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高中数学 第2章 指数函数、对数函数和幂函数 2.1指数函数命题与探究素材 湘教版1 精

2.1 指数函数
问题探究 问题 1 指数函数的走势是由什么来决定的? 探究:指数函数的性质:要看底数和指数对图象的影响,表现在哪个方面,要认真总结.
应该明确是底数来决定指数函数的走势: (1)当 a>1 时,函数图象在第一象限的值随 a 值的增大而增大,图象越靠近 y 轴.如图 2-1-1 所示. (2)当 0<a<1 时,函数图象在第二象限的值随 a 值的增大而减小,图象越靠近 y 轴.如图 2-1-2 所示.

图 2-1-1

图 2-1-2

问题 2 对于指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1),有人总结出其底数 a 越接近 1,其图象就越接近

直线 y=1,你认为该结论成立吗?

探究:要说明该结论的正确性,我们可通过例子来验证.我们可在同一坐标系中分别作出

函数 y=2x、y=3x 和 y=5x 的图象,根据图象能看出该结论是正确的.

典题精讲

例 1:计算下列各式:

2
(1) 4 81? 9 3 ;

(2)(2 3 )0+2-2·(2 1

)

?

1 2

-(0.01)0.5.

5

4

思路分析: 第(1)小题将根式变为分数指数幂,也可以把分数指数化为根式去做;第(2)小题将负分数指 数化为正分数指数,将小数指数化为分数指数.

2

21

1

7

71

7

7

(1)解法一: 4 81?

93

= 4 92 ? (9 3 ) 2

= 4 92 ?3

4
? 93

? (93 ) 4

? 912

? 36.

2

解法二:

4
81?

9 3 = 4 81?

3 81 ? 4 6 817 ? 4 81? 6 81 ? 24 328 ? 6 37 ? 36 3.

(2)解:(2 3 )0+2-2·(2 1

?
)

1 2

-(0.01)0.5

5

4

=1+ 1

×( 4

1
) 2 -(

1

1
)2

4 9 100

1

=1+ 1 × 2 - 1 ? 16 . 4 3 10 15
例 2:指数函数①f(x)=mx;②g(x)=nx 满足不等式 1>n>m>0,则它们的图象是( )
图 2-1-3 思路解析: 此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性,再根据两个底数的大小比较判断对应的曲 线. 解法一:由 0<m<n<1 可知①②应为两条递减的曲线,故只可能是 C 或 D,进而再判断①②与 n 和 m 的对应关系,此时判断的方法很多,不妨选特殊点法,令 x=1,①②对应的函数值分别为 m 和 n,由 m<n 可知应选 C.
图 2-1-4 解法二:只要按照题目条件的要求来取 m 和 n,画出草图后,看它的图形走势和哪个相近即是 正确的选项.
取 m= 1 ,n= 1 的草图(如图 2-1-4 所示),则见 m 在左上方,n 对应的图象在右下方,对应的选 23
项是 C. 答案:C 例 3:比较下列各题中两个值的大小: (1)1.72.5,1.73; (2)0.8-0.1,0.8-0.2. 思路分析: 此题考查指数函数的单调性.对 y=ax,当 0<a<1 时,函数为减函数;当 a>1 时,函数为增函数. 结合相应图象可顺利解题. 解:(1)1.72.5 与 1.73 的底数是 1.7,它们可以看成函数 y=1.7x,图象如图 2-1-6,当 x=2.5 和 3 时的函数值.因为 1.7>1,所以函数 y=1.7x 在 R 上是增函数,而 2.5<3,所以 1.72.5<1.73.
2

图 2-1-6

图 2-1-7

(2)0.8-0.1 与 0.8-0.2 的底数是 0.8,它们可以看成函数 y=0.8x,图象如图 2-1-7,当 x=-0.1 和

-0.2 时的函数值.因为 0<0.8<1,所以函数 y=0.8x 在 R 上是减函数,而-0.1>-0.2,所以

0.8-0.1<0.8-0.2.

例 4:富兰克林(Benjamin Franklin,1706~1790)是美国著名的科学家、社会活动家,他的业

绩遍及十九个科技领域.“你热爱生命吗?那么别浪费时间,因为时间是组成生命的材料.”

就是这位科学家留下的名言.这位科学家死后只留下了一千英磅的遗产,然而他却留下了几

十万英磅的遗嘱,这份有趣的遗嘱内容是这样的:

“……一千英磅赠给波士顿的居民,如果他们接受了这一千英磅,那么这笔钱应该托付

给一些挑选出来的公民,他们得把这些钱按每年 5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息.

这些钱过了 100 年增加到 131 000 英磅.我希望那时候用 100 000 英磅来建立一所公共建筑

物,剩下的 31 000 英磅拿去继续生息 100 年……”

请你计算一下富兰克林的遗嘱能实现吗?

思路分析:

要想判断富兰克林的遗嘱能否实现,需计算 100 年后他留下的 1 000 英磅的本息和.这是一个

指数函数问题. 解:设经过 x 年后这 1 000 英磅的本息和为 y,则有 y=1 000(1+5%)x,

当 x=100 时,计算得 y=131 501.26.

因此,富兰克林的遗嘱能实现.

例 5:某债务市场发行三种债务券,P 种面值为 100 元,一年到期本息和为 103 元;Q 种面值为

50 元,半年到期本息和为 51.4 元;R 种面值为 97 元,一年到期本息和为 100 元,作为购买者,

分析三种债券的收益,从小到大的排列为( )

A.Q,P,R

B.P,R,Q

C.P,Q,R

D.R,P,Q

思路解析:

设这三种面值的半年利率分别为 x、y、z,则按前面说的模型可知 100(1+x)2=103,50(1+y)=51.4,97(1+z)2=100.

经计算比较可知 y>z>x.
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