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2.2.1圆锥曲线的参数方程


二 圆锥曲线的参数方程

一、复习题
1.参数方程的概念
(1)在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数
? ?x= f( t), t 的函数? (*),并且对于 ? ?y= g( t)

t 的每一

个允许值,由方程组 (*)所确定的点 M(x, y)都在这条曲线 参数方程 , 上, 那么方程(*)就叫做这条曲线的 _________ 联系变数 x, 参变数, 参数. y 的变数 t 叫做 _______ 简称 _____ 相对于参数方程而言, 普通方程. 直接给出点的坐标间关系的方程叫做 _________ (2)参数是联系变数 x,y 的桥梁,可以是一个有物理意义或 几何意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.

2.圆的参数方程 (1)如图所示, 设圆 O 的半径为 r, 点M 从初始位置 M0 出发,按逆时针方向在 圆 O 上作匀速圆周运动,设 M(x, y), ? ?x= rcos θ , ? (θ 为参数) ? 则 ________________________ . ?y= rsin θ 这就是圆心在原点 O, 半径为 r 的圆的 参数方程,其中 θ 的几何意义是 OM0 逆时针 旋转到 OM 的位置时, 绕点 O_______ OM0 转过的角度.

(2)圆心为C(a,b),半径为r的圆的普通方程与参数方程
普通方程
2 2 2

参数方程
? a+rcos θ ?x=_________ ? (θ ? b+rsin θ ?y=_________

(x-a) +(y-b) =r

为参数)

3.参数方程和普通方程的互化

参数方程化为普通方程,可通过代入消元法和三角恒
等式消参法消去参数方程中的参数即可,通过曲线的 普通方程来判断曲线的类型. 由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数,寻求曲 线上任一点M的坐标x,y和参数的关系,根据实际问 题的要求,我们可以选择时间、角度、线段长度、直 线的斜率、截距等作为参数.

第二节

圆锥曲线的参数方程

1. 椭圆的参数方程

第二节
学习目标

圆锥曲线的参数方程

1.掌握椭圆的参数方程及其应用. 2.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题.

【核心扫描】
1.对椭圆的参数方程的应用考查.(重点) 2.本节内容常与函数、方程、三角结合起来命题.

自学导引
1.椭圆的参数方程
普通方程 x2 y 2 + =1(a>b>0) a2 b2 y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2 参数方程

acos φ ? ?x=_________ ? (φ b sin φ ? y = _________ ?
? ?x=bcos φ ? ? ?y=asin φ

为参数)

(φ 为参数)

名师点睛
? ?x= rcos 1. 和圆的参数方程? ? ?y= rsin

θ , 中的参数 θ 是半径 OM 的旋 θ φ, 中的参数 φ 是椭圆 φ

? ?x= acos 转角不同, 椭圆参数方程? ? ?y= bsin

上点 M 的离心角. (x-m)2 (y-n)2 2.椭圆 + = 1 (a>b>0) 的 参 数 方 程 为 a2 b2 ? ?x= m+ acos φ ? (φ 为参数). ? ?y= n+ bsin φ

x2 y2 例1 在椭圆 ? ? 1上求一点M , 使点 M到 9 4 直线 x ? 2 y ? 10 ? 0 的距离最小 , 并求出最小值 .

所以可设点M的坐标为?3 cos ? ,2 sin ? ?. 由点到直线的距离公式, 得到点M到直线的 距离为 | 3 cos ? ? 4 sin ? ? 10 | d? 5

解 因为椭圆的参数方程为 x ? 3 cos ? , ? ? ? 为参数 y ? 2 sin ? ,

3 4? ? | 5? cos ? ? ? sin ? ? ? ? 10 | 5 5? ? ? 5 1 ? | 5 cos?? ? ?0 ? ? 10 |, 5 3 4 其中?0满足 cos ?0 ? , sin ?0 ? . 5 5 由三角函数性质知,当? ? ?0 ? 0, d取最小值 5 . 9 8 此时,3 cos ? ? 3 cos ?0 ? ,2 sin ? ? 2 sin ?0 ? . 5 5 ?9 8? 所以,当点M位于? , ?时, 点M到直线x ? 2 y ? ?5 5? 10 ? 0的距离取最小值 5 .

思考 与简单线性规划问题类 比, 你能 x y 在实数x, y满足 ? ? 1的前提下, 求 9 4 出z ? x ? 2 y的最大值和最小值吗 ?由此 可以提出哪些类似问题 ?
2 2

巩固练习
x2 y2 1 已知 A、B 分别是椭圆 + =1 的右顶 36 9 点和上顶点,动点 C 在该椭圆上运动,求 △ABC 的重心 G 的轨迹的普通方程.

[思维启迪] 由已知求出A、B坐标,再设 点坐标 出C (6cos θ,3sin θ),再用A、B、C的坐标表示出G点的 参数方程,消参后得普通方程.

解 由动点 C 在该椭圆上运动,故据此可设点 C 的坐标为 (6cos θ ,3sin θ ),点 G 的坐标为(x, y),则由题意可知点 A(6, 0), B(0,3). 6+ 0+6cos θ ? =2+ 2cos θ , ?x= 3 由重心坐标公式可知? ?y=0+ 3+3sin θ = 1+sin θ . ? 3 ( x-2) 2 由此消去 θ 得到 +(y- 1)2= 1 即为所求. 4

【反思感悟】 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于
解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单, 运算更简便.

2 (2008· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(x,y)是
x2 2 椭圆 +y =1 上的一个动点,求 S=x+y 的最大值. 3 ? ?x= 3cos φ , x2 2 解 因椭圆 + y = 1 的参数方程为? 3 ? ?y= sin φ (φ 为参数 ),
故可设动点 P 的坐标为 ( 3cos φ , sin φ ), 其中 0≤ φ<2π . 因此 S= x+ y= 3cos φ + sin φ
? = 2? ? ? ? π? 3 1 ? ? cos φ + sin φ ?= 2sin?φ + ?. ? 2 2 ? 3? π 所以,当 φ= 时, S 取最大值 2. 6


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