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第一章 三角函数章末检测(A)(有详细答案)


第一章

三角函数(A) 满分:150 分)

(时间:120 分钟

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.sin 600° +tan 240° 的值是( ) 3 3 A.- B. 2 2 1 1 C.- + 3 D. + 3 2 2 3 3 ? 2.已知点 P? ?sin4π,cos4π?落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值为( π 3π 5π 7π A. B. C. D. 4 4 4 4 3 ? 3 3.已知 tan α= ,α∈? ) ?π,2π?,则 cos α 的值是( 4 4 4 4 3 A.± B. C.- D. 5 5 5 5 sin α+cos α 4 3π 4.已知 sin(2π-α)= ,α∈( ,2π),则 等于( ) 5 2 sin α-cos α 1 1 A. B.- C.-7 D .7 7 7 π 5.已知函数 f(x)=sin(2x+φ)的图象关于直线 x= 对称,则 φ 可能取值是( 8 π π π 3π A. B.- C. D. 2 4 4 4 6.若点 P(sin α-cos α,tan α)在第一象限,则在[0,2π)内 α 的取值范围是( π 3π? ? 5π? π π? ? 5π? A.? B.? ?2, 4 ?∪?π, 4 ? ?4,2?∪?π, 4 ? π 3π? ?5π 3π? π 3π? ?3π ? C.? D.? ?2, 4 ?∪? 4 , 2 ? ?2, 4 ?∪? 4 ,π? 7.已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asin ax 的图象不可能是( )

)

)

)

π? 8.为了得到函数 y=sin? ?2x-6?的图象,可以将函数 y=cos 2x 的图象( π A.向右平移 个单位长度 6 π B.向右平移 个单位长度 3 π C.向左平移 个单位长度 6 π D.向左平移 个单位长度 3

)

π 9.电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ< )的图象如右图所 2 1 示,则当 t= 秒时,电流强度是( ) 100

A.-5 A B.5A C.5 3 A D.10 A 10.已知函数 y=2sin(ωx+θ)(0<θ<π)为偶函数,其图象与直线 y=2 的某两个交点横坐标为 x1、x2,若|x2-x1|的最小值为 π,则( ) π 1 π A.ω=2,θ= B.ω= ,θ= 2 2 2 1 π π C.ω= ,θ= D.ω=2,θ= 2 4 4 π 4π 11.设 ω>0,函数 y=sin(ωx+ )+2 的图象向右平移 个单位后与原图象重合,则 ω 的最 3 3 小值是( ) 2 4 3 A. B. C. D.3 3 3 2 4π 12.如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点( ,0)中心对称,那么|φ|的最小值为( ) 3 π π π π A. B. C. D. 6 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 1 答案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知一扇形的弧所对的圆心角为 54° ,半径 r=20 cm,则扇形的周长为________. 1 14.方程 sin πx= x 的解的个数是________. 4 7π 15.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示,则 f( )=________. 12

πx 16. 已知函数 y=sin 在区间[0, t]上至少取得 2 次最大值, 则正整数 t 的最小值是________. 3 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)求函数 y=3-4sin x-4cos2x 的最大值和最小值,并写出函数取最值时对应的 x 的值.

π? ? π? 18.(12 分)已知函数 y=acos? ?2x+3?+3,x∈?0,2?的最大值为 4,求实数 a 的值.

π 19. (12 分)如右图所示,函数 y=2cos(ωx+θ)(x∈R,ω>0,0≤θ≤ )的图象与 y 轴交于点(0, 2 3),且该函数的最小正周期为 π.

(1)求 θ 和 ω 的值; π 3 (2)已知点 A( ,0),点 P 是该函数图象上一点,点 Q(x0,y0)是 PA 的中点,当 y0= ,x0∈ 2 2 π [ ,π]时,求 x0 的值. 2

sin?π-α?· cos?2π-α?· tan?-α-π? 20.(12 分)已知 α 是第三象限角,f(α)= . tan?-α?· sin?-π-α? (1)化简 f(α); 3 ? 1 (2)若 cos? ?α-2π?=5,求 f(α)的值; (3)若 α=-1 860° ,求 f(α)的值.

π? 21.(12 分)在已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R? ?其中A>0,ω>0,0<φ<2?的图象与 x 轴的交 2π π ? 点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 M? ? 3 ,-2?. 2 (1)求 f(x)的解析式; π π? (2)当 x∈? ?12,2?时,求 f(x)的值域.

π 22.(12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0 且 ω>0,0<φ< )的部分图象,如图所示. 2

(1)求函数 f(x)的解析式; 5π? (2)若方程 f(x)=a 在? ?0, 3 ?上有两个不同的实根,试求 a 的取值范围.

第一章
1.B 2.D 3.C

三角函数(A) 答案

4 4 3π 3 [sin(2π-α)=-sin α= ,∴sin α=- .又 α∈( ,2π),∴cos α= . 5 5 2 5 sin α+cos α 1 ∴ = ,故选 A.] sin α-cos α 7 π? ?π ? 5.C [检验 f? ?8?=sin?4+φ?是否取到最值即可.] 6.B [sin α-cos α>0 且 tan α>0, 4.A

π π? ? 5 ? ∴α∈? ?4,2?或 α∈?π,4π?.] 7.D [当 a=0 时 f(x)=1,C 符合, 当 0<|a|<1 时 T>2π,且最小值为正数,A 符合, 当|a|>1 时 T<2π,B 符合. 排除 A、B、C,故选 D.] π?? π? 2 ? ?π ? ?2π ? ? ? π? 8.B [y=sin? ?2x-6?=cos?2-?2x-6??=cos? 3 -2x?=cos?2x-3π?=cos2?x-3?.] T 4 1 1 9.A [由图象知 A=10, = - = , 2 300 300 100 1 2π ∴T= ,∴ω= =100π. 50 T ∴I=10sin(100πt+φ). 1 ( ,10)为五点中的第二个点, 300 1 π ∴100π× +φ= . 300 2 π π ∴φ= .∴I=10sin(100πt+ ), 6 6 1 当 t= 秒时,I=-5 A,故选 A.] 100 π 10.A [∵y=2sin(ωx+θ)为偶函数,∴θ= . 2 ∵图象与直线 y=2 的两个交点横坐标为 x1,x2, |x2-x1|min=π,即 Tmin=π, 2π ∴ =π,ω=2,故选 A.] ω 4 4 11.C [由函数向右平移 π 个单位后与原图象重合,得 π 是此函数周期的整数倍.又 ω>0, 3 3 2π 4 3 3 ∴ · k= π,∴ω= k(k∈Z),∴ωmin= .] ω 3 2 2 4π 4π 12.A [∵y=3cos(2x+φ)的图象关于点( ,0)中心对称,即 3cos(2× +φ)=0, 3 3 8π π ∴ +φ= +kπ,k∈Z. 3 2 13π π ∴φ=- +kπ.∴当 k=2 时,|φ|有最小值 .] 6 6 13.(6π+40) cm 3π 解析 ∵圆心角 α=54° = ,∴l=|α|· r=6π. 10 ∴周长为(6π+40) cm. 14.7 1 解析 在同一坐标系中作出 y=sin πx 与 y= x 的图象观察易知两函数图象有 7 个交点,所 4 以方程有 7 个解. 15.0 3 5π π 2π 解析 方法一 由图可知, T= - =π,即 T= , 2 4 4 3 2π ∴ω= =3.∴y=2sin(3x+φ), T π 3π 将( ,0)代入上式 sin( +φ)=0. 4 4 3π 3π ∴ +φ=kπ,k∈Z,则 φ=kπ- . 4 4

7π 7π 3π ∴f( )=2sin( +kπ- )=0. 12 4 4 3 5π π 2π 方法二 由图可知, T= - =π,即 T= . 2 4 4 3 T 7π π π π 又由正弦图象性质可知,若 f(x0)=f(x0+ )=0,∴f( )=f( + )=f( )=0. 2 12 4 3 4 16.8 解析

5T T=6,则 ≤t, 4 15 ∴t≥ ,∴tmin=8. 2 17.解 y=3-4sin x-4cos2x=4sin2x-4sin x-1 1?2 =4? ?sin x-2? -2,令 t=sin x,则-1≤t≤1, 1 t- ?2-2 (-1≤t≤1). ∴y=4? ? 2? 1 π 5π ∴当 t= ,即 x= +2kπ 或 x= +2kπ(k∈Z)时, 2 6 6 ymin=-2; 3π 当 t=-1,即 x= +2kπ (k∈Z)时,ymax=7. 2 π? π ?π 4π? 18.解 ∵x∈? ?0,2?,∴2x+3∈?3, 3 ?, π? 1 ∴-1≤cos? ?2x+3?≤2. π 1 1 2x+ ?= 时,y 取得最大值 a+3, 当 a>0,cos? 3? 2 ? 2 1 ∴ a+3=4,∴a=2. 2 π? 当 a<0,cos? ?2x+3?=-1 时,y 取得最大值-a+3, ∴-a+3=4,∴a=-1, 综上可知,实数 a 的值为 2 或-1. 19.解 (1)将 x=0,y= 3代入函数 y=2cos(ωx+θ)中,得 cos θ= π π 因为 0≤θ≤ ,所以 θ= . 2 6 2π 2π 由已知 T=π,且 ω>0,得 ω= = =2. T π π (2)因为点 A( ,0),Q(x0,y0)是 PA 的中点, 2 3 π y0= ,所以点 P 的坐标为(2x0- , 3). 2 2 π π 又因为点 P 在 y=2cos(2x+ )的图象上,且 ≤x0≤π, 6 2 5π 3 7π 5π 19π 所以 cos(4x0- )= ,且 ≤4x0- ≤ , 6 2 6 6 6 5π 11π 5π 13π 2π 3π 从而得 4x0- = ,或 4x0- = ,即 x0= ,或 x0= . 6 6 6 6 3 4 3 , 2

sin α· cos?-α?· [-tan?π+α?] -sin α· cos α· tan α 20.解 (1)f(α)= = =cos α. -tan α[-sin?π+α?] -tan α· sin α 3 ? ?3 ? (2)∵cos? ?α-2π?=cos?2π-α?=-sin α, 3 ? 1 1 又 cos? ?α-2π?=5,∴sin α=-5. 又 α 是第三象限角, 2 6 ∴cos α=- 1-sin2α=- , 5 2 6 ∴f(α)=- . 5 1 (3)f(α)=f(-1 860° )=cos(-1 860° )=cos 1 860° =cos(5×360° +60° )=cos 60° = . 2 2π ? 21.解 (1)由最低点为 M? ? 3 ,-2?得 A=2. π 由 x 轴上相邻两个交点之间的距离为 , 2 T π 2π 2π 得 = ,即 T=π,∴ω= = =2. 2 2 T π 2π ? ? 2π ? 由点 M? ? 3 ,-2?在图象上得 2sin?2× 3 +φ?=-2, 4π ? 即 sin? ? 3 +φ?=-1, 4π π 故 +φ=2kπ- (k∈Z), 3 2 11π ∴φ=2kπ- (k∈Z). 6 π π ? 又 φ∈? ?0,2?,∴φ=6, π? 故 f(x)=2sin? ?2x+6?. π π? π π 7π , ,∴2x+ ∈? , ?, (2)∵x∈? ?12 2? 6 ?3 6 ? π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2; 6 2 6 π 7π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最小值-1, 6 6 2 故 f(x)的值域为[-1,2]. 22.解 (1)由图象易知函数 f(x)的周期为 7π 2π? T=4×? ? 6 - 3 ?=2π,A=1,所以 ω=1. π π 方法一 由图可知此函数的图象是由 y=sin x 的图象向左平移 个单位得到的,故 φ= , 3 3 π? 所以函数解析式为 f(x)=sin? ?x+3?. π ? π ? π ? 方法二 由图象知 f(x)过点? ?-3,0?,则 sin?-3+φ?=0,∴-3+φ=kπ,k∈Z. π ∴φ=kπ+ ,k∈Z, 3 π? π 又∵φ∈? ?0,2?,∴φ=3, π? ∴f(x)=sin? ?x+3?.

5π? ? 5π? (2)方程 f(x)=a 在? ?0, 3 ?上有两个不同的实根等价于 y=f(x)与 y=a 的图象在?0, 3 ?上有两 π? ? 5π? 个交点, 在图中作 y=a 的图象, 如图为函数 f(x)=sin? 当 x=0 时, ?x+3?在?0, 3 ?上的图象, f(x)= 3 5π 3 ,当 x= 时,f(x)=0,由图中可以看出有两个交点时,a∈? ,1?∪(-1,0). 2 3 ?2 ?


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