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广东省揭阳市2016届高三第二次高考模拟数学理试题


绝密★启用前

揭阳市 2016 年高中毕业班第二次高考模拟考试题

数学(理科)
本试卷共 4 页,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答题前,考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试卷上无效. 4.考试结束,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
3x ? ln(2 x ? x 2 ) 的定义域为 x ?1 (A) (2, ??) (B) (1, 2) (C) (0, 2) (D) [1, 2] (2)已知复数 z ? 2i ( i 为虚数单位),z 的共轭复数为 z ,则 z ? z ? 1? i (A) 2i (B) ? 2i (C)-2 (D)2 ? ? ? ? ? ? (3)已知向量 a ? ( 3,1), b ? (0, ?1), c ? (k , 3) ,若 a ? 2b 与 c 共线,则 k 的值为
(1)函数 f ( x)= (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 (4)已知命题 p : ?x ? R, x ? 1 ? lg x ,命题 q : ?x ? (0, ? ),sin x ? (A)命题 p ? q 是假命题 (C)命题 p ? (?q) 是假命题

(B)命题 p ? q 是真命题

1 ? 2 ,则下列判断正确的是 sin x

(D)命题 p ? (?q) 是真命题

(5)某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,则所选的 4 人中至少有 1 名女生的概率为

8 2 4 (C) (D) 15 5 15 ?log 2 x, ( x ? 0) (6)已知函数 f ( x) ? ? ? x ,则不等式 f ( x) ? 1 的解集为 2 , ( x ? 0) ?
(A) (B) (A) (2, ??) (B) (??, 0) (C) (??,0) ? (2, ??) (D) (0, 2)

14 15

(7)如图 1,圆柱形容器内盛有高度为 6cm 的水,若放入 3 个相同的铁球(球 的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球,则球的半径 为
·1·

(A)4cm (C)2cm

(B)3cm (D)1 cm

(8)已知函数 f ( x) ? x2 ? ax 的图象在点 A (1, f (1)) 处的切线 l 与直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直,记数列

{

1 } 的前 n 项和为 Sn ,则 S2016 的值为 f (n)
(D)

2015 2016 2014 (B) (C) 2016 2017 2015 (9)函数 f ( x) ? (1 ? cos x)sin x 在 [ ?? , ? ] 的图象的大致形状是
(A)

2017 2018

? 2 x ? y ? 0, y2 ? (10)实数 x, y 满足条件 ? x ? y ? 4 ? 0, 则 2 的取值范围为 x ? x ? 3. ?
(A) [4, ??) (B) [ , 2]

1 3

(C) [0, 4]

(D) [ , 4]

1 9

(11)某几何体的三视图如图 2 所示,则该几何体的表面积为 (A) 20+2? (C) 14 ? 2? (B) 20 ? 6? (D)16
x ?2

(12)在平面直角坐标系中,过原点 O 的直线 l 与曲线 y ? e



于不同的两点 A、B,分别过 A、B 作 x 轴的垂线,与曲线

y ? ln x 交于点 C、D,则直线 CD 的斜率为
(A)3 (B)2 (C)1 (D)

1 2

·2·

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题, 每个试题考生都必 须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答案填写在答题卡相 应的横线上.
(13)某水稻品种的单株稻穗颗粒数 X 服从正态分布 N (200,102 ) ,则 P( X ? 190) =__________.
2 (附:若 Z ~ N (?, ? ) ,则 P(? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0.6826, P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0.9544.)

(14)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 两条渐近线的夹角为 60? , a 2 b2
. .

则该双曲线的离心率为

(15)执行如图 3 所示的程序框图,则输出的 k 值为

(16)已知等差数列 {an } 满足 a1 ? 0,5a8 ? 8a13 ,则前 n 项和 Sn 取 最大值时, n 的值为 . 图3

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分 12 分) 已知如图 4,△ABC 中,AD 是 BC 边的中线, ?BAC ? 120 ,且
?

??? ? ??? ? AB ? AC ? ? 15 . 2
(Ⅰ)求△ABC 的面积; (Ⅱ)若 AB ? 5 ,求 AD 的长. (18)(本小题满分 12 分) 某人租用一块土地种植一种瓜类作物,租期 5 年, 根据以往的年产量数据,得到年产量频率分布直方图如 图 5 所示,以各区间中点值作为该区间的年产量,得到平 均年产量为 455kg. 当年产量低于 450 kg 时,单位售价为 12 元/ kg,当年产量不低于 450 kg 时,单位售价为 10 元/ kg. (Ⅰ)求图中 a 的值;
·3·
0. 0015 0. 0040

A

B

D 图4

C

频率/ 组距

b

a
0

年产量/ kg 250 350 450 550 650

(Ⅱ)以各区间中点值作为该区间的年产量,并以年 产量落入该区间的频率作为年产量取该区间中点值的概率, 求年销售额 X(单位:元)的分布列; 图5 (Ⅲ)求在租期 5 年中,至少有 2 年的年销售额不低于 5000 元的概率.

(19)(本小题满分 12 分) 如图 6,已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为菱形,且 ?ABC ? 60 ,
?

AB=PC=2,PA=PB= 2 . (Ⅰ)求证:平面 PAB ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)设 H 是 PB 上的动点,求 CH 与平面 PAB 所成 最大角的正切值. 图6 (20)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 6 + 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,若动点 A 在椭圆 C 上,动点 B 在直线 2 a b 3

y?

ab 6 上.( c 为椭圆的半焦距) ? c 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 OA ? OB ( O 为坐标原点),试探究点 O 到直线 AB 的距离是否为定值;若是定值,求

出该定值;若不是,请说明理由. (21)(本小题满分 12 分) 已知 a ? R ,函数 f ? x ? ? e ? ax , g ? x ? 是 f ? x ? 的导函数,
x 2

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求证:存在唯一的 x0 ? ? ?

? 1 ? , 0 ? ,使得 g ? x0 ? ? 0 ; ? 2a ?

(Ⅱ)若存在实数 a , b ,使得 f ? x ? ? b 恒成立,求 a ? b 的最小值. 请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题目计分. (22)(本小题满分 10 分)选修 41:几何证明选讲 如图 7 所示,⊙O 和⊙P 相交于 A, B 两点,过 A 作两圆的切 线分别交两圆于 C,D 两点,连接 DB 并延长交⊙O 于点 E. (Ⅰ) 若 BC=2,BD=4,求 AB 的长; (Ⅱ) 若 AC=3,求 AE 的长.
·4·

A E C O B 图7 5 D P



(23)(本小题满分 10 分)选修 44:坐标系与参数方程 已知椭圆 C 的普通方程为:

x2 y 2 ? ? 1. 9 4

(Ⅰ) 设 y ? 2t ,求椭圆 C 以 t 为参数的参数方程; (Ⅱ) 设 C 与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴的交点分别为 A、 B, 点 P 是 C 上位于第一象限的动点, 求四边形 AOBP 面积的最大值. (其中 O 为坐标原点)

(24)(本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲 已知 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? a | (a ? R, a ? 0) , (Ⅰ) 若 f ( x ) 的最小值是 ?3 ,求 a 的值; (Ⅱ) 求关于 x 的不等式 | f ( x) |? 2 的解集.

揭阳市2016年高中毕业班第二次高考模拟考 数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要 考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难 度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.

一、选择题:
题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 D 5 A 6 C 7 B 8 B 9 A 10 D 11 A 12 C

解析: (6)如右图,易得所求不等式的解集为 (??,0) ? (2, ??) , (7)设球的半径为 r ,依题意得 3 ? ? r ? ? r (6r ? 6) ? r ? 3 .
3 2

4 3

2 (8)依题意知 f ( x) ? x ? ax 的图象在点 A (1, f (1)) 处的切线斜率

k ? f '(1) ? 2 ? a ? 3 ? a ? ?1 ,故

1 1 1 1 ? ? ? , f (n) n(n ? 1) n n ? 1

·5·

1 1 1 1 1 1 2016 S 2016 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? . 2 2 3 2016 2017 2017 2017

3 3 ? 1 可排除(B),故选(A). 2 3 4 y 1 1 2 (10)设 ? k ,则 k 为可行域内的点与原点连线的斜率,易得 ? k ? 2 ,故 ? k ? 4 . x 3 9 1 (11)该几何体为一底面边长为 2,高为 3 的长方体挖去两个 圆柱(圆柱的底面半径为 1)得到的 4 1 1 2 组合体,故其表面积为: (4 ? ? ?1 ) ? 2 ? (4 ?1+ ? 2? ?1) ? 3 ? 20 ? 2? . 2 2
(9)由 f ( ) ? 1 可排除(C) 、(D),由 f ( ) ? (12)设直线 l 的方程为 y ? kx(k ? 0) ,且 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,故 kx1 ? e 1 , kx2 ? e
x ?2 x2 ?2

?

?

? x1 ?

1 x1 ? 2 1 e , x2 ? e x2 ? 2 ,则 kCD k k

1 1 ln( e x1 ? 2 ) ? ln( e x2 ? 2 ) ln x1 ? ln x2 k ? ? k x1 ? x2 x1 ? x2

?

ln

1 1 ? ( x1 ? 2) ln e ? ln ? ( x2 ? 2) ln e k k ? 1. x1 ? x2

二、填空题:
题号 答案 13 14 15 6 16 21

0.8413

2 3 3

或2

解析:(13) P( X ? 190) = P( X ? ? ? ? ) ? 1 ? P(? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.5 ? 0.8413

2

3 a1 , 61 3 1 a1 ) ? 0 ? n ? 21 , 由 an ? a1 ? (n ? 1)d ? a1 ? (n ? 1)(? 61 3
(16)由 5a8 ? 8a13 得 5(a1 ? 7 d ) ? 8( a1 ? 12d ) ? d ? ? 所以,数列 {an } 前 21 项都是正数,以后各项为负数,故 Sn 取最大值时,n 的值为 21.

三、解答题:
(17)解:(Ⅰ)∵ AB ? AC ? ? 15 ,∴ AB ? AC ? cos ?BAC ? ?

??? ? ??? ?

2

1 15 AB ? AC ? ? ,---2 分 2 2
A

即 AB ? AC ? 15 ,----------------------------------------------------3 分 ∴ S ?ABC

? 1 AB ? AC sin ?BAC ? 1 ? 15 ? 3 ? 15 3 .-------5 分 2 2 2 4
·6·

B

D

C

E

(Ⅱ)解法 1:由 AB ? 5 得 AC ? 3 , 延长 AD 到 E,使 AD=DE,连结 BE,---------------6 分 ∵BD=DC,
? ∴四边形 ABEC 为平行四边形,∴ ?ABE ? 60 ,且 BE ? AC ? 3 -----------8 分

设 AD ? x ,则 AE ? 2 x ,在△ABE 中,由余弦定理得:

(2 x)2 ? AB2 ? BE 2 ? 2 AB ? BE cos ?ABE ? 25 ? 9 ?15 ? 19 ,-----------------------10 分
19 19 ,即 AD 的长为 .--------------------------------------12 分 2 2 【解法 2:由 AB ? 5 得 AC ? 3 ,
解得 x ? 在△ABC 中,由余弦定理得: BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC cos ?BAC ? 25 ? 9 ? 15 ? 49 ,
2 2 2

得 BC ? 7 ,----------------------------------------------------------------------------------------------7 分 由正弦定理得:

BC AB ? , sin ?BAC sin ?ACD

AB sin ?BAC ? 得 sin ?ACD ? BC
∵ 0 ? ?ACD ? 90
? ?

5?

3 2 ? 5 3 ,----------------------------------------9 分 7 14
2

11 ,--------------10 分 14 49 7 11 19 2 2 2 ? 2 ? 3? ? ? , 在△ADC 中, AD ? AC ? CD ? 2 AC ? CD cos ?ACD ? 9 ? 4 2 14 4
∴ cos ?ACD ? 1 ? sin ?ACD ?

19 .------------------------------------------------------12 分】 2 【解法 3:由 AB ? 5 得 AC ? 3 ,
解得 AD ? 在△ABC 中,由余弦定理得: BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC cos ?BAC ? 25 ? 9 ? 15 ? 49 ,
2 2 2

得 BC ? 7 ,--------------------------------------------------------------------------------------7 分 在△ABC 中, cos ?ACB ?

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 9 ? 49 ? 25 11 ? ? ,------------9 分 2 AC ? BC 2 ? 3? 7 14 49 7 11 19 2 2 2 ? 2 ? 3? ? ? , 在△ADC 中,由 AD ? AC ? CD ? 2 AC ? CD cos ?ACD ? 9 ? 4 2 14 4

19 .-------------------------------------------------------12 分】 2 (18)解: (Ⅰ)由 100(a ? 0.0015 ? b ? 0.004) ? 1 ,
解得 AD ? 得 100(a ? b) ? 0.45 ,----------------------------------------------1 分 由 300 ?100a ? 400 ? 0.4 ? 500 ?100b ? 600 ? 0.15 ? 455 , 得 300a ? 500b ? 2.05 ,-----------------------------------------------3 分 解得 a ? 0.0010 ;----------------------------------------------------5 分
·7·

(Ⅱ)依题意知 X 的可能取值为 3600、4800、5000、6000,-------------------6 分 ∵ P( X ? 3600) ? 0.1 , P( X ? 4800) ? 0.4 , P( X ? 5000) ? 0.35 , P( X ? 3600) ? 0.15 , ∴X 的分布列为 X P 3600 0.1 4800 0.4 5000 0.35 6000 0.15

-------------------------8 分 (Ⅲ)∵一年的销售额不低于 5000 元的概率为 0.35+0.15=0.5, -------------------9 分 5 年中年销售额不低于 5000 元的年数 ? ~ B(5, 1 ) ,

2

∴5 年中至少有 2 年的年销售额不低于 5000 元的概率为
1 P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? 1 ? ( 1 )5 ? C5 ? ( 1 )5 ? 13 .-----------------12 分 2 2 16

(19)解:(Ⅰ)证明:取 AB 中点 O,连结 PO、CO,----------1 分 由 PA=PB= 2 ,AB=2,知△PAB 为等腰直角三角形, ∴PO=1,PO⊥AB,-----------------------------------2 分 由 AB=BC=2, ?ABC ? 60 ,知△ ABC 为等边三角形,
?

∴ CO ? 3 ,-------------------------------------3 分
2 2 2 由 PC ? 2 得 PO ? CO ? PC ,

∴PO⊥CO,-------------------------------------------------------4 分 又 AB ? CO ? O ,∴PO⊥平面 ABC,----------------------------------------------5 分 又 PO ? 平面 PAB,∴平面 PAB ? 平面 ABCD ----------6 分 (Ⅱ)解法 1:如图,连结 OH,由(Ⅰ)知 CO ? PO , CO ? AB ∴CO⊥平面 PAB, ?CHO 为 CH 与平面 PAB 所成的角,-----------7 分 在 Rt△COH 中,∵ tan ?CHO ?

OC 3 ? ,-----------8 分 OH OH

要 ?CHO 最大,只需 OH 取最小值, 而 OH 的最小值即点 O 到 PB 的距离,这时 OH ? PB , OH ? 故当 ?CHO 最大时, tan ?CHO ? 6 . 即 CH 与平面 PAB 所成最大角的正切值为 6 .------------------------------12 分 【解法 2:由(Ⅰ)知 PO⊥平面 ABC, CO ? AB , 如图所示,以 O 为原点,OC、OB、OP 所在的直线为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标系, 则 C ( 3,0,0) , B(0,1, 0) , P(0, 0,1) ,-----------------------------7 分 设点 H 的坐标为 (0, m, n) , BH ? ? BP , 则 (0, m ? 1, n) ? ? (0, ?1,1) ,∴ m ? 1 ? ? , n ? ? ,即 H (0,1 ? ? , ? ) ,------8 分 则 HC ? ( 3, ? ?1, ?? ) , OC ? ( 3,0,0) 为平面 PAB 的法向量,
·8·

2 ,-------------10 分 2

????

??? ?

????

??? ?

设 CH 与平面 PAB 所成的角为 ? ,

??? ? ???? ??? ? ???? | OC ? HC | ? ????? 则 sin ? ?| cos ? OC, HC ?|? ??? | OC | ? | HC |

?

3 3 ? 3 ? (? ? 1)2 ? (?? )2

?

3 ,------10 分 1 2 7 2(? ? ) ? 2 2

当? ?

1 6 时, sin ? 取最大值, (sin ? ) max ? ,-------------------------11 分 2 7

又 ? ? (0, ? ] ,此时 ? 最大, tan ? ? 6 ,

2

即 CH 与平面 PAB 所成最大角的正切值为 6 .-----------------12 分】 (20)解:(Ⅰ)依题意得:

c 6 -----① ? a 3

ab 6 --------②-------------1 分 ? c 2

①×②得 b ? 1 ,---------------------------------------------------2 分 又

c2 a 2 ? b2 2 ? ? ,解得 a 2 ? 3 ---------------------------------3 分 2 2 a a 3 x2 ? y 2 ? 1.--------------------------4 分 3

∴所求椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)依题意知直线 OA 的斜率存在,设为 k ,则直线 OA 的方程为 y ? kx , (1)若 k ? 0 ,则直线 OB 的方程为 y ? ?

1 x, k

? y A ? kxA 3 ? 2 设 A( xA , yA ), B( xB , yB ) ,则由 ? x 2 ,------------------------6 分 ? x ? A 2 2 A 3 k ? 1 ? y ? 1 ? A ?3
1 ? yB ? ? xB ? 3k 2 k ? 2 ? xB ? 由? ,-------------------------------------------------------------------7 分 2 ?y ? 6 B ? ? 2
∵ | OA |?
2 2 xA ? yA ? 1 ? k 2 | xA |?

3(k 2 ? 1) ,--------------------------------8 分 3k 2 ? 1

·9·

∴ | OB |?

1 3(k 2 ? 1) 2 2 ,-----------------------------9 分 xB ? yB ? 1 ? (? )2 | xB |? k 2

设点 O 到直线 AB 的距离为 d ,则

3(k 2 ? 1) 3(k 2 ? 1) ? 2 2S | OA | ? | OB| ( 3 k 2 ? 1) 2 d ? ?AOB ? = 3k ? 1 = ? 1.---------10 分 2 | AB | | OA |2 + | OB|2 3(k 2 ? 1) 3(k 2 ? 1) 3(k ? 1) ? 3k 2 ? 1 2
(2)若 k ? 0 ,则 A 点的坐标为 (? 3,0) 或 ( 3,0) ,B 点的坐标为 (0,

6 ), 2

这时, d ?

3?

6 2 ? 1 ,---------------------------------------------------------------------------11 分 6 3? 4

综上得点 O 到直线 AB 的距离为定值,其值为 1.-------------------------------------------------12 分 【解法二:设 A、B 的坐标 A( x0 , y0 ) 、 B (t ,

6 ) ,------------------------------------------5 分 2
2 x0 6 2 y0 ? 0 ,--------6 分 ? y0 ? 1 和 tx0 ? 2 3

由点 A 在椭圆 C 上和 OA ? OB 分别可得:

设点 O 到直线 AB 的距离为 d ,则有 | OA | ? | OB |?| AB | ?d , -------------------------------7 分

? | OA |2 ? | OB |2 ?| AB |2 ?d 2 ?

1 | AB |2 | OA |2 ? | OB |2 ,-------------------8 分 ? ? d 2 | OA |2 ? | OB |2 | OA |2 ? | OB |2

2 x0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ? 2? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 6 2 2 ? 2 ? ? 2 2 2 2 2 d | OA |2 | OB |2 x0 ? y0 ? y0 x0 ? y0 3 x0 ? y0 t ? ( 26 )2 x0 ( 2 ) y0 6 2 ? ( ) 2 2 x0
2 3 ? 2 x0 ? ? 2 2 3( x0 ? y0 ) 2 3 ? 2 x0

x2 3( x ? 1 ? 0 ) 3
2 0

? 1-------------------------------------------------------------------11 分

所以点 O 到直线 AB 的距离为定值,其值为 1.--------------------------------------------------12 分】 (21)(Ⅰ)证明:∵ g ? x ? ? f ? ? x ? ? e ? 2ax , g? ? x ? ? e ? 2a ,------------------------1 分
x x

当 a ? 0 时, g? ? x ? ? 0 ,∴函数 g ? x ? 在(-?,+?)上的单调递增,------------------------2 分
·10·

又 g??

? ? 1 ? 2a ? ? e ? 1 ? 0 , g ? 0? ? 1 ? 0 ,------------------------------------------------------3 分 2 a ? ?

1

∴存在唯一的 x0 ? ? ?

? 1 ? , 0 ? ,使得 g ? x0 ? ? 0 ;-----------------------------------------------4 分 ? 2a ?

(Ⅱ)解: (1)当 a ? 0 时,则当 x ? (??, 0) 时, g ( x) ? 0 ,即函数 f ( x ) 在 ( ??, 0) 上单调递增, 且当 x ??? 时, f ( x) ? ?? ,这与 f ( x) ? b 矛盾;---------------------------5 分
x (2)当 a ? 0 ,由 e ? b ,得 b ? 0 ,∴ a ? b ? 0 ;------------------------------------------6 分

(3)当 a ? 0 ,由(Ⅰ)知当 x ? ? ??, x0 ? 时, g ( x) ? 0 ;当 x ? ? x0 , ??? 时, g ( x) ? 0 ; 即 f ? x ? 在 ? ??, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 , ??? 上单调递增,----------------------------------7 分 ∴ f ? x ?min ? f ? x0 ? ,-----------------------------------------------------------------------------------8 分 其中 x0 满足 e 0 ? 2ax0 ? 0 ,故 a ? ?
x

e x0 且 x0 ? 0 , 2 x0

∵ f ? x ? ? b 恒成立,∴ b ? f ( x0 )
x 2 即 ?b ? ?e 0 ? ax0 ,于是 a ? b ? a ? e 0 ? ax0 ? ?e 0 ? 1 ?
x 2 x

? ?

x ? 1 ? 0 ? ,------------------9 分 2 x0 2 ?

记 h( x) ? ?e (1 ?
x

1 x 1 2 ? ) , x ? 0 ,则 h '( x) ? 2 e x ? x ? 1? ? x ? 1? ,-----------------10 分 2x 2 2x

由 h '( x) ? 0 得 x ? ?1 ,即函数 h( x) 在 (??, ?1) 上单调时递减,

h '( x) ? 0 得 ?1 ? x ? 0 ,即函数 h( x) 在 (?1, 0) 上单调递增,
1 , e 1 综上得 a ? b 的最小值为 ? ,此时 x0 ? ?1 .--------------------------------------------------12 分 e 选做题:
∴ h( x) min ? h( ?1) ? ? (22)解: (Ⅰ)由弦切角定理得 ?BAC ? ?BDA ,---------1 分 ?BAD ? ?BCA ,----------------------------------------------------2 分 所以 ?BAC ∽ ?BDA ,------------------------------------------------------------------3 分

·11·

得 AB ? BC ,----------------------------------------------------------------------------4 分

BD

AB

AB2 ? BC ? BD ? 8 , AB ? 2 2 ;---------------------------------5 分
(Ⅱ)连接 EC,∵ ?AEC ? ?AEB ? ?BEC ,-----------------------------------------6 分 ?ACE ? ?ABE ? ?BAD ? ?ADB -------------------------------------------------7 分 ∵ ?AEB ? ?BAD , ?BAC ? ?BDA = ?BEC ,----------------------8 分 ∴ ?AEC ? ?ACE ------------------------------------------------9 分 ∴AE=AC=3.--------------------------------------------------------------------------------10 分 (23)解:(Ⅰ)将 y ? 2t 代入椭圆的普通方程得 x ? 9(1 ?
2

4t 2 ) ? 9(1 ? t 2 ) ,------------1 分 4

于是得 x ? ?3 1 ? t 2 ,-----------------------------------------------------------------------------2 分 ∴椭圆 C 的参数方程为 ?

? ? ?x ? 3 1? t2 , ? x ? ?3 1 ? t 2 , ( t 为参数)和 ? ( t 为参数)---4 分 y ? 2 t . y ? 2 t . ? ? ? ?

(Ⅱ)依题意知点 A(3,0),B(0,2),--------------------------------------------------------------------5 分 设点 P 的坐标为 (3cos ? , 2sin ? ) , (0 ? ? ? 则 S四边形AOBP ? S?BPO ? S?OPA ?

?
2

) ---------------------------------------------6 分

? 3sin ? ? 3cos ? ? 3 2 sin(? ? ) , (0 ? ? ? ) -------------------------------------------9 分 2 4
当 sin(? ?

?

1 1 ? 2 ? 3cos ? ? ? 3 ? 2sin ? ---------------------------8 分 2 2

?

?

4

) ? 1 ,即 ? ?

?

4

时,四边形 AOBP 面积取得最大值,其值为 3 2 .--------10 分

(24)解: (Ⅰ)解法 1:∵ a ? 0 , ∴ f ( x) ? ?2 x ? 2 ? a,(?2 ? x ? a) ,--------------2 分

?(a ? 2), ? ? ? ? a ? 2,

( x ? ?2) ( x ? a)

当 ?2 ? x ? a 时, ?2 ? a ? f ( x) ? a ? 2 ,∴当 x ? R 时, ?2 ? a ? f ( x) ? a ? 2 ---4 分 ∴ f ( x)min ? ?(a ? 2) ? ?3 ,∴a=1;--------------------------------------------------5 分 【解法 2:∵ || x ? 2 | ? | x ? a ||?| ( x ? 2) ? ( x ? a) | ? a ? 2 ,----------------------2 分 ∴ | f ( x) |? a ? 2 , f ( x)min ? ?(a ? 2) ,---------------------------------------------3 分 又已知 f ( x)min ? ?3 , ∴a=1;-----------------------------------5 分】

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? ?2 x ? 2 ? a,(?2 ? x ? a) , (a ? 0)

?(a ? 2), ? ? ? ? a ? 2,

( x ? ?2) ( x ? a)

·12·

当 x ? ?2 时, f ( x) ? ?(a ? 2) ? ?2 , | f ( x) |? 2 ,不等式 | f ( x) |? 2 解集为空集---6 分 当 x ? a 时, f ( x) ? a ? 2 ? 2 ,不等式 | f ( x) |? 2 解集也为空集;----------------7 分 当 ?2 ? x ? a 时, | f ( x) |? 2 ,即 ?2 ? 2 x ? 2 ? a ? 2 ? a ? 2 ? x ? a

2

2

a a ? 2 ? ?2 , ? a ,∴当 ?2 ? x ? a 时, | f ( x) |? 2 的解为 a ? 2 ? x ? a -----9 分 2 2 2 2 综上得所求不等式的解集为 {x | a ? 2 ? x ? a } ----------------------------10 分 2 2


·13·


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