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上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[1]


上海市华师大二附中 高三年级数学综合练习[1]
一、填空题 (本大题满分 48 分) 本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一 律得零分。 1.函数 y ? f ( x)(x ? R) 图象恒过定点 (0,1) ,若 y ? f ( x) 存在反函数 y ? f 图象必过定点 。
?1

( x) ,则 y ? f ?1 ( x) ? 1的

2.已知集合 A ? y y ? 2 ? 1, x ? R ,集合 B ? y y ? ? x ? 2 x ? 3, x ? R ,则集合 x x ? A且x ? B ?
x

?

?

?

2

?

?

?

。 3.若角 ? 终边落在射线 3x ? 4 y ? 0( x ? 0) 上,则 tan?? ? arccos(?

? ?

2 ? )? ? 2 ?
1 ? m ? ni

。 。

4.关于 x 的方程 x 2 ? (2 ? i) x ? 1 ? mi ? 0(m ? R) 有一实根为 n ,则

5 . 数 列 ?an ? 的 首 项 为 a1 ? 2 , 且 a n ?1 ? (a1 ? a 2 ? ? ? a n )( n ? N ) , 记 S n 为 数 列 ?an ? 前 n 项 和 , 则

1 2

Sn ?



?x ? ? 6. (文)若 x , y 满足 ? x ? ? ?x ? ? ?x ?
n

y?5 y ? 1 ,则目标函数 s ? 3x ? 2 y 取最大值时 x ? y?3 y ? ?1


1? ? (理)若 ? 3 x ? ? (n ? N ) 的展开式中第 3 项为常数项,则展开式中二项式系数最大的是第 项。 x? ? 5 7.已知函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? 2? ) ,若对任意 x ? R 有 f ( x ) ? f ( ? ) 成立,则方程 12 f ( x) ? 0 在 ?0, ? ?上的解为 。
8.某足球队共有 11 名主力队员和 3 名替补队员参加一场足球比赛,其中有 2 名主力和 1 名替补队员不慎 误服违禁药物,依照比赛规定,比赛后必须随机抽取 2 名队员的尿样化验,则能查到服用违禁药物的 主力队员的概率为 。 (结果用分数表示) 9.将最小正周期为

? ? 的函数 g ( x) ? cos(?x ? ?) ? sin(?x ? ? )(? ? 0, ? ? 2? ) 的图象向左平移 个单 2 4 位,得到偶函数图象,则满足题意的 ? 的一个可能值为 。

10.据某报《自然健康状况》的调查报道,所测血压结果与相应年龄的统计数据如下表,观察表中数据规 律,并将最适当的数据填入表中括号内。 年龄(岁) 30 35 40 45 50 55 60 65 …… 收缩压 110 115 120 125 130 135 145 …… (水银柱/毫米) 舒张压 70 73 75 78 80 73 85 …… (水银柱/毫米) 11.若函数 f ( x) ? min?3 ? log 1 x, log2 x ? ,其中 min?p, q? 表示 p, q

? ?

? ?

4

两者中的较小者,则 f ( x) ? 2 的解为



12.如图, P1 是一块半径为 1 的半圆形纸板,在 P1 的左下端剪去一个半 径为

1 的半圆得到图形 P2 ,然后依次剪去一个更小的半圆(其直 2

径 是 前 一 个 被 剪 掉 半 圆 的 半 径 ) 可 得 图 形 P3 , P4 ,?, Pn ,? , 记 纸 板 Pn 的 面 积 为 S n , 则

l i mS n ?
n??



二、选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论,其中有且 只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号,选对得 4 分,不选、错选或者选出的 代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分。 13.已知 a, b, c 满足 c ? b ? a且ac ? 0 ,则下列选项中不一定能成立的是( ) A、 ab ? ac B、 c(b ? a) ? 0 14.下列命题正确的是( ) A、若 lim a n ? A , lim bn ? B ,则 lim C、 cb ? ca
2 2

D、 ac(a ? c) ? 0

an A ? (bn ? 0) 。 n?? n?? n?? b B n B、函数 y ? arccosx(?1 ? x ? 1) 的反函数为 y ? cos x, x ? R 。

(m ? N ) 为奇函数。 2 x 1 1 2 D、函数 f ( x) ? sin x ? ( ) ? ,当 x ? 2004 时, f ( x) ? 恒成立。 3 2 2 2 a?x 15.函数 f ( x) ? 为奇函数的充要条件是( ) x ?1 ?1
A、 0 ? a ? 1 B、 0 ? a ? 1 C、 a ? 1 D、 a ? 1 16.不等式 loga x ? sin 2x(a ? 0且a ? 1) 对任意 x ? (0, A、 (0,

C、函数 y ? x m

2

?m?1

?

?
4

)

B、 (

?
4

,1)

C、 (

?

4

) 都成立,则 a 的取值范围为(



,1) ? (1, ) 4 2

?

D、 (0,1)

三、解答题 (本大题满分 86 分) 本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。 17. (本题满分 12 分)

?ABC 中角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c ,若 a ? 2 3, c ? 2, 1 ?

tgA 2c ? ,求 ?ABC 的面积 S。 tgB b

18. (本题满分 12 分)
2 设复数 z1 ? x ? yi( x, y ? R, y ? 0) ,复数 z 2 ? cos? ? i sin ? (? ? R) ,且 z1 ? 2z1 ? R, z1 在复平面

上所对应点在直线 y ? x 上,求 z1 ? z 2 的取值范围。

19. (本题满分 14 分)

ax ? 5 ? 0 的解集为 M 。 x2 ? a (1)当 a ? 4 时,求集合 M ; (2)若 3 ? M且5 ? M ,求实数 a 的取值范围。
已知关于 x 的不等式

20. (本题满分 14 分) 如图, 一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、 Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ, 当Ⅰ、 Ⅱ分别输入正整数 m, n 时,输出结果记为 f (m, n) , 且计算装置运算原理如下: ①若Ⅰ、Ⅱ分别输入 1,则 f (1,1) ? 1 ;②若Ⅰ输入固定的正整数,Ⅱ输入的正整数增大 1,则输出结 果比原来增大 3;③若Ⅱ输入 1,Ⅰ输入正整数增大 1,则输出结果为原来 3 倍。试求: (1) f (m,1) 的表达式 (m ? N ) ; (2) f (m, n) 的表达式 (m, n ? N ) ; (3)若Ⅰ,Ⅱ都输入正整数 n ,则输出结果 f ( n, n) 能否为 2006?若能, 求出相应的 n ;若不能,则请说明理由。

21. (本题满分 16 分) 对数列 ?an ? ,规定 ??an ?为数列 ?an ? 的一阶差分数列,其中 ?an ? an?1 ? an (n ? N ) 。 对 自然数 k ,规定 ?k an 为 ?an ? 的 k 阶差分数列,其中 ?k an ? ?k ?1an?1 ? ?k ?1an ? ?(?k ?1an ) 。 (1)已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? n 2 ? n(n ? N ), ,试判断 ??an ?, ?2 an 是否为等差或等比数列, (2)若数列 ?an ? 首项 a1 ? 1 ,且满足 ?2 an ? ?an?1 ? an ? ?2 n (n ? N ) ,求数列 ?an ? 的通项公式。 然 n ? N 都成立?若存在,求数列 ?bn ? 的通项公式;若不存在,则请说明理由。 为什么?

?

?

?

?

1 2 n (3) (理)对(2)中数列 ?an ? ,是否存在等差数列 ?bn ? ,使得 b1Cn ? b2Cn ? ? ? bn Cn ? an 对一切自

22. (本题满分 18 分) 已知函数 f ( x) 是定义在 ?? 2,2?上的奇函数,当 x ? [?2,0) 时, f ( x ) ? tx ? (1)求函数 f ( x) 的解析式;

1 3 x ( t 为常数) 。 2

(2)当 t ? [2,6] 时,求 f ( x) 在 ?? 2,0? 上的最小值,及取得最小值时的 x ,并猜想 f ( x) 在 ?0,2? 上的单 调递增区间(不必证明) ; (3)当 t ? 9 时,证明:函数 y ? f ( x) 的图象上至少有一个点落在直线 y ? 14 上。

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[1] 参考答案
1. ?1,1? 7. 2. ?2,??? 3. ?

1 7

4.

1 1 ? i 2 2

5. 2 ? ? ? 11.

? 3? ? 2?

n ?1

6. (文) 4 ; (理) 5

?
6

or

2? 3
14.C

8.

25 91
15.B

9.

? 4
16.B

10.140,88

x ? 4or 0 ? x ? 4

12.

? 3

13. C

sin ? A ? B ? 1 tgA 2c 2 sin C 17.解:由 1 ? 及正弦定理,得 cos A cos B ? ,即 cos A ? , (其余略) 。 ? sin B 2 tgB b sin B cos B
? z1 2 ? 2 z1 ? R ? x 2 ? y 2 ? 2 xyi ? 2 x ? 2 yi ? R ?2 xy ? 2 y ? 0 18.解: ? ?? ?? ?x ? y ? 0 ?Re z1 ? Im z1 ?x ? y ? 0
? x ? y ? 1 ? z1 ? 1 ? i ,

z1 ? z2 ?

?1 ? cos ? ?2 ? ?1 ? sin ? ?2

?? ? ? 3 ? 2 2 sin ? ? ? ? ∴ z1 ? z2 ? 2 ? 1, 2 ? 1 。 4? ?

?

?

19.解: (1) a ? 4 时,不等式为

4x ? 5 ?5 ? ? 0 ,解之,得 M ? ?? ?,?2? ? ? ,2 ? ; 2 x ?4 ?4 ?

?3 ? M ( 2 ) a ? 25 时 , ? ?5 ? M

? 3a ? 5 ?0 ? ? 9?a ?? ? 5a ? 5 ? 0 ? ? 25 ? a

5 ? ?a ? 9ora ? ? 5? 3 ? a ? ?1, ? ? ?9,25? , a ? 25 时 , 不 等 式 为 ? ? 3? ? ?1 ? a ? 25

25 x ? 5 ?1 ? ? 0 , 解 得 M ? ?? ?,?5? ? ? ,5 ? , 则 3 ? M且5 ? M , ∴ a ? 25 满 足 条 件 , 综 上 , 得 2 x ? 25 ?5 ?

? 5? a ? ?1, ? ? ?9,25? 。 ? 3?
20.解: (1) f ?m,1? ? 3 f ?m ? 1,1? ? 3 f ?m ? 2,1? ? ? ? 3
2 m?1

f ?1,1? ? 3m?1 ,
m?1

(2) , f ?m, n? ? f ?m, n ? 1? ? 3 ? f ?m, n ? 2? ? 3 ? 2 ? ? ? f ?m,1? ? 3?n ? 1? ? 3 (3) f ?n, n? ? 3
n?1

? 3?n ? 1? ,

? 3?n ? 1? ,∵ f ?7,7? ? 36 ? 18 ? 747 ? 2006 , f ?8,8? ? 37 ? 21 ? 2208 ? 2006 ,

∴ f ( n, n) 输出结果不可能为 2006。 21.解: (1) ?an ? an?1 ? an ? ?n ? 1? ? ?n ? 1? ? n 2 ? n ? 2n ? 2 ,∴ ??an ?是首项为 4,公差为 2 的
2

?

?

等差数列。 ?2 an ? 2?n ? 1? ? 2 ? ?2n ? 2? ? 2 ,∴ ?2 an 是首项为 2,公差为 0 的等差数列;也是首项为 2,公比为 1 的等比数列。 ( 2 ) ?2 an ? ?an?1 ? an ? ?2 n , 即 ?an?1 ? ?an ? ?an?1 ? an ? ?2 n , 即 ∴ an?1 ? 2an ? 2 n , ∵ a1 ? 1 , ∴ a2 ? 4 ? 2 ? 21 ,a3 ? 12 ? 3 ? 2 2 ,a4 ? 32 ? 4 ? 23 , ?an ? an ? 2 n , 猜想: an ? n ? 2 n?1 , 证明:ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 1 ? 1? 2 0 ;ⅱ)假设 n ? k 时, ak ? k ? 2 k ?1 ; n ? k ? 1 时, 、ⅱ)可知, an ? n ? 2 n?1 。 ak ?1 ? 2ak ? 2k ? k ? 2k ? 2k ? ?k ? 1? ? 2?k ?1??1 结论也成立, ∴由ⅰ)
1 2 n 1 2 n (3) b1Cn ? b2Cn ? ? ? bn Cn ? an ,即 b1Cn ? b2Cn ? ? ? bn Cn ? n ? 2 n?1 , 1 2 3 n 0 1 2 n?1 n?1 ∵ 1Cn , ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn ? n Cn ?1 ? Cn?1 ? Cn?1 ? ? ? Cn?1 ? n ? 2 1 2 n ∴存在等差数列 ?bn ? , bn ? n ,使得 b1Cn ? b2Cn ? ? ? bn Cn ? an 对一切自然 n ? N 都成立。

?

?

?

?

1 1 (? x) 3 ? ?tx ? x 3 , ∵函数 f ( x) 是 2 2 1 3 1 3 定义在 ?? 2,2? 上的奇函数,即 f ?? x ? ? ? f ?x ? ,∴ ? f ? x ? ? ?tx ? x ,即 f ( x ) ? tx ? x ,又可知 2 2 1 3 f ?0? ? 0 ,∴函数 f ( x) 的解析式为 f ( x ) ? tx ? x , x ? ?? 2,2? ; 2
22.解: (1) x ? ?0,2?时, ? x ? ?? 2,0? , 则 f (? x) ? t (? x) ? (2) f ?x ? ? x? t ?

? ?

1 1 2? x ? ,∵ t ? [2,6] , x ? ?? 2,0? ,∴ t ? x 2 ? 0 , 2 2 ?
3 2



? f ?x ??2

1 1 ? ? 2 x ? t ? x2 ? t ? x2 ? ? 3 ? 1 ? 2 2 ? ? 8t ,∴ x 2 ? t ? 1 x 2 , ? x2 ?t ? x2 ? ? ? 3 27 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ?

即 x2 ?

6t 2 6 2t 6t ? ?? 2,0?) 时, f min ? ? t t 。 , x ? ? (? 3 9 3 3
? ? 6t ? ?。 3 ?

猜想 f ( x) 在 ?0,2? 上的单调递增区间为 ?0,

(3) t ? 9 时,任取 ? 2 ? x1 ? x2 ? 2 ,∵ f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? ?x1 ? x2 ??t ?

? ?

1 2 2 ? x1 ? x1 x2 ? x2 ? ? 0 , ∴ 2 ?

?

?

f ?x ? 在 ?? 2,2? 上 单 调 递 增 , 即 f ?x ? ? ? f ?? 2?, f ?2?? , 即 f ?x ? ? ?4 ? 2t ,2t ? 4? , t ? 9 , ∴
4 ? 2t ? ?14,2t ? 4 ? 14 ,∴ 14 ? ?4 ? 2t ,2t ? 4? ,∴当 t ? 9 时,函数 y ? f ( x) 的图象上至少有一个点落
在直线 y ? 14 上。


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