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欧几里得距离


欧几里德空间和距离 欧几里德空间(Euclidean Space),简称为欧氏空间,在数学中是对欧几里德所研究的二维和三维空间的一 般化。所谓一般化就是把欧几里德对于距离、以及相关的概念如长度和角度等转换成任意数维的坐标系。 欧几里德距离(Euclidean Distance) The Euclidean distance between points in Euclidean n-space, is defined as: 设 xn 和 yn 分别是 n 维度量空间中的点,则其欧几里德距离定义为: . and

d(x,y)=(∑(xi-yi) )

2 1/2

当 n=2 时,则为平面上两点的距离,当 n=3 时,则为三维空间中两点的距离。

2.2.1 区间标度变量 区间标度变量是一个粗略线性标度的连续变量。用来计算相异度 d(i,j),其距离度量包括欧几里德距 离,曼哈坦距离和明考斯基距离。 首先实现数据的标准化,给定一个变量 f 的度量值,可以进行一下转化: (1)计算平均的绝对偏差 Sf:

Sf = (|x1f-mf|+|x2f-mf|+……+|xnf-mf|)/n
这里 x1f,……,xnf 是 f 的 n 个度量值,mf 是 f 的平均值。 (2)计算标准化的度量值:

Zif = (xif-mf)/sf
我们知道对象之间的相异度是基于对象间的距离来计算的。最常用的度量方法是欧几里德距离,形式如下:

d(i,j) = (|xi1-xj1| +|xi2-xj2| +……+|xip-xjp| )
曼哈坦距离的公式如下:

2

2

2 1/2

这里 i=(xi1,xi2,……,xip)和 j=(xj1,xj2,……,xjp)是两个 p 维的数据对象。

d(i,j)=|xi1-xj1|+|xi2-xj2|+……|xip-xjp|
上面的两个公式必须满足下面的条件: d(i,j)≧0:距离非负。 d(i,i)=0:对象与自身的距离为 0。 d(i,j)=d(j,i):距离函数具有对称性。 d(i,j)≦d(i,h)+d(h,j):对象 i 到对象 j 的距离小于等于途经其他任何对象 h 的距离之和。 明考斯基距离是以上两中距离计算公式的概括,其具体的公式如下:

d(i,j) = (|xi1-xj1| +|xi2-xj2| +……+|xip-xjp| )

q

q

q 1/q

当 q=1 时该公式就是欧几里得距离公式;当 q=2 时,是曼哈坦距离公式。 2.2.2 二元变量 二元变量只有 0、1 两个状态,0 表示变量为空,1 表示该变量存在。 对象 j 1 对象 i 1 0 Sum 来评价两个对象之间的相似度,其定义如下: d(i,j)= (r+s)/(q+r+s+t) 基于不对称的二元变量的相似度称为非恒定相似度,最著名的评价系数是 Jaccard 系数,形式如下: d(i,j)= (r+s)/(q+r+s) 这里负匹配的数目 t 被认为是不重要的,所以省略。 q s q+s 0 r t r+t Sum q+r s+t p

p=q+r+s+t。二元变量中基于对称的二元变量的相似度称为恒定相似度,这里有最著名的简单匹配系数


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