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江苏省南京师大附中2015届高三数学模拟考试试卷及答案

2015 高考数学模拟题(2) 南师大《数学之友》 一. 填空题 1. 已知 ? ? ( ? 3 ? ? , ? ) 且 cos ? ? ? ,则 tan( ? ) 的值为 2 5 2 4 ▲ . 2 2 2. 在平面直角坐标系 xOy 中,设 A 是曲线 C1 : y ? ax3 ? 1(a ? 0) 与曲线 C2 : x ? y ? 5 2 的一个公共点,若 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直,则实数 a 的值是 ▲ . 3. 椭圆 C : x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,若椭圆上恰好有 6 个不同的点 a 2 b2 ▲ . P ,使得 ?F1 F2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是 4. 已知 AB ? 2, AC ? 3, ?BAC ? 60 , CD ? 2BC , AE ? x AD ? (1 ? x ) AB , x ? (0,1) , 则 AE 在 AC 上的投影的取值范围是 5. 设函数 f ( x) ? ? 实数 a 的值为 ▲ . ?? 1,?2 ? x ? 0 , 若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax , x ?[?2,2] 为偶函数,则 ? x ? 1,0 < x ? 2 ▲ . 6. 各项为实数的等差数列的公差为 4,其首项的平方与其余各项之和不超过 100,这样的数列 至多有 ▲ 项. 二、解答题 7. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O:x2+y2=64,圆 O1 与圆 O 相交,圆心为 O1(9,0). (1) 经过 O1 作圆 O 的切线,求切线方程; (2) 过定点 P?6,0? 作动直线 l 与圆 O ,圆 O1 都相交,且直线 l 被圆 O ,圆 O1 截得的弦长分别 为 d , d 1 .若 d 与 d 1 的比值总等于同一常数 λ,求 λ 的值和圆 O1 的方程. l 2 是两条海岸线, 8. 某港湾的平面示意图如图所示, 直线 l1 、 点 O 为 l1 、 l 2 交点, A 位于 O 的正南方向 6 km 处, B 位于 O 的北偏东 60? 方向 10 km 处. (1) 求集镇 A , B 间的距离; (2) 随着经济的发展,为缓解集镇 O 的交通压力,拟在海岸线 l1 , l 2 上 分别修建码头 M、N , 开辟水上航线. 勘测时发现: 以 O 为圆心, 3 km 为半径的扇形区域为浅水区,不适宜 船只航行.请确定码头 M、N 的 位置,使得 M、N 之间的直线航线最短. 9. 有 n 个首项都是 1 的等差数列,设第 m 个数列的第 k 项为 amk (m, k ? 1, 2,3, 公差为 d m ,并且 a1n , a2n , a3n , , n, n ≥3) , , ann 成等差数列. (1)证明 d m ? ?2 ? m?d1 ? ?m ? 1?d 2 ; (2)设 d1 ? 1, d 2 ? 3 ,当 n ? 6 时,不等式 1 (2n ? 3) 2 n ?1 ? d n 恒成立. 50 2 10.已知函数 f ( x ) ? a ( x ? ) ? b ln x ( a, b ? R ) , g ( x) ? x . 1 x (1) 若 a ? 1 ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 y 轴垂直,求 b 的值; (2) 在(1)的条件下,求证 g ( x) ? f ( x) ? 2 ln 2 ; (3) 若 b ? 2 , 函数 f ( x) 与 g ( x) 在其公共点处是否存在公切线.若存在, 求出 a 值的个数; 若不存在,说明理由. 理科加试 11. 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, O 是 AC 的中点, E 是线段 D1O 上一点,且 D1E ? ?EO . (1)若 ? ? 1 ,求异面直线 DE 与 CD1 所成角的余弦值; (2)若平面 CDE ? 平面 CD1O ,求 ? 的值. D1 A1 D A O B E B1 C1 C 12. 如图,椭圆 C 1 : x2 3 2 ? y 2 ? 1 的离心率为 , x 轴被曲线 C 2 : y ? x ? 1截得的线段长 2 4 等于 C 1 的长半轴长.设 C 2 与 y 轴的交点为 M ,过坐标原点 O 的直线 l 与 C 2 相交于点 A , B , 直线 MA , MB 分别与 C 1 相交于点 D , E . (1)证明: MD ? ME ; (2) 记 ?MAB , ?MDE 的面积分别为 S 1 , S 2 ,问:是否存在直线 l ,使得 请说明理由. S1 17 成立? ? S 2 32 参考答案 一. 填空题 1.答案: 1 . 3 解: ? 4 ? ? 2 ? ? 2 , cos ? ? 2 cos 2 ? 2 ? 2 ? 1 ,? cos2 ?1 ? 2 ? ? 5 ? 2 5 1 , cos ? , sin ? , 5 2 5 2 5 tan ? 2 ? 2 , tan( ? ) ? 2 4 ? ? tan 1 ? tan ? 2 ? 1 . 3 2.答案: 4. 解:设 A?x0 , y0 ? ,所以 C 1 在 A 处的切线斜率为 f ' ?x0 ? ? 3ax0 , 2 C2 在 A 处的切线斜率为 ? x 1 ? ? 0 ,又 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直, kOA y0 所以, ? ?? 3 ? x0 ? 3 2 ? ? 3ax0 ? ?1,即 y0 ? 3ax0 . ? ? y0 ? 5 1 3 2 2 .代入 C 2 : x ? y ? ,得 x0 ? ? , 2 2 2 又 ax0 ? y0 ?1,故 y0 ? 将

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