

曲边梯形由连续曲线
y = f (x) ( f (x)?0) 、 x轴与两条曲线 x = a 、 x = b 所围成.

y ? f ( x)

面积A ? ?

思路: 将曲边梯形分割成小曲边梯形, 用矩形面 积近似取代曲边梯形面积

(四个小矩形)

(九个小矩形)

显然,小矩形越多,矩形总面积越接近 曲边梯形面积.

具体做法分以下两步: 第一步 分割求近似 把区间[a,b]分成n个小区间 相应将曲边梯形分割成n 个小曲边梯形 ;
n

y ? f ( x)

x1
n

x i ? 1 x i x n ?1

以直代曲 用矩形面积 近似代替小曲边梯形面积,

?Ai ? f ( xi )?xi A ? ? f ( xi )?xi ? ? ?Ai
第二步 极限求精确
i ?1 i ?1

当对区间[a,b] 的分割无限细密时,

?Ai ? f ( xi ?1 )?xi ? dAi , 将此无穷多个微分dAi
加起来,即得所求面积A.
? n? ? i ?1 n? ?

f ( x i ?1 ) ?Ai

A ? lim ? f ( xi ?1 )?xi ? lim ? dAi
i ?1

?

?xi
x i ?1

xi

引例2. 变速直线运动的路程 设某物体作直线运动, 已知速度v = v(t) 是时间间 隔[T1, T2]上t 的一个连续函数, 且v(t) ≥ 0, 求物 体在这段时间内所经过的路程. 思路:把整段时间分割成若干小段,小段时间长?ti , 每小段上速度看作不变为v(ti),经过路程为v(ti) ?ti , 相加,便得到路程的近似值, 最后通过对时间的 无限细分过程求得路程的精确值.

A ? lim ? v ( t i )?t i
n? ? i ?1

?

上述两个引例都得到一种和式的极限, 称这个极限 为 f (x)在区间[a, b]上的定积分, 记为
积分和
n n? ?

积分上限

lim ? f (? i )?xi ?
i ?1

?a f ( x )dx
被 积 函 数 被 积 表 达 式 积 分 变 量

b

积分下限

[a , b] 积分区间

定积分的性质
(1) 当a ? b时, ? f ( x )dx ? 0 ( 2) 当a ? b时, ? f ( x )dx ? ? ? f ( x )dx
a b a b a b

( 3) ? kf ( x )dx ? k ? f ( x )dx ( k为常数)
a a

b

b

(4) ? [ f ( x ) ? g( x )]dx ? ? f ( x )dx ? ? g( x )dx
a a a

b

b

b

(5) ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
a a c

b

c

b

6.2 微积分基本定理
定理(微积分基本公式) 如果F(x)是连续函数 f (x) 在区间[a,b]上的一个原函数,则

?

b

a

f ( x )dx ? F (b) ? F (a )
牛顿-莱布尼茨公式

此公式称为



计算定积分
3

?

1

0

x 2dx

x 解 由于 是x 2的一个原函数, 3 所以按牛顿 ? 莱布尼茨公式, 有

?

1

0

? x ? 13 03 1 x 2dx ? ? ? ? ? ? ? 3 ?0 3 3 3
3

1

1 例 计算 ??1 1 ? x 2 dx 1 解 由于arctan x是 的一个原函数, 2 1? x
3

所以按牛顿 ? 莱布尼茨公式, 有

?

3

?1

1 3 dx ? ?arctan x ??1 2 1? x ? arctan 3 ? arctan( ?1) 7 ? ? (? ) ? p 3 4 12

p

p



1 计算 ?? 2 dx x

?1



1 当x ? 0时, 的一个原函数ln | x | , x 所以按牛顿 ? 莱布尼茨公式, 有 ?1 1 ?1 ??2 x dx ? ?ln | x |??2 ? ln 1 ? ln 2 ? ? ln 2

例 解

计算曲线 y ? sin x 在[0, p]上与 x 轴所围 成的平面图形的面积. 面积 A ? ? sin xdx
0 p

? ?? cos x ? p ? 2. 0

6.3 定积分的换元法和分部积分法
一、定积分的换元法 若在求

?a f ( x )dx
b

时作变量替换

令x ? ? ( t ), 则dx ? ? ?( t )dt

把变量x 换成新变量t 时,积分限也相应的改变. 当 x = ? (t)的值在[a,b]上变化时,对应着t 的值在

[? ,? ]上变化,
于是有
b

这里? = ? ?1(a), ? = ? ?1(b)
?

?a f ( x )dx ? ??

f (? ( t ))? ?( t )dt

例 解

计算

?0

p 2

cos x sin xdx .

5

令 t ? cos x,

dt ? ? sin xdx ,
0 5

?0
又解

p 2

cos x sin xdx ? ? ? t dt ? t 1
5

1 ? . 60 6

6 1

?

p
2

0
p
2

cos5 x sin xdx ? ? ? cos5 xd cos x
2

p

0

? ? ? cos5 xd cos x ? ? cos x 2 ? 1 . 0 6 0 6

6

p

用第一换元法(凑微分法时),如果没有明显引入 新的元,则不需变换积分限。



计算

?

a

0

a2 ? x2 dx (a >0)
p

解 设 x = asint , 则 dx = acostdt , 当x = 0时, t = 0, 当x = a 时, t = 2 p 于是

?

a

0

a2 ? x2 = a2 0 cos2tdt
p

?

2

1 = (1 + cos2t)dt = (t + sin2t) 2 0 2 2

a2 2

?

a2

p

2 0

p a2 =
4




计算


?0

4

x?2 dx . 2x ? 1

t2 ? 1 2x ? 1 ? t, 则 x ? , dx ? tdt , 2

原式 ? ?

3

1

t2 ? 1 ?2 1 3 2 2 tdt ? ?1 ( t ? 3) dt 2 t
3 3

1 ?? 27 ? ? ?1 ? ? ? 22 1 ?t ? ? ? 3 t ? ? ?? ? 9 ? ? ? ? 3 ? ? 3 2 ?? 3 ? ?3 ?? 2? 3 ?1

二、定积分的分部积分法
设函数u( x )、 v ( x ) 在区间?a, b ?上具有连续 导数,则有

?a udv ? ?uv ?a ? ?a vdu .
b b b

定积分的分部积分公式



计算

? arcsin xdx.
0

1 2



令 u ? arcsin x ,

dv ? dx ,

dx 则 du ? , 2 1? x
1 2

v ? x,
1 2

?0 arcsin xdx ? ? x arcsin x ? 0 ? ?0
1 1 p 1 1 2 2 ? ? ? ? d (1 ? x ) 2 0 2 6 2 1? x 1 p 3 p 2 2 ? ? 1. ? 1? x 0 ? ? 12 12 2

1 2

xdx 1 ? x2

?

?

?a

b

f ( x )dx ? F (b) ? F (a ) ? ?F ( x )? b a

可以先求原函数(不定积分),再代入上下限
arcsin xdx x arcsin x ? 1 ? x 2 ? C ? ?

? ? arcsin xdx ? x arcsin x ? 1 ? x 2 0

1 2

?

?

1 2 0

3 ? ? ?1 12 2

p




计算

?0 e

1

x

dx .
x ? t , 则x ? t 2 , dx ? 2tdt , 且

先用换元法,令

x ? 0? t ? 0; x ?1? t ?1

于是

?0

1

e dx ? 2? e t dt
x t 0

1

? 2? t de t
0 t

1

? 2 ( te

? ? ??
t 1 0

e dt ) ? 2 (e ? e 0

1

? ?

t 1 0

)

? 2 (e ? e ? 1) ? 2

练习题
填空题
p (1) ?p sin? x ? ? dx ? ? ? 3? ? 3
p

————————————.

0

( 2) ? 2 sin ? cos 3 ? d? ?
0

p

1 4 ————————————.

p

2 1? ?x (4) ? xe dx ? ______________; e 0 1 2 e (e ? 1) (5) ? x ln xdx ? _____________; 4 1
1

( 3) ?

2

0

2 ? x 2 dx ?

2 ————————————.

(6) ? x arctan xdx ? ____________ . 4
0

1

p ?2

作业 P256习题5-4 1.单 2.

6.4 定积分应用
一、元素分析法
(1) 选取一个变量例如x为积分变量,并确 定它的变化区间[a,b]; (2) 求元素(微元): 在[a,b] 中的任一小区间 [x, x+dx]上找出 所求量的部分量的近似值 dA= f (x)dx
(3) 以元素 f (x)dx为被积表达式, 在区间[a,b]上作定积分 b 得 y ? f ( x )dx

?a

应用方向: 平面图形的面积;体积;平面曲线的弧长;功; 水压力;引力和平均值等.



计算由两条抛物线 y2 = x 和 y = x2 所围成的 图形的面积
x ? y2

解 作图并求两曲线的交点, 得 (0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x ? [0,1] 面积元素 dA ? ( x ? x )dx
2

(1,1)

y ? x2

(0,0)
1

?2 3 x ? 1 A ? ?0 ( x ? x )dx ? ? x 2 ? ? ? . 3 ?0 3 ?3
1

3

2




计算由曲线 y2 = 2x 和直线 y = x ? 4所围成的图形的面积
作图, 求两曲线的交点
(8,4)
y ? x?4

? y2 ? 2x ? (2,?2),(8,4) ? ?y ? x?4 dA1 ? [ 2 x ? ( ? 2 x )]dx ? 2 2 xdx
dA2 ? ( 2 x ? x ? 4)dx
于是所求面积 A ? A1 ? A2
( 2,?2)

y2 ? 2 x

? ? 2 2 xdx ? ? ( 2 x ? x ? 4)dx ? 18
0 2

2

8

问题:积分变量只能选 x 吗? 选

y为积分变量 y ? [?2, 4]
? y2 ? dA ? ? y ? 4 ? ? dy 2? ?
A ? ? dA ? 18.
4 ?2



把一个带 ? q电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处,
单位正电荷在电场中从 距离原点r ? a移动到r ? b, ? q ?1 计算电场力F 对它所作的功 . ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? a b o 解 取r为积分变量, r ?[a, b], 由物理学知道, 在r 处, 单位正电荷所受的电场 力为 q F ? k 2 ( k是常数) r 取任一小区间[r , r ? dr ], 功元素 dW ? kq dr , r2 b b kq 1? ? 所求功为 W ? ? 2 dr ? kq ?? ? ? kq? 1 ? 1 ?. ? ? a r ? r ?a ?a b? 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处
W ??
?? a

r

kq kq ? 1? dr ? kq ?? ? ? . r2 a ? r ?a

??

例 一圆柱形蓄水池高为5米,底半径为3米,池内盛满了 水.问要把池内的水全部吸出,需作多少功?

o



建立坐标系如图

x
x ? dx
5

取 x 为积分变量, x ?[0,5]

取任一小区间[ x, x ? dx],
这一薄层水的体积为 p ? 32 dx 质量为 9.8p ? 32 dx ? 88.2pdx 功元素为 dW ? 88.2p ? x ? dx,

x

?x ? W ? ? 88.2p ? x ? dx ? 88.2p ? ? ? 3462 (千焦). 0 ? 2 ?0
5

2

5


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