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解三角形应用举例(必修5)人教B版


的应用
解三角形问题是三角学的基本问题之一。 解三角形问题是三角学的基本问题之一。 解三角形的方法在度量工件、 解三角形的方法在度量工件、测量距离和 什么是三角学?三角学来自希腊文“三角形” 什么是三角学?三角学来自希腊文“三角形” 高度及工程建筑等生产实际中,有广泛的应用, 高度及工程建筑等生产实际中,有广泛的应用, 和“测量”。最初的理解是解三角形的计算, 测量” 最初的理解是解三角形的计算, 在物理学中, 在物理学中,有关向量的计算也要用到解三角 后来, 后来,三角学才被看作包括三角函数和解三角 形的方法。 形的方法。 形两部分内容的一门数学分学科。 形两部分内容的一门数学分学科。

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正弦定理
a b c = = = 2R sin A sin B sin C 为三角形的外接圆半径) (R为三角形的外接圆半径) 为三角形的外接圆半径
A

c
B

b a
C

余弦定理
a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A b 2 = c 2 + a 2 ? 2ca cos B c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C
b2 + c2 ? a2 cos A = 2bc c2 + a2 ? b2 cos B = 2ca a2 + b2 ? c2 cos C = Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2ab

复习2. 复习2.

下列解△ABC问题, 分别属于那种类型?根 问题, 下列解△ABC问题 分别属于那种类型? 据哪个定理可以先求什么元素? 据哪个定理可以先求什么元素?
余弦定理先求出A,或先求出B A,或先求出 余弦定理先求出A,或先求出B (1)a=2 3 ,b= 6 ,c=3 + 3 _________________________________ ,b ,c ;
(2)b=1,c= 2 ,A=105? ;余弦定理先求出a =1, _________________________________ 正弦定理先求出b 正弦定理先求出b (3)A=45?,B =60?, a=10; =45?, =60?, =10; ________________________________ (4)a=2 3 ,b=6,A=30?. ________________________________或120o) =6, 正弦定理先求出B(60 正弦定理先求出B(60o

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第4小题A变更为A=150o呢? 无解 小题A变更为A=150 _____________________

解斜三角形理论 在实际问题中的应用

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解应用题中的几个角的概念 1、仰角、俯角的概念: 、仰角、俯角的概念: 在测量时,视线与水平线 所成的角中,视线在水平线 上方的角叫仰角,在水平线 下方的角叫做俯角。如图:

2、方向角:指北或指南 、方向角: 方向线与目标方向线所成 的小于90°的水平角,叫 方向角,如图

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例1:想一想: 如何测定河两岸 想一想:
两点A 两点A、B间的距离? 间的距离?

B A
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在B的同一侧选定一点C
A

α β
C

B

55

若BC=55, ∠α=510 ,α 0 ∠ β=75 ,求AB的长.
简解: 简解:由正弦定理 可得
A
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α

β
C

B

AB/sinα=BC/sinA =BC/sin(α+β)

55

怎样测量地面上两 个不能到达的地方 之间的距离? 之间的距离?

例2:如何测定河对岸两点A、B间的距离? 如何测定河对岸两点A 间的距离?

如图在河这边取一点,构造三角形 如图在河这边取一点, ABC,能否求出AB?为什么?? AB?为什么 ABC,能否求出AB?为什么??

B A
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C

为了测定河对岸两点A 为了测定河对岸两点A、B间的距离,在岸边 间的距离, 选定1公里长的基线CD,并测得∠ACD=90 选定1公里长的基线CD,并测得∠ACD=90o, BCD=60 BDC=75 ADC=30 ∠BCD=60o,∠BDC=75o,∠ADC=30o,求A、 B两点的距离. 两点的距离.

B D A
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C

分析:在四边形ABCD中欲求AB长 分析:在四边形ABCD中欲求AB长,只能去解三 ABCD中欲求AB 角形, AB联系的三角形有 ABC和 ABD, 联系的三角形有△ 角形,与AB联系的三角形有△ABC和△ABD,利 用其一可求AB AB。 用其一可求AB。
略解:Rt △ACD中,AD=1/cos30o ACD中

△BCD中,1/sin45=BD/sin60,可求BD。 BCD中 1/sin45=BD/sin60,可求BD。 BD 由余弦定理在△ABD中可求AB。 由余弦定理在△ABD中可求AB。(AB = 30 ≈ 0.913) 中可求AB 6
B D A C
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∠ACD=90o,∠BCD=60o, ACD=90 BCD=60 BDC=75 ADC=30 ∠BDC=75o,∠ADC=30o,

练习1、自动卸货汽车的车箱采用液压机构.设 计时需要计算油泵顶杆BC的长度(如图所 示).已知车箱最大仰角为60°油泵顶点B与车 箱支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间 的夹角为6°20′,AC为1.40m,计算BC的长.

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抽象成数学问题

C
1.40m
600

A

1.95m

60 20′

D B

已知?ABC的两边AB = 1.95, AC = 1.40, 夹角A = 66 20′, 求第三边的长.
0
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C
1.40m

解:由余弦定理,得
BC2= AB2+AC2-2AB·ACcosA 2AB·ACcosA
2 2

600

A

1.95m
0

60 20′

D B

= 1.95 + 1.40 ? 2 × 1.95 × 1.40 cos 66 20′ =3.571 ∴BC≈1.89(m). BC≈1.89(m).
答:顶杆BC约长1.89m. 答:顶杆BC约长1.89m.

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如图:墙上有一个三角形灯架OAB,灯所 例3 :如图:墙上有一个三角形灯架 灯所 受重力为10N,且OA,OB都是细 都是细杆,只受沿杆 受重力为 , 都是细 方向的力,求杆OA、OB所受的力(精确到 0.1)。
700 500

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例4如图在海滨某城市附近海面有一台风。 据监测,台风中心位于城市A的南偏东30度 方向、距城市300km的海面P处,并以20km/h 的速度向北偏西45度方向移动。如果台风侵 袭的范围为圆形区域,半径为120km。问几 小时后该城市开始受到台风的侵袭(精确到 0.1h)?

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小结: 小结:
1、解决应用题的思想方法是什么? 解决应用题的思想方法是什么? 把实际问题转化为数学问题,即数学建模思想。 把实际问题转化为数学问题,即数学建模思想。 2、解决应用题的步骤是什么? 、解决应用题的步骤是什么? 分析转化 数学问题(画出图形) 实际问题 数学问题(画出图形) 检 验 数学结论 解三角形问题

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