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《九章算术》和它对现代数学的影响

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章术 算  
第  第 期 1整 2  2
l 9年1    92   2月

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辽 宁 工 学 院 学 报 

J OU RNA L OF  A ONI   LI NG   ̄S TUTE OF T E 2 1 TI     CHN OLOGY  D e 199   e      2

豢 _ 数研   学室 教’  

,  /乙 , /  

●  

中国科学 院学部委员 、 找国著名数学家吴文俊教授 , 8 年代初首创的“ 于 O 机器证 明理  论” 使数学 机械化成为 现实。 , 这个理论不径而走 , 受到国际学术界 的高度重视 与评价 。 认  为这 是 在 “ 十 年 中 自动 推 理 领 域 出现 的最 为激 动 人 心 的 突 破 性 进 展 , 自动 推 理 领 域 具  近 在
有 划 时代 的 意 义 ” 。该 理 论 被 誉 为“ 文 俊 方 法 ” “ 方 法 ” 吴 或 吴 。这 是 我 国一 项 继 华 罗 庚 “ 优 

选法 ” 之后 , 对社 会经济 及科研 有重大影 响的方法 。1 9 9 0年 , 在北京 “ 中国数 学机械 化 中 
心 ” 立 大 会 上 , 文 俊 解 释 说 :他 的 这 一 方 法 直 接 导 源 于 我 国 的数 学 思 维 方 式 , 就 是  成 吴 也

从公元 前一世纪成型 的《 九章算术 》 开始 , 经宋代大数学家祖 冲之 , 到元 代数学家朱世杰等  形成 的以解方 程为特色 的机械 化算 法体 系。   《 章 算 术 》以 下 简 称 《 章 》 是 举 世 公认 的 一 部 最 古 老 的 经典 数学 名 著 , 是 《 经  九 ( 九 ) 又 算
十 书 》 中 内容 最 丰 富 和 最 重 要 的 一 部 , 来 被 列 为 算 经 之 首 。该 书 既 非 出 自一 人 手 笔 ,  : 历   也 不 是 一 个 年代 的作 品 。 中有 些 是 秦 汉 以前 流 传 下 来 的老 问 题 , 经 历代 名 家 如 西 汉 张  其 后 苍 、 寿 昌等 人 删 补 增 订 , 在 公 元 前 5 耿 约 0年左 右 已成 定本   到 了 三 国时 期 , 学 家 刘 徽 作  数

《 九章算术注 》 加上 自己的心得 , , 润色一番 , 使之便 于了解 , 因而 流传下来 。 刘徽 在《 章算  九 术注原 序 》 里说 :按周公制礼 而有九数 , “ 九数之流 , 九章 》 则《 是矣 。 中国数学史专家 钱宝  ” 琮 说 ;九 章 的 名 称 无 疑是 周 礼 九 数 的 演 变 。一 般 认 为 , 为 它 将 过 去 的 2 6个 数 学 问题  “   因 4
分 为 九 章 , 以 叫《 所 九章 算 术 》  

众 所周 知 , 数学 是研究现实世界 中数 量关 系与 空间形式 的科学 。 九章 》 《 中的 2 6 4 个数 
学问题 , 其性 质来说也都是研 究“ ” “ ” 就 数 与 形 的  如 第 一 章 《 田 》是 研 究平 面 图形 面 积  方 , 的 , 重 指 出 了 分 数 的 约 分 、 分 、 加 、 减 和 乘 、 法 则 ; 二 章《 米 》主 要 是 讲 粮 食  着 通 相 相 除 第 粟 , 交 换 的 计 算 ; 三 章 《 分 》讲 许 多 不 同类 型 的 比例 ,衰 分 ” 定 量 分 配 之 意 ; 四 章 《 第 衰 , “ 有 第 少  广 , 从 田亩 ( 面 图形 ) 面 积 或 球 的 体 积 求 其 边 长 或 径 长 的算 法 , 这 章 里 出 现 了 世  讲 平 的 在

界上 最早的多位数 开平方 、 开立方 的法则 ; 第五 章《 功 》讲各 种土木 工程土方 ( 体) 商 , 立 的  计算; 第六 章《 均输 》 汉初 实行均 输法 , , 是征收 实物 地租的法 律 ,均输 》 处理 粮食运输 、 《 讲  
均 匀 负 担 等 问 题  用 的方 法 有 配 分 比例 、 比 例 、 差 数 列 等 ; 七 章 《 不 足 》讲 计 算  . 所 复 等 第 盈 ,

车稿 l9   2年 3月 9 日收 到 。 9   赶 子 都 :男 ,1 2 9 3年 生 ,教 授 。  

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I9 年 ( 9 2 总第 4 0期 )  

起 子都 《 章算 术》 它对现 代敷 学的 影响  九 和

7  9

盈 亏 类 问 题 的 技 术 I 八 章 《 程 》讲联 立 一 次 方 程 组 ( 性 方 程 组 ) 也 给 出 了 联 立 方 程  第 方 , 线 ,

组 的普遍 解法 ( 见下文 )第 九章 《 I 勾股 》讨论 用勾股 定理 解决 应用 问题的方法 , , 也给 出了  
如 何 由开 方 与 勾 股 类 问 题 导 致 二 次方 程 的 范例 。   经 深 入 研 究 发 现 , 中 国传 统 的数 学 中 , 量 关 系 与 空 间 形 式 是 形 影 不 离 、 肩 发 展  在 数 并

着的 。在研究 空间形式 时也往往通过 数量关 系来处理 , 几何 问题 转化成代 数问题 , 使 即化 
几 何 问 题 为代 数 方 程 。然 后 通 过 方 程 的研 究 来 探 讨 几 何 的属 性  1 纪 法 国 数 学 家 笛 卡  7世

尔发 明的解析 几何 学 , 正是 中 国古代数学 的这 种 思想与方法 在几 百年 停顿之 后 的重 现和 
继 续  吴 文 俊 精 辟 地 指 出 , 国的 传 统 数 学 有 它 自 己的 体 系与 形 式 , 中 有着 它 自身 的 发 展 途  径 与 独 到 的 思 想 体 系 , 基 本 上 遵 循 了 从 生 产 实 践 中提 炼 出 问题 , 过 分 析 与 综 合 , 成  即 经 形 概 念 , 上 升 到理 论 , 炼 出 极 少 数 一 般 性 原 理 , 一步 应 用 于 多 种 多 样 的 不 同 问 题 。从  并 提 进

问题而不是从公理 出发 , 以解决 问题而不是以推理论证 为主 旨。 这与西方 以欧几里德几何  为 代 表 的 所 谓 演 绎 体 系 的 旨趣 迥 异 , 径 亦 殊 。《 章 》 是 遵 循 这 一 途 径 与 方 法 而 发 展  途 九 正
起来 的 。  

《 章 》 许 多 特 点 , 点 之 一就 是 全 书 以 问 的形 式 从 社 会 生 产 和 生 活 中提 出了 2 6 九 有 特 4  个 数学 问 题 , 后 再 通 过 一个 具 体 问 题 去 说 明一 种 法 则 ( 法 ) 并 给 出答 案  而 , 并 不  然 算 , 然 这

失去算法 的普 遍性 。 因为这 实质上并不是 对一个 问题的解法 , 而是 这一类 问题 的解法 换  句话说 , 可按这 种算法去解 决性 质相同的问题 。 如果 把所用 以解决问题的法 则或算法称为  “ ”那 么 ,九章 》 术 , 《 的基本方法就 可说是“ 由问而术” 所谓 “   , 问 即问题 , 是从 生产实践 中提 
炼 出来 的 实 际 数 学 问题 。每 一 章 先 提 出一 个 或 几 个 实际 问 题 , 给 出算 法 和答 案 , 后 再  并 然 考 察 同类 型 的 问 题 而 归纳 成 解 决 某 一 类 问题 的 一 般 算 法 ( ) 得 到该 领 域 解 决 各 种 问 题  术 ,

的方法 , 便构 成一章 。最后再把解决各 类问题的方法综合起来 而成 《 这 九章 算术 》 故《   九  章 》 于实践又高于实践 , 源 以解决 实际 问题为 目的 , 有些算法 实际上就 是一种数学模 型 。 这 
些 一 般 算 法 就 是 《 章 》 主 要 内 容和 其 精 华 所 在 。 比如 , 八 章 《 程 》 以第 1 为例 : 九 的 第 方 , 题   “ 有 上 禾 三 秉 , 禾 二 秉 , 禾 ~ 秉 , 三 十 九 斗 ;上 禾 二 秉 , 今 中 下 实 中禾 三 秉 , 禾 一 秉 , 三  下 实 十 四斗 }上 禾 一 秉 , 中禾 二 秉 , 禾 三 秉 , 下 实二 十 六 斗 问上 、 、 禾 实一 秉 各 几何 ? 日 : 中 下 答   上 禾 一 秉 九斗 四分 斗 之 一 }中禾 一 秉 四 斗 四分 斗 之 一 I下 禾 一 秉 二 斗 四分 斗 之 三 。  ”

“ 是黍米谷子 , 秉  一束 ( ) 禾  一“ 是 捆 谷个子 ,实” 打下 来的黍米谷 子 , 汉 时期一  “ 是 秦 斗约等 于现在 的二升  上述 问题 , 用现代汉语来说 , 第一条就是 : 束上等的谷个子 , 三 二柬 
中等 的谷 个 子 , 束 下 等 的 谷 个 子 , 下来 的 黍 米 谷 子 共 有 3 一 打 9斗  其 他 各条 也 同样 解 释 。 。  

很明显 , 这个 问题实即一个三元一次联立方程组 ( 线性方程组 ) 。用现在代数 的方法 来解 :   设 上 、 、 秉 的 实各 为 z,  , 是 , 题意 可 列 出 以 下方 程组  中 下 y, 于 依
I3   z+ 2 ,+ £= 3   9
2 + 3 +  = 3   z   4

【z + 2 + 3 y z= 2   6

古代未 知数不是用符号表 示 , 而是用“ 来表 示的 。筹” 筹”   原是用竹子制 成的一种计算  工具 , 有时也表运 算 , 以又称“ 所 算筹  现用算 筹表示 z , , ,  的系数和常 数项 , 依次 ( 自上  而下 , 自右 至 左 ) 置 起 来 , 得 到 一个 如 表 1所 示 的 图 表 。表 内 是 古 代 用 算 筹 表 示 的 数  布 就 目, 右行 顺 序 表 示 3 2 1 3 , 几 个未 知 量 就 须 列 出几 个 等式 。联 立 一 次 方 程 组 用 “ 如 , ,, 9 有 算 

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辽 宁 工 学 院 学 柱 

第 l 2卷第 2期 

筹 ” 示 时有 如方 阵 , 以 叫 做 方 程  不 过  表 所 古 代 数 学 中的 方 程 与 现 在 的 方 程 在 含 义 上  已 大 相 径 庭 。 现 在 方 程 是 由 英 文 


euain 直 译 而 来 , 相 等 之 意 。 略 地  qtt ” o 有 粗

说 , 方 程 ” 是 含 有 未 知 量 的 等 式  《 “ 就 九 

章 》 , 筹 是 用 以 表 示 一 个 算 式 中 的 系  中 算 数 , 实 际 上 就 是 现 在代 数 中的 分 离 系 数  这 法 , 后 用 消 元 法 求 解  我 们 知道 , 是 解  然 这
联 立 方 程 式 的 普 遍而 有 效 的 方 法  除 了符 

‘  

号 和计 算 工 具 不 同 外 , 现 代 解 联 立 方 程  和 使 用 的 消元 法 实质 是 一 样 的 。 于 形形 色 色 的 问题 往 往 归结 为 方 程 求 解 , 而 方 程 求 解 就  由 因

成为 中国传统 数学《 九章 》 以来发展 的一条 主线 。《 章》 九 不仅提 出了线性方 程组的普遍解 
法 一 消 元 法 . 由于 “ 程 ” 每 一 行 是 由多 项 未 知 量 和 一 个 已知 量 所 组 成 的 等 式 , 中  且 方 的 其

可 能含有相反意 义的数 , 由此产 生正 数与负数 的对立 概念 , 又用“ 直除” 消元 , 法 当减数大  于被 减数 时 , 引入 负数 的概 念 就 行 不 通 了 。 不 因此 , 中国 数 学 家 在 “ 程 ” 里 提 出 了 正 、 方 章 负 
数 的 不 同表 示法 和 正 、 负数 的加 减法 则 。 “ 程 ” 第 3题 刘 徽 注 说 :用 红 色 算 筹 表 示 正  如 方 章

数, 甩黑色的算筹表示 负数 。否 则在布置算筹时用正列的筹 表示正数 , 甩斜列 的筹表示 负   数。这一 章里 还有四元和五元的方程 , 也用类似的方法来解 。   其 他 国 家 虽然 有 时 也 解 出 一 些 联 立 方 程 组 , 用语 含 混 , 仅 时 间上 晚 于 《 章 》且  但 不 九 , 远 不及《 九章》 算法 的整齐 , 没有 一般 的解法 。如 希腊 时代被誉 为代数学 鼻祖 的丢 番 图 也   ( oh nu) 常 仅 用 一个 记 号 来 代 表 许 多未 知 数 。法 国在 1 8 Dip a ts 常 4 4年 才 有 舒 开 给 出二 次 方  程的一个 负根  意大利的卡当 ( ad n 在 1 4 年 区分 了正 、 C xa ) 5 5 负数 , 正数 叫做“ 把 真数” 负  ,
数 叫做 “ 数 ”并 正 式 承 认 了 负 根 。至 于 线 性 方 程 组 的完 整 的 解 法 , l 假 , 到 7世 纪 , 国数 学  德

家莱 布尼兹才着手研究 , 由此导致行列式的 出现 。  4 , 国的祖培用行列式去建立  并 16 年 法 7
线 性 方 程 组 的 一般 理 论 。 从 时 间上 说 , 九 章 》 于 线 性 方 程 组 的解 法 及 由此 相 伴 而 生 的  《 关 正、 负数 概 念 不 仅 是 世 界数 学 史 上 的 光 辉 成 就 , 也是 科 学 史 上 破天 荒 的 一 件 大 事 。   我 国 传 统 的 数 学 《 章 》 从 实际 问 题 出 发 , 九 在 由简 到 繁 , 从特 殊 到 一 般 , 由具 体 到抽 象 ,   以解 决 实 际 问 题 为 主 旨的 演 变 过 程 , 仅 为 此 后 千 多 年 来 的 数 学 , 别是 方 程 的 发 展 开 其  不 特 先 河 , 且 在 发 展 过 程 中 , 立 了 以构 造性 与 机 械 化 为 特 色 的 算法 体 系 。 这 与 西 方 数 学 以  而 建 欧 几里 德《 何 原 本 》 几 为代 表 的 所 谓 公 理 化 演绎 体 系 正 好 东 西 遥 遥 相 对 , 互 辉 映  果 我  相 如

们深入研究就不难发现 , 中国古代 数学基本上是一 种机 械化 数学 。比如《 九章 》 中对 方程、  
开平方 、 开立 方 的机 械 化过 程 都有 许 多 说 明 。 在 开 平 方 法 中 是 借用 一 根 算 筹 来 表 示 未 知  如
量 的平 方 . 开 立 方 法 中借 用 一 根 算 筹 来 表 示 未 知 量 的立 方 。 就 给所 列 出 的 筹 式 一 个 代  在 这

数方程的意义 , 开平 方或 开立 方 的 各 个 演 算 步 骤 也 就 是 解方 程 、 正 根 的 过 程 。 中 国古 代  求 数学开平方 、 立方的方法 , 开 不仅 具 有 算 术 上 的 意 义 , 重 要 的是 它 们 具 有 代 数 方 面 的 意  更 义 。 后 世 数 学 家 求 高 次 方 程 正 根 的方 法 无 疑是 在 《 章 》 少 广 ” 开 方 法 的 基 础 上 发 展  九 中  章 起 来 的 在 宋 元 时 代 , 国数 学 家 们终 于 找 到 了 一 种 普 遍 的 列 方 程 的方 法 一 天 元 术 , 进  中 引 了相 当 于 现 代 未 知 数 概 念 的 天 元 、 元 、 地 人元 、 元 , 许 多 问题 转 化 成 代 数 方 程 或 方 程 组  物 把

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19 9 2年 ( 第 4 总 o期 )  

赵 于都 : 九 章 算术 》 它对现 代数 学 的影响  《 和

B  1

的求解方法 , 这个方法用 在几 何上就相当于几何的代数化 。 2 1 世纪 , 杨辉、 李冶 、 朱世杰又  引进 了相 当于现 代多项式的概念 , 并建立 了多项式运算法则 和消去法 有关 的代 数工具 , 使  几何代数化 的方法 得到 了充分 的发展。 几何 的代数化 实际上就是现代解析 几何的前身 。 我  们知 道 ,7世 纪 笛 卡 尔发 明 的 解 析 几 何 , 然 能 用 坐 标法 把 几 何 问 题 化 为 代 教 问题 , 并  1 虽 但
未 实现 几何 定理 的 机 械 化 ( 自动 化 ) 明 。我 国 著 名 数 学 家 吴 文 俊 教 授 在 深 入 研 究 中 国古  证

代数学 , 特别是在研 究《 九章 》 的基础上 , 在中国古代 数学的机械化与代数化的光辉 思想 启   迪 下 , 辟 蹊 径 , 用 最 先 进 的 , 有 推 理 判 断 功 能和 贮 存 功 能 的 现 代 化 计算 机 器 一 电子   独 利 具 计算机 , 把质的 困难转 化成量 的复 杂 , 出了 自己的独具特 色的机械化判定方法 ,9 7 提 1 7 年  以题为  初等几何判定 问题与机械化证明” 在具有 国际影响 的我 国一级学术刊物《 国科  , 中

学  ̄1 7 年 第 6期 ) (9 7 上发表 , 又于 1 8 年 在科学 出版社 出版了世界上第 一部 关于几何定  94
理 机器证 明的学术专著《 几何定理机 器证 明的基本 原理 ( 初等几何部 分 ) , 》在机器证 明领  域 内建 立 了 影 晌 深 远 的里 程 碑 。 文 俊 用 他 自己建 立 的机 器 证 明方 法和 自己 编 写 的 程序 , 吴   在 电子 计算 机上成功地证 明了非欧几何、 圆几何 、 线几何 以及微分几何的六百多条重要定  理 这些 定理 大多是不平凡 的 , 而证 明每条 定理所用 的机器时 间才几秒钟 , 中还有些是  其
过 去不 被人 知 的 新 定 理 。 方 法 的 出现 , 志 着机 器 证 明 定 理 和 发 现 艰 深 而 不 平 凡 的 新 定  吴 标

理正变为现 实可行 , 而结束了具有数千年历史 的, 从 人们只靠 一只笔和一张纸的手工式的  初等几何 定理的证 明。今后 , 如果人们在初等几何范 国内提 出新命题而 不知其真 曲时 , 只  要 把该 命题 化成代数 问题 , 用吴方法编 成程 序 , 上机一 试便知分 晓 , 从而使数学家 得 以摆  脱繁锁 的手工式劳动 ( 计算和证 明)腾出时间和精力 , 聪明才智甩到真正的剖造性工作  , 把
上 去 

值 得 提 出 的是 , 方 法 不 仅 能 证 明几 何 定 理 , 且 在 数 学 的 其 他 领 域 或 其 他 学 科 上也   吴 而

大有 用场 。如 在多项式 、 非线性规划 、 代数几何 学以及机器人学 、 制论、 控 人工智 能等 领域 
也 获得 了 具 有 国 际水 平 的 成果 。  

国家 科委主任宋 键教授说 : 吴文俊 的机 器证 明理论 , 高度公 理化 的教学金 字塔  “ 为

通 向现 代社 会建立 了一座 桥梁 , 必将对 社会经济 、 生活 、生产 以及科研产 生不可估量 的 
影 响 。  ”

C 十书是 :周髀算 经 ”“ 注] “ 、 九章算术” “ 、 海岛算经 ”“ ,孙子 算经  。 、 张邱建算 经  “ 、 五  曹算经” “ 、五经算术” “ 古算经” “ 、缉 、 数术记遗 ” “ 、夏候 阳算经 ”  。 参 考 文 献 

1 钱 宝琮 主 编 . 国数 学 史 . 京 :科 学 出版 社 ,94 中 北 1 6 
2 粱 宗 巨 . 界 数 学 史 简编 . 阳 :辽 宁 人 民 出版 社 , 9 0 世 沈 1 8  3 赵 子 都. 理 机 器 证 明. 州 工 学 院 学 报 , 9 0 9 4  定 锦 1 9 ;( )


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