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高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用课件_图文

第一章 导数及其应用
1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用 1.7.2 定积分在物理中的应用

学习目标:1.会用定积分求平面图形的面积.(重点、易混点)2.会求变速 直线运动的路程和变力做功.(重点、难点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1.定积分与平面图形面积的关系

(1)已知函数f(x)在[a,b]上是连续函数,由直线y=0,x=a,x=b与曲线

y=f(x)围成的曲边梯形的面积为S,填表:

f(x)的符号

平面图形的面积与定积分的关系

f(x)≥0 f(x)<0

??bf(x)dx S=__??_a_______
-??bf(x)dx S=___??_a _____

(2)一般地,如图1-7-1,如果在公共的积分区间[a,b]

上有f(x)>g(x),那么直线x=a,x=b与曲线y=f(x),y=

[?b
?

f(x)-g(x)]

dx

g(x)围成的平面图形的面积为S=__??a____________.即曲边梯

形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差的

定积分.

图1-7-1

2.变速直线运动的路程 做变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)
??bv(t)dt 在时间区间[a,b]上的定积分,即s=__??_a _____.
思考:变速直线运动的路程和位移相同吗? [提示]不同.路程是标量,位移是矢量,两者是不同的概念.

3.变力做功
如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与F(x)相同的方 W=??bF(x)dx
向从x=a移动到x=b(a<b),那么变力F(x)所做的功为 _____??_a________.

[基础自测]

1.思考辨析

(1)函数y=f(x),x∈[a,b ]与x轴围成的图形的面积S=??bf(x)dx.( ) ? ?a
(2)若物体的运动速度v=5-2t,则其在1≤t≤3内的路程S=??3(5-2t)dt. ? ?1

()

(3)曲线y=x3与直线x+y=2,y=0围成的图形面积为

?1
?

x3dx+

?2
?

(2-

?

?

?0

?1

x)dx.( )

(4)曲线y=3-x2与直线y=-1围成的图形面积为 (4-x2)dx.( )

[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√

2.曲线y=x3与直线y=x所围成的图形的面积等于( ) 【导学号:31062099】
C [由题意知,由y=x3及y=x所围成的图形如图所示. 显然S=2??1(x-x3)dx.]
?
?0

3.一物体沿直线以v=3t+2(t单位:s,v单位:m/s)的速度运动,则该

物体在3~6 s间的运动路程为( )

【导学号:31062100】

A.46 m

B.46.5 m

C.87 m

D.47 m

B [s=????63(3t+2)dt=???32t2+2t??????63 =(54+12)-???227+6???=46.5(m).]

4.一物体在力F(x)=4x-1(单位:N)的作用下,沿着与力F(x)相同的方

向,从x=1处运动到x=3处(单位:m),则力F(x)所作的功为________J.

[解析] 由题意可知,力F(x)所作的功

W=??3F(x)dx=??3(4x-1)dx=(2x2-x)???13

?

?

?1

?1

=14 J.

[答案] 14

[合 作 探 究·攻 重 难]
利用定积分求平面图形的面积问题
[探究问题] 观察图形,完成下列探究问题:
图1-7-2

1.图中阴影部分的面积能否用定积分??8[ 2x-(x-4)]dx表示?为什么? ? ?0
提示:不能.由定积分的几何意义可知,当x∈[0,8]时,被积函数y= 2x
-(x-4)表示的图形如图所示:

2.若以x为积分变量,如何用定积分表示图形中阴影部分的面积?

提示:S=2??2 2xdx+??8[ 2x-(x-4)]dx.

?

?

?0

?2

3.能否以y为积分变量,用定积分表示图形中阴影部分的面积?

提示:能.可表示为S= ???y+4-y22???dy.

(1)已知函数y=x2与y=kx(k>0)的图象所

围成的阴影部分(如图1-7-3所示)的面积为

4 3

,则k=

________.

(2)求由曲线y=

x

,y=2-x,y=-

1 3

x所围成

的图形的面积.

图1-7-3

[解]

(1)由?????yy==kxx2,,

解得

??x=0, ???y=0,

或?????xy= =kk, 2,

故阴影部分的面积为??k(kx-x2)dx ? ?0

=???12kx2-13x3??????k0 =12k3-13k3=16k3=43,解

得k=2.

(2)画出图形,如图所示.

解方程组?????xy+=y=x,2,

??y= x, ???y=-13x

??x+y=2, 及???y=-13x,

得交点坐标分别为(1,1),(0,0),(3,-1),

?
所以S=??1?
??0?

x-???-13x??????dx+????13(2-x)-???-13x???dx=????01???

x+13x???dx+????31???2-x+13x???

dx

=???23x32+16x2??????01 +???2x-12x2+16x2??????

3 1

=23+16+???2x-13x2??????13

=56+6-13×9-2+13=163.

母题探究:1.(变条件)把本例(1)的条件变为“如图 1-7-4,已知点A ???0,14??? ,点P(x0,y0)(x0>0)在曲线y=x2 上,若阴影部分的面积与△OAP的面积相等”,则x0= ________.

图1-7-4

[解] 由题意知

即18x0=13x30,

解得x0= 46或x0=- 46或x0=0.

∵x0>0,∴x0=

6 4.

2.(变条件)把本例(1)的条件变为“曲线y=x2在点P(2,4)处的切线与曲线

及x轴所围成的图形面积为S”,求S.

[解] ∵y′|x=2=4,故曲线在P点处的切线方程为y-4=4(x-2),即y=

4x-4,故所求面积S=???1x2dx+???2(x2-4x+4)dx=13x3??? 10

?0

?1

+???13x3-2x2+4x?????? 21

=23.

3.(变条件)把本例(2)的条件改为“求由曲线y2=x,y=2-x所围成的图 形的面积.”
[解] 由?????yx2+=yx=2, 得?????yx==11 或?????yx==-4 2. ∴阴影部分的面积 S= (2-y-y2)dy =???2y-y22-y33??????1-2 =???2-12-13???-???-4-2+83???=92.

[规律方法] 求曲边梯形面积的一般步骤如下:

求变速直线运动的路程

有一动点P沿x轴运动,在时间t时的速度为v(t)=8t-2t2(速度的正

方向与x轴正方向一致).求:

(1)P从原点出发,当t=6时,求点P移动的路程和离开原点的位移;

(2)P从原点出发,经过时间t后又返回原点时的t值.

[解] (1)由v(t)=8t-2t2≥0得0≤t≤4,

【导学号:31062101】

即当0≤t≤4时,P点向x轴正方向运动,

当t>4时,P点向x轴负方向运动.

故t=6时,点P移动的路程

s1=??4(8t-2t2)dt-??6(8t-2t2)dt

?

?

?0

?4

=???4t2-23t3??????04 -???4t2-23t3??????46

=1238.

当t=6时,点P的位移为

????60(8t-2t2)dt=???4t2-23t3??????06 =0.

(2)依题意??t (8t-2t2)dt=0, ? ?0
即4t2-23t3=0, 解得t=0或t=6, t=0对应于P点刚开始从原点出发的情况,t=6是从原点出发,又返回原 点所用的时间.

[规律方法] 做变速直线运动的物体,从时刻t=a到时刻t=b?a<b?所经

过的路程s和位移s′情况如下:

?1?若v?t?≥0,

则s=??bv?t?dt;s′=??bv?t?dt.即s=s′

?

?

?a

?a

?2?若v?t?≤0,

则s=-??bv?t?dt;s′=??bv?t?dt.即s=-s′.

?

?

?a

?a

?3?若在区间[a,c]上,v?t?≥0,在区间[c,b]上v?t?<0,则s=

?c
?

v?t?dt-

?b
?

?

?

?a

?c

v?t?dt,s′=??bv?t?dt 所以求路程时要事先求得速度的正负区间. ? ?a

[跟踪训练] 1.有一辆汽车以每小时36 km的速度沿平直的公路行驶,在B处需要减 速停车.设汽车以2 m/s2的加速度刹车,问:从开始刹车到停车,汽车行驶了 多远?

[解] 设从开始刹车到停车,汽车经过了t s.

v0=36 km/h=10 m/s,v(t)=v0-at=10-2t.

令v(t)=0,解得t=5.

所以从开始刹车到停车,汽车行驶的路程为s=

?5
?

(10-2t)dt=(10t-t2)

??? 05

?

?0

=25(m).

故从开始刹车到停车,汽车行驶了25 m.

求变力做功
设有一个长为25 cm的弹簧,若加以100 N的力,则弹簧伸长到30 cm,求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功.
[解] 设x表示弹簧伸长的长度,f(x)表示加在弹簧上的力,则f(x)=kx(其 中常数k为比例系数).
因为当f(x)=100时,x=5,所以k=20. 所以f(x)=20x.

弹簧由25 cm伸长到40 cm时,弹簧伸长的长度x从0 cm变化到15 cm,故 所做的功
W=??1520xdx=10x2???105 =2 250(N·cm)=22.5(J). ? ?0

[规律方法] 求变力做功的方法步骤 (1)要明确变力的函数式F(x),确定物体在力的方向上的位移. (2)利用变力做功的公式W=??bF(x)dx计算.
?
?a
(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米,功的单位才为焦耳.

[跟踪训练]

2.一物体在力F(x)=

??2,0≤x≤2, ???2x-2,x>2,

(单位:N)的作用下沿与力F相同

的方向,从x=0处运动到x=4(单位:m)处,则力F(x)做的功为( )

A.10 J

B.12 J

C.14 J

D.16 J

B [W=??22dx+??4(2x-2)dx=2x???02 +(x2-2x) ???42 =4+(16-8-4+4)=

?

?

?0

?2

12(J).]

[当 堂 达 标·固 双 基]
1.在下面所给图形的面积S及相应表达式中,正确的有( )

S=??a[f(x)-g(x)]dx ? ?b ①

S=??8(2 2x-2x+8)dx ? ?0 ②

A.①③ C.①④

S=??4f?x?dx- ? ?1
??7f?x?dx
?
?4


S=??a[g?x?-f?x?]dx+ ? ?0
??b[f?x?-g?x?]dx
?
?a

图1-7-5 B.②③ D.③④

D [①错误,S=??b[f(x)-g(x)]dx; ? ?a

②错误,S=??42 2xdx+??8(2 2x-2x+8)dx;

?

?

?0

?4

③④正确.]

2.曲线y=cos x???0≤x≤32π???与坐标轴所围图形的面积是(

)

【导学号:31062102】

A.2

B.3

C.52

D.4

B [S=

=sin π2-sin 0-sin 32π+sin π2=1-0+1+1=3.]

3.一列车沿直线轨道前进,刹车后列车速度v(t)=27-0.9t,则列车刹车

后前进多少米才能停车( )

A.405

B.540

C.810

D.945

A [停车时v(t)=0,由27-0.9t=0,得t=30,

∴s=??30v(t)dt=??30 (27-0.9t)dt=(27t-0.45t2) ???300 =405.]

?

?

?0

?0

4.设a>0,若曲线y= x 与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为 a2,则a=________.

[解析] 由已知得S=

=a2,

所以a =23,所以a=49.

[答案]

4 9

5.一物体在变力F(x)=

36 x2

(N)的作用下沿坐标平面内x轴的正方向由x=8

m处运动到x=18 m处,求力F(x)在这一过程中所做的功.

[解] 由题意得力F(x)在这一过程中所做的功为F(x)在[8,18]上的定积分,

从而

W=

?18
?

F(x)dx=-36x-1

??? 188

?

?8

=(-36·18-1)-(-36·8-1)=(-2)-

???-92???



5 2

(J).

从而可得力F(x)在这一过程中所做的功为52 J.

谢谢观看


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