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§3.1.2不等式的解法


太康县第一高级中学高二数学必修 5 导学案

§3.1.2

不等式的解法(2)

学习目标:1、掌握一元一次不等式、一元高次不等式、分式不等式、指数、对数不等式、 无理不等式(以后还要学习绝对值不等式) ; 2、理解三个二次之间的关系,掌握一元二次方程根的分布问题; 3、掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题. 重、难点:各类不等式的解法、一元二次方程根的分布、与一元二次不等式有关的恒成立问 题(重点) ;含参数的不等式的解法(难点). 学习过程: 一、课前准备 填写下列知识要点 (1)一元一次不等式的解法 关于 x 的一元一次不等式 ax ? b ( a、b ? R )的解法: ① 当 a ? 0 时,解集为 . ② 当 a ? 0 时,解集为 . a ? 0 ③ 当 时,解集为 . (2)一元高次不等式的解法 解简单的一元高次不等式一般利用数轴标根法或穿根引线法, 以 f ( x) ? 0或f ( x) ? 0 为例: ① 将 f ( x) 的最高次项的系数化为 数; ② 将 f ( x) 分解为若干个 的积或二次

因式的积;

③ 将每个一次因式的根按由小到大顺序标在数轴上,从 依次通过每一个根画 曲线(注意重根情况,奇次根既穿又过,偶次根穿而不过) ; ④ 根据曲线呈现出的 f ( x) 的值的符号变化规律(数轴上方的标“+” ,数轴下方的标“ ? ” ) 写出不等式的解集. (3)分式不等式的解法

f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) ≥0 或 ≤ 0 型,再 ?0或 ? 0或 g ( x) g ( x) g ( x) g ( x) 化为整式不等式或不等式组进行求解,解法如下: f ( x) f ( x) ① ; ? 0 型. ?0? g ( x) g ( x) f ( x) f ( x) ② ≥ 0 型. ≥0 ? ; g ( x) g ( x) f ( x) f ( x) ③ ; ? 0 型. ?0? g ( x) g ( x) f ( x) f ( x) ④ ≤ 0 型. ≤0 ? . g ( x) g ( x) (4)指数不等式的解法
解分式不等式时,先将不等式整理成 当 a ? 1 时, a f ( x ) ? a g ( x ) ? 当 0 ? a ? 1 时, a f ( x ) ? a g ( x ) ? (5)对数不等式的解法
1

; .

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当 a ? 1 时, loga
f ( x)

? loga
f ( x)

g ( x)

?
g ( x)



当 0 ? a ? 1 时, loga

? loga

?

.

(6)无理不等式的解法 无理不等式常化为与之同解的有理不等式(组)求解,中学只涉及以下三种类型,其 同解变形如下: ① ③

f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

;②

f ( x) ? g ( x) ?
.



(7)不等式中的恒成立问题 【1】在实数集 R 上恒成立的问题

?a ? 0 ?a?0 ? ① 不等式 ax ? bx ? c ? 0 对任意 x ? R 恒成立 ? ?b ? 0 ,或 ? 2 ?? ? b ? 4ac ? 0; ?c ? 0 ?
2

?a ? 0 ?a?0 ? ② 不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 对任意 x ? R 恒成立 ? ?b ? 0 ,或 ? 2 ?? ? b ? 4ac ? 0. ?c ? 0 ?
【2】在某个区间上恒成立的问题 ③ 对任意 x ? D , a ≥ f ( x) 恒成立 ? a ≥ f ( x) max ( f ( x) 在 D 上存在最大值) ; ④ 对任意 x ? D , a ≤ f ( x) 恒成立 ? a ≤ f ( x) min ( f ( x) 在 D 上存在最小值). 解决恒成立问题时一定要搞清谁是自变量,谁是参数. 一般地,知道谁的范围,谁就 是自变量,求谁的范围,谁就是参数. 分离参数法是解决不等式恒成立问题的一种行之有效 的方法. 【3】变换主元:把已知范围的元素作为自变量,从而转化为一个简便易解的问题. (8)一元二次方程根的分布 设一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的两个实根为 x1、x2 ,且 x1 ? x2 ,k 为常数,则一
2

元二次方程根的 k 分布(即 x1、x2 相对于 k 的位置)有以下几种情况: 一 元 二 次 方 程 二 次 函 数 充要条件

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的 实
根为 x1、x2

f ?x? ? ax2 ? bx ? c ?a ? 0?
的图象

2

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y

x1 ? x2 ? k

x1 O

x2 k
b x?? 2a

x

y

k ? x1 ? x2

k x1 O
x??

x2
b 2a

x

? ?

??0 ? b ?k 2a f ?k ? ? 0

??0 ? b ?k 2a f ?k ? ? 0

y

x1 ? k ? x2
k
x1 O
x2

f ?k ? ? 0
x

y
f ?m ?
f ?n ?

m ? x1 ? x2 ? n

m

x1

O
b x?? 2a

x2 n x

?
x
q

??0
f ?m? ? 0

f ?n ? ? 0
m?? b ?n 2a

y

x1 , x2 只有 一个在区间

f ?n ?

x1

m
O

x2

n

f ?m?? f ?n ? ? 0

?m, n ?内

f ?m ?

f ?m ?

y
f ?q ?

m ? x1 ? n p ? x2 ? q

m

O x1

n
f ?n ?

p

x2

x

f ? p?

?

f ?m? ? 0

f ?n? ? 0

f ? p? ? 0

f ?q ? ? 0

二、新课导学 学习探究一、 一元一次不等式解法 例 1、解关于 x 的不等式 ax ? b ( a、b ? R )
3

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例 2、已知 a、 b 为常数,若不等式 (a ? b) x ? (2a ? 3b) ? 0 的解集是 ? x | x ? ? ? ,求不等 式 (a ? 3b) x ? (b ? 2a) ? 0 的解集.

? ?

1? 3?

学习探究二、 一元高次不等式的解法 一元高次不等式解法最常用的是数轴标根法或穿根引线法,方便快捷. 例 3、解下列不等式
3 2 ① 6 x ≥ x ? x ; ② x( x ?1) 2 ( x ? 1)3 ( x ? 2) ≥ 0 ;



( x ? a)(x ? 2)(x ? 3) ? 0.

学习探究三、 分式不等式的解法 解分式不等式时,常转化成有理不等式或不等式组进行求解. 例 4、解下列不等式 ①

x?3 ? 0; ② x?7

x ?1 x ≥ 1 ; ③ (2012 年重庆) ≤0 . 2x ?1 x ? 7 x ? 12
2

例 5、解关于 x 的不等式 ①

a?x ? 0; ② x ? 2x ? 3
2

ax ? 1 ?0 x ?1

学习探究四、 指数不等式的解法 解指数不等式时,利用指数函数的单调性,将指数不等式转化为有理不等式求解. 例 6、解下列不等式

4

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① 4 ? 3? 2
x x?2

? 32 ? 0 ;②

0.2

2 x 2 ?5 x ?6

≥5

? x 2 ? x ?6

?1? ;③ ? ? ? 3?

x 2 ?8

? 3? 2 x .

学习探究五、 对数不等式的解法 解对数不等式时,利用对数函数的单调性,将对数不等式转化为有理不等式求解. 例 7、 解下列不等式 ①

log2
loga

( x ?1)

? log0.25

( x ?1)

? log4
2 ( x ?1? ) a

( 2 x ?1)

; ②

log 1
2

( x 2 ? x?2)

?log 1
2

( x ?1)

?1;



( x 2 ? x ?2)

? 1 ? loga

(a ? 0且a ? 1).

学习探究六、

无理不等式的解法

如果函数 f ( x) 是关于 x 的无理式,那么不等式 f ( x) ? 0或f ( x) ? 0 叫做无理不等式. 解无理不等式时,常转化为有理不等式求解,转化方法见课前准备. 例 8、解下列关于 x 不等式 ①

2x ? 5 ? x ? 1 ;



2 x ?1 ≤ x ? 2 ; ③

2ax ? a 2 ? a ? x (a ? 0) ;



log a ?1 ? 3 ? l o g a .

x

x

学习探究七、 【1】在实数集 R 上恒成立的问题

不等式中的恒成立问题
2

例 9、已知一元二次不等式 (m ? 2) x ? 2(m ? 2) x ? 4 ? 0 的解集为 R,求实数 m 的取值范 围.

5

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x 2 ? 8x ? 20 例 10、若不等式 ? 0 对任意实数恒成立,求实数 m 的取值范围. m x2 ? 2(m ? 1) x ? 9m ? 4

【2】在某个区间上恒成立的问题 例 11、若不等式 x ? ax ? 1 ≥ 0 对一切 x ? ? 0,
2

? ?

1? ? 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2?

例 12、已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? x ,如果对于 x ? [0, 1] 时,| f ( x) | ≤ 1 恒成立,求实数 a 的取值范围.

【3】变换主元:把已知范围的元素作为自变量,从而转化为一个简便易解的问题. 例 13、已知不等式 mx ? 2 x ? m ? 1 ? 0 对一切 m ? [?2, 2] 恒成立,求 x 的取值范围.
2

例 14、求使不等式 x 2 ? (a ? 6) x ? 9 ? 3a ? 0 ,当 | a | ≤ 1 时恒成立的 x 的值.

学习探究八、 一元二次方程根的分布问题 二次方程根的分布问题要注意: (1)构建函数,把方程左边设为函数; (2)从判别式、对称轴、端点函数值三方面列出条件对应的不等式组. 例 15、若方程 kx ? (2k ? 1) x ? 3 ? 0 在区间( ? 1, 1 )和( 1, 3 )内各有一个实根,求实数 k
2

的取值范围.

6

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例 16、若关于 x 的方程 x 2 ? (a ?1) x ? 1 ? 0 的两根均在区间 [0, 2] 上,求实数 a 的取值范围.

例 17、已知一元二次方程 (2m ? 1) x 2 ? 2mx? m ?1 ? 0 有且只有一个实根属于(1, 2) ,且

x ? 1,x ? 2 都不是方程的根,求实数 m 的取值范围.

三、当堂检测 1、设集合 M ? {x | 0 ≤ x ? 2} ,集合 N ? {x | x 2 ? 2x ? 3 ? 0} ,集合 M ? N ? ( )

A.{x | 0 ≤ x ? 1}

B.{x | 0 ≤ x ? 2}

C.{x | 0 ≤ x ≤ 1}

D.{x | 0 ≤ x ≤ 2}

2、不等式

1 ( x ? 1)( x ? 2) 2 ( x ? 3) ? 0 的解集是 x ?1





A.(?1,1) ? (2,3)

B.(??,?1) ? (1,2) ? (2,3)

C. B.(??,?1) ? (1,3)

D. R

2 3、不等式 (k ?1) x ? 6 x ? 8 ? 0 的解集是 {x | x ? ?2,或 x ? } ,则 k ?

4 5

.

4、设 0 ? a ? 1 ,则关于 x 的不等式 a ( x ? a )( x ? ) ? 0 的解集是

1 a





1 A.{x | x ? a或x ? } a
2

B.{x | x ? a}

1 C.{x | x ? a或x ? } a
2

1 D.{x | x ? } a

5、不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集是 {x2 ? x ? 3} ,则不等式 bx ? ax ? 1 ? 0 的解集为

2 6、设 U ? R , A ? {x | mx ? 8mx? 21 ? 0} ,CU A ? ? ,则 m 的取值范围是
2 2

.

7、 已知关于 x 的不等式 (a ? 4) x ? (a ? 2) x ? 1≥0 的解集是空集, 则实数 a 的取值范围是 . 8、在 R 上定义运算: x ? y ? x(1 ? y) . 若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意实数 x 恒成立, 则实数 a 取值范围是 .

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9、若不等式

1 2 x ? bx ? a ? 0 的解集是 {x | 2 ? x ? 4} ,求实数 a、 b 的值. a

10、若 a ? R ,解关于 x 不等式 ax ? 2 x ? 1 ? 0 .
2

11、若存在 a ? [1, 3] ,使得不等式 ax2 ? (a ? 2) x ? 2 ? 0 成立,求实数 x 的取值范围.

12、已知不等式 2 ≤

3 x 2 ? px ? 6 ≤ 6 对任意 x ? R 都成立,求实数 p 的值. x2 ? x ?1

13、 m 为何实数,方程 mx2 ? (1 ? m) x ? m ? 0 有两个正实根?

2 14、已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ,且 f (?1) ? 0 ,是否存在常数 a、b、c ,使得不

等式 x ≤ f ( x) ≤ 存在,说明理由.

1 2 ( x ? 1) 对一切实数 x 恒成立?若存在,求出 a、b、c 的值,若不 2

【隐含: f (1) ? 1 】.

8

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