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人教版高中数学必修5《算法与程序框图》教案(有答案)


算法与程序框图
※知识回顾 1.算法的概念:算法通常是指按一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤. 2.程序框图又称流程图,是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形. 3.程序框图的三种基本逻辑结构是顺序结构、条件结构、循环结构. 4.算法的描述方式有:自然语言、程序框图、程序语言. 5.算法的基本特征: ①明确性:算法的每一步执行什么是明确的; ②顺序性:算法的“前一步”是“后一步”的前提,“后一步”是“前一步”的继续; ③有限性:算法必须在有限步内完成任务,不能无限制的持续进行; ④通用性:算法应能解决某一类问题.

※典例精析 例 1.如图所示是一个算法的程序框图,则该程序框图所表示的功能是

解析:首先要理解各程序框的含义,输入 a,b,c 三个数之后,接着判断 a,b 的大小,若 b 小,则 把 b 赋给 a,否则执行下一步,即判断 a 与 c 的大小,若 c 小,则把 c 赋给 a, 否则执行下一步, 这样输出的 a 是 a,b,c 三个数中的最小值.所以该程序框图所表示的功能是求 a,b,c 三个数中 的最小值. 评注: 求 a,b,c 三个数中的最小值的算法设计也可以用下面程序框图来表示.

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例 2.下列程序框图表示的算法功能是( (1)计算小于 100 的奇数的连乘积 (2)计算从 1 开始的连续奇数的连乘积



(3)计算从 1 开始的连续奇数的连乘积, 当乘积大于 100 时,计算奇数的个数 (4)计算 1×3×5×?×n ? 100 成立时 n 的最小值

解析:为了正确地理解程序框图表示的算法,可以将执行过程分解,分析每一步执行的结果.可以 看出程序框图中含有当型的循环结构,故分析每一次循环的情况,列表如下: 第一次: S ? 1? 3, i ? 5 ;第二次: S ? 1? 3 ? 5, i ? 7 ; 第三次: S ? 1? 3 ? 5 ? 7, i ? 9 ,此时 S ? 100 不成立,输出结果是 7,程序框图表示的算法功能是求 使 1×3×5×?×n ? 100 成立时 n 的最小值. 选 D.

评注:通过列表,我们能清楚了解程序的每一步中的各个变量是怎样变化的,这正是程序运行的本质 所在.本题若要求编写求使 1×3×5×?×n ? 100 成立时 n 的最小值的程序框图或程序时,很容易 弄错输出的结果,应注意. 例 3.在音乐唱片超市里,每张唱片售价为 25 元,顾客如果购买 5 张以上(含 5 张)唱片,则按九 折收费,如果购买 10 张以上(含 10 张)唱片,则按八折收费,请设计算法步骤并画出程序框图, 要求输入张数 x,输出实际收费 y(元).

? 25 x ( x ? 5) ? 分析:先写出 y 与 x 之间的函数关系式,有 y ? ? 22.5 x (5 ? x ? 10) ,再利用条件结构画程序框图. ? 20 x ( x ? 10) ?
解:算法步骤如下: 第一步, 输入购买的张数 , 第二步, 判断 是否小于 5, 若是, 计算 y ? 25 x ;

x

x

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否则,判断 是否小于 10,若是,计算 y ? 22.5 x ;否则,计算 y ? 20 x . 第三步,输出 y . 程序框图如下:

x

x ? 27 ?
是 输出 X



i ? i ?1


i ? 11?

评注:凡必须先根据条件做出判断,然后再决定进行哪一个步骤的问题,在画程序框图时,必须引入 判断框,采用条件结构设计算法.如果变量分三级(或以上)时,就需要用到条件结构的嵌套,不能忽 视结果中“是”、 “否”的书写, 否则不知道执行哪一条路径. 一般地, 分 n 段的分段函数, 需要引入 n ? 1 个判断框.条件结构有以下两种基本类型.

例 4.画出求 1 ?

1 1 1 ? 2 ?? ? 的值的程序框图. 2 2 3 1002

分析:这是一个有规律的数列求和问题,每次都进行了相同的运算,故应用循环结构进行算法设计. 解:程序框图如下: (1)当型循环 (2)直到型循环

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评注: (1) 解题关键是选择好计数变量 i 和累加 变量 S 的初始值,并写出用 i 表示的数列的通项公式是;(2)循环结构主要用在一些有规律的重复计 算的算法中,如累加求和,累乘求积等问题.在循环结构中,要注意根据条件,设计合理的计数变 量、累加(积)变量以及它们的初始值等,特别要注意循环结构中条件的表述要恰当、精确,以免出现 多一次或少一次循环.(3)循环结构分为两类:一类是当型循环结构,如下左图所示;另一类是直 到型循环结构,如下右图所示.

变式训练画出求 1 ? 解:程序框图如下:

1 1 1 ? 2 ?? ? 的值的程序框图. 2 4 7 1002

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例 5.某工厂 2005 年的生产总值为 200 万元,技术改进后预计以后后每年的年生产总值都比上一年 增长 5%.设计一个程序框图,输出预期年生产总值超过 300 万元的最早年份及 2005 年到此年份之 前(不包此年份)的年生产总值的和. 分析:本例可用循环结构来实现. (1) 确定“循环体”:设 a 为某年的年生产总值, n 为年份,S 为年产值的总和,则循环体为

S ? S ? a, a ? a ? 0.05a, n ? n ? 1.

(2)初始化变量: n 的初始值为 2005,a 的初始值为 200,S 的初始值为 0. (3)设定循环控制条件: a ? 300 解: 程序框图如下: 评注:本问题的关健是设计好循环体,注意 S ? S ? a 与 n 之间的对 应关系.本题若将 S ? S ? a 放在 n ? n ? 1 之后,则输出时须重新 赋值 n ? n ? 1 ,否则 n 的值为超过 300 万的年份的下一年.本题 也可用当型循环结构来表示.

变式训练:设计一个程序框图,求使 S ? 1? 2 ? 3 ?? ? n ? 5000 的最小 n 的值,并输出此时 S 的值. 解:程序框图如下:

※基础自测
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一、选择题 1.下列说法正确的是( )

A.算法就是某个问题的解题过程; B.算法执行后可以产生不同的结果; C.解决某一个具体问题算法不同结果不同; D.算法执行步骤的次数不可以很大,否则无法实施. 1.解析:选项 A ,算法不能等同于解法;选项 B,例如:判断一个正整数是否为质数,结果为“是 质数”和“不是质数”两种;选项 C,解决某一个具体问题算法不同结果应该相同,否则算法构造的有 问题;选项 D,算法可以为很多次,但不可以无限次.选 B. 2、如图所示的程序框图中,则第 3 个输出的数是( A.1 B. ) D.

3 2

C.2 开始

5 2

A?

1 2

N ?1

A ? A?

1 2

输出 A

N ? N ?1

N ? 4?
是 结束



3 ,2.故选 C. 2 1 1 1 1 3.如图给出的是求 ? ? ? ? ? ? ? 的值的一个程序框图, 2 4 6 20
2.解析:前 3 个分别输出的数是 1,
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其中判断框内应填入的条件是( A.i >10? B.i < 10?

) C.i >20? D.i < 20?

3.解析:通过列表,我们能清楚了解程序的每一步中的各个变量 是怎样变化的, 第一次: i ? 1, S ? 第二次: i ? 2, S ?

1 ,n ? 4, 2

1 1 ? , n ? 6 ,…依此可知循环的条件是 i >10?.选 A 2 4


4.阅读右边的程序框图,若输入的 n 是 100,则输出的变量 S 和 T 的值依次是( A.2550,2500 B.2550,2550 C.2500,2500 D.2500,2550 开始

输入 n

S ? 0,T ? 0

n ? n ?1 T ?T ?n n ? n ?1 S ? S ?n
n ? 2?
否 输出 S、T 第 3 题图 是

结束

第 4 题图 4.解析:依据框图可得

S ? 100 ? 98 ? 96 ? ... ? 2 ? 2550 , T ? 99 ? 97 ? 95 ? ... ? 1 ? 2500 .选 A.
5.2006 年 1 月份开始实施的《个人所得税法》规定:全月总收入不超过 1600 元的免征个人工资、 薪金所得税,超过 1600 元部分需征税.设全月总收入金额为 x 元,前三级税率如下左表所示:
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级数 1 2 3 ……

全月应纳税金额 x ? 1600 不超过 500 元部分 超过 500 至 2000 元部分 超过 2000 至 5000 元部分 ……

税率 5% 10% 15% ……

开始

输入 x

0<x≤1600?


输出 0


1600<x≤2100?


输出①


2100<x≤3600?


输出②


结束

当工资薪金所得不超过 3600 元,计算个人所得税的一个算法框图如图. 则输出①、输出②分别为( A. 0.05 x; 0.1x C. 0.05x ? 80; ). B. 0.05x;

0.1x ? 185 0.1x ?185

0.1x;

D. 0.05x ? 80;

5.解析: 设全月总收入金额为 x 元, 所得税额为 y 元,则 y 与 x 之间的函数关系为

?0 (0 ? x ? 1600) ? y ? ?( x ? 1600)? 5% (1600 ? x ? 2100) 选 D. ?25 ? ( x ? 2100)? 10% (2100 ? x ? 3600) ?
二、填空题 6.执行右边的程序框图,若 p=0.8,则输出的 n=________.
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6.解析:第一次循环后, S ? 三次循环后, S ?

1 1 1 ? 0.8 ,此时 n=2;第二次循环后, S ? ? ? 0.8 ,此时 n ? 3;第 2 2 4

1 1 1 ? ? ? 0.8 ,此时 n ? 4 ,输出,故填 4. 2 4 8

7.某地区为了解 70 ? 80 岁的老人的日平均睡眠时间(单位:h ),随机选择了 50 位老人进行调查, 下表是这 50 位老人睡眠时间的频率分布表: 开始 S=0 i=1
0.12

序号 i 1 2 3 4 5

分组 (睡眠时间)
[4,5) [5, 6) [6, 7) [7,8)

组中值( Gi )
4.5

频数 (人数) 6 10 20 10 4

频率( Fi )

输入 Gi,Fi i= i+1 N S= S+Gi·Fi i≥5? Y 输出 S 结束

5.5

0.20
0.40 0.20

6.5 7.5
8.5

[8,9]

0.08

在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图,则输出的 S 的值为________. 解析:由流程图

S ? G 1 F1 ? G 2 F2 ? G 3 F3 ? G 4 F4 ? G 5 F5
? 4.5 ? 0.12 ? 5.5 ? 0.20 ? 6.5 ? 0.40 ? 7.5 ? 0.2 ? 8.5 ? 0.08 ? 6.42
故填 6.42. 8.如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ? ________.

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8.解析: S ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 100 ? 2550 三、解答题 9.请阅读下面程序框图,说明此程序的功能

解:程序功能是求 s 的值. s ? 1 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ,并输出 s
2 6

?( x ? 2) 2 ( x ? 0) ? ( x ? 0) ,请画出程序框图,要求输入自变量 x 的值,输出函数值 y . 10.已知函数 y ? ?4 ?( x ? 2) 2 ( x ? 0) ?
10.解:

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11.画出一个计算 1? 5 ?10 ?15 ???100 的程序框图. 11 解:程序框图如下

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12、甲、乙两位同学为解决数列求和问题,试图编写一程序.两人各自编写的程序框图分别如图 1 和如图 2. (Ⅰ)根据图 1 和图 2,试判断甲、乙两位同学编写的程序框图输出的结果是否一致? 当 n =20 时 分别求它们输出的结果; (Ⅱ)若希望通过对图 2 虚框中某一步(或几步)的修改来实现“求首项为 2,公比为 3 的等比数列 的前 n 项和”,请你给出修改后虚框部分的流程图. 开始

输入 n

开始

i=1

输入 n

S=0

i=0

a=2

S=0 S=S+a i=i+1 a=a+2 S=S+2 i=i+1 i≤n? 否 是 i>n ? 是 输出 S 否

输出 S

结束 图1

结束 图2

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12、解:(Ⅰ)输出结果一致.

当 n=20 时,

图 1 的结果为 2+4+6+…+38+40=2× (1+2+3+…+20)=420 图 2 的结果为 2+4+6+…+38+40=2× (1+2+3+…+20)=420 (Ⅱ)修改后虚框部分的流程图为

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