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第8章___圆锥曲线单元测试题答案22

第 8 章 圆锥曲线单元测试题
高二年级 班 学号 姓名

一、选择题(每题 3 分)
1)如果实数 x, y 满足等式 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 ,那么 A、

y 的最大值是( x



1 3 3 B、 C、 D、 3 2 3 2 2)若直线 (1 ? a) x ? y ? 1 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 相切,则 a 的值为( A、 1,?1 B、 2,?2 C、 1 D、 ? 1
3)已知椭圆



x2 y2 ? ? 1 (a ? 5) 的两个焦点为 F1 、 F2 ,且 | F1 F2 |? 8 ,弦 AB 过点 F1 ,则 a 2 25 △ ABF 的周长为( ) (A)10 (B)20 (C)2 41 (D) 4 41 2
4)椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点 P 到它的左准线的距离是 10,那么点 P 到它的右焦点的距离 100 36

是( ) (A)15 (B)12 (C)10 (D)8 5)椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点 F1 、 F2 ,P 为椭圆上的一点,已知 PF1 ? PF2 ,则△ F1 PF2 的 25 9
) (A)9 (B)12 (C)10 (D)8 )
2

面积为(

x y2 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是( 6)椭圆 16 4 (A)3(B) 11 (C) 2 2 (D) 10
(A) x ? y ? 2
2 2 2 2

7)以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为 2 的双曲线方程是( (B) y ? x ? 2
2 2 2 2



(C) x ? y ? 4 或 y ? x ? 4

(D) x ? y ? 2 或 y ? x ? 2
2 2 2 2

x2 y2 ? ? 1 右支点上的一点 P 到右焦点的距离为 2, P 点到左准线的距离为 ) 8)双曲线 则 ( 16 9
(A)6 (B)8 (C)10 (D)12 9)过双曲线 x 2 ? y 2 ? 8 的右焦点 F2 有一条弦 PQ,|PQ|=7,F1 是左焦点,那么△F1PQ 的周长 为( ) (A)28 (B) 14 ? 8 2 (C) 14 ? 8 2 (D) 8 2 10)双曲线虚轴上的一个端点为 M,两个焦点为 F1、F2, ?F1 MF2 ? 120? ,则双曲线的离心 率为( ) (A) 3 (B)
2

6 6 3 (C) (D) 2 3 3


11)过抛物线 y ? ax (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长 分别为 p、q,则 (A)2a

1 1 ? 等于( p q
(B)

1 2a

(C) 4a

(D)

4 a

12) 如果椭圆

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( ) 36 9 (A) x ? 2 y ? 0 (B) x ? 2 y ? 4 ? 0 (C) 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 (D) x ? 2 y ? 8 ? 0
1 D 2 D 3 D 4 B 5 A 6 D 7 D 8 B 9 C 10 B 11 C 12 D

题号 答案

二、填空题(每题 4 分) x2 y2 ? ? 1 具有相同的离心率且过点(2,- 3 )的椭圆的标准方程是 13) 与 椭 圆 4 3 x2 y2 3y2 4x2 ? ? 1或 ? ? 1。 8 6 25 25
14)离心率 e ?

x2 9 y2 5 ? ?1。 ,一条准线为 x ? 3 的椭圆的标准方程是 5 20 3

15)过抛物线 y 2 ? 2 px (p>0)的焦点 F 作一直线 l 与抛物线交于 P、Q 两点,作 PP1、QQ1 垂直于抛物线的准线, 垂足分别是 P1、 1, Q 已知线段 PF、 的长度分别是 a、 那么|P1Q1|= QF b,

2 ab 。
16)若直线 l 过抛物线 y ? ax 2 (a>0)的焦点,并且与 y 轴垂直,若 l 被抛物线截得的线段 长为 4,则 a=

1 。 4

三、解答题
17) 已知椭圆 C 的焦点 F1(- 2 2 ,0)和 F2( 2 2 ,0) ,长轴长 6,设直线 y ? x ? 2 交 椭圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标。(8 分) 解:由已知条件得椭圆的焦点在 x 轴上,其中 c= 2 2 ,a=3,从而 b=1,所以其标准方程是:

? x2 2 x2 ? ? y ?1 2 2 ? y ? 1 .联立方程组 ? 9 ,消去 y 得, 10 x ? 36 x ? 27 ? 0 . 9 ? y ? x?2 ? 18 x ? x2 9 ? 设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),AB 线段的中点为 M( x0 , y0 )那么: x1 ? x2 ? ? , x0 = 1 2 5 5 1 所以 y0 = x0 +2= . 5 9 1 也就是说线段 AB 中点坐标为(- , ). 5 5
14 x2 y2 ? ? 1 共焦点,它们的离心率之和为 ,求双曲线方程.(10 18) 已知双曲线与椭圆 5 9 25 4 分)解:由于椭圆焦点为 F(0, ? 4),离心率为 e= ,所以双曲线的焦点为 F(0, ? 4),离心率为 5

2, 从而 c=4,a=2,b=2 3 . 所以求双曲线方程为:

y2 x2 ? ? 1. 4 12

19) 抛物线 y 2 ? 2 x 上的一点 P(x , y)到点 A(a,0)(a∈R)的距离的最小值记为 f (a ) ,求 f (a ) 的表达式(10 分)
2 2 解:由于 y 2 ? 2 x ,而|PA|= ( x ? a ) ? y ?

x 2 ? 2ax ? a 2 ? y 2 ? x 2 ? 2ax ? a 2 ? 2 x

x 2 ? 2( a ? 1) x ? a 2 = [ x ? ( a ? 1)]2 ? 2a ? 1 ,其中 x ? 0 (1)a ? 1 时,当且仅当 x=0 时, f (a ) =|PA|min=|a|.
= (2)a>时, 当且仅当 x=a-1 时, f (a ) =|PA|min= 2a ? 1 . 所以 f (a ) = ?

? | a |, a ? 1 ? . ? 2a ? 1, a ? 1 ?

20)求两条渐近线为 x ? 2 y ? 0 且截直线 x ? y ? 3 ? 0 所得弦长为 分) 2 2 解:设双曲线方程为 x -4y = ? . 联立方程组得: ?

8 3 的双曲线方程。 (10 3

? x 2 -4y 2 =? ?x ? y ? 3 ? 0

,消去 y 得,3x -24x+(36+ ? )=0
2

x1 ? x2 ? 8 ? ? 36 ? ? ? 设直线被双曲线截得的弦为 AB, A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ), 且 那么: x1 x2 ? ? 3 ? 2 ? ? ? 24 ? 12(36 ? ? ) ? 0 ? 36 ? ? 8(12 ? ? ) 8 3 2 2 2 那么:|AB|=
(1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? 1)(8 ? 4 ? 3 )? 3 ? 3
解得: ? =4,所以,所求双曲线方程是:
2 2

x ? y2 ? 1 4

2

21)已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x -y =1 交于 A、B 两点, (1)若以 AB 线段为直径的圆过坐 标原点,求实数 a 的值。 (2)是否存在这样的实数 a,使 A、B 两点关于直线 y ? 说明理由。(10 分)

1 x 对称? 2

? 3x 2 -y 2 =1 2 2 解: (1)联立方程 ? ,消去 y 得: (3-a )x -2ax-2=0. ? y ? ax ? 1

2a ? x1 ? x2 ? ? 3 ? a2 设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),那么: ? 。 2 ? x1 x2 ? ? ? 3 ? a2 ? 2 2 ? ? ? (2a ) ? 8(3 ? a ) ? 0 ? ?

由于以 AB 线段为直径的圆经过原点,那么: OA ? OB ,即 x1x2 ? y1 y2 ? 0 。 所以: x1 x2 ? (ax1 ? 1)(ax2 ? 1) ? 0 ,得到:(a 2 ? 1) ? ?2 ? a ? 2a ? 1 ? 0, a 2 ? 6 ,解得 a= ? 1 2 2
3? a 3? a

??? ?

??? ?

1 (2)假定存在这样的 a,使 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )关于直线 y ? x 对称。 2 2 2 ? 3x1 -y1 =1 y -y 3(x1 +x 2 ) 那么: ? ,两式相减得: 3(x12 -x22 )=y12 -y22 ,从而 1 2 = .......(*) 2 2 x1 -x 2 y1 +y2 ? 3x 2 -y 2 =1

? y1 +y 2 1 x1 +x 2 ? 2 =2? 2 1 ? 因为 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )关于直线 y ? x 对称,所以 ? y1 -y 2 2 ? ? ?2 x1 -x 2 ? ?
代入(*)式得到:-2=6,矛盾。 也就是说:不存在这样的 a,使 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )关于直线 y ?

1 x 对称。 2


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