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两角和与差及二倍角的三角函数公式_图文

考纲要求 考纲研读 1.会用向量的数量积推导出两 向量是沟通代数、几何与三角函数 的一种工具,利用向量推导公式 角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导 时,要结合图形,将所求的角用已 出两角差的正弦、正切公式. 知角表示出来,并借助诱导公式求 3.能利用两角差的余弦公式导 解.研究不同三角函数值之间的关 出两角和的正弦、余弦、正切 系时,常以角为切入点,并以此为 公式,导出二倍角的正弦、余 依据进行公式的选择,同时还要关 弦、正切公式,了解它们的内 注式子的结构特征,通过对式子进 在联系. 行恒等变形,将问题得到简化.

1.两角和与差的三角函数 cosαcosβ-sinαsinβ cos(α+β)=______________________( Cα+β); cosαcosβ+sinαsinβ cos(α-β)=_____________________( C );
α-β

sinαcosβ+cosαsinβ sin(α+β)=_______________________( Sα+β);
sin(α-β)=_______________________( Sα-β); sinαcosβ-cosαsinβ tanα+tanβ 1-tanαtanβTα+β); tan(α+β)=____________( tanα-tanβ tan(α-β)=____________( 1+tanαtanβ Tα-β).

2.二倍角的三角函数 cos2α=_____________ cos2α-sin2α =_____________ 2cos2α-1 =____________ 1-2sin2α ; 2sinαcosα ; sin2α=___________ 2tanα tan2α=___________. 1-tan2α 3.降次公式
1+cos2α 1-cos2α 2 2 cos2α=_________ ;sin2α=_________.

4.辅助角公式
asinx+bcosx= a2+b2sin(x+φ).
a b 其中 cosφ= 2 2,sinφ= 2 2, a +b a +b b tanφ=a,角 φ 称为辅助角.

1.在△ABC 中,sinA· sinB<cosA· cosB,则这个三角形的形状

是( B )
A.锐角三角形 C.直角三角形 B.钝角三角形 D.等腰三角形

? 3?π 1 ? ? 2.若sinα=5 2<α<π ,tanβ=2,则tan(α-β)的值是( B ) ? ?

A.2

B.-2

2 C.11

1 D.5

3 θ 1 θ 3.若cos 2 = 2 ,sin 2 =- 2 ,则角θ的终边所在的象限是

第三象限 . __________
7 -25 4.已知角α的终边过点(3,-4),则 cos2α=______.

3 5.(2010 年全国)已知 α 为第二象限的角,sinα=5,则 tan2α 24 - =______. 7

考点1

两角和与差的正弦和余弦

?π ? 4 5 例 1:已知 sinα=5,α∈?2,π?,cosβ=-13,β 是第三象限 ? ?

角,求 cos(α-β)的值.
?π ? 4 ? ? 解析:∵α∈ 2,π ,sinα=5, ? ?

∴cosα=- 1-sin α=-

2

?4?2 3 ? ? 1- 5 =-5. ? ?

5 ∵cosβ=-13,β 是第三象限角, ∴sinβ=- 1-cos β=-
2

? 5 ?2 12 1-?-13? =-13. ? ?

∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
? 3? ? 5 ? 4 ? 12? 33 =?-5?×?-13?+5×?-13?=-65. ? ? ? ? ? ?

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.已知sinα求 cosα,已知cosβ求sinβ,都要用到公式sin2α+cos2α=1,要注 意角α,β的象限,也就是符号问题.

【探究】
1.已知
? ?π 5π? π? 4 ? ? sin α-3 =5,α∈?2, 6 ?,求 ? ? ? ?

cosα.

? ?π 5π? π? 4 解:由 sin?α-3?=5,α∈?2, 6 ?,得 ? ? ? ? ? π? 3 π ?π π? α-3∈?6,2?,cos?α-3?=5, ? ? ? ? ? π? π 而由 α=?α-3?+3得 ? ? ?? ? ? π ? π? π? π π? π ? ? ? ? ? ? ? α - +3 =cos α-3 cos -sin α-3?sin cosα=cos 3 3 ? ? ? ? ? 3 ?? ?

3 1 4 3 3- 4 3 =5×2-5× 2 = 10 .

考点2

两角和与差的正切

例2:化简或求值:

tan42° +tan18° 1+tan15° (1)tan15° ;(2) ;(3) . 1-tan42° tan18° 1-tan15°
解析:(1)tan15° =tan(60° -45° ) tan60° -tan45° 3-1 = = =2- 3. 1+tan60° tan45° 1+ 3 tan42° +tan18° (2) =tan(42° +18° )=tan60° = 3. 1-tan42° tan18°

(3)因为 1=tan45° , 1+tan15° tan45° +tan15° 所以 = =tan(45° +15° )= 3. 1-tan15° 1-tan45° tan15°

本题(1)体会正用(直接)公式;(2)体会逆(反)用公 式;(3)创造条件(变形)逆用公式.

【探究】
3 2.计算:tan20° +tan40° + 3tan20° tan40° =____.

tan20° +tan40° 解析:∵tan(20° +40° )= , 1-tan20° tan40° ∴ 3- 3tan20° tan40° =tan20° +tan40° . 移项可得:tan20° +tan40° + 3tan20° tan40° = 3.

考点3

二倍角公式的应用

例 3:已知:f(x)=2cos2x+ 3sin2x+a(其中 a∈R). (1)若 x∈R,求 f(x)的最小正周期; (2)若
? π π? f(x)在?-6,6?上最大值与最小值之和 ? ?

3,求 a 的值.

解析:f(x)=1+cos2x+ 2π (1)最小正周期 T= 2 =π.

? π? 3sin2x+a=2sin?2x+6?+a+1. ? ?

? π π? π ? π π? (2)∵x∈?-6,6?,∴2x+6∈?-6,2?. ? ? ? ? ? π? 1 ∴-2≤sin?2x+6?≤1. ? ?

∴f(x)max=2+a+1,f(x)min=-1+a+1, ∴2a+3=3.即 a=0.

利用二倍角公式(降幂公式)、辅助角公式(二合一公 式)将三角函数式由多项转化为一项是化简的最终目标.求三角函 数在某区间的最值(范围)时,不要只代两端点,要注意结合图象.

【探究】
3.(2010 年浙江)函数

? π? 2 2 f(x)=sin ?2x-4?的最小正周期是__. ? ?

π

考点4

三角函数公式的综合应用
2

例4:已知函数f(x)=2sin

?π ? ? -x?-2 ?4 ?

3cos2x+ 3.

(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间;
? π? (2)若f(x)<m+2在x∈?0,6?上恒成立,求实数m的取值范围. ? ?

?π ? 解析:(1)f(x)=1-cos?2-2x?- ? ?

3(2cos2x-1)

=1-(sin2x+

? π? 3cos2x)=-2sin?2x+3?+1, ? ?

∴最小正周期T=π. π π π ∵2kπ-2≤2x+3≤2kπ+2(k∈Z) 5π π ?kπ-12≤x≤kπ+12(k∈Z).
? 5π π? ∴f(x)的单调递减区间为?kπ-12,kπ+12?(k∈Z). ? ?

? π? π ?π 2π? (2)∵x∈?0,6?,∴2x+3∈?3, 3 ?. ? ? ? ? ? π? ∴-2sin?2x+3?∈[-2,- ? ?

3]. 3].

? π? 即有-2sin?2x+3?+1∈[-1,1- ? ?

∴f(x)∈[-1,1- 3]. ∵f(x)<m+2恒成立,∴m+2>1- 3. ∴m>-1- 3. ∴m的取值范围是(-1- 3,+∞).

【探究】

4.已知 α,β 为锐角且 cosα=

1 1 ,cosβ= ,为了求 α+β 10 5

cos(α+β) 更 的值,先要求 sin(α+β)或 cos(α+β),你认为选_____________
3π 4 好.最后求得 α+β 等于______.

1.本讲公式较多,对公式的掌握,一方面是熟悉各组公式间 的内在联系,从整体上把握公式的特点;另一方面是要注意公式
的逆用和变形.公式的应用包括:正用、反用与变用,如tanα±

tanβ=tan(α±β)(1?tanαtanβ)等.
2.在处理三角函数问题时,三个统一中(角的统一、函数名统 一、次数统一),角的统一是第一位. 3.合一变换与降次都是常用的方法,合一变换的目的是把一 个角的两个三角函数的和转化为一个角的一个三角函数.降次的 目的,一方面把一个角变为原来的两倍.另外一方面是为了次数 的统一.

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1.在对三角函数式进行恒等变换的过程中,要深刻理解“恒 等”的含义,不能改变自变量的取值范围.要注意和、差、倍角 的相对性,还要注意“1”的灵活应用. 2.已知三角函数值求角时,要先确定所求角的范围,再选择 在该范围内具有单调性的某一三角函数求解,否则容易出现增根.
如若 α∈(0,π),则选余弦函数;若
? π π? α∈?-2,2?,则选正弦函数. ? ?