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高中数学 第2章 指数函数、对数函数和幂函数 2.2对数函数命题与探究素材 湘教版1 精

2.2 对数函数
问题探究 问题 1 如何将给出的对数式换成指定底数的对数? 探究:《考试大纲》要求知道用换底公式将一般对数转化成指定底数的对数.
对数换底公式:logbN= log a N (a>0 且 a≠1,b>0 且 b≠1,N>0). log a b

推论:logab= 1 ,logambn= n logab.

log b a

m

更特别地有 logaan=n. 问题 2 对数函数的运算性质有几条? 探究:对数函数有三条运算性质,它们分别是:
如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,则有 (1)loga(M·N)=logaM+logaN;
(2)loga( M )=logaM-logaN; N
(3)logaMn=nlogaM(n∈R). 问题 3 对对数函数的图象和性质的研究,教材是根据互为反函数的图象特征,由指数函
数的图象再作出其关于直线 y=x 的图象,即得对数函数的图象,在数形结合的数学思想指导 下,推得对数函数的性质.请归纳对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)的性质.
探究:我们研究函数的性质一般是通过研究函数的图象特征来进行的.通过研究对数函 数的图象我们不难总结出对数函数有三条通性,即与 a 的取值无关的三条性质:(1)定义域都 是(0,+∞);(2)值域都为 R;(3)图象恒过点(1,0).与 a 的取值有关的两个特性:(1)a>1 时 ,y=logax 在 (0,+ ∞ ) 上 是 增 函 数 ;0<a<1 时 ,y=logax 在 (0,+ ∞ ) 上 是 减 函

数.(2)a>1:

?x ??0

? ?

1时, y ? x ? 1时,

0, y?

0;

0<a<1:

?x ? 1时, y ? 0, ??0 ? x ? 1时, y ? 0.

问题 4 比较两个对数型的数的大小,一般可采用哪些方法?

探究:两数(式)大小的比较主要是找出适当的函数,把要比较的两数作为此函数的函数

值,然后利用函数的单调性等来比较两数的大小.一般采用的方法有:

(1)直接法:由函数的单调性直接作答;

(2)作差法:把两数作差变形,然后判断其大于、等于、小于零来确定;

(3)作商法:若两数同号,把两数作商变形,判断其大于、等于、小于 1 来确定;

(4)转化法:把要比较的两数适当转化成两个新数大小的比较;

(5)媒介法:选取适当的“媒介”数,分别与要比较的两数比较大小,从而间接地求得两数的大

小.

典题精讲

例 1:比较下列各组中两个值的大小.

(1)log31.9,log32;

(2)log0.90.1,log0.92;

1

(3)log35,log53;

(4)log23,log0.32;

(5)logaπ ,loga3.141.

思路分析:

比较两个对数值的大小:同底可利用对数函数的单调性,如(1)(2);若底数、真数都不同可以

借助常数(常用的-1,0,1)为媒介间接比较大小,如(3)(4);若真数相同,底数不同可以借助对

数函数图象来比较大小;若底数与 1 的大小关系不确定,要分情况讨论.

解:(1)因为 y=log3x 在(0,+∞)上是增函数,所以 log31.9<log32.

(2)因为 y=log0.9x 在(0,+∞)上是减函数,所以 log0.90.1>log0.92.

(3)因为 log35>log33=1=log55>log53,所以 log35>log53.

(4)因为 log23>log22=1,log0.32<0,所以 log23>log0.32.

(5)当 a>1 时,logaπ >loga3.141;

当 0<a<1 时,logaπ <loga3.141.

例 2:已知 a=lg(1+ 1 ),b=lg(1+ 1 ),试用 a、b 的式子表示 lg1.4.

7

49

思路分析:

求以 a、b 表示的 lg1.4 的式子,实际上是寻找 lg 8 、lg 50 和 lg1.4 之间的关系,所 7 49

以应将三个对数的真数尽量化整并化小(一般把底化成常用对数),便于寻找关系.

解:a=lg(1+ 1 )=lg 8 =3lg2-lg7①.b=lg(1+ 1 )=lg 50 =lg 100 -lg72=2-lg2-2lg7②.

77

49 49 2

由①②得 lg2= 1 (2a-b+2),lg7= 1 (-a-3b+6),

7

7

∴lg1.4=lg 14 =lg2+lg7-1= 1 (a-4b+1).

10

7

例 3:已知函数 y=lg( x2 ?1 -x),求其定义域,并判断其奇偶性、单调性.
思路分析: 这是一个常用对数,只要考虑真数大于 0 即可.但由于真数中含有根式,所以还要判断根式内 的式子大于 0 时自变量的取值.

解:由题意知 x2 ?1 -x>0,解得 x∈R,即定义域为 R;



f(-x)=lg[ (?x)2 ?1 -(-x)]=lg( x2 ?1 +x)=lg

1

=lg( x2 ?1 -x)-1=-lg(

x2 ?1? x

x2 ?1 -x)
=-f(x).
∴y=lg( x2 ?1 -x)是奇函数.
∵奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同, ∴我们只需研究 R+上的单调性. 任取 x1、x2∈R+且 x1<x2,
则 x12 ?1 < x22 ?1 ? x12 ?1 +x1< x22 ?1 +x2
2

?

1

>

1

,

x12 ? 1 ? x1

x22 ?1 ? x2

即有 x12 ?1 -x1> x22 ?1 -x2>0.

∴lg( x12 ?1 -x1)>lg( x22 ?1 -x2),即 f(x1)>f(x2)成立.
又 f(x)是定义在 R 上的奇函数,故 f(x)在 R-上也为减函数.
例 4:(1)函数 y=lg 1 的图象大致是( ) x ?1

图 2-2-1 (2)作出函数 y=|log4x|-1 的图象. 思路解析: (1) 本 题 通 法 有 两 种 : ① 图 象 是 由 点 构 成 的 , 点 点 构 成 函 数 的 图 象 , 所 以 可 取 特 殊 点
(2,0),( 11 ,1).②利用函数解析式判断函数的性质,函数的定义域为(1,+∞),在定义域上函 10
数为减函数. (2)y=|log4x|-1 的图象可以看成由 y=log4x 的图象经过变换而得到:将函数 y=log4x 的图象在 x 轴下方部分以 x 轴为对称轴翻折上去,得到 y=|log4x|的图象,再将 y=|log4x|的图象向下平 移 1 个单位,横坐标不变,就得到了 y=|log4x|-1 的图象. 答案:(1)A (2)如图 2-2-2 所示.

图 2-2-2

例 5:(1)已知函数 y=log3(x2-4mx+4m2+m+ 1 )的定义域为 R,求实数 m 的取值范围; m ?1

(2)已知函数 y=loga[x2+(k+1)x-k+ 1 ](a>0,且 a≠1)的值域为 R,求实数 k 的取值范围. 4

思路分析:

题(1)中,对任意实数 x,x2-4mx+4m2+m+ 1 >0 恒成立;题(2)中,x2+(k+1)x-k+ 1 取尽一切正

m ?1

4

实数.

3

解:(1)∵x2-4mx+4m2+m+ 1 >0 对一切实数 x 恒成立, m ?1

∴Δ =16m2-4(4m2+m+ 1 )=-4(m+ 1 )<0.

m ?1

m ?1

∴ m2 ? m ?1 >0. m ?1

又∵m2-m+1>0,∴m-1>0.∴m>1. (2)∵y∈R,
∴x2+(k+1)x-k+ 1 可取尽一切正实数. 4
∴Δ =(k+1)2-4(-k+ 1 )≥0. 4
∴k2+6k≥0.∴k≥0 或 k≤-6.精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有

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