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圆锥曲线的中点弦公式


圆锥曲线中点弦公式
抛物线中点弦公式 抛物线 C:x^2=2py 上,过给定点 P=(α,β)的中点弦所在直线方程为: py-αx=pβ-α^2。 中点弦存在的条件:2pβ>α^2(点 P 在抛物线开口内)。 椭圆中点弦公式 椭圆 C:x^2/a^2+y^2/b^2=1 上,过给定点 P=(α,β)的中点弦所在直 线方程为: αx/a^2+βy/b^2=α^2/a^2+β^2/b^2。 中点弦存在的条件:α^2/a^2+β^2/b^2<1(点 P 在椭圆内)。 双曲线中点弦公式 双曲线 C:x^2/a^2-y^2/b^2=1 上,过给定点 P=(α,β)的中点弦所在 直线方程为: αx/a^2-βy/b^2=α^2/a^2-β^2/b^2。 中点弦存在的条件:(α^2/a^2-β^2/b^2)(α^2/a^2-β^2/b^2-1)>0 (点 P 不在双曲线、渐近线上以及它们所围成的区域内)。

二次曲线中点弦性质与蝴蝶定理
蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理,它充分体现了蝴蝶生态美与“数 学美”的一致性.不少中数专著或杂志至今还频繁讨论.本文揭示了它与 中点弦性质的紧密联系,并给出统一而简明的证明,指出了一种有用的特 殊情形和一种推广形式. 引理:设两条不同的二次曲线 S:F(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 有 A、B、C、D 四个公共点,其中无三点共线,则过 A、B、C、D 四点 的任意一条二次曲线 S2 必可唯一地表示成: (证明略) 定理 1 设三条不同的二次曲线(S、S1、S2)有 A、B、C、D 四个公共点, 其中无三点共线;又直线 L0 被 S、S1、S2 各截得一弦.若其中两弦中点重 合,则第三弦中点亦重合. 证 设 S、S1 的方程为(1)、(2),则 S2 方程可表为(3).因直线 L0(设 斜率为 k)关于二次曲线 S、S1、S2 的共轭直径分别为: L:(a11x+a12y+a13)+k(a12x+a22y+a23)=f(x,y)=0 因 L、L1 都通过 L0 被 S 与 S1 所截得的弦 PQ 与 EF 的共同中点 O,显然 L2 也必通过点 O,故 O 也是 L0 被 S2 所截得的弦 GH 的中点.

注 两直线 AB 和 CD 或 AD 和 CB 或 AC 和 BD 都可看做二次曲线 S1 的特 殊情形,甚至 E 和 F 重合于 O.故本定理包括了蝴蝶定理众多情形. 定理 2 设 AB∥CD, 和 S1 是过 A、 C、 四点的任意两条二次曲线. S B、 D 若 平行于 AB 的任意直线与 S、S1 各有两个交点,则夹在两曲线之间的两线段 相等. 证 设 AB、CD 的中点分别为 M、N,又 AB∥CD,故直线 MN 就是 AB 关于 S 和 S1 的共轭直径,故若平行于 AB 的任意直线被 S、S1 所截的弦 PQ、EF 有共同中点 O,故有 PE=QF,命题得证. 注 由于 PQ 可为 AB 与 CD 之间任意平行弦,皆有 PE=QF,故夹在 S 和 S1 之间的两曲边区域△1 和△2 面积相等.[1]它酷似蝴蝶两翼,不过并非 轴对称,而是沿 AB 方向共轭.如果世上真有这样的蝴蝶,飞行亦能平衡自 如. 定理 1 还可推广得到更一般的结论. 定理 3 若三条不同的二次曲线 S、S1、S2 有无三点共线的四个公共点, 沿某一确定方向的任意直线 L0 被 S、S1、S2 各截得一弦 PQ、EF、GH,则三 弦中点 O、O1、O2 之间有向线段之比为常数. 证 不妨取坐标系使确定方向为 x 轴.于是该方向(k=0)关于 S、S1、S2 的共轭直径分别为(参见定理 1): L:a11x+a12y+a13=0 L1:b11x+b12y+b13=0 L2:(a11x+a12y+a13)+λ(b11x+b12y+b13)=0 设直线 L0 方程为 y=y0,PQ、EF、GH 的中点为 O(x0,y0),O1(x1,y0), O2(x2,y0),于是由直径方程知: a11x0+a12y0+a13=0,b11x1+b12y0+b13=0 (a11x2+a12y0+a13)+λ(b11x2+b12y0+b13)=0 故 a11(x2-x0)=λb11(x2-x1) (4) 即 OO2/O2O1=α (a11≠0 时) (5) 其中 α=-λb11/a11 是与 y0 无关的常数(由 S、 S2 三曲线确定. S1、 当 a11=0 时,L∥L0 可知 L0 与 S 无两个交点,故不在本命题讨论之列). (5)式意即:在指定顺序 O、O2、O1 之下,两有向线段之比不因 L0 平 行移动而变化. 推论 在定理 3 条件下,对任意直线 L0 所截的三弦中点中,任意两点 总在第三点同侧或异侧. O、 当 O1、 中有两点重合时, O2 第三点也重合. “蝴 蝶定理”虽然如自然界的蝴蝶种类一样千变万化,然而万变不离其宗,核 心在于中点弦性质.


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