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高二数学椭圆专题测试


高二数学椭圆测专题试题
一.选择题(每小题 5 分,满分 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1.若直线 y ? kx ? 1 和椭圆 x2 ? 4 y 2 ? 1 相切, 则 k 的值是………………………[
2

C ]

A.1 / 2

B.2 / 3

C.3 / 4

D.4 / 5

2.椭圆 mx2 ? ny 2 ? 1 与直线x+y-1=0交于M、 N两点, 过原点与线段MN中点的直线斜率为

2 ,则 n 的值是…………………………………………………………………[ B ] m 2 2 2 3 A. B. C. 3 D. 2 3 2 2 x2 y 2 ? 3.椭圆 2 ? 2 ? 1 上对两焦点张角为 90 的点可能有………………………………[ C ] a b
A.4个 B.2个或4个 C.0个或2个,4个 D.还有其它情况

4. B1 , B2 是椭圆短轴的两端点,过左焦点 F 作长轴的垂线,交椭圆于P,若 |FF2 | 是 |OF | 和 1 1 1

|B1B2 | 的比例中项,则 |PF1| : |OB2 | 的值是……………………………………………[ B ]
A. 2 B. 2 5 5 C. 5 2 D. 2 3

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点为 F1 ,点P在椭圆上,如果线段 PF1 的中点M在y轴上,那 5.椭圆 12 3
么点M的纵坐标是…………………………………………………………………………[ A ] A.?

3 4

B. ?

3 2

C.?

6.设A(-2, 3 ),F为椭圆

x2 y2 + =1的右焦点,点M在椭圆上移动,当|AM|+2|MF| 16 12

2 4

D. ?

3 4

取最小值时,点M的坐标为…………………………………………………………………[ C ] A.(0,2 3 ) B.(0,-2 3 ) C.(2 3 , 3 ) D.(-2 3 , 3 )

二.填空题(每题 5 分,满分 20 分,把答案填在题中横线上) 7. 椭圆

x2 y 2 ? =1 上有一点 P 到左准线的距离为 2.5, P 到右焦点的距离为 则 25 9
5 2 , 离心率为 , 4 3 5 . (用分数表示 )



8.若 椭 圆 的 一 个 焦 点 到 相 应 准 线 的 距 离 为
则椭圆的半短轴长为

9. 若点A(4, y1 )、B、C (8, y2 )是椭圆 :

x2 y2 ? ? 1上的三点, 它们关于右焦点 144 9 的三条焦点半径长成等差数列, 那么点B的坐标是 ________ .

10.P 是椭圆

x2 y2 + =1 上的点,F1 和 F2 是焦点,则 k=|PF1|·|PF2|的最大值和最小值 4 3

分别是________ 1.8 2.1/2 3. (6, ?

3 3 ) 2

4.kmax=4,kmix=3

三.解答题(11,12 题每题 15 分,13 题 20 分,满分 50 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤) 11. 已知椭圆的焦点在坐标轴上,短轴的一个端点与两焦点构成正三角形,若焦点到椭圆 的最短距离为 3 ,求椭圆的标准方程. 解:如图所示,设点P( x0 , y0 )为椭圆上位于第一象限的任一点,其到焦点距离

| PF2 | =a-ex0 ,显然 x0=a 时, | PF2 | 最小,故有 a-c= 3 ,由短轴端点与两焦点构
成正三角形得 b= 3c ,a=2c,解之得 a=2 3 ,b=3.

x2 y 2 x2 y 2 1 1 故 + = 与 + = 为所求椭圆方程. 12 9 9 12
12.设中心在原点, 焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 交于 A、B 两点,若线段 AB 的长等于圆的直径. (1)求直线AB的方程; (2)求椭圆的方程. 解: (1)设椭圆的方程为

5 3 2 2 , 并且椭圆与圆 x +y -4x-2y+ =0 2 2

x2 y 2 c 3 2 2 2 2 2 ? 2 ? 1 ,由 e ? ? 及 a ? b ? c 得 a ? 4b , 2 a b a 2

设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由于线段 AB 的长等于圆的直径,所以线段 AB 的中点为圆心 (2,1) ,

? x12 y12 ? 2 ? 2 ?1 且 AB ? 10 ,则 ? a 2 b 2 ,两式相减得 ? x22 ? y22 ? 1 b ?a

? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? , y1 ? y2
a2 ?b2

? x1 ? x2 ?2 ?b2 ? x1 ? x2 ? ? ,又 ? 2 ,所以 ? 2 y1 ? y2 x1 ? x2 a ? y1 ? y2 ? ? ?1 ? 2

?b2 ? x1 ? x2 ? ?2b2 ?2b2 1 1 1 y ?y ? 2 ? ? ? , 1 2 ? ? ,直线 AB 的方程为 y=- x+2; 2 2 2 2 a ? y1 ? y2 ? a 4b 2 x1 ? x2
1 ? ? y1 ? y2 ? 2 ?y ? ? 2 x ? 2 ? 2 2 (2)由 ? 2 ,消去 x 得 2 y ? 4 y ? 4 ? b ? 0 ,? ? 4 ? b2 , x y2 ? 2 ? 2 ?1 ? y1 y2 ? 2 ? 4b b ?
? ? y1 ? y2 ? ? 2b 2 ? 4 ,又 x1 ? x2 ? ?2 ? y1 ? y2 ? ,所以 ? x1 ? x2 ? ? 4 ? y1 ? y2 ? ,
2 2 2

? AB ?

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

? 5 ? 2b2 ? 4 ? ,又 AB ? 10 ,?5 ? 2b2 ? 4? ? 10 ,

?b2 ? 3, a 2 ? 12 ,所求椭圆的方程为

x2 y 2 + =1. 12 3

13.设椭圆

x2 y 2 + =1的两焦点为F1、F2,长轴两端点为A1、A2. a2 b2
0

(1)P是椭圆上一点,且∠F1PF2=60 ,求Δ F1PF2的面积; 0 (2)若椭圆上存在一点 Q,使∠A1QA2=120 ,求椭圆离心率 e 的取值范围.

解: (1)设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则S ?PF F =
1 2

1 r1r2sin∠F1PF2,由r1+r2=2a, 2

2b2 4c =r +r2 -2cos∠F1PF2,得r1r2= .代入面积公式,得 1 ? cos ?F1PF2
2 2 1 2

S ?PF1F2 =

F PF sin ?F1 PF2 3 2 2 2 b =b tan∠ 1 2 = b. 2 3 1 ? cos ?F1PF2

(2)设∠A1QB=α ,∠A2QB=β ,点Q(x0,y0)(0<y0<b). tan θ =tan(α +β )=

tanα+tanβ = 1-tanαtanβ

a ? x0 a ? x0 ? 2 x2 y2 y0 y0 2ay0 2 2 a 2 = 2 .∵ 0 + 0 =1,∴x0 =a - 2 y0 . 2 2 2 2 2 2 a ? x0 a b b x0 ? y0 ? a 1? 2 y0

2ay0 2ab 2 2 2 2 4 2 2 4 ∴tanθ= = 2 =- 3 .∴2ab = 3 c y0≤ 3 c b, 即3c +4a c -4a ≥0, 2 2 a ? b 2 ?c y0 ? y0 b2
∴3e +4e -4≥0,解之得e ≥
4 2 2

2 6 ,∴ ≤e<1为所求. 3 3


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