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2014届同心圆梦押题卷(四川)数学押题01答案与解析


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2014 届同心圆梦押题卷数学押题一答案与解析
?m 2 ? m ? 2 ? 0 ? ? m ? ?1 或 1. 【答案】A【解析】若 z ? (m 2 ? m ? 2) ? (m ? 3)i 为纯虚数,则 ? ? ?m ? 3 ? 0

m ? 2 ;故“ m ? 2 ”是“复数 z ? (m 2 ? m ? 2) ? (m ? 3)i 是纯虚数”的充分而不必要条件.
2. 【 答 案 】 C 【 解 析 】 依 题 意 , 阴 影 部 分 所 表 示 的 集 合 为 A I ? ?R B ? ; 因 为
A ? {x | x 2 ? x ? 2 ? 0} ? {x | ?1 ? x ? 2} , B ? { y | y ? 0} , 故 ?R B ? { y | y ≥ 0} , 故
A I ? ?R B ? ? ? 0, 2? .

3. 【 答 案 】 B 【 解 析 】 因 为 2ak ? 5ak ?1 ? 3ak ? 2 ? ak ? 2 , 故 2ak ? 5ak ?1 ? 2ak ? 2 ? 0 , 故
2q 2 ? 5q ? 2 ? 0 ,解得 q ?

1 1 ? ? ? ? ?? 或 q ? 2 ;因为 q ? sin ? ? ? ? ?0, ? ? ,故 q ? ,则 ? ? . 2 2 6 ? 2 ?? ?

4. 【答案】A【解析】易知①正确;在同一直角坐标系中作出 f ( x) 与 y ? sin x 的图像如下 图所示可知②④错; 因为 f (? x) ? 5 x ? 5? x ? f ( x) , 故 f ( x) 的图像关于 y 轴对称, f ( x ? 1) 的图像关于 x ? ?1 对称,故③错.

y

O

x
2

?2 3? 16 2 5. 【答案】 B 【解析】 设该几何体的外接球半径为 R , 由勾股定理可知 R 2 ? ? , ? ?2 ? ? 3 ? 3 ? ?
故该几何体的外接球的表面积 S ? 4? R 2 ? 4? ?
16 64? ? . 3 3

6. (理) 【答案】C【解析】若 OA ? 1 ,则 x 2 ? y 2 ? 1 ,由几何概型知识可知,A、B、D 选 项满足 OA ? 1 的概率 P ? 1 ?

?
4

,C 选项满足 OA ? 1 的概率 P ? 1 ?

?
6

?

3 . 4

(文) 【答案】D【解析】从茎叶图估计,甲队员的稳定性较差,乙队员的稳定性较好, 故甲队员得分的标准差大于乙队员得分的标准差. 7. 【 答 案 】 D 【 解 析 】 函 数 f ( x) ? sin ? x (? ? 0) 的 图 像 向 右 平 移

?
6

个单位长度得到

5? 5? ? ? ?? ? f ( x) ? sin ? ? x ? ? , 依 题 意 , f ( ) ? ?1 , 即 ? ( ? ) ? ? ? 2k? (k ? Z ) , 故 6 6 6 2 6 ? ?

? ? ? ? 3k (k ? Z ) ,因为 ? ? 0 ,令 k ? 1 ,得 ? ?

3 4

9 . 4

b 8. 【答案】C【解析】双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ,交点 M (a, b) , △FMN 为直角三角 a

形,且 ?AFM ? 30° ,由 tan ?AFM ?

2 2 b 3 MA ? ,即 ,可得 c ? a 2 ? 1 ,化简可 FA a?c 3 ?a ? c? 3

★★数学(四川)押题一答案与解析

第1页

得 e 2 ? e ? 2 ? 0 ,故 e ? 2 . 9. (理) 【答案】C【解析】作出集合 A、B 所代表的平面区域如图所示,因为 A ? B ,所以
? 3 3? 当直线 y ? mx 过 P ? ?1, ? 2 ? ? 时, m 取到最小值,最小值为 ? 2 . ? ?

y O
(文) 【答案】 D 【解析】 过 A 点作 AM ? BC 交 BC 于 M ,
CM ? y , 设 BM ? x , 故 x ? y ? 2 3 ? 2 ①; 又 AB ? 2x ,

x

AC ? 2 y 又 在 △ ABC 中 , 由 正 弦 定 理 可 知
AB AC 2x 2y ? ,即 ,故 y ? 3 x ②;联立① ? sin C sin B 2 3 2 2

②可知 x ? 2 ? BM ; AB ? 4 , ?BAM ?

?
6

, ?CAM ?

?
4

?
4 ,故 P ? AD ? 4 ? ? 3 ? . 5? 5 12

10. (理) 【答案】D【解析】依题意, AB P DC ;因为 AC ? 2 , DC ? 1 , ?CAD ? 30° ,

AD2?4?13 由余弦定理可得:?,解得 AD ? 3 , ?ACD ? 60° ,故 A 对; 2?AD
因为 ?ADC ? ?DAB ? 90° ,故 ?CAB ? 60° , CB ? CA2 ? AB 2 ? 2CA ? AB ? cos 60° ? 7 ,

cos B ?

2 7 ,故 B 对;设 MB ? x , CM ? 7 ? x ,因为 AB ? 3 , AC 、 AM 、 AB 成 7 6 ? x2 ? 9 6 ? ( 7 ? x) 2 ? 4 , cos ?AMC ? ,因为 2 6( 7 ? x) 2 6x
12 ? 2 15 2 ? 2 15 ,所以 ? MB , 故 CM ? 2 7 2 7

等比数列,故 AM ? 6 , cos ?AMB ?

cos ?AMB ? cos ?AMC ? 0 , 解 得 x ?

??

CM 2 ? 2 15 3 ? 15 ,故 C 对,D 错. ? ? MB 12 ? 2 15 3

(文) 【答案】 C 【解析】 因为 f ( x) 为偶函数, 故 f ? 2 ? x ? ? f ? x ? 2? ? f ? x ? 2? , 故T ? 4 , 作出函数 f 4 ( x) 在 ? 0, 4? 上的函数图像如下图所示.直线 kx ? y ? k ? 0 过定点 B (?1,0) ,因
8 ? 15 ? 为 A ? , 2 ? , k AB ? ,故若直线 l 与函数 f 4 ( x) 的图像在 ? 0, 4? 上恰有 16 个交点,则 19 ? 4 ?
0 ? k ? k AB ,即 0 ? k ?

8 . 19

★★数学(四川)押题一答案与解析

第2页

11. (理) 【答案】1 或 ?1 【解析】展开式的通项为 Tr ?1 ? C8r ? (ax)8 ? r ? (?
? (?1) r ? C8r ? a8 ? r ? x
3 8? r 2

1 r ) x

3 ,令 8 ? r ? 2 ,解得 r ? 4 ,故 (?1) 4 ? C84 ? a 4 ? 70 ,解得 a ? 1 或 2

a ? ?1 .
(文) 【答案】B【解析】以 SA、SB、SC 为棱构造长方体,则该长方体的外接球即为三 棱锥的外接球, 记其半径为 r , 则 ? 2r ? ? 12 ? 32 ? 32 ? 19 , 故r ?
2

19 , 故 S ? 4? r 2 ? 19? . 2

12. 【答案】 ?3 【解析】取 BC 中点 D,因为 AB ? AC ? 2 AD ,所以 AO ? AD ,即圆心 O 恰为 BC 的中点,所以 △ ABC 为直角三角形,又由 OA ? OC ? 故 ?ACO ? 30° ,所以 AC ? CB ? AC ? CB ? cos150° ? ?3 . 13. 【答案】四【解析】运行程序框图,第一步, S ? 0 ? 1 ? 1 , a ? 2 ;第二步, S ? 1 ? 2 ? 3 , 第三步,S ? 3 ? 4 ? 7 ,a ? 8 ; 第四步,S ? 7 ? 8 ? 15 , 因为 S ≥ 10 , 故输出 a ? 8 , a ? 4; 此时 z ?
8 ? 3i ? 8 ? 3i ?? 2 ? i ? 19 ? 2i ,故 z 在复平面上所对应的的点落在第四象限. ? ? 2?i 5 ? 2 ? i ?? 2 ? i ?
y 1 0 1 A x

3 AC ,且 OA ? OC , 3

14. 【答案】2【解析】不等式组表示的平面区域如图所示,解方
?x ? y ? 1 ? 0 程组 ? 得 A(3, 4) ,由 z ? ax ? y ,则 y ? ax ? z , ?2x ? y ? 2 ? 0

要目标函数取得最小值 10,必有直线 y ? ax ? z 过 A(3, 4) ,则

4 ? 3a ? 10 ,解得 a ?

14 . 3

15. 【答案】 ①④ 【解析】 因为 ?1 ≤ f ( x0 ) ? g ( x0 ) ≤ 1 , 所以 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ≤ 1 ; 当 x ? (0, ??) 时,对于①, f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? x0 ? 此时,存在唯一实数 x0 ? 于②, f ( x0 ) ? g ( x0 ) ?
1 1 1 ,即 x0 ? 时等号成立; ≥ 1 ,当且仅当 x0 ? 2 4 x0 4 x0

1 ? (0, ??) ,满足 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ≤ 1 ,故①存在“伴侣点” ;对 2
2

25 2 10 40 ? 5 2? ;对 x ? x? ? ? x ? ? ? 4 ≥ 4 ,故②不存在“伴侣点” 4 3 9 ?2 3?
f ( x) ? ln x

于 ③ , 分 别 作 出

? ?? x ? 3, x ? 1 和 g ( x) ? ? x 的 图 像 可 知 , ? ?2 , x ≥ 1

f ( x) ? g ( x) min ? f (1) ? g (1) ? 2 , 故 ③ 不 存 在 “ 伴 侣 点 ”; 对 于 ④ , 令
h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) =
x3 2 1 ( x ? 1)( x 2 ? x ? 1) ? ln x ? ,故 h?( x) ? x 2 ? ? ,当 x ? (0,1) 时, 3 3 x x

h?( x) ? 0 ; 当 x ? (1, ?? ) 时 , h?( x ) ? 0 , 故 h( x)min ? h(1) ? 1 , 故 当 x ? (0, ??) 时 ,

f ( x) ? g ( x) ≥ 1 ,当且仅当 x ? 1 时等号成立,故④存在“伴侣点” .

16. 【解析】 (1)由余弦定理可知, PN 2 ? PM 2 ? MN 2 ? 2 PM ? MN ? cos ?PMN ,即
MN 2 ? 2MN ? 3 ? 0 ,故 MN ? 3 ?

T ,故 T ? 6 ;??4 分 2

(2) 因为 ?PMN ?

? , PM ? 2 ,故 M (?1,0) , N (2,0) , P(0, 3) ,故 PM ? (?1, ? 3) , PN ? (2, ? 3) , 3

故 PM ? PN ? ?2 ? 3 ? 1 ;??7 分 ★★数学(四川)押题一答案与解析 第3页

(3) 因为 ? ? 因为 ? ?

2? ? ? ? ?1? ?? 1 ? 故 A sin ? ? ? ? ? ? A , 故 ? ? ? ? 2 k ? ( k ? Z) , ? ,f ? ?? A, 6 3 6 2 2 3 2 ? ? ? ?

?
2

,故 ? ?

?
3

;因为 P (0, 3) 在函数图象上,故 f ? 0 ? ? A sin

?
3

? 3 ,故 A ? 2 ,

? ? 2? ? ? ? 5? ?? ?? 则 f ( x) ? 2sin ? x ? ? ;因为 ?1 ? x ? 2 ,故 ? ? x ? ,故 ? ? x ? ? , 3 3 3 6 3 6 6 6? ?3

?? ?? 故 ?1 ? 2sin ? x ? ? ≤ 2 ,所以 f ( x) 的在 ? ?1, 2 ? 上的值域为 ? ?1, 2? .??13 分 6? ?3
17. 【解析】 (1)设等差数列的公差为 d ,则 a32 ? a1 ? ? S 4 ? 1? ,故 (1 ? 2d ) 2 ? 1 ? ? 3 ? 6d ? ,解 得 d ? 1( d ? ?
1 舍去) ,故 an ? n ;??6 分. 2
c1 c2 c c ? ? ... ? n ? n ? 1 ,当 n ? 1 时, 1 ? 2 ,故 c1 ? 4 ;当 n ≥ 2 2 22 2n 2

(2)因为 an ?1 ? n ? 1 , 时,由

c1 c2 c c c c ?1 c ? ? ... ? n ? n ?1 得 1 ? 2 ? ... ? n ? n ,两式相减得到 n ? 1 ,故 cn ? 2n , 2 22 2n 2 22 2n ?1 2n
22 (1 ? 299 ) ? 2101 .??12 分 1? 2

所以 c1 ? c2 ? ... ? c100 ? 4 ? 22 ? ... ? 2100 ? 4 ?

18. (理) 【解析】 (1)记在一次考试中,甲、乙两名学生分别取得优秀的事件为 A、B ,由 上表可知, P ( A) ? 0.4 , P ( B) ? 0.8 ;因为两名学生的学习水平保持不变且互不影响,所 以甲、乙两名学生同时取得优秀的事件为 AB ,故 P ? AB ? ? P ( A) ? P ( B ) ? 0.32 ;??5 分 (2)由(1)可知 P ( A) ? 0.4 ,故 X
X P

2 B (4, ) ,故 X 的分布列如下表所示: 5

0
81 625

1
216 625

2
216 625

3
96 625

4
16 625

故所求数学期望 E ? X ? ? 4 ?

2 8 ? .??12 分 5 5

(文) 【解析】 (1)将甲同学的成绩从小到大进行排列可知甲的成绩为: 105,106,108,109,115,118,123,132,132,149,故甲同学成绩的中位数为 116.5;甲同学成绩的 平均数为(132+108+109+118+123+115+105+106+132+149)/10=119.7;??6 分 (2)记从从优秀的成绩中抽取两次,则至少有一次成绩超过 140 为事件 M ;因为优秀 的成绩有:131,132,138,141,142,分别记为 A1 , A2 , A3 , B1 , B2 ,则连续抽取两次,可能的基本 事件有: ? A1, A2 ? , ? A1, A3 ? , ? A1, B1 ? , ? A1, B2 ? , ? A2 , A3 ? , ? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? , ? B1 , B2 ? , 符合事件 M 的个数为 7 个,故 P ( M ) ?
7 .??12 分. 10
AC , GF ?

19. (理) 【解析】 (1 ) 取 AB 的中点 G, 连接 EG,GF, 因为 GF
ED ? 1 AC , 所以 GF 2

1 AC , 且 ED 2

AC ,

ED 且 GF ? ED , DF ? 平面 EAB, 而 EG ? 平面 EAB, 所以 DF

平面 EAB.??4 分 (2)以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系

★★数学(四川)押题一答案与解析

第4页

取 AC 的中点 M, 连接 EM, 则 EM ? AC , 在 Rt△EAM 中,EA ? 2a ,AM ? a , A ? xyz , 所以 EM ? 3a ,所以 DC ? 3a ,故 A(0, 0, 0) , B(2a,0,0) , C (0, 2a,0) , D(0,2a, 3a) , E(0, a, 3a) , 所 以 EB ? ( 2 a,? a,? 3a ) , ED ? (0, a,0) , 设 平 面 EBD 的 一 个 法 向 量 n ? ( x, y, z ) , 由
? 3 ?2ax ? ay ? 3az ? 0 ,故 n ? ( ,0,1) ;又平面 ABC 的一个法向量 n ? EB , n ? ED 得 ? 2 ay ? 0 ? ?
m ? (0,0,1) ,所以 cos n, m ?

2 7 2 7 ,因为 0° ? ? ? 90° ,所以 cos? ? ;??8 分 7 7

1 3a 1 ? ? AB ? y p (3)当点 P 在线段 FC 上时, VP ? EAB ? VE ? PAB ? ? DC ? S△ PAB ? 3 3 2 ≥ 3a 1 3 3 ? ? 2a ? a ? a ; 3 2 3

1 3 3 a ; 当点 P 在线段 CD 上时, VP ? EAB ? VE ? PAB ? ? AB ? S△ PAE ≥ 3 3
综上所述, (VP ? EAB ) min ?

3 3 a .??12 分. 3
1 1 3 ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 1 ? ;??2 2 2 2

(文) 【解析】 (1)由三视图知识可知,俯视图的面积 S ? 分

(2)由三视图可知, △PBC 是等边三角形, PA ? 平面 ABCD , BC ? 2 AD ? 2CD ? 2 , 四边形 ABCD 为直角梯形.过点 A 作 AG ? BC 于 G ,则 AG ? CD ? 1 , GC ? AD ? 1 . ∴ AC ? AD 2 ? CD 2 ? 2 , AB ? AG 2 ? BG 2 ? 12 ? (2 ? 1) 2 ? 2 ,∴ AC 2 ? AB 2 ? BC 2 , 故 AC ? AB .∵PA ? 平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD ,∴PA ? AB .∵PA ∴ AB ? 平面 PAC .??8 分
2 2 (3)∵△PBC 是等边三角形,∴PB ? BC ? 2 .在 Rt△PAB 中, PA ? PB ? AB ? 2 ,

AC ? A ,

1 1 ?1 2 ? ? VA ? PBC , ∴VC ? PAB ? S△ PAB ? AC ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 3 3 ?2 3 ?
1 1 ? 3 2? 3 ?2 ? ∵ VA ? PBC ? S△ PBC ? h ? ? ? ? ? h ? 3 h ( 其 中 h 为 三 棱 锥 A ? PBC 的 3 3 ? 4 ? ?
6 高) .∵VC ? PAB ? VA ? PBC ,∴h ? .??12 分. 3
20. 【解析】 (1)由“相识双曲线”定义可知,双曲线 E1 的离心率 e ? 1 ? 故;双曲线 E1 的标准方程为 E1 : x 2 ?

p ? 2 ,故 p ? 3 , 1

1 2 y2 x 的准线为 y ? ?8 ;设 ? 1 ;因为抛物线 y ? 3 32

★★数学(四川)押题一答案与解析

第5页

c 1 ? ?e ? a ? 2 256 ? ? x2 y 2 ?a ? 椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,依题意: ?b ? 8 ,解得 ? 3 ,故椭圆 a b ? ? 2 2 2 b ? 64 ? ?a ? b ? c ?

C 的标准方程为

3x 2 y 2 ? ? 1 ;??5 分 256 64

( 2 )假设双曲线 E1 与双曲线 E3 为“相识双曲线” ,联立双曲线 E1 和直线 l 的方程,
? 2 y2 ?1 ?x ? ,消去 y ,得 (3 ? k 2 ) x 2 ? 2ktx ? t 2 ? 3 ? 0 ,设 A, B 的横坐标分别为 x1 , x2 ,则 3 ? ? y ? kx ? t ? ? x2 y 2 2kt x2 y 2 ?1 ? ? ,设双曲线 E3 的方程为 , x1 ? x2 ? ? ? 1(mn ? 0) ,联立方程组 ? m n m n 3 ? k2 ? y ? kx ? t ?

消 去 y , 得 (n ? mk 2 ) x 2 ? 2ktmx ? m( t 2 ? n) ? 0 , 设 H , K 的 横 坐 标 分 别 为 x3 , x4 , 则
x3 ? x4 ? ? 2ktm , ∵ 弦 AB 的 中 点 与 弦 HK 的 中 点 重 合 , ∴ x1 ? x2 ? x3 ? x4 , n ? mk 2

2kt 2ktm n ? ? ,∵ k ? 0, t ? 0 ,∴化简得 ? ?3 ,因此当双曲线 E3 的焦点落在 x 轴 3 ? k2 n ? mk 2 m

上时,双曲线 E1 与双曲线 E3 为“相识双曲线” .??13 分. 21. 【解析】 (1)由 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? a ,得 f ?( x) ? 3 x 2 ? 2 x ? x(3 x ? 2) ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或x?
2 ;当 x 变化时,函数 f ( x), f ?( x) 变化如下表所示: 3
x
f ?( x)

?

1 2

? 1 ? ? ? ,0 ? ? 2 ?
+ 单调递增

0 0 极大值

? 2? ? 0, ? ? 3?
单调递减

2 3

?2 ? ? ,1? ?3 ?
+ 单调递增

0 极小值

f ( x)

3 4 ? 1? ?2? 由 f ?? ? ? a ? , f ? ? ? a ? ,得 8 27 ? 2? ?3?

3 3 ? 1? ?2? f ? ? ? ? f ? ? ,故 a ? ? ? ,故 a ? 0 ;??4 分. 8 8 ? 2? ?3?

(2)依题意, ( x ? ln x)b ≤ ( x 2 ? 2 x) ,因为 x ? ?1, e? ,所以 ln x ≤ 1 ≤ x ,且等号不能同 时成立,所以 ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0 ,所以 b ≤
t ( x) ?

? x2 ? 2x ? x2 ? 2x 恒成立,即 b ≤ ? ? ;令 x ? ln x ? x ? ln x ? min

x2 ? 2x ( x ? 1)( x ? 2 ? ln x) ,x ? ?1, e? , 则 t ?( x) ? . 当 x ? ?1, e? 时,x ? 1≥ 0 ,ln x ≤ 1 , 2 x ? ln x ? x ? ln x ?

所以 x ? 2 ? ln x ? 0 ,故 t ?( x) ≥ 0 ,所以 t ( x) 在 ?1, e? 上为增函数.故 t ( x) min ? t (1) ? ?1 ,从 而 b ≤ ?1 ;??8 分.
3 2 ?? ? x ? x ,x ?1 (3)由已知得 F ( x) ? ? ,假设曲线 y ? F ( x) 上存在两点 P, Q 满足题意,则 ? ?b ln x, x ≥ 1

P, Q 只能在 y 轴两侧, 不妨设 P (t , F (t ))(t ? 0) , 则 Q(?t , t 3 ? t 2 ) 且 t ? 1 . 因为 ?POQ ?

?
2



所以 OP ? OQ ? 0 ,得 ?t 2 ? F (t )(t 3 ? t 2 ) ? 0 . (*)是否存在 P, Q 等价于方程(*)在 t ? 0 且

t ? 1 时是否有解.
①当 0 ? t ? 1 时,方程(*)为 ?t 2 ? (?t 3 ? t 2 )(t 3 ? t 2 ) ? 0 ,化简得 t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 ,此方程无解; ★★数学(四川)押题一答案与解析 第6页

②当 t ? 1 ,方程(*)为 ?t 2 ? b ln t ? (t 3 ? t 2 ) ? 0 ,即

1 ? (t ? 1)ln t . b

1 设 h(t ) ? (t ? 1)ln t (t ? 1) ,则 h?(t ) ? ln t ? ? 1 ,则当 t ? 1 时, h?(t ) ? 0 ,即 h(t ) 在 ?1, ?? ? 上 t

为增函数,又 h(1) ? 0 ,所以 h(t ) 的值域为 ? 0, ?? ? ,因此当 b ? 0 时,方程(*)总有解. 所以对任意的正实数 b ,曲线 y ? F ( x) 上是否总存在两点 P, Q ,满足条件.??14 分

★★数学(四川)押题一答案与解析

第7页


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