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数列中的分奇偶问题


数列中的分奇偶问题
一、训练题
1.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2 且 an ? 2 ? an ? 1 ? ? ?1? ,则 S100 ?
n



变式:求 Sn . 2.求和: S n ? 1 ? 5 ? 9 ? 13 ? ??? ? ? ?1?
n ?1

? 4n ? 3 ? .

3.数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 4, an ? an?2 ? 2 ? n ? 3? , Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,求 Sn . 4.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? Sn?2 求数列 ?an ? 的通项公式. 5.定义“等和数列”: 在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那 么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和. 已知数列 ?an ? 是等和数列,且 a1 ? 2 ,公和为 5,那么 a18 的值为 n 项和 Sn 的计算公式为 . ,这个数列的前

? 1? ? 3? ? ? ? 2?

n ?1

? n ? 3? ,且 S1 ? 1, S2 ? ? 2 ,

3

6.数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,且对于任意 n ? N ? , an 与 an ?1 恰为方程 x2 ? bn x ? 2n ? 0 的两 个根. (1)求数列 ?an ? 和数列 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

? 1 a , n为偶数 ? 1 1 ? 2 n cn ? a2 n ? , 7. 设 ?an ? 满足 a1 ? 1 , 且 an ?1 ? ? , 记 bn ? a2 n ?1 ? , 求 an . 4 2 1 ?a ? , n为奇数 n ? ? 4
8.设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, S n ? ? ?1? an ?
n

1 , n ? N * ,则 2n

(1) a3 ?

. .

(2) S1 ? S2 ? ??? ? S100 ?

9.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, an ? 0, an an?1 ? ? Sn ? 1,其中 ? 为常数.

1

(1)证明: an? 2 ? an ? ? ; (2)是否存在 ? ,使得 ?an ? 为等差数列?并说明理由. 10.已知等差数列 ?an ? 的公差为 2,前 n 项和为 Sn ,且 S1 , S2 , S4 成等比数列 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? ? ?1?
n ?1

4n ,求 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn . an an?1

二、题型特征:
1.通项中有 ? ? 1? 或 ? ?1?
n n ?1

等形式,如例题 1、2

2.递推公式为相间两项的关系式,如例题 3、4 3 递.推公式为 an?1 ? an ? f ? n ? 或 an?1 ? an ? f ? n? 的形式,如例题 5、6

三、方法技巧:
1.分奇、偶解之. 2.重新组合,构造新数列解之. 3.转化、化归.

2

数列中的分奇偶问题
参考答案
1、2600

? ? n ? 1? , n为奇数 ? ? 4 变式: Sn ? ? ? n ? n ? 4? , n为偶数 ? ? 4
2

2. Sn ? ?

? ?2n, n为偶数 ?2n ? 1, n为奇数

? n 2 ? 3n ? 2 , n为奇数 ? ? 2 3. Sn ? ? 2 ? n ? 3n , n为偶数 ? ? 2

n ?1 ? ?1? ? 4 ? 3 ? ? ? , n为奇数 ? ?2? 4. an ? ? n ?1 ?1? ? ? , n为偶数 ??4 ? 3 ? ? ?2? ?

? 5n , n为偶数 ? ? 2 5. 3, S n ? ? ? 5n ? 1 , n为奇数 ? ? 2 ?1 n ?1 ? n2 ? ? 2 , n为奇数 ?3 ? 2 2 , n为奇数 6.(1) an ? ? n , bn ? ? n ? 2 2 , n为偶数 ? 2 2 ?1 , n为偶数 ? ? n ?1 ? ?10 ? 2 2 ? 7, n为奇数 (2) S n ? ? n ? 7 ? 2 2 ? 7, n为偶数 ? n ?1 ? 2 3 1 ? ? ? ? ? ? ? 1 , n为奇数 ?4 ? 2 ? 4 1 1? 1 ? 7. an ? ? 8.(1) ? (2) ? 100 ? 1? n 16 3? 2 ? ? 3 ? 1 ? 2 ?1 1 ? ? ? ? ? , n为偶数 2 ?4 ? 2 ? 9.(1)略(2)存在 ? ? 4 ? 2n ? 2 , n为奇数 ? ? 2n ? 1 10.(1) an ? 2n ? 1(2) Tn ? ? ? 2n , n为偶数 ? 2n ? 1 ?

3


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