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2015届高考数学一轮总复习 8-1直线的方程与两条直线的位置关系

2015 届高考数学一轮总复习 8-1 直线的方程与两条直线的位置关系
基础巩固强化 一、选择题 1.(2013· 山东潍坊一中月考)已知直线 l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0 与 l2:2(k-3)x-2y+3=0 平 行,则 k 的值是( A.1 或 3 C.3 或 5 [答案] C 3 [解析] 若 k=3,则两直线为 y=-1,y= ,此时两直线平行,所以满足条件.当 k≠3 时,要 2 k-3 4-k 1 1 4-k 1 使两直线平行,则有 = ≠ ,即 = ≠ ,解得 k=5,综上满足条件的 k 值为 k=3 或 2 -2 3 2?k-3? -2 3 k=5,选 C. 2.(文)直线 xcos140° +ysin140° =0 的倾斜角是( A.40° C.130° [答案] B cos140° [解析] 直线的斜率 k=- sin140° cos40° sin50° = = =tan50° , sin40° cos50° ∴倾斜角为 50° . (理)已知直线 PQ 的斜率为- 3,将直线绕点 P 顺时针旋转 60° 所得的直线 l 的斜率是( A.0 C. 3 B. 3 3 ) B.50° D.140° ) ) B.1 或 5 D.1 或 2

D.- 3

[答案] C [解析] 由条件知,直线 PQ 的倾斜角为 120° ,旋转后所得直线 l 与直线 PQ 夹角为 60° ,因此 直线 l 的倾斜角为 60° ,∴斜率 k= 3. 1 x2 y2 3.(文)(2013· 陕西检测)经过抛物线 y= x2 的焦点和双曲线 - =1 的右焦点的直线方程为 4 17 8 ( ) A.x+48y-3=0 C.x+3y-3=0 [答案] D [解析] 易知抛物线的焦点坐标为(0,1),双曲线的右焦点坐标为(5,0),则过这两点的直线方程为 0-1 y-0= (x-5),即 x+5y-5=0. 5-0
1

B.x+80y-5=0 D.x+5y-5=0

(理)(2013· 河南安阳一模)平行四边形 ABCD 的一条对角线固定在 A(3,-1),C(2,-3)两点,D 点在直线 3x-y+1=0 上移动,则 B 点的轨迹方程为( A.3x-y-20=0 C.3x-y-9=0 [答案] A 5 [解析] 设 AC 的中点为 O,则 O( ,-2). 2 设 B(x,y)关于点 O 的对称点为(x0,y0),
? ?x0=5-x, 即 D(x0,y0),则? ?y0=-4-y, ?

)

B.3x-y-10=0 D.3x-y-12=0

由 3x0-y0+1=0 得 3x-y-20=0. 4. (2013· 保定调研)若实数 x, y 满足 x|x|-y|y|=1, 则点(x, y)到直线 y=x 的距离的取值范围是( A.[1, 2) 1 C.( ,1) 2 [答案] D [解析] B.(0, 2] D.(0,1] )

①当 x≥0 且 y≥0 时,x|x|-y|y|=x2-y2=1;②当 x>0 且 y<0 时,x|x|-y|y|=x2+y2=1;③当 x<0 且 y>0 时,无意义;④当 x<0 且 y<0 时,x|x|-y|y|=y2-x2=1.作出图象如图所示,因为直线 y=x 为 两段等轴双曲线的渐近线,四分之一个单位圆上的点到直线 y=x 的距离的最大值为 1,所以选 D. 5.(文)曲线 y=k|x|及 y=x+k(k>0)能围成三角形,则 k 的取值范围是( A.0<k<1 C.k>1 [答案] C [解析] 数形结合法.在同一坐标系中作出两函数的图象,可见 k≤1 时围不成三角形,k>1 时 能围成三角形. 1 (理)已知函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1),当 x<0 时,f(x)>1,方程 y=ax+ 表示的直线是( a ) B.0<k≤1 D.k≥1 )

2

[答案] C [解析] ∵x<0 时,ax>1,∴0<a<1. 1 ∴直线 y=ax+ 的斜率 a 满足 0<a<1, a 1 在 y 轴上的截距 >1.故选 C. a 6.(文)(2013· 南宁调研)与直线 3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程为( A.3x+4y+5=0 C.-3x+4y-5=0 [答案] A [解析] 与直线 3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程是 3x-4(-y)+5=0,即 3x+4y+5=0. (理)一条光线沿直线 2x-y+2=0 入射到直线 x+y-5=0 后反射,则反射光线所在的直线方程 为( ) A.2x+y-6=0 C.x-y+3=0 [答案] B [解析] 取直线 2x-y+2=0 上一点 A(0,2),设点 A(0,2)关于直线 x+y-5=0 对称的点为 B(a, b), b+2 + -5=0, ?a 2 2 则? b-2 ? a =1.
?a=3, ? 解得? ∴B(3,5). ?b=5. ?

)

B.3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0

B.x-2y+7=0 D.x+2y-9=0

? ? ?2x-y+2=0, ?x=1, 由? 解得? ∴直线 2x-y+2=0 与直线 x+y-5=0 的交点为 P(1,4),∴ ?x+y-5=0. ?y=4. ? ?

4-5 反射光线在经过点 B(3,5)和点 P(1,4)的直线上,其直线方程为 y-4= (x-1),整理得 x-2y+7 1-3
3

=0,故选 B. 二、填空题 1 7. 若三直线 2x+3y+8=0,x-y-1=0,x+ky+k+ =0 能围成三角形,则 k 不等于________. 2 [答案] 3 1 、-1 和- 2 2

?x-y-1=0, ? [解析] 由? 得交点 P(-1,-2), ? ?2x+3y+8=0.

1 1 若 P 在直线 x+ky+k+ =0 上,则 k=- . 2 2 此时三条直线交于一点; 3 若 k= 或 k=-1,则在三条直线中存在两条直线平行. 2 1 3 综上知 k≠- , 和-1. 2 2 8.已知指数函数 y=2x 的图象与 y 轴交于点 A,对数函数 y=lgx 的图象与 x 轴交于点 B,点 P 在直线 AB 上移动,点 M(0,-2),则|MP|的最小值为________. [答案] 3 2 2

[解析] A(0,1),B(1,0),∴直线 AB:x+y-1=0, 又 M(0,-2),当|MP|取最小值时,MP⊥AB, ∴|MP|的最小值为 M 到直线 AB 的距离 |0-2-1| 3 2 d= = . 2 2 9.已知 0<k<4,直线 l1:kx-2y-2k+8=0 和直线 l2:2x+k2y-4k2-4=0 与两坐标轴围成一 个四边形,则使得这个四边形面积最小的 k 值为________. [答案] 1 8

[解析] 由题意知直线 l1、l2 恒过定点 P(2,4),直线 l1 的纵截距为 4-k,直线 l2 的横截距为 2k2 1 1 1 +2,所以四边形的面积 S= ×2×(4-k)+ ×4×(2k2+2)=4k2-k+8,故面积最小时,k= . 2 2 8 三、解答题 10.

4

(文) (2013· 江苏扬州一模)如图,射线 OA,OB 分别与 x 轴正半轴成 45° 和 30° 角,过点 P(1,0)作 1 直线 AB 分别交 OA,OB 于 A,B 两点,当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y= x 上时,求直线 AB 的方 2 程. [解析] 由题意可得 kOA=tan45° =1,kOB=tan(180° -30° )=- =- 3 x. 3 3 ,所以直线 lOA:y=x,lOB:y 3

设 A(m,m),B(- 3n,n), m- 3n m+n 所以 AB 的中点 C( , ), 2 2 1 由点 C 在直线 y= x 上,且 A、P、B 三点共线得, 2 m+n 1 m- 3n ? ? 2 =2· 2 , ?m-0 n-0 ? ?m-1=- 3n-1,

?m= 3, 解得? 所以 A( 3, 3). ?n=3-2 3,
3+ 3 3 = , 2 3-1

又 P(1,0),所以 kAB=kAP= 3+ 3 所以 lAB:y= (x-1), 2

即直线 AB 的方程为(3+ 3)x-2y-3- 3=0. (理)

(2013· 河北沧州一模)如图, 函数 f(x)=x+

2 的定义域为(0, +∞). 设点 P 是函数图象上任一点, x
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过点 P 分别作直线 y=x 和 y 轴的垂线,垂足分别为 M,N. (1)证明:|PM|· |PN|为定值; (2)O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值. 2 | x0 1 [解析] (1)证明:设 P(x0,x0+ )(x0>0),则|PN|=x0,|PM|= = ,因此|PM|· |PN|=1. x0 x 0 2 2 | (2)直线 PM 的方程为 y-x0- 2 2 =-(x-x0), x0

y=x, ? ? 即 y=-x+2x0+ ,解方程组? 2 x0 y=-x+2x0+ , ? x0 ? 得 x=y=x0+ S 1 1 1 ,∴M(x0+ ,x0+ ).连接 OP, 2x0 2x0 2x0 1 1 1 2 11 1 1 |PN||ON|+ |PM||OM|= x0(x0+ )+ · · 2(x0+ )= 2+ (x2 2 2 2 x0 2 x0 2 0 2x0

四边形

OMPN=S△NPO+S△OPM =

1 + 2)≥1+ 2, x0 1 当且仅当 x2 0= 2,即 x0=1 时等号成立,因此四边形 OMPN 面积的最小值为 1+ 2. x0 能力拓展提升 一、选择题 11.(2013· 福建龙岩一模)已知直线 l1 的方向向量 a=(1,3),直线 l2 的方向向量为 b=(-1,k), 若直线 l2 过点(0,5),且 l1⊥l2,则直线 l2 的方程是( A.x+3y-5=0 C.x-3y+5=0 [答案] B [解析] 因为直线 l2 经过点(0,5), 且方向向量为 b=(-1,k), 所以直线 l2 的方程为 y-5=-kx. 又因为直线 l1 的方向向量为 a=(1,3),且 l1⊥l2, 1 所以-k· 3=-1?k= , 3 1 所以直线 l2 的方程为 y-5=- x,即 x+3y-15=0. 3 12.(文)(2013· 海口模拟)直线 l1 的斜率为 2,l1∥l2,直线 l2 过点(-1,1)且与 y 轴交于点 P,则 P 点坐标为( A.(3,0) C.(0,-3) [答案] D
6

)

B.x+3y-15=0 D.x-3y+15=0

) B.(-3,0) D.(0,3)

[解析] 由题意知,直线 l2 的方程为 y-1=2(x+1), 令 x=0,得 y=3,即点 P 的坐标为(0,3). (理)(2013· 湖南长沙一模)过点(1,3)作直线 l,若经过点(a,0)和(0,b),且 a∈N*,b∈N*,则可作 出的直线 l 的条数为( A.1 C.3 B.2 D.4 )

[答案] B 1 3 [解析] 由题意得 + =1?(a-1)(b-3)=3. a b 又 a∈N*,b∈N*,
? ? ?a=2, ?a=4, 所以有两个解? 或? ?b=6 ?b=4. ? ?

13.(文)经过点 P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线的方程为 ( ) A.x+2y-6=0 C.x-2y+7=0 [答案] B x y [解析] 设直线方程为 + =1, a b 1 4 由条件知 a>0,b>0, + =1, a b 1 4 b 4a ∴a+b=(a+b)( + )=5+ + a b a b ≥5+2 b 4a · =9, a b B.2x+y-6=0 D.x-2y-7=0

b 4a 等号在 = ,即 b=2a 时成立. a b
? ?a=3, 1 4 ∵ + =1,b=2a,∴? a b ?b=6. ?

x y ∴直线方程为 + =1,即 2x+y-6=0. 3 6 (理)(2013· 山西六校模拟)设 P 为直线 3x+4y+3=0 上的动点,过点 P 作圆 C:x2+y2-2x-2y +1=0 的两条切线,切点分别为 A,B,则四边形 PACB 的面积最小值为( A.1 C.2 3 [答案] D [解析] 依题意,圆 C:(x-1)2+(y-1)2=1 的圆心是点 C(1,1),半径是 1,易知|PC|的最小值等 B. 3 2 D. 3 )

7

1 于圆心 C(1,1)到直线 3x+4y+3=0 的距离 d=2,而四边形 PACB 的面积等于 2S△PAC=2×( |PA|· |AC|) 2 =|PA|· |AC|=|PA|= |PC|2-1, 因此四边形 PACB 的面积的最小值是 22-1= 3,选 D. 二、填空题 14. (文)(2013· 皖南八校联考)已知直线 a2x+y+2=0 与直线 bx-(a2+1)y-1=0 互相垂直, 则|ab| 的最小值为________. [答案] 2 [解析] ∵两直线互相垂直, ∴a2b-(a2+1)=0 且 a≠0, ∴a2b=a2+1, a2+1 1 ∴ab= =a+ , a a 1 1 ∴|ab|=|a+ |=|a|+ ≥2.(当且仅当 a=± 1 时取“=”). a |a| (理)(2013· 潍坊质检)已知直线 l 过点(0, -1), 且与曲线 y=xlnx 相切, 则直线 l 的方程为________. [答案] x-y-1=0 [解析] y′=1+lnx,设切点坐标为(x1,y1),则有 y1=x1lnx1,直线 l 的斜率为 1+lnx1,从而直 线 l 的方程为 y=(1+lnx1)· (x-x1)+x1lnx1,又直线 l 过点(0,-1),所以-1=-x1(1+lnx1)+x1lnx1, 解得 x1=1,y1=0,故直线 l 的方程为 x-y-1=0. 15.(文)如果 f ′(x)是二次函数,且 f ′(x)的图象开口向上,顶点坐标为(1,- 3),那么曲线 y =f(x)上任一点的切线的倾斜角 α 的取值范围是________. π 2π [答案] [0, )∪( ,π) 2 3 [解析] 由题意 f ′(x)=a(x-1)2- 3, ∵a>0,∴f ′(x)≥- 3,因此曲线 y=f(x)上任一点的切线斜率 k=tanα≥- 3, π 2π ∵倾斜角 α∈[0,π),∴0≤α< 或 <α<π. 2 3 1 (理)(2013· 福州质检)已知曲线 y= x , 则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三 e +1 角形的面积为________. [答案] 1 2 1 1 ex·x=2(当且仅当 ex= x,即 x e e

-ex -1 1 [解析] y′= x = ,因为 ex>0,所以 ex+ x≥2 e ?e +1?2 x 1 e + x+2 e

-1 1 1 =0 时取等号),所以 ex+ x+2≥4,故 y′= ≥- (当且仅当 x=0 时取等号).所以当 x=0 e 1 4 x e + x+2 e

8

1 1 1 时,曲线的切线斜率取得最小值,此时切点的坐标为(0, ),切线的方程为 y- =- (x-0),即 x 2 2 4 +4y-2=0. 1 该切线在 x 轴上的截距为 2,在 y 轴上的截距为 ,所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面 2 1 1 1 积 S= ×2× = . 2 2 2 三、解答题 16.(文)过点 A(3,-1)作直线 l 交 x 轴于点 B,交直线 l1:y=2x 于点 C,若|BC|=2|AB|,求直 线 l 的方程. [解析] 当 k 不存在时,B(3,0),C(3,6). 此时|BC|=6,|AB|=1,|BC|≠2|AB|,

∴直线 l 的斜率存在, ∴设直线 l 的方程为:y+1=k(x-3), 1 令 y=0 得 B(3+ ,0), k
?y=2x, ? 1+3k 由? 得 C 点横坐标 xc= . k-2 ? ?y+1=k?x-3?.

若|BC|=2|AB|则|xB-xC|=2|xA-xB|, 1+3k 1 1 ∴| - -3|=2| |, k k-2 k 1+3k 1 2 1+3k 1 2 ∴ - -3= 或 - -3=- , k k-2 k k k-2 k 3 1 解得 k=- 或 k= . 2 4 ∴所求直线 l 的方程为:3x+2y-7=0 或 x-4y-7=0. (理)

9

有一个装有进出水管的容器,每单位时间进出的水量各自都是一定的,设从某时刻开始 10min 内只进水、不出水,在随后的 30min 内既进水又出水,得到容器内水量 y(L)与时间 x(min)之间的关 系如图所示,若 40min 后只放水不进水,求 y 与 x 的函数关系. 20 [解析] 当 0≤x≤10 时,直线过点 O(0,0),A(10,20),∴kOA= =2,∴此时直线方程为 y=2x; 10 当 10<x≤40 时,直线过点 A(10,20),B(40,30), 30-20 1 此时 kAB= = , 40-10 3 1 ∴此时的直线方程为 y-20= (x-10), 3 1 50 即 y= x+ ; 3 3 当 x>40 时,由题意知,直线的斜率就是相应放水的速度,设进水的速度为 v1,放水的速度为 v2,在 OA 段时是进水过程,∴v1=2.在 AB 段是既进水又放水的过程,由物理知识可知,此时的速 1 度为 v1+v2= , 3 1 5 ∴2+v2= .∴v2=- . 3 3 5 ∴当 x>40 时,k=- ,又过点 B(40,30), 3 5 290 ∴此时的直线方程为 y=- x+ . 3 3 令 y=0 得,x=58,此时到 C(58,0)放水完毕.

? ?1x+50,10<x≤40, 3 综上所述:y=?3 5 290 ? ?-3x+ 3 ,40<x≤58.

2x,0≤x≤10,

考纲要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
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2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直. 3.掌握确定直线位置的几何要素;掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等),了 解斜截式与一次函数的关系. 4.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 5.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、会求两平行直线间的距离. 补充说明 1.判断三点 A、B、C 共线的方法 (1)kAB=kAC(斜率存在时); → → (2)AB∥AC; (3)求出直线 AB 的方程,验证点 C 满足方程; (4)计算|AB|,|BC|,|AC|,验证满足两个的和等于第三个. 2. 若直线 l1、 l2 的方程分别为 A1x+B1y+C1=0 与 A2x+B2y+C2=0, 则 l1∥l2 的充分条件是 A1B2 -A2B1=0 且 A1C2≠A2C1;而 l1⊥l2 的充要条件是 A1A2+B1B2=0. 3.分类讨论思想 在直线的方程中,涉及分类讨论的常见原因有:确定直线所经过的象限;讨论直线的斜率是否 存在;直线是否经过坐标原点等. 4.对称思想 在许多解析几何问题中,常常涉及中心对称和轴对称的性质,许多问题,抓住了其对称性质, 问题可迎刃而解. 备选习题 1.已知直线 l1、l2 的方程分别为 x+ay+b=0,x+cy+d=0,其图象如图所示,则有( )

A.ac<0 C.bd<0 [答案] C

B.a<c D.b>d

1 b [解析] 由图可知,a、c 均不为零.直线 l1 的斜率、在 y 轴上的截距分别为:- 、- ;直线 a a 1 d 1 b 1 d 1 1 l2 的斜率、在 y 轴上的截距分别为:- 、- ,由图可知- <0,- >0,- <0,- <0,- >- , c c a a c c a c 于是得 a>0,b<0,c>0,d>0,a>c,所以只有 bd<0 正确. 2.直线 xsinα+y+2=0 的倾斜角的取值范围是(
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)

A.[0,π) π C.[0, ] 4 [答案] B

π 3π B.[0, ]∪[ ,π) 4 4 π π D.[0, ]∪( ,π) 4 2

[解析] 设直线的倾斜角为 θ,则有 tanθ=-sinα,其中 sinα∈[-1,1],∴tanθ∈[-1,1].又 θ∈ π 3π [0,π),所以 0≤θ≤ 或 ≤θ<π. 4 4 3.如下图,定圆半径为 a,圆心为 C(b,c),则直线 ax+by+c=0 与直线 x-y+1=0 的交点在 ( )

A.第一象限 C.第三象限 [答案] C

B.第二象限 D.第四象限

[解析] 由已知-b>a>c>0, ∴a-c>0,a+b<0,b+c<0,
? ?ax+by+c=0, ? c+b,a-c?在第三象限, 由? 得交点?- ? ? a+b a+b? ? ?x-y+1=0.

∴选 C. 4. (2013· 辽宁五校联考)在直角坐标系 xOy 上取两个定点 A1(-2,0)、 A2(2,0), 再取两个动点 N1(0, a),N2(0,b),且 ab=3. (1)求直线 A1N1 与 A2N2 交点的轨迹 M 的方程; (2)已知点 F2(1,0),设直线 l:y=kx+m 与(1)中的轨迹 M 交于 P、Q 两点,直线 F2P、F2Q 的倾 斜角为 α、β,且 α+β=π,求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标. a [解析] (1)依题意知直线 A1N1 的方程为:y= (x+2),① 2 b 直线 A2N2 的方程为:y=- (x-2),② 2 ab 设 R(x,y)是直线 A1N1 与 A2N2 交点,①×②得 y2=- (x2-4). 4 x2 y2 将 ab=3 代入整理得 + =1. 4 3 ∵点 N1、N2 不与原点重合,
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∴点 A1(-2,0)、A2(2,0)不在轨迹 M 上, x2 y2 ∴轨迹 M 的方程为 + =1(x≠± 2). 4 3 (2)由题意知,直线 l 的斜率存在且不为零, y=kx+m, ? ?2 2 联立方程?x y 消去 y 得,(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,设 P(x1,y1)、Q(x2,y2), + = 1. ?4 3 ? 则 -8km ? ?x +x =3+4k , ? 4m -12 ? ?x x = 3+4k ,
1 2 2 2 1 2 2

kx1+m kx2+m (*)且 kF2P= ,kF2Q= . x1-1 x2-1

由已知 α+β=π,得 kF2P+kF2Q=0, kx1+m kx2+m ∴ + =0, x1-1 x2-1 化简,得 2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0, 4m2-12 8mk?m-k? 将(*)式代入,得 2k× - -2m=0, 3+4k2 3+4k2 整理得 m=-4k. ∴直线 l 的方程为 y=k(x-4), ∴直线 l 过定点,该定点的坐标为(4,0).

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