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2018年秋高中数学第三章不等式3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.2第2课时线性规

第 2 课时 线性规划的实际应用 学习目标:理解并初步运用线性规划的图解法解决一些实际问题.(重点、难点) [自 主 预 习·探 新 知] 应用线性规划解决实际问题的类型 思考:一家银行的信贷部计划年初投入 25 000 000 元用于企业投资和个人贷款,希望这 笔资金至少可带来 30 000 元的收益,其中从企业贷款中获益 12%,从个人贷款中获益 10%,假 设信贷部用于企业投资的资金为 x 元, 用于个人贷款的资金为 y 元. 那么 x 和 y 应满足哪些不 等关系? [提示]分析题意,我们可得到以下式子 x+y≤25 000 000, ? ?12x+10y≥3 000 000, ?x≥0, ? ?y≥0. [基础自测] 1.思考辨析 (1)将目标函数的直线平行移动,最先通过或最后通过的顶点便是最优解.( (2)当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时,最优解可能有无数个.( [答案] (1)√ (2)√ ) ) x-4y≥-3, ? ? 2.已知目标函数 z=2x+y,且变量 x,y 满足约束条件?3x+5y<25, ? ?x≥1, A.zmax=12,zmin=3 B.zmax=12,无最小值 C.zmin=3,无最大值 D.z 既无最大值又无最小值 D 则( ) [画出可行域如图所示,z=2x+y 即 y=-2x+z 在平移过程中的纵截距 z 既无最大值 也无最小值. -1- ] 3. 完成一项装修工程, 请木工需付工资每人每天 50 元, 请瓦工需付工资每人每天 40 元. 现 有工人工资预算每天 2 000 元, 设请木工 x 人, 请瓦工 y 人, 则请工人的约束条件是________. ?x,y∈N ? ? ? ?50x+40y≤2 000 * 4.某旅行社租用 A,B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行,A,B 两种车辆的载客量分 别为 36 人和 60 人,租金分 别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆,旅行社要求租车总数不超过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型车 7 辆,则租金最少为________元. 【导学号:91432334】 36 800 [设租用 A 型车 x 辆,B 型车 y 辆,租金为 z 元, 36x+60y≥900, ? ?y-x≤7, 则? y+x≤21, ? ?x,y∈N, 画出可行域(如图中阴影部分内的整点),则目标函数 z=1 600x+2 400y 在点(5,12)处取 得最小值 zmin=36 800 元.] [合 作 探 究·攻 重 难] 线性规划的实际应用问题 [探究问题] 1.某公司有 60 万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项 2 目乙投资的 倍,且对每个项目的投资不能低于 5 万元.设投资甲、乙两个项目的资金分别为 3 x、y 万元,那么 x、y 应满足什么条件? ? ?x≥2 y, 提示:? 3 x≥5, ? ?y≥5. x+y≤60, 2.若公司对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利润,对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润,设该公司所获利润为 z 万元,那么 z 与 x,y 有何关系? -2- 提示: 根据公司所获利润=投资项目甲获得的利润+投资项目乙获得的利润, 可得 z 与 x, y 的关系为 z=0.4x+0.6y. 3.x,y 应在什么条件下取值,x,y 取值对利润 z 有无影响? ? ?x≥2 y, 提示:x,y 必须在线性约束条件? 3 x≥5, ? ?y≥5 影响 z 的取值. 3 3 2 x+y≤60, 下取值.x,y 取不同的值,直接 某家具厂有方木料 90 m ,五合板 600 m ,准备加工成书桌和书橱出售.已知生 产每张书桌需要木料 0.1 m ,五合板 2 m ,生产每个书橱需要木料 0.2 m ,五合板 1 m ,出售 一张书桌可获利润 80 元,出售一个书橱可获利润 120 元. 怎样安排生产可使所获利润最大. 【导学号:91432335】 思路探究:可先设出变量,建立目标函数和约束条件,转化为线性规划问题来求解. [解] 设生产书桌 x 张,生产书橱 y 个,利润为 z 元,则目标函数为 z=80x+120y,根 据题意知, 0.1x+0.2y≤90, ? ?2x+y≤600, 约束条件为? x≥0,y≥0, ? ?x∈N,y∈N, 3 2 2 x+2y≤900, ? ?2x+y≤600, 即? x≥0,y≥0, ? ?x∈N,y∈N, 画出可行域如图所示, 作直线 l:80x+120y=0,并平移直线 l,由图可知,当直线 l 过点 C 时,z 取得最大值, ? ?x+2y=900, 解? ?2x+y=600, ? 得 C(100,400),所以 zmax=80×100+120×400=56 000,即生产 100 张 书桌,400 个书橱,可获得最大利润. 母题探究:(变结论)例题中的条件不变,如果只安排生产书桌可获利润多少?如果只安排 -3- 生产书橱呢? [解] (1)若只生产书桌, 则 y=0, 此时目标函数 z=80x, 由图可知 zmax=80×300=24 000, 即只生产书桌,可获利润 24 000 元. (2)若只生产书橱,则 x=0,此时目标函数 z=120y,由图可知 zmax=120×450=54 000, 即只生产书橱,可获利润 54 000 元. [规律方法] 解答线性规划应用题的一般步骤 (1)审题——仔细阅读,对关键部分进行“精读”,准确理解题意, 明确有哪些限制条件,起关键作用的变量有哪些.由于线性规划应用题 中的变量比较多,为了理顺题目中量与量之间的关系,有时可借助表格 来理顺. (2)转化——设元.写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为 数学上的线性规划问题. (3)求解——解这个纯数学的线性规划问题. (40)作答——就应用

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