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16第3篇 第5节 三角恒等变换5


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第5节 三角恒等变换

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1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)两角和与差的余弦公式 cos αcos β-sin αsin β cos(α+β)=____________________________ ,
cos(α-β)= sin(α+β)= cos αcos β+sin αsin β . (2)两角和与差的正弦公式 sin αcos β+cos αsin β , sin αcos β-cos αsin β .

sin(α-β)=

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(3)两角和与差的正切公式 tan α+tan β π 1 - tan α tan β tan(α+β)=_____________( α,β,α+β≠2+kπ,k∈Z), tan α-tan β π 1 + tan α tan β tan(α-β)=_______________( α,β,α-β≠2+kπ,k∈Z).

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2.二倍角的正弦、余弦和正切公式 (1)二倍角的正弦公式
2sin αcos α sin 2α=____________.

(2)二倍角的余弦公式
cos2 α-sin2 α =2cos2 α-1=1-2sin2 α. cos 2α=______________

(3)二倍角的正切公式 2tan α 1-tan2 α tan 2α=__________________ .

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3.公式的常见变式 tan(α±β)(1?tan αtanβ) (1)tan α± tan β=______________________
1-cos 2α 2 (2)sin2α=_____________ ;



1+cos 2α 2 2 cos α=____________; 1 sin 2α 2 sin α· cos α=___________.

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2cos 2 (3)1+cos α=__________ ; 2α 2sin 2 1-cos α=____________ ;



1+sin 1-sin

? α=?sin ? ? α=?sin ?

α α ?2 +cos ? ; 2 2? α α ?2 -cos ? . 2 2?

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4.形如asin x+bcos x的式子的化简 asin x+bcosx= a2+b2sin(x+φ) b a (其中sin φ= 2 . 2,cos φ= 2 2) a +b a +b

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1.化简cos 15° cos 45° -cos 75° sin 45° 的值为( 1 A. 2 1 C.- 2 3 B. 2 3 D.- 2

)

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解析:cos 15° cos 45° -cos 75° sin 45° = cos 15° cos 45° -sin 15° sin 45° = 1 cos(15° +45° )=cos 60° =2. 故选A.

答案:A

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α 3 2.(2013年高考江西卷)若sin = ,则cos α等于( 2 3 2 A.- 3 1 C. 3 1 B.- 3 2 D. 3


)

1 解析:cos α=1-2sin = . 2 3 故选C.
答案:C

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3.(2014太原五中模拟)已知函数f(x)=2 2 sin xcos x,为 了得到函数g(x)=sin 2x+cos 2x的图象,只需要将y=f(x)的图 象( ) π π A.向右平移4个单位长度 B.向左平移4个单位长度 π π C.向右平移8个单位长度 D.向左平移8个单位长度

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解析:f(x)= 2sin 2x, π π g(x)= 2sin(2x+ ) = 2sin 2(x+ ) , 4 8 π ∴为了得到g(x)的图象,只需将f(x)的图象向左平移 个单 8 位长度.故选D.
答案:D

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cos α-sin α 4.已知α、β均为锐角,且tan β= ,则tan(α+ cos α+sin α β)=________.
?π ? 1-tan α 解析:tan β= =tan?4-α?. 1+tan α ? ?

π ∵α、β均为锐角,∴β= -α, 4 π ∴α+β=4,∴tan(α+β)=1.
答案:1
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三角函数式的化简、求值
[ 例1] A. 2 C. 3 (1)(2013年高考重庆卷)4cos 50° -tan 40° 等于( 2+ 3 B. 2 D.2 2-1 )

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10 (2)若α是第二象限角,sin(π-α)= 10 . α α 2α 2sin 2+8sin 2cos 2+8cos 2-5 则 =________. ? π? 2sin?α-4? ? ?


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[ 思维导引 ]

(1) 根据已知角将其化为同角三角函数,

并将切化为弦.(2)对分子进行降幂,对分母展开,然后由
已知条件求出tan α的值代入计算.

[ 解析]

(1)4cos 50° -tan 40°

sin 40° =4sin 40° - cos 40° 4sin 40° · cos 40° -sin 40° = cos 40° 2sin 80° -sin 40° = cos 40°
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2cos 10° -sin?30° +10° ? = cos 40° 3 3 - 2 sin 10° 2cos 10° = cos 40° 3?cos 30° cos 10° -sin 30° sin 10° ? = cos 40° 3cos 40° = cos 40° = 3. 故选C.
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10 10 (2)由sin(π-α)= 10 得sin α= 10 , 3 10 1 又α是第二象限角,∴cos α=- 10 ,tan α=-3. α α 2α 2sin 2+8sin 2cos 2+8cos 2-5 = ? π? 2sin?α-4? ? ? α α 2α 2α 2sin +8sin cos +2cos +6cos -5 2 2 2 2 2 = ? π π? 2?sin αcos 4-cos αsin 4? ? ?
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2+4sin α+6cos 2-5 = sin α-cos α 1+cos α 4sin α+6× -3 2 = sin α-cos α 4sin α+3cos α 4tan α+3 = sin α-cos α tan α-1



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4 - +3 3 = 1 -3-1 5 =-4.

[ 答案]

(1)C

5 (2)-4

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三角函数式的化简常用方法:

(1)善于发现角之间的差别与联系,合理对角拆分,恰
当选择三角公式,能求值的求出值,减少角的个数. (2)统一函数名称,利用诱导公式切弦互化、二倍角公 式等实现名称的统一. (3)利用公式,消去或约去一些非特殊角的三角函数.

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即时突破1 sin 50° (1+ 3tan 10° )=________. 解析:sin 50° (1+ 3tan 10° )
=sin
? ?1+ 50° ? ? sin 10° ? 3×cos 10° ?

cos 10° + 3sin 10° =sin 50° × cos 10° 1 3 22cos 10° + 2 sin 10° =sin 50° × cos 10° 2sin 50° · cos 50° sin 100° cos 10° = =cos 10° =1. cos 10° = cos 10°

答案:1
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三角函数的给值求值问题
? ?α ? 2 β? π 1 [ 例2] 已知0<β< <α<π,且cos?α-2?=- ,sin?2-β?= , 2 9 ? ? ? ? 3 求cos(α+β)的值.

[ 思维导引]

α+β β α =(α- ) -( -β)利用两角和差的余弦公 2 2 2

α+β 式求出cos 2 ,再利用二倍角公式求出cos(α+β)的值.

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[ 解]

π ∵0<β<2<α<π,

π α π π β ∴- < -β< , <α- <π, 4 2 2 4 2
?α ? ∴cos?2-β?= ? ? ? β? sin?α-2?= ? ?

1-sin 1-cos
2

2

?α ? ? -β?= ?2 ?

5 3,

? β? 4 5 ?α- ?= 2? 9 , ?

?? α+β β? ?α ?? ∴cos 2 =cos??α-2?-?2-β??= ?? ? ? ?? ? ? β ? ?α ? β ? ?α ? cos?α-2?cos?2-β?+sin?α-2?sin?2-β?= ? ? ? ? ? ? ? ?
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? 1? ?- ?× ? 9?

5 4 5 2 7 5 + × = , 3 9 3 27
2α+β

∴cos(α+β)=2cos 49×5 =2× 729 -1 239 =-729.

2

-1

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三角函数的给值求值,关键是把待求角

用已知角表示:
(1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和或 差; (2)已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍”的 关系或“互余互补”关系.

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即时突破2 (2013年高考广东卷)已知函数f(x)= 2 cos(x- π ,x∈R. 12) π (1)求f(-6)的值; 3 3π π (2)若cos θ= ,θ∈( ,2π),求f(2θ+ ) . 5 2 3 π π π π 解:(1)f(- ) = 2cos(- - ) = 2cos(- ) = 6 6 12 4
π 2cos 4=1.

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π π π π (2)f(2θ+ )= 2cos(2θ+ - )= 2cos(2θ+ ) =cos 2θ- 3 3 12 4 sin 2θ. 3 3π 因为cos θ= ,θ∈( ,2π), 5 2 4 所以sin θ=- . 5 24 所以sin 2θ=2sin θcos θ=- , 25 7 cos 2θ=cos θ-sin θ=- . 25
2 2

π 7 24 17 所以f(2θ+ ) =cos 2θ-sin 2θ=- -(- ) = . 3 25 25 25
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三角函数的给值求角
例3] 1 1 已知α、β∈(0,π),且tan(α-β)= ,tan β=- , 2 7

求2α-β的值.

[ 思维导引]

先由α=(α-β)+β求得tan α,再求tan 2α的

值,从而可求出tan(2α-β)的值,然后讨论2α-β角的范围,求 得2α-β的值.

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[ 解]

∵tan α=tan[(α-β)+β]

tan?α-β?+tan β = 1-tan?α-β?tan β 1 1 2-7 1 = 1 1=3>0, 1+ × 2 7 π ∴0<α<2,

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1 2× 3 3 2tan α 又∵tan 2α= = ?1? =4>0, 1-tan2 α 1-?3?2 ? ? π ∴0<2α<2, 3 1 tan 2α-tan β 4+7 ∴tan(2α-β)= = 3 1=1. 1+tan 2αtan β 1- × 4 7 1 ∵tan β=-7<0,

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π ∴2<β<π,-π<2α-β<0, 3π ∴2α-β=- . 4

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(1)解决给值求角问题的一般步骤是:

①求角的某一个三角函数值;②确定角的范围;③根据角
的范围写出要求的角. (2)在求角的某个三角函数值时,应注意根据条件选择 恰当的函数,尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对 一函数.

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①已知正切函数值,选正切函数; ②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围 是
? π? ?0, ? 2? ?

,选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余

? π π? 弦函数较好;若角的范围为?-2,2?,选正弦函数较好. ? ?

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即时突破3

已知A,B,C是△ABC的三个内角,向量m=

(-1, 3),n=(cos A,sin A),且m· n=1. (1)求角A; 1+sin 2B (2)若 2 =2+ 3,求角B. cos B-sin2B

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解:(1)∵m· n=(-1, 3)· (cos A,sin A) = 3sin A-cos A π =2sin(A-6) =1, π 1 ∴sin(A- ) = . 6 2 又∵0<A<π,

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π π 5π ∴- <A- < , 6 6 6 π π ∴A- = , 6 6 π ∴A= . 3

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1+sin 2B (2)∵ 2 2 =2+ 3, cos B-sin B ?sin B+cos B?2 ∴ =2+ 3, ?cos B-sin B??cos B+sin B? cos B+sin B ∴ =2+ 3, cos B-sin B tan B+1 ∴ =2+ 3, 1-tan B 3 ∴tan B= 3 . 又0<B<π, π ∴B=6.
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三角恒等变形的综合应用
[ 例4] (2014广东湛江一中等“十校”联考)设f(x)=6cos2x

- 3sin 2x, (1)求f(x)的最小正周期、最大值及f(x)取最大值时x的集 合; 4α (2)若锐角α满足f(α)=3-2 3,求tan 5 的值.

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[ 思维导引]

(1)将函数化为f(x)=Asin(ωx+φ)+b或f(x)=

Acos(ωx+φ)+b的形式再研究性质;(2)由条件求出α角,进而 4α 求tan 5 的值. 1+cos 2x [ 解] (1)f(x)=6× - 3sin 2x 2
=3cos 2x- 3sin 2x+3 3 1 =2 3( 2 cos 2x-2sin 2x)+3 π =2 3cos(2x+6) +3.
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2π 函数f(x)的最小正周期T= 2 =π. 函数f(x)的最大值为2 3+3, π π 此时2x+6=2kπ,x=kπ-12,k∈Z,
? ? π ? ? ? 即x的集合为 xx=kπ-12,k∈Z?. ? ? ? ?

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π (2)由f(α)=3-2 3得2 3cos(2α+ ) +3=3-2 3, 6 π 故cos(2α+6) =-1, π π π 7π 又由0<α< 得 <2α+ < , 2 6 6 6 π 故2α+6=π, 5 解得α=12π. 4α π 从而tan 5 =tan3= 3.
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即时突破4 (2014重庆市一中月考)已知向量a=(sin θ,cos π θ),b=( 3,1),其中θ∈(0, ) . 2 (1)若a∥b,求sin θ和cos θ的值; (2)若f(θ)=(a+b)2,求f(θ)的值域.

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解:(1)∵a∥b, ∴sin θ- 3cos θ=0, 求得tan θ= 3. π 又∵θ∈(0,2) , π 3 1 ∴θ=3,sin θ= 2 ,cos θ=2.

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(2)f(θ)=(sin θ+ 3)2+(cos θ+1)2 =2 3sin θ+2cos θ+5 π =4sin(θ+6) +5. π 又∵θ∈(0,2) , π π 2π ∴θ+6∈(6, 3 ) , 1 π ∴ <sin(θ+ ) ≤1, 2 6 ∴7<f(θ)≤9. 即函数f(θ)的值域为(7,9].
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利用三角恒等变换研究三角函数的性质 [ 典例] (12分)(2013年高考辽宁卷,理17)设向量a=( 3

π sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈0,2. (1)若|a|=|b|,求x的值; (2)设函数f(x)=a· b,求f(x)的最大值.

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满分展示: 解:(1)由|a|=|b|得 3sin2x+sin2x= cos2x+sin2x, 即4sin2x=1. π 又x∈[0, ] , 2 1 所以sin x=2, π x= . 6 4分 6分 2分

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π (2)f(x)=a· b= 3sin xcos x+sin x,x∈[0, ] . 2
2

1-cos 2x 3 3 1 1 f(x)= sin 2x+ = sin 2x- cos 2x+ =sin(2x 2 2 2 2 2 π 1 - ) + . 10分 6 2 π π 5π 又2x-6∈[-6, 6 ] , 3 所以f(x)∈[0, ] . 2 3 所以f(x)的最大值为2. 12分
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