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正态分布和对数正态分布_图文

正态分布

& 对数正太分布

正态分布的概念和特征 ? 变量的频数或频率呈中间最多,两端 逐渐对称地减少,
表现为钟形的一种概率分布。从理论上说,若随机变 量x的概率密度函数为:

f (x) ?

1 2? ?

e

? ( x ? ? ) / 2?
2

2

则称x服从均数为μ,方差为σ2的正态分布

标准正态分布 ? 定义
X ~ N(0,1)分布称为标准正态分布

? 密度函数
? (x) ?
1 2?
? x
2

e

2

? 分布函数
?( x) ? ?
x ??

1 e 2?

x2 ? 2

dx

? ? 0 ? ?1

正态分布的密度函数的图形
y

1 2??

中间高

两边低
?-?
?

?+?

x

对数正态分布: 是对数为正态分布的任意随机变 量的概率分布。如果 X 是正态分布的 随机变量,则 exp(X) 为对数分布;同 样,如果 Y 是对数正态分布,则 ln(Y) 为正态分布。

? 若 X 是一个随机变量, Y=ln(X)服从正态分布:

Y=ln(X)~N(?,?2)
? 则称 X 服从对数正态分布。 ? 对数正态概率密度函数是:
? ? 1 ? ln x ? ? ? 2 ? 1 ex p ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? x 2? ? ? ? ? 0 ? x ? 0

f(x)=

(3-9)
x ? 0

? ? 和 ? 不是对数正态分布的均值和标准差,而分别称为它的对数均值和对数标

准差。

? 对数正态分布的均值是:
2 ? ? ? E ( x ) ? exp ? ? ? ? 2 ? ?

? 对数正态分布的方差是:

var( x ) ? exp 2 ? ? ?

?

?

2

???exp ?? ?-1 ?
2