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辽宁沈阳市东北育才学校高中部2013届高三第一次模拟考—数学(理)


东北育才学校 2012—2013 高三年级第一次模拟考试

数学(理)试题
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A,B 都是非空集合,则“ x ? ( A ? B ) ”是“ x ? A 且 x ? B ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

2. 在右程序框图中, n ? N ? ( n ? 1) 时, 当 函数 f n ( x ) 表示函数 f n ? 1 ( x ) 的导函数.若输入函 数
f 1( x ) ? sin x ? co s x

,则输出的函数

f n( x ) 可化为

开始

A. 2 sin( x ? B. ? 2 sin ( x ? C. 2 sin( x ?

π 4

) π 4

输入 f1(x)
)

n=2

π 4

) π 4

f n ( x ) ? f n?? 1 ( x )

D. ? 2 sin ( x ?

)

n=n+1 否 n??011 是 输出 fn(x)

3.已知偶函数 f ( x ) 在区间 ? 0 , ? ? ) 单调增加,则满足
f (2 x ? 1) ? f ( ? 3) 的 x 取值范围是

A. ( ? 1, 2) C. ( ? ? , 2) 4.下列说法错误的是

B. ( ? ? , ? 1)
结束

D. ( ? 2,1)

第 2 题图

A.若命题 p : ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ,则 ? p : ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0
2 2

B.命题“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”的否命题是:“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ” C. “ sin ? ?
1 2
1

”是“ ? ? 3 0 ”的充分不必要条件
?

D.若命题“ ? p ”与命题“ p 或 q ”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题 5.设 f ( x ) ? lg( 10 x ? 1) ? ax 是偶函数, A.1 B.-1
g (x) ? 4
x

?b
x

是奇函数,那么

a ? b 的值为

2

C.-

1 2

D.

1 2

6.如果 f ?( x ) 是二次函数, 且

f ? ( x ) 的图象开口向上,顶点坐标为(1, 3), 那么曲线

y ? f ( x ) 上任一点的切线的倾斜角 ? 的取值范围是

A. ( 0 ,

?
3

]

B. [

? ?
, 3 2

)

C. (

?
2

,

2? 3

]

D. [
?

?
3

,? )

7.若第一象限内的点 A ( x , y ) ,落在经过点 (6, ? 2) 且具有方向向量 a ? (3, ? 2 ) 的直线 l 上,则 lo g 3 y ? lo g 2 x 有
2 3

A.最大值

3 2

B.最大值 1

C.最小值

3 2

D.最小值 1

8.如图甲所示,三棱锥 P ? A B C 的高 P O ? 8, A C ? B C ? 3, ? A C B ? 3 0 ? , M、 N 分别在
BC 和 PO 上, C M ? x , P N ? 2 x ( x ? (0, 3]) , 且 图乙中的四个图像大致描绘了三棱锥
N ? AM C

的体积 V 与 x 的变化关系,其中正确的是

9.函数 f ( x ) ? ( )
2

1

x ?1

? 2 cos ? x ( ? 2 ? x ? 4 ) 的所有零点之和等于

A.2
2

B.4

C.6

D.8

10.已知抛物线方程为 y ? 4 x ,直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d 1 ,P 到直线 l 的距离为 d 2 ,则 d 1 ? d 2 的最小值为
5 2 2 5 2 2 5 2 2 5 2 2

A.

? 2

B.

?1

C.

?2

D.

?1

2

11.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足:对任意 ? , ? ? R ,总有 f (? ? ? ) ? ? f (? ) ? f ( ? )? ?
2 0 1 2 ,则下列说法正确的是

A. f ( x ) ? 1 是奇函数 C. f ( x ) ? 2012 是奇函数

B. f ( x ) ? 1 是奇函数 D. f ( x ) ? 2012 是奇函数

12.已知 R 上的不间断函数 g ( x ) 满足:①当 x ? 0 时, g ?( x ) ? 0 恒成立;②对任意的
x ? R 都有 g ( x ) ? g ( ? x ) 。 又函数 f ( x ) 满足: 对任意的 x ? R , 都有 f ( 3 ? x ) ?
? f ( x ) 成立,当 x ? [ 0 ,
2

3 ] 时, f ( x ) ? x ? 3 x 。若关于 x 的不等式 g [ f ( x )] ?
3

g ( a ? a ? 2 ) 对 x ? [ ? 3 , 3 ] 恒成立,则 a 的取值范围

A. a ? 0 或 a ? 1

B. 0 ? a ? 1

C. ? 1 ? a ? 1

D. a ? R

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.设 f ( x ) ? ?
?x2 ?2 ? x (0 ? x ? 1) (1 ? x ? 2 )

则?

2 0

f ( x)dx =



14.命题“ ? x ? (1, 2 ) 时,满足不等式 x ? m x ? 4 ? 0 ”是假命题,则 m 的取值范围
2

__________. 15.在区间 [0,1] 上任意取两个实数 a、 b ,则函数 f ( x ) ?
1 2 x ? a x ? b 在区间 [ ? 1,1] 上
3

有且仅有一个零点的概率为_______________. sin ? x 4 16.如图是函数 f ( x ) ? 2 的图像的一部分,若图像的最高点的纵坐标为 ,则
x ? bx ? c 3
b?c? . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) 已知命题 p:不等式 a2-5a-3≥3 恒成立,命题 q:不等式 x2+ax+2<0 有解;若 p 为真 命题,q 为假命题,求 a 的取值范围.

3

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
6 co s x ? 5 sin x ? 4
4 2

co s 2 x

(Ⅰ)判断 f ( x ) 的奇偶性;(Ⅱ)求 f ( x ) 的值域. 19. (本小题满分 12 分) 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆, 出厂价为 13 万元/ 辆,年销售量为 5000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成 本,若每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为 0.7x,年销 售量也相应增加.已知年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)× 年销售量. (Ⅰ)若年销售量增加的比例为 0.4x,为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入 成本增加的比例 x 应在什么范围内? 5 (Ⅱ)年销售量关于 x 的函数为 y=3240(-x2+2x+ ),则当 x 为何值时,本年度的年 3 利润最大?最大利润为多少? 20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? log 4 ( 4 x ? 1) ? kx ( k ? R ) 为偶函数. (Ⅰ) 求 k 的值; (Ⅱ) 若方程 f ( x ) ? log 4 ( a ? 2 x ? a ) 有且只有一个根, 求实数 a 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
x
2

, g ( x ) ? 2 a ln x ( e 为自然对数的底数) .

e

(Ⅰ)求 F(x)=f(x) ? g(x)的单调区间,若 F(x)有最值,请求出最值; (Ⅱ)是否存在正常数 a ,使 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处 有共同的切线?若存在,求出 a 的值,以及公共点坐标和公切线方程;若不存 在,请说明理由.

4

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
p x ? p ? ln x ( p ? 0 ) 是增函数。

(I)求实数 p 的取值范围; (II) 设数列 { a n } 的通项公式为 a n ?
2n ? 1 n , 前 n 项和为 S, 求证:S n ? 2 ln( n ? 1).

5

参考答案
一、选择题:

19. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由题意得,上年度的利润为(13-10)× 5000=15000 万元;本年度每辆车的投入成 本为 10(1+x);本年度每辆车的出厂价为 13(1+0.7x);本年度年销售量为 5000(1 +0.4x),因此本年度的利润为 y=[13(1+0.7x)-10(1+x)]· 5000(1+0.4x)=(3- 2 0.9x)· 5000(1+0.4x)=-1800x +1500x+15000(0<x<1),由-1800x2 +1500x+ 5 15000>15000,解得 0<x< ,x 在此范围内,本年度的年利润比上年度有所增加. 6 5 (Ⅱ)本年度的利润为 f(x)=(3-0.9x)· 3240(-x2+2x+ )=3240× (0.9x3-4.8x2+4.5x 3 +5).则 f′(x)=3240(2.7x2-9.6x+4.5)=972(9x-5)(x-3),由 f′(x)=0,解得 x 5 5 5 = 或 x=3,当 x∈(0, )时,f′(x)>0,f(x)是增函数;当 x∈( ,1)时,f′(x)<0,f(x) 9 9 9 5 5 是减函数.∴当 x= 时,f(x)取极大值 f( )=20000 万元,∵f(x)在 (0,1)上只有一个极 9 9 5 大值,∴它是最大值,∴当 x= 时,本年度的年利润最大,最大利润为 20000 万元. 9 20. (本小题满分 12 分) 解: (1)因为 f ( x ) 为偶函数,所以 f ( ? x ) ? f ( x )

6

log 4 ( 4

?x

? 1) ? kx ? log

4 ?1
x 4

4
1 2

x

? log 4 ( 4 ? 1) ? 2 kx
x

? ( 2 k ? 1) x ? 0 ? k ? ?

…4 分
1

?4 x ? 1 ? (a ? 2 x ? a ) ? 2 x (2)依题意知:log 4 ( 4 ? 1) ? x ? log 4 ( a 2 ? a ) ? ? x 2 (a ? 2 ? a ) ? 0 ?
x

x

*

令t ? 2

x

则*变为 (1 ? a ) t ? at ? 1 ? 0
2

只需其有一正根。

…5 分 …7 分

(1) a ? 1, t ? ? 1 不合题意

? ? ? a 2 ? 4 (1 ? a ) ? 0 ? x (2)*式有一正一负根 ? 经验证满足 a ? 2 ? a ? 0 ? a ? 1 …9 分 1 t1t 2 ? ? 0 ? 1? a ?

(3)两相等 ? ? 0 ? a ? ? 2 2 ? 2 综上所述? a ? 1 或 a ? ? 2 ? 2 2 21. (本小题满分 12 分)

经验证 a ? 2 ? a ? 0
x

? a ? ? 2 ? 2 2 …11 分

…12 分

(Ⅱ)方法一,若 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,
7

则方程 f ( x ) ? g ( x ) ? 0 有且只有一解,所以函数 F(x)有且只有一个零点 …… 7 分 由(Ⅰ)的结论可知 F ( x ) m in ? ? a ln a ? 0 得 a ? 1 ………… 8 分 此时, F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ?
x
2

e

? 2 ln x ? 0 , F ( x ) m in ? F ( e ) ? 0

∴ f ( e ) ? g ( e ) ? 1, ∴f(x)与 g(x)的图象的唯一公共点坐标为 ( e ,1) 又? f ? ( e ) ? g ? ( e ) ?
2 e 2 e 2 e

,∴f(x)与 g(x)的图象在点 ( e ,1) 处有共同的切线,

其方程为 y ? 1 ?

(x ?

e ) ,即 y ?

x ? 1 …………

12 分

综上所述,存在 a ? 1 ,使 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象有且只有一个公共点 ( e ,1) ,且在该点处 的公切线方程为 y ?
2 e x ? 1 . …………

14 分

22 . (本小题满分 12 分) ⑴ 解 : 由 题 意 , 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 [1, ? ? ) , 由 函 数 f ( x ) 是 增 函 数 知
8

f ?( x ) ? 2

p x ?1

?

1 x

? 0 对 x ? 1 恒成立,
2t t ?1
2

…3分
2t t ?1
2

令t ? 即

x ? 1, t ? 0 , 则

p ? (

) ma , 注意到 t ? 1 ? 2 t ? 0 , 所以 ( x
2

) m ax ? 1 ,

p ? 1 ,所以 p ? 1 为所求. ………6 分
x ? 1 ? l n x是 增 函 数 , 所 以 f ( x ) ? f (1) ? 0 , 即

⑵ 证 明 : 由 ⑴ 知 , f ( x)?

x ? 1 ? l nx ,对 x ? 1 恒成立. ………… 8 分

注意到 a n ?

2n ? 1 n

?

( n ? 1) n
2

2

? 1 ,所以 a n ? ln

( n ? 1) n
2

2

. ……10 分

9


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