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5-1第一节 数列的概念与简单表示法(2015年高考总复习)

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第五章 数列

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数列

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第一节 ??数列的概念与简单表示法

读教材· 抓基础

研考点· 知规律

拓思维· 培能力

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高考这样考 数列的概念在高考试题中常与其他知识综合进行考查,主要 有: 1.以考查通项公式为主,同时考查 Sn 与 an 的关系. 2.以递推关系为载体,考查数列的各项的求法.

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备考这样做 1.在通项公式的求解中,要注意归纳、推理思想的应用,寻求 数列的项的规律. 2.通过 Sn 求 an,要对 n=1 和 n≥2 两种情况进行讨论. 3.灵活掌握由递推关系求通项公式的基本方法.

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D 读教材· 抓基础
回扣教材 扫除盲点

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课 本 导 读 1.数列的定义 一定顺序 排列着的一列数称为数列,数列中的每一 按照____________
项. 个数叫做这个数列的________

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2.数列的分类

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3.数列的通项公式
序号 n 之间的关系可以用一个式 如果数列{an}的第 n 项与_________

子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4.数列的递推公式 如果已知数列的第 1 项(或前几项),且从第二项(或某一项)开 始的任一项 an 与它的前一项 an-1(或前几项)间的关系可以用一个 公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

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5.an 与 Sn 的关系 若数列{an}的前 n 项和为 Sn,通项公式为 an, 则
? ?S1 an=? ? ?Sn-Sn-1

?n=1?, ?n≥2?.

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疑 点 清 源 1.数列通项求法的技巧 由数列的前几项写出数列的通项时,常用到“观察、归纳、 猜想、验证”的数学思想方法,即抓住每一项与序号之间的关系, 但要注意不是所有的数列都有通项公式,一个数列的通项公式可 以不唯一.

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2.数列的函数特性 数列是定义域为 N*的特殊的函数,所以函数的单调性、周期 性在数列中是应用的重点,对于数列的单调性、周期性的判断可 类比函数的单调性与周期性的判断方法.

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基 础 自 评 8 15 24 1.数列 1,5, 7 , 9 ,?的一个通项公式是( n2 A.an= 2n+1 ?n+1?2-1 C.an= 2?n+1? n?n+2? B.an= n+1 n?n+2? D.an= 2n+1 )

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解析

3 ∵1 可以写成 ,∴分母为 3,5,7,9,即 2n+1,分子可 3

n?n+2? 以看成 1×3,2×4,3×5,4×6,故为 n(n+2),即 an= . 2n+1 1 此题也可用排除法求解,只需验证当 n=1 时,A 选项为 ,B 3 3 3 选项为2,C 选项为4,均不为 1,故排除 A、B、C,从而选 D.
答案 D

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2an 2.已知数列{an}中,a1=1,an+1= (n∈N*),则 a5 等于 an+2 ( ) 2 A.5 2 C.3 1 B.3 1 D.2

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解析 1 = . 3

2an 2 1 2 由 a1=1,an+1= ,得 a2= ,a3= ,a4= ,a5 3 2 5 an+2

答案 B

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2n 3.已知数列{an}的通项公式是 an= ,那么这个数列是 3n+1 ( ) A.递增数列 C.摆动数列 B.递减数列 D.常数列

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2?n+1? 2n 解析 方法 1:∵an+1-an= - = 3?n+1?+1 3n+1 2 >0, [3?n+1?+1]?3n+1? ∴an+1>an,数列{an}为递增数列. 2x 方法 2:研究函数 f(x)= (x>0)的单调性. 3x+1 2 2 2 2 2x+ - ?3x+1?- 3 3 3 3 f(x)= = = 3x+1 3x+1 2 2 3-3?3x+1?.
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2x ∴f(x)= 在(0,+∞)上单调递增. 3x+1 ∴f(n+1)>f(n),故 an+1>an,数列{an}为递增数列.

答案 A

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4. 设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2, 则 a7+a8 的值为________.

解析 a7+a8=S8-S6=82-62=28.

答案 28

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5.在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*),则 a100 等于________.
解析 方法 1:由 a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*)可得 该数列为 1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,?. 由此可得 a100=-1. 方法 2:an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1, 两式相加可得 an+3=-an,an+6=an. ∴a100=a16×6+4=a4=-1.
答案 -1
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Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法

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题型一 【例 1】

由数列的前 n 项求数列的通项公式

写出下面各数列的一个通项公式:

(1)3,5,7,9,?; 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,?; 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)-1,2,-3,4,-5,6,?; (4)3,33,333,3 333,?. 【思维启迪】 观察各项的特点求解.

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听课记录

(1)各项减去 1 后为正偶数,所以 an=2n+1.

(2)每一项的分子比分母少 1,而分母组成数列 21,22,23,24,?, 2n-1 所以 an= n . 2 (3)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式中含因子(-1)n;各 项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4,?;而各项绝对值的分子组成 的数列中,奇数项为 1,偶数项为 3,即奇数项为 2-1,偶数项为
n 2 + ? - 1 ? 2+1,所以 an=(-1)n· . n

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? 1 ?-n,n为正奇数, 也可写为 an=? ?3,n为正偶数. ?n 9 99 999 9 999 (4)将数列各项改写为: , , , ,?, 3 3 3 3 分母都是 3,而分子分别是 10-1,102-1,103-1,104-1,?, 1 n 所以 an= (10 -1). 3

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【规律方法】

根据数列的前几项求通项公式时,需仔细观

察分析,抓住以下几个方面的特征:①分式中分子、分母的特征; ②相邻项的变化特征;③拆项后的特征:把数列的项分成变化的 部分和不变的部分;④各项符号特征.若关系不明显时,应将部 分项作适当的变形,统一成相同的形式,让规律凸现出来.

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变式思考 1 项公式:

根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通

(1)-1,7,-13,19,?; (2)0.8,0.88,0.888,?; 1 1 5 13 29 61 (3)2,4,-8,16,-32,64,?; (4)0,1,0,1,?.

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(1)符号问题可通过(-1)n 或(-1)n+1 表示,其各项的绝对

值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6, 故通 项公式为 an=(-1)n(6n-5). 8 8 8 (2)将数列变形为9(1-0.1),9(1-0.01),9(1-0.001),?, 1 ? 8? ∴an=9?1-10n?. ? ?

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(3)各项的分母分别为 21,22,23,24,?,易看出第 2,3,4 项的分子 2-3 分别比分母少 3.因此把第 1 项变为- 2 ,至此原数列已化为- 21-3 22-3 23-3 24-3 21 , 22 ,- 23 , 24 ,?,
n 2 -3 n ∴an=(-1) · 2n .

? ?0 (4)an=? ? ?1

?n为奇数?, 1+?-1?n 或 an= , 2 ?n为偶数?,

1+cosnπ 或 an= (n∈N*). 2
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题型二

由 an 与 Sn 的关系求通项公式

2 【例 2】 (2013· 江西卷)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn

-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0. (1)求数列{an}的通项公式 an; n+1 (2)令 bn= 2 2,数列{bn}的前 n 项和为 Tn.证明:对于任 ?n+2? an 5 意的 n∈N ,都有 Tn< . 64
*

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【思维启迪】

(1)题设中等式左边为关于 Sn 的二次三项式,

故可将其分解因式,求出 Sn,再利用数列和项互化公式求出 an; n+1 1 1 1 (2)根据(1)可得 bn= 2 [n2- 2= 2],故自然联想到用 16 4n ?n+2? ?n+2? 裂项法求 Tn.

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听课记录

2 2 (1)由 S2 - ( n + n - 1) S - ( n +n)=0, n n

得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0. 由于{an}是正项数列,所以 Sn>0,Sn=n2+n. 于是 a1=S1=2,n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n -1)=2n. 综上,数列{an}的通项公式为 an=2n.

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n+1 n+1 1 1 (2) 由 于 an = 2n , 故 bn = = 2 [ 2- 2= 16 n ?n+2?2a2 4 n ? n + 2 ? n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ].Tn=16[1-32+22-42+32-52+?+ - + ?n+2?2 ?n-1?2 ?n+1?2 1 1 1 1 1 1 1 1 5 - ]= [1+ 2- - ]< (1+ 2)= . n2 ?n+2?2 16 2 ?n+1?2 ?n+2?2 16 2 64

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【规律方法】

已知 Sn 求 an 时应注意的问题
? ?S1,n=1, an =? ? ?Sn-Sn-1,n≥2.

数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是

当 n=1 时,a1 若适合 Sn-Sn-1,则 n=1 的情况并入 n≥2 时的通 项 an;当 n=1 时,a1 若不适合 Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表 示.

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变式思考 2

(1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2-2n+1,

则其通项公式为__________. 2 (2)(2013· 新课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前 n 项和为 Sn= an+ 3 1 3,则数列{an}的通项公式是 an=________.

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解析

(1)当 n=1 时,a1=S1=3×12-2×1+1=2;

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1) +1]=6n-5,显然当 n=1 时,不满足上式. 故数列的通项公式为
? ?2,n=1, an=? ? ?6n-5,n≥2.

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2 1 2 1 (2)Sn+1= an+1+ ,Sn= an+ . 3 3 3 3 2 2 两式相减得 an+1= an+1- an, 3 3 2 1 ∴an+1=-2an,a1=S1=3a1+3. ∴a1=1.∴an=(-2)n-1.
? ?2,n=1, (1)an=? ? ?6n-5,n≥2

答案

(2)(-2)n-1

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题型三 【例 3】

由数列的递推公式求通项公式

根据下列条件,确定数列{an}的通项公式.

(1)a1=1,an+1=3an+2; n-1 (2)a1=1,an= n an-1(n≥2); (3)已知数列{an}满足 an+1=an+3n+2,且 a1=2,求 an. 【思维启迪】 (1)构造等比数列{an+1};(2)采用累乘法;(3) 采用累加法.

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听 课 记 录 (1)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1). an+1+1 ∴ =3,∴数列{an+1}为等比数列,公比 q=3, an+1 又 a1+1=2,∴an+1=2· 3n-1,∴an=2· 3n-1-1. n-1 (2)∵an= n an-1(n≥2), n-2 1 ∴an-1= an-2,?,a2=2a1. n-1 以上(n-1)个式子相乘得 1 2 n-1 a1 1 an=a1· ?· n = n =n. 2· 3·
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(3)∵an+1-an=3n+2,∴an-an-1=3n-1(n≥2), n?3n+1? ∴an=(an-an-1)+(an -1-an-2)+? +(a2-a1)+a1= 2 (n≥2). 1 当 n=1 时,a1= ×(3×1+1)=2 符合公式, 2 3 2 n ∴an=2n +2.

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【规律方法】

已知数列的递推关系,求数列的通项时,通

常用累加、累乘、构造法求解. 当出现 an=an-1+m 时,构造等差 数列;当出现 an=xan-1+y 时,构造等比数列;当出现 an=an-1 an +f(n)时,用累加法求解;当出现 =f(n)时,用累乘法求解. an-1

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变式思考 3

根据下列条件,求数列的通项公式 an.

(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n; n+2 (2)在数列{an}中,an+1= a ,a1=4; n n (3)在数列{an}中,a1=3,an+1=2an+1.

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(1)由 an+1-an=2n,把 n=1,2,3,?,n-1(n≥2)代入,

得(n-1)个式子. 累加即可得 (a2 - a1) + (a3 - a2) + ? + (an - an - 1) = 2 + 22 + 23
n -1 2 ? 1 - 2 ? n-1 +?+2 ,所以 an-a1= , 1-2

即 an-a1=2n-2,所以 an=2n-2+a1=2n-1. 当 n=1 时,a1=1 也符合,所以 an=2n-1(n∈N*).

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n+2 an+1 n+2 (2)由递推关系 an+1= a ,a =4,有 = . n n 1 an n an-1 a2 a3 4 a4 5 n an n+1 于是有a =3,a =2,a =3,?, = , = , an-2 n-2 an-1 n-1 1 2 3 an n?n+1? 将这(n-1)个式子累乘,得 = . a1 2 n?n+1? 所以当 n≥2 时,an= a1=2n(n+1). 2 当 n=1 时,a1=4 符合上式, 所以 an=2n(n+1)(n∈N*).

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(3)由 an+1=2an+1,得 an+1+1=2(an+1). 令 bn=an+1,所以{bn}是以 2 为公比的等比数列. 所以 bn=b1· 2n 1=(a1+1)· 2n 1=2n 1.
- - +

所以 an=bn-1=2n+1-1(n∈N*).

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名 师 微 博 ●一个联系 数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集 或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的一列 函数值,就是数列.因此,在研究函数问题时既要注意函数方法 的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性.

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●两个区别 (1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是 不同的两个数列,这有别于集合中元素的无序性. (2)数列中的数可以重复出现, 而集合中的元素不能重复出现.

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●三种方法 由递推式求通项 an 的方法: (1)an+1-an=f(n)型,采用叠加法; an+1 (2) =f(n)型,采用叠乘法; an (3)an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)型,采用待定系数法转化为等 比数列来解决.

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T 拓思维· 培能力
拓展提伸 提高能力

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思想方法系列 数列与函数的交汇问题 1.数列的概念常与函数、方程、解析几何、不等式等相结合 命题. 2.正确理解、掌握函数的性质(如单调性、周期性等)是解决 此类问题的关键.

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1 【典例】 (2012· 上海卷)已知 f(x)= .各项均为正数的数列 1+x {an}满足 a1=1,an+2=f(an).若 a2 ________.
010=a2 012,则

a20+a11 的值是

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【解析】

1 1 ∵an+2= ,又 a2 010=a2 012= , 1+an 1+a2 010

∴a2 2 010+a2 010=1. 5-1 又 an>0,∴a2 010= 2 . 5-1 1 又 a2 010= = 2 , 1+a2 008 5-1 5-1 ∴a2 008= ,同理可得 a2 006=?=a20= . 2 2

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1 1 2 1 3 1 又 a1=1,∴a3= ,a5= = ,a7= = ,a9= 2 3 1+a3 1+a5 5 1+a7 5 1 8 = ,a11= = . 8 1+a9 13 5-1 8 13 5+3 ∴a20+a11= + = . 2 13 26

13 5+3 【答案】 26

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【心得体会】

1.本题具有以下创新点

1 (1)数列{an}的递推关系式,以函数 f(x)= 为载体间接给 1+x 出; (2)给出的递推关系式不是相邻两项,即 an 与 an-1(n≥2)之间 的关系,而是给出 an 与 an+2 之间的关系式,即奇数项与奇数项、 偶数项与偶数项之间的递推关系.

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2.解决本题的关键有以下两点 (1)正确求出数列{an}的递推关系式; 1 (2)正确利用递推公式 an+2= ,分别从首项 a1 推出 a11 和 1+an 从 a2 010 推出 a20.

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自主体验
2 S n 2 1.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,若不等式 a2 + ≥ ma 2 n 1对任 n

意等差数列{an}及任意正整数 n 都成立,则实数 m 的最大值为 ( ) 1 A. 4 C.1 1 B. 5 D.无法确定

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解析 an)
2

1 1 2 因为 Sn= n(a1+an),所以原不等式可化为 an+ (a1+ 2 4 5 an 2 a1=0,则原不等式恒成立;若 a1≠0,则有 m≤ ( ) 4 a1

≥ma2 1.若

1 an 1 5 an 2 1 an 1 5 an 1 2 1 1 1 +2(a )+4,而4(a ) +2(a )+4=4(a +5) +5≥5,则 m≤5.故实 1 1 1 1 1 数 m 的最大值为 ,故选 B. 5

答案 B

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1 2. 数列{an}满足 a1=1, an+1· a2+4=1(n∈N*), 记 Sn=a2 1+ n
2 a2 2+?+an,若

m S2n+1-Sn≤ 对 n∈N*恒成立,则正整数 m 的最小 30

值为(

) B.9 D.7

A.10 C.8

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解析

1 1 1 由 an+1· a2+4=1,得 2 -a2=4, an+1 n n

1 1 2 ∴数列{ 2}是以 1 为首项,4 为公差的等差数列,an= , an 4n-3 1 1 2 2 2 Sn=a1+a2+?+an=1+ + +?+ 5 9 m ∵S2n+1-Sn≤ , 30 1 . 4n-3

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1 1 1 1 m ∴ + + +?+ ≤ . 4n+1 4n+5 4n+9 8n+1 30 1 1 1 ∵f(n)= + +?+ 是递减的, 4n+1 4n+5 8n+1 1 1 14 ∴当 n=1 时 f(n)有最大值,其值为 + = . 5 9 45 m 14 由30≥45,得 m 的最小值是 10.故选 A.

答案 A

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