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高中数学专题复习 培优计划 含答案 函数的奇偶性与周期性

高中数学专题复习 姓名: *** 课题:培优计划 第3讲 [最新考纲] 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 函数的奇偶性与周期性 培优计划 授课时间:*** 教师:*** 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性 教 学 反 馈 教师评价 本周作业 建议 第3讲 [最新考纲] 函数的奇偶性与周期性 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. 知 识 梳 理 1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(- x)=f(x),那么函数 f(x)是偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(- x)=-f(x),那么函数 f(x)是奇函数 图象特点 关于 y 轴对称 奇函数 关于原点对称 2.奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区 间上的单调性相反(填“相同”、“相反”). (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数. ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数. ③一个奇函数,一个偶函数的积函数是奇函数. (3)若函数 f(x)是奇函数且在 x=0 处有定义,则 f(0)=0. 3.周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内 的任何值时,都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个 函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这 个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期. 辨 析 感 悟 1.对奇偶函数的认识及应用 (1)函数 y=x2,x∈(0,+∞)是偶函数.(×) (2)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(×) (3)(教材习题改编)如果函数 f(x), g(x)为定义域相同的偶函数, 则 F(x)=f(x)+g(x) 是偶函数.(√) (4)若函数 y=f(x+a)是偶函数,则函数 y=f(x)关于直线 x=a 对称.(√) 1 (5)(星课堂· 山东卷改编)已知函数 f(x)为奇函数, 且当 x>0 时, f(x)=x2+x , 则 f(- 1)=-2.(√) (6)(星课堂· 菏泽模拟改编)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在(-∞, 0)上是减函数,若 f(a)≥f(2),则实数 a 的取值范围是[-2,2].(×) 2.对函数周期性的理解 (7)函数 f(x)在定义域上满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x)是周期为 2a(a>0)的周期函 数.(√) (8)(星课堂· 枣庄一模改编)若 y=f(x)既是周期函数,又是奇函数,则其导函数 y =f′(x)既是周期函数又是奇函数.(×) [感悟· 提升] 1.两个防范 一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原 点对称,若不对称,则该函数一定是非奇非偶函数,如(1); 二是若函数 f(x)是奇函数,则 f(0)不一定存在;若函数 f(x)的定义域包含 0,则必 有 f(0)=0,如(2). 2.三个结论 一是若函数 y=f(x+a)是偶函数,则函数 y=f(x)关于直线 x=a 对 称;若函数 y=f(x+b)是奇函数,则函数 y=f(x)关于点(b,0)中心对称,如(4); 二是若对任意 x∈D 都有 f(x+a)=-f(x),则 f(x)是以 2a 为周期的函数;若对任 1 意 x∈D 都有 f(x+a)=± (f(x)≠0),则 f(x)也是以 2a 为周期的函数,如(7); f?x? 三是若函数 f(x)既是周期函数,又是奇函数,则其导函数 y=f′(x)既是周期函数 又是偶函数,如(8)中因为 y=f(x)是周期函数,设其周期为 T,则有 f(x+T)=f(x), 两边求导,得 f′(x+T)(x+T)′=f′(x),即 f′(x+T)=f′(x),所以导函数是周 期函数, 又因为 f(x)是奇函数, 所以 f(-x)=-f(x),两边求导,得 f′(-x)(-x)′ =-f′(-x)=-f′(x),即-f′(-x)=-f′(x),所以 f′(-x)=f′(x),所以导 函数是偶函数. 学生用书?第 16 页 考点一 函数奇偶性的判断及应用 【例 1】 (1)判断下列函数的奇偶性: 1-x ①f(x)= x2-1+ 1-x2;②f(x)=ln . 1+x 1 (2)已知函数 f(x)=ln( 1+9x2-3x)+1,则 f(lg 2)+f(lg 2)=( A.-1 B.0 C.1 (1)解 D.2 ). 2 ?x -1≥0, ①由? 得 x=± 1. 2 ?1-x ≥0 ∴f(x)的定义域为{-1,1}. 又 f(1)+f(-1)=0,f(1)-f(-1)=0, 即 f(x)=± f(-x). ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. ②由 1-x 1-x >0,得-1<x<1,即 f(x)=ln 的定义域为(-1,1), 1+x 1+x 1+x 1-x ?1-x?-1 ? =-ln =ln? =-f(x),则 f(x)为奇函数. 1-x 1+x ?1+x? 又 f(-x)=ln (2)解析 设 g(x)=ln( 1+9x2-3x), 1 = 1+9x2-3x 则 g(-x)=ln( 1+9x2+3x)=ln -ln( 1+9x2-3x)=-g(x). ∴g(x)为奇函数. ? 1? ∴f(lg 2)+f?lg2?=f(lg 2)+f(-lg 2) ? ? =g(lg 2)+1+g(-lg 2)+1=g(lg 2)-g(lg 2)+2=2. 答案 D 规律方法 判断函数的

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