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浙江省温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考数学理试题


浙江温州十校联合体 2014 高三上期初联考--数学(理)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.设 U ? {1,2,3,4,5}, A ? {1,5}, B ? {2,4} ,则 B ? CU A ? ( ▲ ) A.

{2,3,4}

B. {2}

C. {2,4}

D. {1,3,4,5}

2.若复数 z ?

3?i ( i 为虚数单位), z 为其共轭复数,则 z ? ( ▲ ) 1? i A. 1 ? 2i B. 2 ? 2i C. ? 1 ? 2i D. ? 2 ? 2i

3.若 a, b 都是实数,则“ a ? b ? 0 ”是“ a 2 ? b 2 ? 0 ”的( ▲ ) A.充分而不必要条件 C. 充分必要条件 件 4.已知 | a |? 1,? b ? a A.30° B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条

?

? ?

1 ? ? , a ?b 2

?

?

2

? ? 1 ? ,则a与b 的夹角等于 ( ▲ ) 2
C. 60° D. 120°

B.45°

5. 阅读右边的程序框图,若输入 N ? 100 ,则输出的结果为( ▲ ) A. 50 6. sin 2a ? A. B.

1 5

24 ? ? , 0 ? ? ? ,则 2 cos( ? a ) 的值为 ( ▲ ) 25 2 4 1 1 7 B. ? C. ? D. 5 5 5

101 2

C. 51

D.

103 2

7.若 f (x) 的定义域为 R , f ?( x) ? 2 恒成立, f (?1) ? 2 ,,则

f ( x) ? 2 x ? 4 解集为( ▲ )
A.(-1,1) B.(-1,+ ? ) C.(- ? ,-1) D.(- ? ,+ ? )

? x? y ?3? 0 ? 8.若函数 y ? log 2 x 的图像上存在点 ( x, y ) ,满足约束条件 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ,则实数 m 的最大值 ? y?m ?
为( ▲ ) A.

1 2

B. 1

C.

3 2

D. 2

9.定义在 (1,??) 上的函数 f ( x) 满足下列两个条件:

⑴对任意的 x ? (1,??) 恒有 f (2 x) ? 2 f ( x) 成立; ⑵当 x ? (1, 2] 时, f ( x) ? 2 ? x ; 记函数 g (x) ? f ( x) ? k ( x ? 1) ,若函数 g (x) 恰有两个零点,则实数 k 的取值范围是( ▲ ) A. ?1,2 ?

B.

?4 ? ? 3 ,2? ? ?

C. ?

?4 ? ,2 ? ?3 ?

D.

?4 ? ? 3 ,2 ? ? ?

10.对于任意实数 x , [x] 表示不超过 x 的最大整数,如 [1.1] ? 1,[ ?2.1] ? ?3 .定义在 R 上的函数

f ( x ) ? [2 x ] ? [4 x ] ? [8 x ] ,若 A ? ? y y ? f ( x ),0 ? x ? 1? ,则 A 中所有元素的和为( ▲ )
A.65 B.63 C.58 D.55

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分 11. 函数 y ?

ln( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为





12.在 (1 ? 2 x) ? (1 ? 3 x) 4 的展开式中, x 2 的系数等于 13. 将函数 y ?





3 cos x ? sin x ? x ? R ? 的图像向左平移 m ? m ? 0 ? 个长度单位后,所得到的图像关
▲ 。

于 y 轴对称,则 m 的最小值是

14.等差数列 {a n } 中 a1 ? 2013 ,前 n 项和为 S n , 15. 若 f ? x ? = ?

S12 S10 ? ? ?2 ,则 S 2013 的值为 12 10


▲ 。



1 2 x ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的取值范围是 2

16. 将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排,然后从左至右依次给它们赋以编号 l,2,?, 8。则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有 ▲ 种。

17.设函数 f ( x) ? ln x ,且 x 0 , x1 , x 2 ? (0, ? ?) ,下列命题: ①若 x1 ? x 2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 1 ? x2 x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 1 ? x0 x1 ? x 2

②存在 x 0 ? ( x1 , x 2 ) , ( x1 ? x 2 ) ,使得 ③若 x1 ? 1, x 2 ? 1 ,则

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?1 x1 ? x 2

④对任意的 x1 , x 2 ,都有 f ( 其中正确的是 ▲

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? 2 2

。(填写序号)

三.解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 18. (本题满分 14 分) 设 ?ABC 的三个内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知

sin( A ? ) ? cos A . 6
(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 2 ,求 b ? c 的最大值.

?

19. (本题满分 14 分)已知两个不共线的向量 a, b ,它们的夹角为 ? ,且 | a |? 3 ,| b |? 1 , x 为正 实数. (1)若 a ? 2b 与 a ? 4b 垂直,求 tan ? ; (2)若? ?

?
6

,求 | x a ? b | 的最小值及对应的 x 的值,并判断此时向量 a 与 x a ? b 是否垂直?

20.(本小题满分 14 分)已知数列?an ? 的前 n 项和 S n ? 2an ? 2n ?1 . (Ⅰ)证明:数列 ?

? an ? 是等差数列; n ? ?2 ?
?

(Ⅱ)若不等式 2n 2 ? n ? 3 ? (5 ? ? )a n 对 ?n ? N 恒成立,求 ? 的取值范围.

21.(本题满分 15 分)某种项目的射击比赛,开始时在距目标 100m 处射击,如果命中记 3 分,且 停止射击;若第一次射击未命中,可以进行第二次射击,但目标已在 150m 处,这时命中记 2 分,且 停止射击;若第二次仍未命中,还可以进行第三次射击,此时目标已在 200m 处,若第三次命中则记 1 分,并停止射击;若三次都未命中,则记 0 分,且比赛结束.已知射手甲在 100m 处击中目标的概 率为
1 ,他的命中率与目标的距离的平方成反比,且各次射击都是独立的. 2

(1)求射手甲在这次射击比赛中命中目标的概率; (2)求射手甲在这次射击比赛中得分的数学期望.

22.(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? a ln x ?

2 (a ? R) . x ?1

(I)当 a ? 1 时,求 f (x) 在 x ? [1,??) 最小值; (Ⅱ)若 f (x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (Ⅲ)求证: ln(n ? 1) ?

1 1 1 1 ( n ? N* ). ? ? ??? 3 5 7 2n ? 1

2013 学年第一学期十校联合体高三期初联考 数 学(理科)参考答案

三.解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18、(本题满分 14 分)

而 sin B ? sin C ? sin B ? sin(

2? 3 1 ? B) ? sin B ? ( cos B ? sin B) 3 2 2

3 3 3 1 ? ? sin B ? cos B ? 3( sin B ? cos B) ? 3 sin( B ? ) . 2 2 2 2 6
则 又

b ? c ? 4sin( B ? ) . 6 2? ? ? 5? 0?B? , 所以 ? B ? ? . 3 6 6 6

?

??? 11 分

所以 当且仅当 B ? 故

?

6

?

?

2

,即 B ?

?

3

时, sin( B ?

?
6

) 取得最大值1 ,??? 13 分

(b ? c) max ? 4 .

??? 14 分

(法二)由余弦定理得 22 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos 则

?
3

,即 4 ? b 2 ? c 2 ? bc ,

??? 6 分

4 ? (b ? c) 2 ? 3bc ,
bc ? ( b?c 2 ) 2
则 (b ? c) 2 ? 4 ? 3 ?



(b ? c) 2 4

??? 12 分



(b ? c) 2 ? 16 , 故 b ? c ? 4 ,
??? 14 分

当且仅当 b ? c 时, (b ? c) max ? 4 .

(2) | xa ? b |?

?

?

? ? ? ? ? ? 3 2 1 ( xa ? b ) 2 ? x 2 a 2 ? 2 xa ? b ? b 2 ? 9( x ? ) ? ???10 分 6 4
??? 12 分

故当 x ?

1 3 ? ? 时, | xa ? b | 取得最小值为 , 2 6

此时 a ? ( xa ? b ) ? xa ? a ? b ? 故向量 a 与 xa ? b 垂直. 20、(本题满分 14 分)

?

?

?

?2

? ?

3 ? ? 9 ? 3 ? 1 ? cos ? 0 , 6 6

??? 14 分

?

?

?

2 解:(Ⅰ)当 n ? 1 时, S1 ? 2a1 ? 2 得 a1 ? 4 .

??? 1 分

S n ? 2an ? 2n ?1 ,
当 n ? 2 时, S n ?1 ? 2an ?1 ? 2 ,两式相减得
n

an ? 2an ? 2an ?1 ? 2n 即 an ? 2an ?1 ? 2n ,

??? 3 分

所以

an an ?1 2an ?1 ? 2n an ?1 an ?1 a ? n ?1 ? ? n ?1 ? n ?1 ? 1 ? n ?1 ? 1 . n n 2 2 2 2 2 2n ?1

??? 5 分



a1 ? 2, 21

所以数列 ?

? an ? 是以 2 为首项, 1 为公差的等差数列. n ? ?2 ?

????7 分

21、(本题满分 15 分) 21. 解:记第一、二、三次射击命中目标分别为事件 A,B,C ,三次都未击中目标为事件 D,依题 意 P( A) ?
1 k 1 k ,设在 x m 处击中目标的概率为 P( x) ,则 P( x) ? 2 ,且 ? , 2 x 2 1002 5000 , x2

∴ k ? 5000 ,即 P( x) ?

∴ P( B) ?

5000 2 5000 1 1 7 7 49 . ? , P(C ) ? ? , P( D) ? ? ? ? 1502 9 2002 8 2 9 8 144

??? 4 分

由于各次射击都是相互独立的, ∴该射手在三次射击中击中目标的概率

22、(本题满分 15 分) (I) f ( x) ? ln x ?

2 ,定义域为 (0,??) . x ?1 1 2 x2 ?1 ? f ' ( x) ? ? ? ? 0, x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2

? h(x) 在 (0,??) 上是增函数.

当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 1 ;

??? 4 分

?? ? 0 1 ,解得 0 ? a ? . ? 2 ? x1 ? x 2 ? 0
综合①②③知: a ?

1 . 2

??? 9 分

(Ⅲ)(法一)根据(Ⅰ)的结论,当 x ? 1 时, ln x ? 令x?

2 x ?1 ? 1 ,即 ln x ? . x ?1 x ?1

k ?1 k ?1 1 ? ,则有 ln , k k 2k ? 1
n

? ? ln
k ?1

n

k ?1 n 1 . ?? k k ?1 2k ? 1

? ln(n ? 1) ? ? ln
k ?1

k ?1 , k
??? 15 分

? ln(n ? 1) ?

1 1 1 ? ??? . 3 5 2n ? 1

(法二)当 n ? 1 时, ln(n ? 1) ? ln 2 .

1 ? 3ln 2 ? ln 8 ? 1 ,? ln 2 ? ,即 n ? 1 时命题成立. 3 1 1 1 设当 n ? k 时,命题成立,即 ln(k ? 1) ? ? ? ? ? . 3 5 2k ? 1 k ?2 1 1 1 k ?2 . ? n ? k ? 1 时, ln(n ? 1) ? ln(k ? 2) ? ln(k ? 1) ? ln ? ? ?? ? ? ln k ?1 3 5 2k ? 1 k ?1 2 x ?1 根据(Ⅰ)的结论,当 x ? 1 时, ln x ? . ? 1 ,即 ln x ? x ?1 x ?1 k ?2 k ?2 1 令x? ,则有 ln , ? k ?1 k ? 1 2k ? 3 1 1 1 1 则有 ln(k ? 2) ? ? ? ? ? ,即 n ? k ? 1 时命题也成立. ? 3 5 2k ? 1 2k ? 3
因此,由数学归纳法可知不等式成立. ???15 分


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