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§2.2.2 对数函数及其性质(第一、二课时)

§2.2.2 一.教学目标 1.知识技能 对数函数及其性质(第一、二课时) ①对数函数的概念,熟悉对数函数的图象与性质规律. ②掌握对数函数的性质,能初步运用性质解决问题. 2.过程与方法 让学生通过观察对数函数的图象,发现并归纳对数函数的性质. 3.情感、态度与价值观 ①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力; ②培养学生严谨的科学态度. 二.学法与教学用具 1.学法:通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质; 2.教学手段:多媒体计算机辅助教学. 三.教学重点、难点 1、重点:理解对数函数的定义,掌握对数函数的图象和性质. 2、难点:底数 a 对图象的影响及对数函数性质的作用. 四.教学过程 1.设置情境 在 2.2.1 的例 6 中,考古学家利用 log 5730 1 2 P 估算出土文物或古遗址的年代,对于 每一个 C14 含量 P,通过关系式,都有唯一确定的年代 t 与之对应.同理,对于每一个对数 x x 式 y ? loga 中的 x , 任取一个正的实数值, y 均有唯一的值与之对应,所以 y ? log a 关于x 的函数. 2.探索新知 一般地,我们把函数 y ? loga x ( a >0 且 a ≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函 数的定义域是(0,+∞) . 提问: (1) .在函数的定义中,为什么要限定 a >0 且 a ≠1. (2) .为什么对数函数 y ? loga x ( a >0 且 a ≠1)的定义域是(0,+∞) .组织学生 充分讨论、交流,使学生更加理解对数函数的含义,从而加深对对数函数的理解. 答:①根据对数与指数式的关系,知 y ? loga x 可化为 a ? x ,由指数的概念,要使 y a y ? x 有意义,必须规定 a >0 且 a ≠1. ②因为 y ? loga x 可化为 x ? a ,不管 y 取什么值,由指数函数的性质, a >0,所以 y y x ? (0, ??) . 例题 1:求下列函数的定义域 (1) y ? log a x 2 (2) y ? loga (4 ? x) ( a >0 且 a ≠1) 分析:由对数函数的定义知: x >0; 4 ? x >0,解出不等式就可求出定义域. 2 解: (1)因为 x >0,即 x ≠0,所以函数 y ? log a x 的定义域为 ?x | x ? 0? . 2 2 (2)因为 4 ? x >0,即 x <4,所以函数 y ? loga (4? x ) 的定义域为 ? x | x < 4? . 下面我们来研究函数的图象,并通过图象来研究函数的性质: 先完成 P81 表 2-3,并根据此表用描点法或用电脑画出函数 y ? log2 x 的图象, 再利用 电脑软件画出 y ? log0.5 x 的图象. x y 1 2 -1 1 0 2 1 4 2 6 2.58 8 3 12 3.58 16 4 y y ? log0.5 x 0 x y ? log2 x 注 意 到 : y ? log 1 x ? ? log 2 x , 若 点 ( x, y)在y ? log2 x 的 图 象 上 , 则 点 2 ( x, ? y ) 与 ( x, ? y ) 关于 x 轴对称, 因此,y ? log 1 x ( x, ? y)在y ? log 1 x 的图象上. 由于 2 2 的图象与 y ? log 2 x 的图象关于 x 轴对称 . 所以,由此我们可以画出 y ? log 1 x 的图象 . 2 先由学生自己画出 y ? log 1 x 的图象,再由电脑软件画出 y ? log 2 x 与 y ? log 1 x 的图 2 2 象. 探究:选取底数 a (a >0,且 a ≠1)的若干不同的值,在同一平面直角坐标系内作出相应的 对数函数的图象.观察图象,你能发现它们有哪些特征吗? .作法:用多媒体再画出 y ? log 4 x , y ? log3 x , y ? log 1 x 和 y ? log 1 x 3 4 y ? log3 x 4 2 y ? log4 x -5 0 5 y ? log 1 x -2 y ? log 1 x 3 4 提问:通过函数的图象,你能说出底数与函数图象的关系吗?函数的图象有何特征, -4 性质又如何? 先由学生讨论、交流,教师引导总结出函数的性质. (投影) 图象的特征 (1)图象都在 y 轴的右边 (2)函数图象都经过(1,0)点 (3)从左往右看,当 a >1 时,图象逐渐 上升,当 0< a <1 时,图象逐渐下降 . 函数的性质 (1)定义域是(0,+∞) (2)1 的对数是 0 x (3)当 a >1 时, y ? loga 是增函数,当 0< a <1 时, y ? loga x 是减函数. (4)当 a >1 时 x >1,则 loga x >0 (4)当 a >1 时,函数图象在(1,0)点 右边的纵坐标都大于 0,在(1,0)点左 边的纵坐标都小于 0. 当 0< a <1 时,图 象正好相反,在(1,0)点右边的纵坐标 都小于 0,在(1,0)点左边的纵坐标都 大于 0 . 0< x <1, loga x <0 当 0< a <1 时 x >1,则 loga x <0 0< x <1, loga x <0 由上述表格可知,对数函数的性质如下(先由学生仿造指数函数性质完成,教师适当 启发、引导) : a >1 图 象 0< a <1 性 质 (1)定义域(0,+∞) ; (2)值域 R; (3)过点(1,0) ,即当 x =1, y =0; (4)在(0,+∞)上是增函数 例题训练: 1. 比较下列各组数中的两个值大小 (1) log2 3.4 , (2) log0.3 1.8 , (3) loga 5.1, 在(0,+∞)是上减

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