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2011年厦门市高三上学期期末质量检查试题(理科数学)word版


2011 年福建省厦门市高三期末质量检查

数 学 试 题(理)
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卡指定位置上作答,答题前,请在答题 卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名。 2.本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考 试时间 120 分钟。 参考公式: 柱体体积公式:V、Sh,其中 S 为底面面积,h 为高。 锥体体积公式: V ?

1 Sh, 其中 S 为底面面积,h 为高。 3

第Ⅰ卷

(选择题,共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ?| x | x ? 0 |, B ? {x | ( x ?1)( x ? 2) ? 0}, 则A ? B= A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | x ? 1或x ? 2} C. {x |1 ? x ? 2} D.R ( )

2. 已知命题: 函数 f ( x) ? sin x cos x 的最小正周期为 ? ; p: 命题 q: 函数 g ( x ) ? sin( x ? 的图象关于原点对称,则下列命题中为真命题的是 A. p ? q B. p ? q C. ? p D. (?p) ? q (

?
2

)


3.已知α 、β 是两个不同的平面,m、n 是两条不同的直线,则下列命题中正确的是( A.若 m / / n, m ? ?则n / /? C.若 m ? ? , m ? ? 则? / / ? B.若 mm / /? , a ? ? ? n, 则 m//n D.若 m ? ? , ? ? ? , 则m / /?



4.当 a ? 0且a ? 1 时,函数 f ( x) ? a 和g ( x) ? ax ? a 的图象只可能是
z





5.已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1的一个焦点坐标为 (? 3,0) ,则其渐近线方程为 2 a
B. y ? ?





A. y ? ? 2x

2 x 2

C. y ? ?2 x )

D. y ? ?

1 x 2

6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. ? ?

3 3

B. 2? ?

3 3

C. 2? ? 3

D. ? ? 3

7.函数 f ( x) ? x3 ? ax 在 R 上增函数的一个充分不必要条件 是 ( A. a ? 0 B. a ? 0 C. a ? 0 D. a ? 0 8.如图,BC、DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径, )

??? ? ??? ? ??? ? BF ? 2FO ,则 FD ? FE 的值是
3 4 1 C. ? 4
A. ?





8 9 4 D. ? 9
B. ? ( D.4 )

9.函数 ( x) ? log3 ( x ? 2) ? sin 2 x 的零点个数是 A.1 B.2 C.3

10.设函数 f ( x ) 的定义域为 D,若存在非零实数 h 使得对于任意 x ? M (M ? D) ,有

x ? h ? D ,且 f ( x ? h) ? f ( x) ,则称 f ( x) 为 M 上的“h 阶高调函数” 。给出如下结
论: ①若函数 f ( x ) 在 R 上单调递增, 则存在非零实数 h 使 f ( x ) 为 R 上的 “h 阶高调函数” ; ②若函数 f ( x ) 为 R 上的“h 阶高调函数” ,则 f ( x ) 在 R 上单调递增; ③若函数 f ( x) ? x 为区间 ? ?1, ?? ? 上的“h 阶高诬蔑财函数” ,则 h ? 2;
2

④若函数 f ( x ) 在 R 上的奇函数,且 x ? 0 时, f ( x) ?| x ?1| ?1, 则f ( x) 只能是 R 上的 “4 阶高调函数” 。 其中正确结论的序号为 A.①③ B.①④

( C.②③ D.②④



第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。 11.已知直线 3x ? y ? 0与圆x2 ? y2 ? 2x ? 0 相交于 A、B 两点,则|AB|等于 12.已知函数 f ( x) ? 。

?

x

0

(cos t ? sin t )dt ( x ? 0), 则f ( x) 的最大值是



13.在直角三角形 ABC 中, A ? 90?, tan B ? 率 e 等于 14.不等式组 ? 。

3 . 则以点 A、B 为焦点且过点 C 的椭圆的离心 4

?(3x ? y)(2 x ? y) ? 0 所确定的平面区域为 D,则圆 x2 ? y 2 ? 2 的区域 D 内 y?0 ?

的弧长为 。 15.如图,第一个图是正三角形,将此正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向外作正 三角形,并擦去中间一段,得第 2 个图,将第 2 个图中的每一条边三等分,以中间一段 为边向外作正三角形, 并擦去中间一段, 得第 3 个图, 如此重复操作至第 n 个图, an 用 表示第 n 个图形的边数,则数列 {an } 的前 n 项和 Sn 等于 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 13 分) 已知等差数列 {an } 的公差 d ? 0 ,其前 n 项和为 Sn , 若S3 ? 12, 且2a1 , a2 ,1 ? a3 成 等 比数列。 (I)求 {an } 的通项公式; (II)记 bn ?

1 (n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an?1

17. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )(其中A>0,? ? 0,0<? < 轴间的距离为

?
2

) 图象的相邻两条对称

? ? ,且图象上一个最高点的坐标为 ( , 5). 8 2

(I)求 f ( x ) 的解析式; (II)若 ? ? ?

? ? ? 3? ? , ? , 且f ( ) ? 3, 求 tan 2? 的值。 2 ?4 4 ?

18. (本小题满分 13 分) 已知点 F(1,0)和直线 l1 : x ? ?1, 直线 l2 过直线 l1 上的动点 M 且与直线 l1 垂直, 线段 MF 的垂直平分线 l 与直线 l2 相交于点 P。 (I)求点 P 的轨迹 C 的方程; (II)设直线 PF 与轨迹 C 相交于另一点 Q,与直线 l1 相交 于点 N,求 NP ? NQ 的最小值。

??? ???? ?

19. (本小题满分 13 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中,AB//CD, ?A ? 90?, AB ? 2, CD ? 6, AD ? 3, E 为 CD 上一点,且 DE=4,过 E 作 EF//AD 交 BC 于 F 现将 ?CEF 沿 EF 折起到 ?PEF , 使

?PED ? 60? ,如图 2。
(I)求证:PE⊥平面 ADP; (II)求异面直线 BD 与 PF 所成角的余弦值; (III)在线段 PF 上是否存在一点 M,使 DM 与平在 ADP 所成的角为 30? ?若存在,确 定点 M 的位置;若不存在,请说明理由。

20. (本小题满分 14 分) 如图,两县城 A 和 B 相距 20km,O 为 AB 的中点,现要在以 O 为圆心、20km 为半

? 径的圆弧 MN 上选择一点 P 建造垃圾处理厂,其中 MA ? AB, NB ? AB 。已知垃圾处
理厂对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关, 对城 A 和城 B 的总影响度为对城 A 和城 B 的影响度之和。统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方 成反比,比例系数为 9。记垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,设 AP=xkm,

?POA ? ? .
(I)写出 x 关于 ? 的函数关系,并求该函数的定义域和值域; (II)当 x 为多少 km 时,总影响度最小? 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 1 x ? x ? ln( x ? a ) ,其中常数 a ? 0. 4 a

(I)若 f ( x)在x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (II)求 f ( x ) 的单调递增区间; ( III ) 已 知 0 ? a ?

1 , f '(x )表 示 f ( x) 的 导 数 , 若 x1 , x2 ? (?a, a), x1 ? x2 , 且 满 足 2

f '( x1 ) ? f '( x2 ) ? 0 ,试比较 f '( x1 ? x2 )与f '(0) 的大小,并加以证明。


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