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第三章 导数的应用习题


第三章

导数的应用

【内容提要】
1. 微分中值定理 定理 1 (罗尔 Rolle 定理)如果函数 y ? f ( x) 满足下列条件: (1) 在闭区间[a,b]上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导, (3) f (a) ? f (b) 。 那么在(a,b)内至少存在一点 ? ,使得 f ' (? ) ? 0 。 定理 2 (拉格朗日 Lagrange 中值定理)如果函数 y ? f ( x) 满足下列条件: (1) 在闭区间[a,b]上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导, 那么在 (a,b)内至少存在一点 ? ,使得:

f (b) ? f (a) ? f ' (? ) b?a
推论 1 若 ?x ? (a, b) ,有 f ?( x) ? 0 ,则在(a,b)内 f(x)为常值函数,即 f ( x) ? C 推论 2 若 ?x ? (a, b) ,有 f ?( x) ? g ?( x) ,则在(a,b)内 f(x)、g(x)相差一个常数,即 f(x)=g(x)+C。 定理 3 (柯西 Cauchy 中值定理)设函数 f ( x) 、 g ( x) 满足下列条件: (1) 在闭区间[a,b]上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导, (3) 在(a,b)内任一点 g ' ( x) ? 0 ; 则在(a,b)内至少存在一点 ? ,使得
f (b) ? f (a ) f ' (? ) ? g (b) ? g (a ) g ' (? )

2. 洛必达法则(“ 定理 1

0 ? 、 ”型未定式的运算) 0 ?

(洛必达 L'Hospital 法则) 如果 f ( x) 和 g ( x) 满足下列条件:

(1) 在 x0 的某去心邻域 ( x0 ? h, x0 ? h) 内可导,且 g ?( x) ? 0 ; (2)
x ? x0

lim f ( x) ? 0 , lim g ( x) ? 0 (或 lim f ( x) ? ? , lim g ( x) ? ? )
x ? x0

x ? x0

x ? x0

(3) lim
x ? x0

f ' ( x) f ( x) f ' ( x) ? lim 存在或为 ? ,则有: lim x ? x x ? x 0 g ( x) 0 g ' ( x) g ' ( x)

对于其它类型的末定式, 0 ? ? ,00, ? , ? ? ? , 1 都可以化为
0

?

0 ? 、 求解。 0 ?

3. 函数的单调性 定理 1 设函数 y=f(x)在(a,b)内可导,如果在该区间内恒有 f ?( x) ? 0(或 f ?( x) ? 0), 那么函数 y=f(x)在(a,b)内单调递增(或单调递减)。 由定理 1,讨论函数单调性可按以下步骤进行: (1) 确定函数的定义域; (2) 求 f ?( x) ,找出 f ?( x) =0 和 f ?( x) 不存在的点,以这些点为分界点,把定义域分成 若干区间; (3) 在各区间上判别 f ?( x) 的符号,以此确定 f(x)的单调性。 4. 函数的极值 定义 1 如果函数 y ? f ( x) 在点 x0 及其附近有定义,并且 f ( x0 ) 的值比在 x0 附近所有 各点 x 的函数值都大(或都小),即: f ( x0 ) ? f ( x) ,(或 f ( x0 ) ? f ( x) ) 我们称 f ( x) 在 x0 处取得极大值(或极小值) f ( x0 ) 。 点 x0 叫做 f ( x) 的极大值点(或极小值 点)。函数的极大值和极小值统称为函数的极值;而极大值点和极小值点统称为极值点。 定理 1 (极值的必要条件)若函数 f ( x) 在点 x0 处有极值, 且 f ' ( x0 ) 存在, 则 f ' ( x0 ) =0。

定理 2 (充分条件 1) 设函数 f ( x) 在点 x0 邻近可导, 且 f ' ( x0 ) =0, 当 x 递增经过 x0 时, (1) 若 f ' ( x) 由正变负,那么 f ( x) 在 x0 处有极大值 f ( x0 ) ; (2) 若 f ' ( x) 由负变正,那么 f ( x) 在 x0 处有极小值 f ( x0 ) ; (3) 若 f ' ( x) 的符号不改变,那么 f ( x) 在 x0 处无极值。 定理 3 (充分条件 2) 设函数 f ( x) 在 x0 处具有一、二阶导数,且 f ' ( x0 ) ? 0 。 (1) 若 f " ( x0 ) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 为极大值; (2) 若 f " ( x0 ) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 为极小值; (3) f " ( x0 ) ? 0 时,不能确定。 5. 函数的最大值和最小值 对于在闭区上连续函数求最大、最小值时,只要计算出极大、极小值及端点处的函数值, 然后进行比较就行了,最大者为最大值,最小者为最小值。甚至可以这样做,求驻点、导数 不存在点(如有的话)及端点的函数值,再进行比较就行了。 6. 曲线的凹凸区间与拐点 定义 1 如果一段曲线位于其每一点处切线的上方,我们就称这段曲线是凹曲线,如果一 段曲线位于其每一点处切线的下方,则称这段曲线是凸曲线

定理 1

设函数 y ? f ( x) 在(a,b)上具有二阶导数,

(1) 如果在(a,b)内,总有 f ??( x) ? 0 ,则曲线 y ? f ( x) 在(a,b)上是凹的; (2) 如果在(a,b)内,总有 f ??( x) ? 0 ,则曲线 y ? f ( x) 在(a,b)上是凸的。 定义 2 如果一条曲线既有凹的部分也有凸的部分,那么这两部分的分界点叫拐点。 7. 函数的渐近线 定义 如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时, 该点与某条直线的距离趋于 0 时, 则称 此直线为曲线的渐近线。 (1) 水平渐近线:如果 lim f ( x ) ? c (或 lim f ( x) ? c , lim f ( x) ? c ),则直线 y ? c
x?? x ? ?? x ? ??

是曲线 y ? f ( x) 的一条水平渐近线。

f ( x) ? ? , lim f ( x) ? ? ),则直线 x ? x0 是 (2) 垂直渐近线: 如果 lim f ( x) ? ? (或 lim ? ?
x ? x0

x ? x0

x ? x0

曲线 y ? f ( x) 的一条垂直渐近线。 (3) 斜渐近线:如果当 x ? ? (或 x ? ?? , x ? ?? )时,曲线 y ? f ( x) 上的点到直线

y ? ax ? b 的距离趋近于零,则直线 y ? ax ? b 称为曲线 y ? f ( x) 的一条斜渐近线。
其中, lim
x ? ??

f ( x) ? a , lim [ f ( x ) ? ax ] ? b x ? ?? x

8. 函数图象的描绘 描绘函数图象的步骤如下: (1) 确定函数的定义域,确定函数的奇偶性、周期性等一般性质; (2) 计算一、二阶导数,并求方程 f ' ( x) ? 0 和 f " ( x) ? 0 的根及不可导点; (3) 确定函数的单调性、极值、凹凸、与拐点(最好列出表格); (4) 如果有渐近线,求出渐近线; (5) 描出已求得的各点,必要时可补充一些点,如曲线与坐标轴的交点等,最后描绘 函数图形。 9. 函数的幂级数展开式 如果等式

f ( x) ? f (0) ?

f ' (0) f " (0) 2 f ( n ) (0) n x? x ? ?? ? x ?? 1! 2! n!

成立, 则称等式右端为函数 f ( x) 在点 x ? 0 处的幂级数展开式。 区间(-a, a)叫做收敛区间, 它表示公式的适用范围。 常用的几个函数的幂级数展开式 (1) 正弦函数的展开式(x 以弧度表示)

sin x ? x ?

x3 x5 x7 x9 x 2n?1 ? ? ? ? ? ? (?1) n ?? 3! 5! 7! 9! (2n ? 1)!

(?? ? x ? ??)

(2) 余弦函数的展开式(x 以弧度表示)

cos x ? 1 ?

x 2 x 4 x 6 x8 x 2n ? ? ? ? ? ? (?1) n ?? 2! 4! 6! 8! (2n)!
x

(?? ? x ? ??)

(3) 指数函数 e 的展开式

ex ? 1? x ?

x2 x3 xn ? ?? ? ?, 2! 3! n!

(?? ? x ? ??)

(4) ln(1 ? x) 的展开式

ln(1 ? x) ? x ?

x2 x3 x4 xn ? ? ? ? ? (?1) n ?1 ?? 2 3 4 n

(?1 ? x ? 1)

(5) (1 ? x)? 的展开式( ? 是常数)

(1 ? x) a ? 1 ? ax ?

a(a ? 1) 2 a(a ? 1) ? (a ? n ? 1) n x ??? x ? ? , (?1 ? x ? 1) 2! n!

【习题解答】
3-1 验证拉格朗日中值定理对函数 f ( x) ? 4 x ? 5x ? x ? 2 在区间[0,1]上的正确性。
3 2

证 函数 f ( x) ? 4 x ? 5x ? x ? 2 在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,故 f(x)在区间[0,1]上
3 2

满足拉格朗日中值定理条件,从而至少存在一点 ? ? (0,1) , 使 f ' (? ) ?

f (1) ? f (0) ? 2 ? (?2) ? ?0 1? 0 1
2

又, f ' (? ) ? 12? ? 10? ? 1 ? 0 ,可知 ? ?
3 2

5 ? 13 ? (0,1) ,因此拉格朗日中值定理对函 12

数 f ( x) ? 4 x ? 5x ? x ? 2 在区间上[0,1]上的正确性。 3-2 0<a<b、n>1 时,证明
n

nan?1 (b ? a) < b n ? a n < nbn?1 (b ? a)

证:令 f ( x) ? x ,f(x)满足在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且由拉格郞日定理可得:

f ' (? ) ?

f (b) ? f (a) b n ? a n ? ? n? n?1 , b n ? a n ? n? n?1 (b ? a) b?a b?a

n?1 n?1 而0 ? a ?? ? b, n>1, 则a ?? 所以, ? b n?1 , nan?1 (b ? a) ? b n ? a n ? nbn?1 (b ? a)

3-3 求下列极限 1. lim

(1 ? x)? ? 1 ; x ?0 x

2.

lim
x ?1

x 3 ? 3x ? 2 ; x3 ? x2 ? x ? 1

3. lim

ax ? bx ; x ?0 x

4. lim

e y ? sin y ? 1 ; y ?0 ln(1 ? y)
ln x ; ex

xn 5. lim x (n 正整数); x ??? e
7. lim x cot 2 x ;
x ?0

6. lim

x ? ??

8. lim?
x ?0

1? ? 1 ? ?; ? sin x x ?
1

( ) 9. lim ?
x ?0

1 x

tan x


x

10. lim x 1? x ;
x ?1

11. lim x e ;
x ? ??

?2

x 12. lim ?
x ?0

sin x

0 (1 ? x)? ? 1 ? (1 ? x)? ?1 ? lim ?? 解 1. 型, lim x ?0 x ?0 0 x 1

x 3 ? 3x ? 2 3x 2 ? 3 6x 6 3 0 ? lim 2 ? lim ? ? 2. 型, lim 3 2 x ? 1 x ? 1 x ? 1 0 6x ? 2 4 2 x ? x ? x ?1 3x ? 2 x ? 1
3.

0 ax ? bx a x ln a ? b x ln b ? lim ? ln a ? ln b 型, lim x ?0 x ?0 0 x 1 0 e y ? sin y ? 1 e y ? cos y ? lim ?2 型, lim y ?0 y ?0 1 0 ln(1 ? y ) 1? y

4.

5.

? xn nxn ?1 n(n ? 1) x n ?2 n! ? lim ? ? ? lim x ? 0 型, lim x ? lim x x x ??? e x ??? e x ??? x ??? e ? e

1 ln x ? x 6. 型, lim x ? lim x ? 0 x ? ?? e x ? ?? e ?
7. 0 ? ? 型, lim x cot 2 x ? lim cos 2 x ?
x ?0 x ?0

x x 1 1 ? lim ? lim ? x ? 0 x ? 0 sin 2 x sin 2 x 2 cos 2 x 2

8. ? ? ? 型, lim?
x ?0

1? x ? sin x 1 ? cos x ? 1 ? ? ? lim ? lim x ? 0 x ? 0 x sin x sin x ? x cos x ? sin x x ?
? lim
x ?0

sin x ?0 cos x ? cos x ? x sin x
? lim ln x x ??0 cot x

tan x ?e 9. ? 型, lim ( )
0

x??0

1 x

? lim tan x ln x
x ??0

?e

?e

1 x x ??0 csc 2 x lim

? e x??0

lim

sin x ?sin x x

?1

10. 1 型, lim x
x ?1

?

1 1? x

?e

ln x lim x ?11? x

?e

1 lim x x ?1

? e ?1

?2 x 11. 0 ? ? 型, lim x e ? lim x ???

ex ex ex ? lim ? lim ? ?? x ??? x 2 x ??? 2 x x ??? 2

x 12. 0 型, lim ?
x ?0

0

sin x

?e

x ??0

lim sin x ln x

?e

ln x x ??0 csc x lim

?e

1 x x ??0 ? csc x cot x lim

?e

? lim

x ??0

sin x tan x x

?1

3-4 求下列各函数的单调区间 1.

y ? x 3 ? 3x ? 2 ;

2. y ? ( x ? 1)(x ? 1) 3 ; 4. y ? x ? ln(x ? 1)

3. y ? x ? sin x ;

解 1. 函数的定义域为(-∞,+∞), y' ? 3x2 ? 3 ? 3( x ? 1)(x ? 1) , 令 y’=0,得驻点:x=-1,x=1,作下表 x f’(x) f(x) (-∞,-1) + ↗ -1 (-1,1) ― ↘ 1 (1,+∞) + ↗

则单调区间为:(-∞,-1)单调增,(-1,1)单调减,(1,+∞)单调增。 2. 函数的定义域为(-∞,+∞), y' ? ( x ? 1) ? 3( x ? 1)(x ? 1) ? 2( x ? 1) (2x ? 1)
3 2 2

令 y’=0,得驻点:x=-1, x ?

1 ,作下表 2 1 ) 2

x f’(x) f(x)

(-∞,-1) ↘

-1

(-1, ―

1 2

(

1 ,+∞) 2
+ ↗



则单调区间为:(-∞,-1),(-1,

1 1 )单调减,( ,+∞)单调增。 2 2

3. 函数的定义域为(-∞,+∞), y ' ? 1 ? cos x ? 0 则单调区间为:(-∞,+∞) 单调增。 4. 函数的定义域为(-1,+∞), y ' ? 1 ? 令 y’=0 得驻点为:x=0; 则单调区间为:(-1,0)单调减,(0,+∞)单调增。 3-5 求下列各函数的极值 1. y ? 2 x ? 3x ;
3 2

1 x ? 1? x 1? x

2. y ? x ?

a2 (a>0); x

3. y ? 1 ? ( x ? 2)

2 3



4. y ? x ? ln(x 2 ? 1)

解 1. 函数的定义域为(-∞,+∞), y' ? 6 x2 ? 6 x ? 6 x( x ? 1) 令 y’=0,得驻点为:x=0,x=1;作下表 x f’(x) f(x) (-∞,0) + ↗ 0 (0,1) ― ↘ 1 (1,+∞) + ↗

则当 x=0 时有极大值为 0,当 x=1 时有极小值-1。 2. 函数的定义域为(-∞,0)∪ (0,+∞), y ' ? 1 ? 令 y’=0,得驻点为:x=± a x f’(x) f(x) (-∞,-a) + ↗ -a (-a,0) ― ↘ 0 (0,a) ― ↘ a (a,+∞) + ↗

a2 x2 ? a2 ? x2 x2

则当 x=-a 时有极大值-2a,当 x=a 时有极小值 2a。 3. 函数的定义域为(-∞,+∞), y ' ? ? 无驻点,但有导数不存的点为:x=2 当 x=2 时有极大值为 1。

2 3 x?2
3

2x ( x ? 1)2 ? ? 0 ,则无极值。 4. 函数的定义域为(-∞,+∞), y ' ? 1 ? 2 x ? 1 x2 ? 1
3-6 求下列各函数的最值 1. y ? ( x 2 ? 1) 3 ? 1 ,[-2,1]; 3. y ? 100? x 2 ,[-6,8];
2 2

2.

y ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 12x ? 14 [-3,4];

4. y ? 3 x ,[-1,4]

解 1. y' ? 6 x( x ? 1) ,令 y’=0,得驻点为:x=-1,x=0,x=1 f(-1)=f(1)=1,f(0)=0,f(-2)=28 则最大值为 f(-2)=28,最小值为 f(0)=0 2. y' ? 6 x ? 6x ? 12 ? 6( x ? x ? 2) ? 6( x ? 2)(x ? 1)
2 2

令 y’=0,得驻点为:x=-2,x=1,f(-3)=23,f(-2)=34,f(1)=7,f(4)=142 则最大值 f(4)=142,最小值 f(1)=7。 3. y ' ?

? 2x 2 100 ? x 2

,令 y’=0,得驻点为:x=0,导数不存在的点为:x=± 10(舍去)

f(-6)=8,f(0)=10,f(8)=6 则最大值为 f(0)=10,最小值为 f(8)=6。

4. y' ? 3x ln 3 ? 0 ,函数单调增 则最大值为 f(4)=81,最小值为 f(-1)= 3-7 肌肉或皮下注射后,血药浓度为 y ? 血药浓度的最大值。 解

1 。 3

A (e ? a1t ? e ? a2t ) ,其中 A>0,0<a1<a2,求 a 2 ? a1

y' ?

A ln a2 ? ln a1 (?a1e? a1t ? a2e? a2 t ) ,令 y’=0,得驻点为: t ? a2 ? a1 a2 ? a1 ln a2 ? ln a1 。 a2 ? a1
3 2

则最大值为

3-8 求曲线 y ? x ? 5x ? 3x ? 5 的凹凸区间和拐点 解 函数的定义域为(-∞,+∞), y' ? 3x2 ? 10x ? 3 ? (3x ? 1)(x ? 3) 令 y’=0,得驻点为: x ?

1 ,x=3, 3 5 3
5 3 5 ,3) 3
― + ∪

y' ' ? 6 x ? 10 ? 2(3x ? 5) ,令 y’’=0,得: x ?
作下表 x f’(x) f’’(x) f(x) (-∞, + ― ∩

1 ) 3

1 3

(

1 5 , ) 3 3
― ― ∩

(

3

(3,+∞) + + ∪

则凹凸区间为(-∞, 3-9 作下列函数的图象

5 5 5 )为凸,( ,+∞)为 凹,当 x ? 为拐点。 3 3 3 4( x ? 1) ?2 x2

1. f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x ? 1 ; 解 1. 定义域为(-∞,+∞),无奇偶性及周期性

2. f ( x ) ?

f ' ( x) ? (3x ? 1)(x ? 1) , f ' ' ( x) ? 2(3x ? 1) ,
令 f ' ( x) ? 0 ,得驻点: x ? ?

1 1 , x ? 1 ,令 f ' ' ( x) ? 0 ,得特殊点: x ? 3 3 3 5 , ) 2 8

补充点:A(-1,0),B(0,1),C(

列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点:

x
f ?( x )

1 ( ?? ,? ) 3

?

1 3

1 1 (? , ) 3 3

1 3

1 ( ,1) 3

1
0

(1,??)

?

0

?

?

?

?

图形如下:

y
B (0,1)
3 5 C( , ) 2 8

A (?1,0)
?1

?

1 3

o

1 3

1

x

2. 定义域为(-∞,0),(0,+∞),无对称性及周期性。

f ' ( x) ? ?

4( x ? 2) 8( x ? 3) , f ' ' ( x) ? , 3 x x4

令 f ' ( x) ? 0 ,得驻点: x ? ?2 , f ' ' ( x) ? 0 ,得特殊点: x ? ?3

lim(
x ??

4( x ? 1) ? 2) ? ?2 ,得水平渐近线: y ? ?2 x2 4( x ? 1) ? 2) ? ?? ,得铅直渐近线: x ? 0 x2
(??,?3)

lim(
x ?0

列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:

x
f ?( x )
f ??( x) f ( x)

?3

(?3,?2)

?2

(?2,0)

0
不存在

(0,??)

?

?

0
拐点

? ?

0

? ?

? ?

极小值

26 (?3,? ) 9

?3

间断点

图形如下:

y

6

B

1

C

?3

?2

?1

o
?2

1

2

x

A

?3

3-10 求下列函数的幂级数展开式 1.

e x ? e?x 2
x

2. ln(a ? x) 4. sin x
2

(a ? 0)

3. a

x2 x3 xn ? ?? ?? 解 1. ∵e ? 1 ? x ? 2! 3! n!
x

(?? ? x ? ??) (?? ? x ? ??)

e


?x

x 2 x3 xn ?1? x ? ? ?? ?? 2! 3! n!

? e x ? e? x x3 x5 x 2 n ?1 x 2 n ?1 ? x ? ? ??? ??? ? 2 3! 5! (2n ? 1)! n ?1 (2n ? 1)!

(??,??)
(?1,1)
n

n x2 x3 x4 n ?1 x 1 ? x) ? x ? ? ? ? ? ? (?1) ?? 2. ∵ln( 2 3 4 n

? x x 1? x? ∴ln(a ? x) ? ln a(1 ? ) ? ln a ? ln( 1 ? ) ? ln a ? ? (?1)n ?1 ? ? ,(-a,a) a a n?a? n ?1

3. (a x )'? a x ln a , (a x )'' ? a x (ln a)2 ,…, (a x )( n) ? a x (ln a)n

f (0) ? 1 , f ' (0) ? ln a , f ' ' (0) ? (ln a)2 ,…, f ( n) (0) ? (ln a)n

ax ? ?
4. ∵cos x ?

( x ln a)n , (??,??) n! n ?0

?

? (?1)n
n ?0

?

x2n ,(-∞,+∞) (2n)!

sin 2 x ?

1 ? cos 2 x 1 1 ? ? cos 2 x 2 2 2
? 1 1 ? ( 2 x) 2 n ( 2 x) 2 n ,(-∞,+∞)。 ? ? (?1)n ? ? (?1)n ?1 2 2 n ?0 (2n)! n ?1 2(2n)!

?

【课外练习】
一、单选题
1. 如果 f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,c 为介于 a,b 之间的任一点,那么在(a,b)( 找到两点 x2,x1,使 f(x2)-f(x1)=(x2-x1)f’(c)成立。 A 必能
x?a x?a

)

B 可能

C 不能

D 无法确定能

2. 设 lim f ( x) ? lim F ( x) ? 0 ,且在点 a 的某邻域中(点 a 可除外),f(x)及 F(x)都存在,且 F(x)≠0,则 lim A 充分条件

f ( x) f ' ( x) 存在是 lim 存在的( x ? a F ( x) x ? a F ' ( x)
B 必要条件

) D 既非充分也非必要条件 )

C 充分必要条件

3. 设 f ( x), g ( x) 在区间[a,b]上可导,且 f ' ( x) ? g ' ( x) 则在[a,b]上有( A f ( x) ? g ( x) ? 0 C f ( x) ? g ( x) ? f (b) ? g (b) 4. 若 f’(x0)=0,则 x0 是 f(x)的( A 极大值点 ) C 极小值点 ) B f ( x) ? g ( x) ? 0 D f ( x) ? g ( x) ? f ( a ) ? g ( a )

B 最大值点

D 驻点

5. 下列函数中,在(0,+∞)内单调递增的是( A y? x
3

B y ? sin x )

?1? C y?? ? ?2?

x

D y ? ? x2

6. 对于函数 y ? x ,下列结论正确的是( A x ? 0 是极大值 B x ? 0 是极小值
x ?a

C 点(0,0)是拐点

D 点(0,0)不是拐点 )

7. 设 f ( x ) 在 x ? a 处具有二阶导数,且 lim A x ? a 是 f ( x ) 的极大值点 C (a, f (a)) 是 y ? f ( x) 的拐点

f ' ( x) ? ?1 ,则( x?a

B x ? a 是 f ( x ) 的极小值点

D x ? a 不是 f ( x ) 的极值点, (a, f (a)) 也不是 y ? f ( x) 的拐点 8. 设 y ? f ( x) 在 x0 处二阶可导,且 f ' ( x0 ) ? f ' ' ( x0 ) ? 0 ,则下列结论正确的是( A x0 是极大值点 C ( x0 , f ( x0 )) 是拐点 9. 曲线 y ? 3 ln A y ? ?2 B x0 是极小值点 D x0 可能是极值点, ( x0 , f ( x0 )) 可能是拐点 ) C y ?1 ) D 最小值 D y?2 )

x?2 ? 2 的水平渐近线是( x
B y?0

10. 2 是函数 y ? x3 ? 3x 2 ? 6 x ? 2 在[-1,1]上的( A 极大值 B 极小值

C 最大值

二、填空题
1. 若 y ? f ( x) 在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则必存在一点 ? ? (a, b) 使得 f ' (? ) ? 2. 函数 y ? 3( x ? 1)2 的驻点是 ,单调递增区间是 ; ; ; ,单调递减区间是 ; ;

3. 函数 y ? x 在 x ? 0 达到最小值,则 y 的驻点 4. 函数 y ? ax2 ? 1在(0,+∞)内单调递增,则 a

5. 若连续函数 f ( x ) 在区间(a,b)内恒有 f ' ( x) ? 0 ,则此函数在[a,b]上的最大值是 6. 曲线 y ? 3x 2 ? x3 的拐点是
4

; ,水平渐近线为 ;

7. 函数 f ( x) ? ?

?1? x ? ? 的垂直渐近线为 ?1? x ?
?
; ;

8. lim
x ?0

ax ? bx x ? 1 ? x2

9. lim

x ? sin x ? x ?? x

10. 函数 y ? x ? 2 x 在区间[0,4]上的最大值为

,最小值为



三、计算及证明题
1. 验证罗尔定理对函数 y ? ln sin x 在区间 [

? 5?
6 , 6

] 上的正确性。

2. 对函数 f ( x) ? sin x 及 F ( x) ? x ? cos x 在区间 [0, 3. 证明方程 x ? x ? 1 ? 0 只有一个正根。
5

?
2

] 上验证柯西中值定理的正确性。

4. 设 a>b>0,证明:

a?b a a?b ? ln ? 。 a b b

5. 设 函 数 f ( x ) 在 [0,1] 上 连 续 , 在 (0,1) 内 在 导 , 证 明 : 至 少 存 在 一 点 ? ? (0,1) , 使

f ' (? ) ? 2? [ f (1) ? f (0)] 。
6. 用洛必达法则求下列极限: (1) lim
x?0

ln(1 ? x ) x

(2) lim
x?a

sin x ? sin a x?a

(3)

sin 3x lim x ?? t a n 5x

xm ? am (4) lim n x?a x ? a n

ln tan 7 x (5) lim ? x ? 0 ln tan 2 x
(7) lim x cot 2 x
x ?0

1 ln(1 ? ) x ? (6) lim x ? ?? arc cot x
1

(8) lim x e
x?0

2

x2

(9) lim(
x ?1

2 1 ? ) 2 x ?1 x ?1

(10) lim?1 ?

? x ?? ?

a? ? x?
8 x

x

7. 求下列函数的单调区间: (1) y ? 2 x3 ? 9 x2 ? 12x ? 3 (3) y ? (2) y ? 2 x ?

( x ? 0)

2x ? 1 ( x ? 1) 2
n ?x

(4) y ? ln(x ? 1 ? x 2 (6) y ? x ? sin 2x

(5) y ? x e

(n ? 0, x ? 0)

8. 求下列函数的极值: (1) f ( x) ? x ? 3x ? 9 x ? 5
3 2

(2) f ( x) ? 1 ? ( x ? 2)
t ? ? x ? te (4) f ( x) ? ? ?t ? ? y ? te

3 2

(3) f ( x) ? ( x ? 2)

23

( x ? 1) , x ? 2
2

1

(5) f ( x) ? e x cos x 9. 求下列函数的凹凸区间及拐点: (1) f ( x) ? 3x ? 4x ? 1
4 3

(6) f ( x) ? x x

(2) f ( x) ? ln( 1? x )
2

(3) f ( x) ?

2x ? 1 ( x ? 1) 2
4 x

(4) f ( x) ? xe (6) f ( x) ? e

?x

(5) f ( x) ? ( x ? 1) ? e

arctan x

10. 求下列函数的最大值及最小值: (1) f ( x) ? 2 x ? 3x , [?1,4]
3 2

(2) f ( x) ? x ? 1 ? x , [?5,1]

(3) f ( x) ? ( x ? 5)3 x 2 , [?1,4] 11. 证明下列不等式: (1) 当 x>0 时, ln(1 ? x) ? x ? (3) 当 x>4 时, 2 ? x
x 2

(4) f ( x) ? x e? x , [?1,1]

1 2 x 2

(2) 当 x>0 时, 1 ?

1 x ? 1? x 2

x3 (4) 当 x>0 时, sin x ? x ? 6
2

(5) 2 x arctanx ? ln( 1? x )
1

ex ? e y (6) 当 x≠y 时, ?e 2

x? y 2

(7) ln x ? n( x n ? 1), x ? 0 (等号仅在 x=1 成立) (8) x ln x ? y ln y ? ( x ? y ) ln

x? y , ( x ? 0, y ? 0, x ? y ) 2

12. 设 f ( x) ? a ln x ? bx2 ? x 在 x1 ? 1, x2 ? 2 时都取得极值,试确定 a,b 的值,并判断 f(x) 在 x1 , x2 是取得极大值还是极小值? 13. 由直线 y ? 0, x ? 8 及抛物线 y ? x 2 围成一个曲边三角形,在曲边 y ? x 2 上求一点,使 曲线在该点处的切线与直线 y ? 0, x ? 8 所围成的三角形面积最大。 14. 某人正处在森林地带中距公路 2 公里的 A 处,在公路右方 8 公里处有一个车站 B,假定 此人在森林地带中每步行的速度为 6 公里/小时,沿公路行走的速度为 8 公里/小时,为了近 快赶到车站,他选择 A→C→B,问 C 应在公路右方多少?他最快能在多少时间内到达 B? 15. 一商店按批发价每件 6 元买进一批商品零售,若零售价每件定为 7 元,估计可卖出 100 件,若每件售价每降低 0.1 元,则可多卖出 50 件.问该商店应批发进多少件商品,每件商 品售价为多少元时,才能获得最大利润? 最大利润是多少? 16. 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图一),截面的面积为 5m2。 问底宽 x 为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省? 17. 描绘下列函数的图形: (1) y ? x ?

x x ?1
2

(2) y ?

x 1 ? x2 3x x ? x?2
2

y x
图一

18. 将下列函数展开成幂级数: (1) y ?

1 1 ? x2
2

(2) y ?

(3) y ? ln(2 ? x ? 3x )

(4) y ? arctan

1? x 1? x

【课外练习 参考答案】
第三章
一、B,B,D,D,A,C,A,D,A,C。 二、1. 0;2. 驻点为 x=1,单调增区间为(1,+∞),单调减区间为(-∞,1);3. 不存在;4. a>0; 5. f(a);6. (1,2);7. 垂直渐近线为 x=1,水平渐近线为 y=1;8. lna-lnb;9. 1;10. 最大值为 8, 最小值为 0。 三、 1. 证 函数 f ( x) ? ln sin x 在 [

导数的应用

? 5?
6 ,

? 5? ] 上连续,在 ( , ) 内可导,又 6 6 6

? ? 1 5? 5? 1 f ( ) ? ln sin ? ln , f ( ) ? ln sin ? ln 6 6 2 6 6 2
即 f( )? f(

?

6

5? ? 5? ) ,故 f ( x) 在 [ , ] 上满足罗尔定理条件, 6 6 6

由罗尔定理知至少存在一点 ? ? ( 令 f ' ( x) ? 0 得: x ? n? ? 取 n=0, 得? ? 2. 证

? 5?
6 , 6

) ,使 f ' (? ) ? 0 ,又, f ' ( x) ?

cos x ? cot x , sin x

?
2

(n ? 0,?1,?2, ?)

?

? 5? ? 5? ?( , ), ] 上的正确性。 因此罗尔定理对函数 y ? ln sin x 在区间 [ , 2 6 6 6 6
?
] 上连续,在 (0, ) 内可导,且在 2 2

函数 f ( x) ? sin x, F ( x) ? x ? cosx 在区间 [0,

?

(0, ) 内 F ' ( x) ? 1 ? sin x ? 0 ,故 f(x)、F(x)满足柯西中值定理条件,从而至少存在一点 2

?

? ? ? (0, ) ,使
2

f ( ) ? f (0) f ' (? ) 2 ? ? F ' (? ) F ( ) ? F (0) 2

?

1? 0

?
2
可得 tan

?

?1

cos? 1 ? sin ?
? 1 ,故 ? ? 2 arctan(

?
2

?

? ?2
2

,因 0 ?

? ?2
2

? ?2

) ? (0, ) ,因此,柯西中值 2 2

?

定理对 f ( x) ? sin x, F ( x) ? x ? cos x 在区间 [0,

?
2

] 上的正确性。

3. 证 取函数 f ( x) ? x 5 ? x ? 1, f ( x) 在[0,1]上连续,

f (0) ? ?1 ? 0, f (1) ? 1 ? 0
由零点定理知至少存在一点 x1 ? (0,1) 使 f ( x1 ) ? 0 ,即方程 x ? x ? 1 ? 0 在(0,1)内至少有
5

一个正根。 若方程 x ? x ? 1 ? 0 还有一个正根 x2 ,即 f(x2)=0 ,则由 f ( x) ? x 5 ? x ? 1, f ( x) 在
5

[x1,x2](或[x2,x1]上连续),在(x1,x2)(或(x2,x1))内可导,则 f(x)满足罗尔定理条件,故至少存在一 点 ? ? ( x1 , x2 ) (或(x2,x1)),使 f ' (? ) ? 0 但 f ' (? ) ? 5? 4 ? 1 ? 0 ,矛盾,因此方程 x ? x ? 1 ? 0 只有一个正根。
5

4. 证 取函数 f ( x) ? ln x, f ( x) 在[b,a]上连续,在(b,a)上可导,由拉格朗日中值定理知,至 少存在一点 ? ? (b, a) ,使, f (a) ? f (b) ? f ' (? )(a ? b) 即

ln a ? ln b ?

1

?

( a ? b)

又, 0 ? b ? ? ? a ,故 0 ?

1 1 1 ? ? a ? b

因此

a ?b a ?b a ?b ? ? a ? b
a?b a a?b ? ln ? a b b
f (1) ? f (0) f ' (? ) 2 ? 2 ,设 g ( x) ? x , 1? 0 ( x )' x ??



5. 证 结论可变形为:

则 f ( x), g ( x) 在[0,1]上满足柯西中值定理的条件, ∴ 在(0,1)内至少存在一点 ξ,有: 6. 解:

f (1) ? f (0) f ' (? ) ? ,即: f ' (? ) ? 2? [ f (1) ? f (0)] g (1) ? g (0) 2?

1 ln(1 ? x) (1) lim ? lim 1 ? x ? 1 x ?0 x ?0 x 1
(2) lim
x?a

sin x ? sin a cos x ? lim ? cos a x ? a x?a 1 sin 3 x 3 cos 3 x 3 ? lim ?? x ? ? tan 5 x 5 sec 5 x 5

(3)

lim
x ??

(4) lim
x ?a

xm ? am m xm?1 m am?1 m m?n ? lim ? ? a n x n ? a n x?a nxn ?1 nan ?1

1 7 sec 2 7 x ln tan7 x 7 tan2 x 14sec 2 2 x tan7 x (5) lim ? lim ? lim ? lim ?1 x ?0 ? ln tan 2 x x ?0 ? x ?0 ? 2 tan7 x x ?0 ? 14sec 2 7 x 1 2 2 sec 2 x tan2 x
1
(6)

1 1 ln(1 ? ) 1? x ? lim x lim x ? ?? arc cot x x ? ?? 1 ? 1? x2
x ?0

(?

1 ) x2

? lim

1? x2 ?1 x ? ?? x ? x 2

(7) lim x cot 2 x ? lim

x 1 1 ? lim ? 2 x ?0 tan 2 x x ?0 2 sec 2 x 2
1 1

1

(8) lim x e
x ?0

2

x2

2 2 1 ? 3 ex x2 e x x2 ? lim ? lim ? lim e ? ?? x ?0 1 x ?0 x ?0 2 ? x2 x3

(9) lim(
x ?1

2 1 2 ? x ?1 1? x 1 1 ? ) ? lim 2 ? lim 2 ? ? lim ?? x ?1 x ? 1 x ?1 x ? 1 x ?1 x ? 1 2 x ?1 x ?1
2

lim x ln ? 1? ? ? a? x?? ? x? ?e (10) lim?1 ? ? ? e x ?? x ? ?

x

?

a?

? a? ln ? 1? ? x? lim ? 1 x?? x

?e

1 ? a ? ?? ? ? a ? x2 ? x lim 1 x?? ? 2 x 1?

? ea

7. 解: (1) 函数的定义域为(-∞,+∞),在(-∞,+∞)可导且, y' ? 6 x ? 18x ? 12 ? 6( x ? 1)(x ? 2)
2

令: y ' ? 0 ,得驻点为: x1 ? 1, x2 ? 2 ,列下表得: x y’ y (-∞,1) + ↗ 1 (1,2) ― ↘ 2 (2,+∞) + ↗

则单调递增区间为(-∞,1),(2,+∞),单调递减区间为(1,2)。 (2) 函数的定义域为:(0,+∞),在(0,+∞)内可导,且 y ' ? 2 ?

8 2( x ? 2)( x ? 2) ? x2 x2

令 y ' ? 0 ,得驻点为 x1 ? ?2 (舍去), x2 ? 2 ,列下表得: x y’ y (0,2) ― ↘ 2 (2,+∞) + ↗

则单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞)。 (3) 函数的定义域为(-∞,1)∪ (1,+∞),在(-∞,1)∪ (1,+∞)可导,且 y? ?

? 2x ( x ? 1) 3

令 y? ? 0 ,得驻点为 x=0,列下表得: x f’(x) f(x) (-∞,0) ― ↘ 0 (0,1) + ↗ 1 (1,+∞) ― ↘

则单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(-∞,0),(1,+∞)。 (4)函数的定义域为(-∞,+∞),在(-∞,+∞)内可导,且

y' ?

1 x ? 1 ? x2

(1 ?

2x 2 1 ? x2

)?

1 1 ? x2

? 0 ,则函数在(-∞,+∞)内单调递增。

(5) 函数在[0,+∞)内可导,且 y' ? nxn ?1e? x ? xne?1 ? xn ?1e? x (n ? x) 令 y ' ? 0 ,得驻点为 x1 ? n ,列下表得 x y’ y (0,n) + ↗ n (n,+∞) ― ↘

则单调递增区间为(0,n),单调递减区间为(n,+∞)。 (6) 函数的定义域为(-∞,+∞),且

? ? x ? sin 2 x, n? ? x ? n? ? ? ? 2 y?? (n ? 0,?1,?2,?), ? x ? sin 2 x, n? ? ? ? x ? (n ? 1)? ? 2 ?

? ? 1 ? 2 cos2 x, n? ? x ? n? ? ? ? 2 y' ? ? (n ? 0,?1,?2,?), ? ?1 ? 2 cos2 x, n? ? ? x ? (n ? 1)? ? 2 ?
令 y ' ? 0 得驻点为 x ? n? ?

?
3

及 x ? n? ?

5? ,这些驻点将区间分成下列部分区间 6

(n? , n? ?

?
3

) , ( n? ?

?
3

, n? ?

?
2

) , ( n? ?

?
2

, n? ?

5? 5? ) , ( n? ? , (n ? 1)? ) 6 6

(n ? 0,?1,?2,?)
当 n? ? x ? n? ? 当 n? ? 当 n? ? 当 n? ?

?
3

时, y ' ? 0 ,因此函数在该区间内单调递增;

?
3

? x ? n? ? ? x ? n? ?

?
2

时, y ' ? 0 ,因此函数在该区间内单调递减;

?
2

5? 时, y ' ? 0 ,因此函数在该区间内单调递增; 6

5? ? x ? (n ? 1)? 时, y ' ? 0 ,因此函数在该区间内单调递减。 6

综上可知,函数在区间 ( 减( k ? 0,?1,?2,? )。 8. 解:

k? k? ? k? ? k? ? , ? ) 上单调递增,在区间 ( ? , ? ) 上单调递 2 2 3 2 3 2 2

(1) 函数的定义域为(-∞,+∞),并在(-∞,+∞)可导, 且 f ' ( x) ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 3( x ? 1)(x ? 3) ,令 f ' ( x) ? 0) 得驻点为 x1 ? ?1, x2 ? 3 ,列下表 x f’(x) f(x) (-∞,-1) + ↗ -1 (-1,3) ― ↘ 3 (3,+∞) + ↗

由表可知,极大值为 f(-1)=10,极小值为 f(3)=-22。

2 (2) 函数的定义域为(-∞,+∞),在区间(-∞,+∞)可导,且 f ' ( x) ? ? ( x ? 2) 3 3
此函数无驻点,当 x=2 时,f’(x)不存在。但函数 f(x)在该点连续。 当 x<2 时,f’(x)>0;当 x>2 时,f’(x)<0。 则 f(2)=1 为函数的极大值。 (3) 函数的取值为(-2,2),且 f ' ( x) ?
? 2 ( x ? 2)(4 x ? 1)(x ? 1) 3 3 1

1

令 f’(x)=0,得驻点为 x1 ? 2 (舍去), x2 ? ? x f’(x) f(x) (-2,-1) ― ↘ -1 ∞ 极小值
2 3

1 ,当 x=-1 时导数不存在,列下表 4
? 1 4
(?

(-1, ? + ↗

1 ) 4

1 ,2) 4
― ↘

0 极大值

1 ?9? 则极大值为 f (? ) ? ? ? 4 ? 4?
(4) y ' ?

9 ,极小值为 f(-1)=0。 16

e?t ? te?t 1 ? t ? 2t ? e ,令 y’=0,得驻点为 t=1,当 t=-1 时,y’不存在, et ? tet 1? t

即 x=e,y’=0;x=-e-1,y’不存在。 又 f’(e-δ)>0,f’(e+δ)<0,则 x=e 为极大值点,极大值为 e-1; 又 f’(-e-1-δ)<0,f’(-e-1+δ)>0,则 x=-e-1 为极小值点,极小值为-e。 (5) f ' ( x) ? e cos x ? e sin x ? e (cosx ? sin x), f ' ' ( x) ? ?2e sin x
x x x x

令 f’(x)=0,得驻点为 xk ? 2k? ?

?

5 ' , xk ? 2k? ? ? 4 4

(k ? 0,?1,?2,?)

由 f ' ' (2k? ? 得 f (2k? ?

?
4

) ? ? 2e

2 k? ?

?
4

?0,

?
4

)?

2 2 k? ? 4 e (k ? 0,?1,?2,?) 为极大值; 2
5?

?

由 f ' ' (2k? ?

2 k? ? 5? 4 ) ? 2e ?0, 4 5?

5? 2 2 k? ? 4 得 f (2k? ? )?? e 4 2
1 ln x x 1

(k ? 0,?1,?2,?) 为极小值。

(6) 函数的定义域为(0,+∞),在(0,+∞)内可导,且

f ' ( x) ? e

?2 1 ? ln x ? ? x x (1 ? ln x) , 2 x

令 f’(x)=0,得驻点为 x=e,列下表 x f’(x) f(x)
1 e

(0,e) + ↗

e 0 极大值

(e,+∞) ― ↘

则 f (e) ? e 为极大值。 9. 解: (1) 函数的定义域为(-∞,+∞),且 f ' ( x) ? 12 x ? 12 x , f ' ' ( x) ? 36 x( x ? )
3 2

2 3

令 f’’(x)=0,得 x1 ? 0, x2 ? x f’’(x) f(x) (-∞,0) + 凹的

2 ,列下表 3
0 0 (0,

2 ) 3

2 3
0

(

2 ,+∞) 3
+ 凹的

― 凸的

则函数在区间(-∞,0),(

2 2 ,+∞)上是凹函数,在区间(0, )上是凸函数; 3 3

拐点为(0,1)及(

2 11 , )。 3 27

(2) 函数的定义域为(-∞,+∞),且 f ' ( x) ?

2x 2(1 ? x 2 ) , , f ' ' ( x ) ? 1 ? x2 (1 ? x 2 )2

令 f’’(x)=0,得 x1 ? ?1, x2 ? 1,列下表

x f’’(x) f(x)

(-∞,-1) ― 凸的

-1 0 ln2

(-1,1) + 凹的

1 0 ln2

(1,+∞) ― 凸的

则函数 f(x)在区间(-∞,-1)及(1,+∞)上是凸函数,在区间(-1,1)上是凹函数; 拐点分别为:(-1,ln2),(1,ln2)。 (3) 函数的定义域为(-∞,1)∪ (1,+∞),且

f ' ( x) ?

1 ? 2x 4x ? 2 ,令 f’’(x)=0,得 x ? ? ,列下表 , f ' ' ( x) ? 3 4 2 ( x ? 1) ( x ? 1)
x f’’(x) f(x) (-∞, ? ― 凸的

1 ) 2

?

1 2
8 9

(?

1 ,1) 2
+

1

(1,+∞) + 凹的

0

?

凹的

则函数 f(x)在区间(-∞, ? 拐点为( ?

1 1 )上是凸函数,在区间( ? ,+∞)上是凹函数; 2 2

1 8 , ? )。 2 9
?x

(4) 函数的定义域为(-∞,+∞),且 f ' ( x) ? e 令 f’’(x)=0,得 x=2,

? xe? x ? e? x (1 ? x), f ' ' ( x) ? e? x ( x ? 2)

当-∞<x<2 时,f’’(x)<0,因此在区间(-∞,2]上是凸函数; 当 2<x<+∞时,f’’(x)>0,因此在区间(2,+∞)上是凹函数; 拐点为 ( 2,

2 )。 e2

(5) 函数的定义域为(-∞,+∞),且 f ' ( x) ? 4( x ? 1)3 ? e x , f ' ' ( x) ? 12( x ? 1)2 ? e x ? 0 因此函数在区间(-∞,+∞)内是凹函数,没有拐点。

1? ? ? 2earctan x ? x ? ? 1 2? arctan x ? , f ' ' ( x) ? (6) 函数的定义域为(-∞,+∞),且 f ' ( x) ? e 2 2 2 1? x (1 ? x )
令 f’’(x)=0,得 x ? 当-∞<x<

1 2

1 1 时,f’’(x)>0,因此函数在区间(-∞, )上是凹函数; 2 2



1 1 <x<+∞时,f’’(x)<0,因此函数在区间[ ,+∞)上是凸函数; 2 2

拐点为( 10. 解:

arctan 1 2 ,e )。 2

1

(1) 函数在[-1,4]上连续可导,且 f ' ( x) ? 6 x2 ? 6 x ? 6 x( x ? 1) 令 f’(x)=0,得驻点为 x1=0,x2=1,而 f(-1)=-5,f(0)=0,f(1)=-1,f(4)=80, 因此比较可得最大值为 f(4)=80,最小值为 f(-1)=-5。 (2) 函数在[-5,1]上连续,且 f ' ( x) ? 1 ? 令 f’(x)=0,得驻点为 x ?

1 2 1 ? x ?1 ? 2 1? x 2 1 ? x2

3 3 5 ,而 f (?5) ? ?5 ? 6 , f ( ) ? , f (1) ? 1 , 4 4 4 3 4 5 ,最小值为 f (?5) ? 6 ? 5 。 4

因此比较可得函数的最大值为 f ( ) ? (3) f(x)在[-1,4]上连续,且 f ' ( x) ?

5( x ? 2) ,令 f’(x)=0,得驻点为 x=2, 33 x

在 x=0 处 f’(x)不存在,而 f (0) ? 0, f (2) ? ?33 4, f (?1) ? ?6, f (4) ? ?3 16 , 因此,函数的最大值为 f(0)=0,最小值为 f(-1)=-6。

?? xe? x ? (4) f ( x) ? ? 0 ? xe? x ?

x?0

?? e? x ? xe? x ? x ? 0 , f ' ( x) ? ?不可导 ?e? x ? xe? x x?0 ?

x?0 x?0 x?0

令 f’(x)=0,得 x=1,而 f(-1)=e, f (1) ? e?1 ,f(0)=0, 因此可得最大值为 f(-1)=e,最小值为 f(0)=0。 11. 证: (1) 设 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ?

1 2 1 x2 x , f ' ( x) ? ?1? x ? 2 1? x 1 ? x2
1 2 x 在区间(0,+∞)上单调递增 2 1 2 x ?0 2

∵ f’(x)恒大于零,∴ 函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ?

又∵ x>0,∴ f(x)>f(0)=0,∴ f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ? 即 ln(1 ? x) ? x ? (2) 设 f ( x) ? 1 ?

1 2 x ,证毕。 2

1 1 1 1? x ?1 x ? 1 ? x , f ' ( x) ? ? ? 2 2 2 1? x 2 1? t

∵ x>0,∴ f’(x)>0,函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,

又∵ f(0)=0,∴ 当 x>0 时,f(x)>f(0)=0,∴ f ( x) ? 1 ? 即1 ?

1 x ? 1? x ? 0 2

1 x ? 1 ? x 证毕。 2 2 ln 4 2 ln e 2 ? ? ? ? ?0 x 2 x 2 4

(3) 设 f ( x) ? x ln 2 ? 2 ln x, f ' ( x) ? ln 2 ?

∴ 当 x>4 时,函数 f(x)单调递增,从而 f(x)>f(4)=0,∴x ln 2 ? 2 ln x ? 0 即 2 x ? x 2 ( x ? 4) 证毕。 (4) 设 f ( x) ? sin x ? x ?

x3 6

f ' ( x) ? cos x ? 1 ?

2 ? ? x ?2 ? x2 x x2 x? ? ? ?2 sin 2 ? ? 2? ? ? ? ? sin ? ? ?? 2 ? ? 2 ? ? 2 2 2 ? ?

∵ x>0,∴ f’(x)恒大于零,∴ 函数 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,

x3 ?0 又∵ f(0)=0,∴ 当 x>0 时,有 f(x)>0, sin x ? x ? 6
即 sin x ? x ?

x3 证毕。 6

(5) 设 f ( x) ? 2x arctanx ? ln( 1 ? x2 ), f ' ( x) ? 2 arctanx 令 f’(x)=0,得唯一驻点 x=0,∵ f ' ' (0) ?

2 ? 2 ? 0 ,∴ x=0 是极小点 1 ? x2

∴ f(0)=0 是最小值,∴ f ( x) ? 0 , 2 x arctanx ? ln( 1 ? x2 ) ? 0 即 2 x arctanx ? ln( 1 ? x2 ) 证毕。 (6) 设 f ( x) ? e ,∵ f ' ( x) ? f "( x) ? e ? 0 ,∴ 函数 f(x)是凹的,
x x

∴f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? ,e 2 2
x? y 2

x1 ? x 2 2

?

e x1 ? e x2 2

即当 x≠y 时, e

?
1

ex ? e y 证毕。 2 1 (1 ? x n ) x
1

(7) 设 f ( x) ? ln x ? n( x n ? 1), f ' ( x) ? 令 f’(x)=0,得唯一驻点 x=1

∵ 当 0 ? x ? 1 时,f’(x)>0;x>1 时,f’(x)<0 ∴ f(1)=0 是最大值,∴ f ( x) ? ln x ? n( x ? 1) ? 0 ,
1 n

1

即 ln x ? n( x n ? 1) (等号仅在 x=1 时成立)证毕。 (8) 设 f (t ) ? t ln t (t ? 0) ,则 f ' (t ) ? ln t ? 1, f " (t ) ? ∴ f (t ) ? t ln t 在(x,y)或(y,x),x>0,y>0 是凹的 ∴

1 ?0 t

x ln x ? y ln y x ? y x ? y f ( x) ? f ( y ) ?x? y? ? ln ? f? ? ,则 2 2 2 2 ? 2 ? x? y 证毕。 2

即 x ln x ? y ln y ? ( x ? y ) ln 12. 解 f ' ( x ) ?

a ? 2bx ? 1 ,∵x1 ? 1, x2 ? 2 是函数的驻点, x

?a ? 2b ? 1 ? 0 2 1 ? ∴ f’(1)=0,f’(2)=0,即 ? 1 ,解得: a ? ? , b ? ? 3 6 a ? 4b ? 1 ? 0 ? ?2
又∵ f " ( x) ?

2 1 1 1 ? , f " (1) ? , f " (2) ? ? ? 0 2 3x 3 3 6

∴ f(1)是极小值,f(2)是极大值。 13. 解 设所求切点为 P(x0,y0),∵ y ' x ? x ? 2 x0 ,∴ 在此点切线的斜率为 2x0,(如图所示)
0

y ∴

过此点的切线方程为: y ? y0 ? 2x0 ( x ? x0 )
2 ∵ y0 ? x0 , 2 ∴ A( x0 ,0) , B(8,16x0 ? x0 ) , C (8,0)

T
B

P

1 2

o

A

C

x

∴S ?ABC ? 令 S'?

1 1 2 (8 ? x0 )(16 x0 ? x0 ) 2 2

(0 ? x0 ? 8)

1 2 (3x0 ? 64 x0 ? 16 ? 16) ? 0 4 16 , x0 ? 16 (舍去) 3

解之得: x0 ? ∵S "?

? 16 ? 4096 ? 16 ? 为极大值, ? ? ?8 ? 0 ,∴S ? ? ? ? 3 ? 217 ?3? ? 16 ? 4096 。 ?? ? 3 ? 217

∴ 所有三角形中面积最大者为 S ?

14. 解 设 C 点在公路右方 x 公里处(0≤x≤8)(如图),则

AC ? x 2 ? 4 ,

CB ? 8 ? x
x2 ? 4 8 ? x ? 6 8

O

C

?

B x

行走所有时间为: T ( x) ?

T ' ( x) ?

x 6 x2 ? 4

?

1 4 x ? 3 x3 ? 4 ? 8 24 x 2 ? 4

A

令 T’(x)=0,得唯一驻点为 x0 ? ∵T (0) ?

6 7 , T ( x0 ) ? 1 ? ? 1.22 12 7

4 68 ? 1.33, T (8) ? ? 1.37 3 6
6 7 公里处。 7

∴ T(x0)为最小值,∴ C 点应在公路右方

15. 解 设每件售价降低 x 个 0.1 元时,能获得最大利润 L(x),则

L( x) ? 100? (7 ? 0.1x) ? 50x ? 6 ? 50x ? 100? 50x ? 5x2
令 L' ( x) ? 50 ? 10x ? 0 ,得唯一驻点 x=5,为最大值点, 此时,该商店应批发进 100 ? 50 ? 5 ? 350 件商品, 商品售价为 7 ? 0.1 ? 5 ? 6.5 元时,能获得最大利润, 最大利润为 L(5) ? 100? 50? 5 ? 5 ? 5 ? 225元。
2

16. 解 设截面的周长为 l,已知 l ? x ? 2 y ?

?x
2

及 xy ?

? ?? ?

2

? ? ?5 2?2?

即y?

5 ?x ?x 10 40 ? ,则 l ? x ? ? , x ? (0, ) x 8 4 x ?
l'? 1 ?

?
4

?

10 20 , l" ? 3 2 x x
40 4 ??

令 l’=0,得唯一驻点 x ?

40 ,而 l" x ? 4??

?

20 ? 40 ? ? ? ?4?? ?
3 2

?0

∴ 当截面的底宽为 x ? 17. 解:

40 时,才能使截面的周长最小。 4??

(1) 函数的定义域为(-∞,-1)∪ (-1,1)∪ (1,+∞)

∵ f (? x) ? ? x ?

?x ? ? f ( x) ,∴ 为奇函数; x2 ? 1

y' ? 1 ?

x2 ? 1 x 2 ( x 2 ? 3) ,令 f’(x)=0,得驻点为 x ? ? 3, 0, ? ( x 2 ? 1)2 ( x 2 ? 1)2

3

2 x( x 2 ? 3) 1 1 ,令 y’’=0,得 x=0, y" ? ? ? 2 2 3 ( x ? 1) ( x ? 1) ( x ? 1)3
∵lim y ? ? ,∴ 没有水平渐近线;
x??

∵lim y ? ?, lim y ? ? ,∴ x=1 及 x=-1 为曲线的铅直渐近线;
x ?1 x ? ?1

∵a ? lim

y 1 x x ? lim ( x ? 2 ) ? 1, b ? lim ( y ? ax ) ? lim ( y ? x) ? lim 2 ?0 x ?? x x ?? x x ?? x ?? x ?? x ? 1 x ?1
(-∞, ? 3 ) + ― ↗ 极大值

∴ 直线 y=x 为曲线的斜渐近线。以函数的不连续点,驻点及二阶导等于零的点,列下表 x y’ y’’ y

? 3
0

( ? 3 ,-1) ― ― ↘

-1

(-1,0) ― + ↘

0 0 0 拐点

x y’ y” y

(0,1) ― ― ↘

1

(1, 3 ) ― + ↘

3
0

( 3 ,+∞) + +

极小值



作图如下: y

y?x

x 1
o

1

(2) 函数的定义域为(-∞,+∞),∵ f(-x)=-f(x),∴ 函数为奇函数,则它的图形关于原点对称,因 此可以只讨论[0,+∞)上该函数的图形,

y' ?

1 ? x2 ? x ? 2x 1 ? x2 2 x( x 2 ? 3) , ? y " ? (1 ? x 2 )2 (1 ? x 2 )2 (1 ? x 2 )3

在[0,+∞)内令 y’=0,得驻点 x=1,令 y”=0,得 x ? x y’ y” y ∵lim 0 + ― 拐点 (0,1) + ― ↗ 极大 1 0 (1, 3 ) ― ― ↘

3 ,列下表 3
0 拐点 ( 3 ,+∞) ― + ↘

x ? 0 ,∴ 函数图形有一条水平渐近线 y=0,但无垂直渐近线及斜渐近线; x?? 1 ? x 2

∵ f (0) ? 0, f (1) ?

1 3 ,∴ 在区间[0,+∞)内对应图形上的点为: , f ( 3) ? 2 4

1 3 (0,0), (1, ), ( 3, ) 。 2 4
利用图形的对称性,作出图形如下:
y

1 2 O 1 2 3 x

18. 解: (1) ∵
? 1 ? ? xn , ? 1 ? x ? 1 1 ? x n ?0



? ? 1 1 2 n ? ? ( ? x ) ? (?1)n x n ? ? 1 ? x 2 1 ? (? x 2 ) n ? 0 n ?0

(2) y ?

3x 3x 2 1 ? ? ? x ? x ? 2 ( x ? 2)(x ? 1) x ? 2 x ? 1
2

?

1 1? x 2

?

? (?1) n ? 1 ? ? ? n ? 1? x n , (?1 ? x ? 1) 1? x ? 2 ?
2

(3) y ? ln( 2 ? x ? 3 x ) ? ln(1 ? x) ? ln 2 ? ln(1 ? ∵ln( 1 ? x) ? ?

2 x) 3

? n,
n ?1

?

xn

(?1 ? x ? 1)

l n1 (?

? 3 (?1)n ?1 3 n 2 2 x) ? ? ( x) , ( ? ? x ? ) 2 n 2 3 3 n ?1

x n ? (?1)n ?1 ? 3 ? ∴ y ? ln 2 ? ? ?? ? x? n ?2 ? n ?1 n n ?1
?
?

n

n 1 ? ? 3? ? n 2 2 ? ln 2 ? ? ?1 ? ? ? ? ? x , (? ? x ? ) 3 3 n ?1 n ? ? ? 2? ? ?

(4) y' ?

? 1 ? (?1)n x 2 n , (?1 ? x ? 1) ? 2 1? x n ?0

f ( x) ? f (0) ? ? (?1) ? x 2 n dx ? ?
x n ?0 0

?

(?1)2 2 n ?1 x n ? 0 2n ? 1
?

x ? ?1 时,级数条件收敛, f (0) ?
∴y ?

?
4

?
4

??

(?1)n 2 n ?1 x , (?1 ? x ? 1) n ? 0 2n ? 1
?


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