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单调性

第四讲
Ⅰ Ⅱ 授课题目:第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 教学目的与要求: 掌握确定函数增减性、凹凸性及拐点的方法. Ⅲ 教学重点与难点: 用函数的单调性、凹凸性证明不等式 Ⅳ 讲授内容: 一、函数单调性的判定法 第一章第一节中已经介绍了函数在区间上单调的概念.下面利用导数来对函数的单调性进行研 究.如果函数 y ? f ( x) 在 ?a, b? 上单调增加(单调减少),那末它的图形是一条沿 x 轴正向上升(下降)的 曲 线 . 这 时 , 如 图 1. 曲 线 上 各 点 处 的 切 线 斜 率 是 非 负 的 ( 是 非 正 的 ) , 即

y ? ? f ?( x) ? 0( y ? ? f ?( x) ? 0) .由此可见,函数的单调性与导数的符号有着密切的联系.
y B y A

y ? f ( x)

y ? f ( x)
A B

O

a

b

x
图1

O

a

b

x

(a) 函数图形上升时切线斜率非负

(b) 函数图形下降时切线斜率非正

反过来,能否用导数的符号来判定函数的单调性呢?下面我们利用拉格朗日中值定理来进行讨论. 设函数 f ( x) 在 ?a, b? 上连续,在( a , b )内可导,在 ?a, b? 上任取两点 x1 , x 2 ( x1 ? x 2 )应用拉格朗日中 值定理,得到 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ?(? )(x2 ? x1 ) ( x1 ? ? ? x2 ) . (1)

由于在(1)式中, x2 ? x1 ? 0 ,因此,如果在( a , b )内导数 f ?( x) 保持正号,即 f ?( x) ? 0 ,那末也 有 f ?(? ) ? 0 .于是 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ?(? )(x2 ? x1 ) ? 0 ,即

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

表明函数 y ? f ( x) 在 ?a, b? 上单调增加.同理,如果在( a , b )内导数 f ?( x) 保持负号,即 f ?( x) ? 0 ,那 末 f ?(? ) ? 0 ,于是 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,表明函数 y ? f ( x) 在 ?a, b? 上单调减少. 归纳以上讨论,即得函数单调性的判定法 定理 1 设函数 y ? f ( x) 在 ?a, b? 上连续.在( a , b )内可导.
1

(1)如果在( a , b )内 f ?( x) ? 0 ,那末函数 y ? f ( x) 在 ?a, b? 上单调增加; (2)如果在( a , b )内 f ?( x) ? 0 ,那末函数 y ? f ( x) 在 ?a, b? 上单调减少. 如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间(包括无穷区间),那末结论也成立. 例1 解 判定函数 y ? x ? sin x 在 ?0,2? ? 上的单调性. 因为在( 0,2? )内

y ? ? 1 ? cos x ? 0 ,

所以由判定法可知,函数 y ? x ? sin x 在 ?0,2? ? 上单调增加. 例 2. 讨论函数 y ? e x ? x ? 1 的单调性. 解 .因为在( ? ?,0 )内 y ? ? 0 ,所以 y ? ? e x ? 1 . 函数 y ? e x ? x ? 1 的定义域为( ? ?,?? )

函数 y ? e x ? x ? 1 在 ?? ?,0? 上单调减少. 因为在( 0,?? )内 y ? ? 0 , 所以函数 y ? e x ? x ? 1 在 ?0,??? 上 单调增加. 例3 解 讨论函数 y ? 3 x 2 的单调性. 这函数的定义域为( ? ?,?? ).当 x ? 0 时,这函数的导数为

y? ?

2 3 x
3



y? ? 0 , 当 x ? 0 时, 函数的导数不存在. 在( ? ?,0 )内, 因此函数 y ? 3 x 2 在 ?? ?,0? 上单调减少. 在
( 0,?? )内, y ? ? 0 ,因此函数 y ? 3 x 2 在 ?0,??? 上单调增加.函数的图形如图 2 所示.

y

y ? 3 x2

1
?1

O
图2

1

x

我们注意到, 在例 2 中, x=0 是函数 y ? e x ? x ? 1 的单调减少区间 (??,0] 与单调增加区间 [0,??) 的分界点,而在该点处 y ? ? 0 .在例 3 中, x ? 0 是函数 y ? 3 x 2 的单调减少区间 (??,0] 与单调增加 区间 [0,??) 的分界点,而在该点处导数不存在. 从例 2 中看出,有些函数在它的定义区间上不是单调的,但是当我们用导数等于零的点来划分函
2

数的定义区间以后,就可以使函数在各个部分区间上单调.这个结论对于在定义区间上具有连续导数 的函数都是成立的.从例 3 中可看出,如果函数在某些点处不可导,则划分函数的定义区间的分点, 还应包括这些导数不存在的点.综合上述两种情形,我们有如下结论: 如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续,那末只要用方程 就能保证 f ?( x) 在各个部分区间内保 f ?( x) ? 0 的根及 f ?( x) 不存在的点来划分函数 f ( x) 的定义区间, 持固定符号, 因而函数 f ( x) 在每个部分区间上单调.例 4 确定函数 f ( x) ? 2x 3 ? 9x 2 ? 12x ? 3 的单调 区间. 解 这函数的定义域为 (??,??) .求这函数的导数 f ?( x) ? 6x 2 ? 18x ? 12 ? 6( x ? 1)(x ? 2) . 解方程 f ?( x) ? 0 ,即解 6( x ? 1)(x ? 2) ? 0 , 得出它在函数定义域 (??,??) 内的两个根 x1 ? 1 、 x2 ? 2 .这两个根把 (??,??) 分成三个部分区 间 (??,1] 、 [1,2] 及 [2,??) . 在区间 (??,1] 内, x ? 1 ? 0 、 x ? 2 ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 .因此, 函数在 (??,1] 内单调增加. 在区 间 [1,2] 内 , x ? 1 ? 0 , x ? 2 ? 0 , 所 以 f ?( x) ? 0 . 因 此 , 函 数 f ( x) 在 [1,2] 上 单 调 减 少 . 在 区 间

[2,??) 内, x ? 1 ? 0 、 x ? 2 ? 0 , 所以 f ?( x) ? 0 . 因此, 函数 f ( x) 在 [2,??) 上单调增加.
函数 y ? f ( x) 的图形如图 3 所示. 例5 讨论函数 y ? x 3 的单调性.
2 1
y y

y ? x3

解:这函数的定义城为 (??,??) . 函数的导数 y ? ? 3x 2 .显然, 除了点 x ? 0 使 y ? ? 0 处,在 其余各点处均有 y ? ? 0 . 因此 函数 y ? x 在区间 (??,0] 及
3

O
?1 ?2

?

2

x

?1

O

1 x

?3

图3

图4

[0,??) 上都是单调增加的,从而在整个定义城 (??,??) 内是单调增加的.在 x ? 0 处曲线有一水
平切线.函数的图形如图 4 所示.
3

注 如果 f ?( x) 在某区间内的有限个点处为零,在其余各点处均为正(或负)时,那么 f ( x) 在该区间上 仍旧是单调增加(或单调减少)的. 导数的符号除了能判别函数在区间上的单调性外,还经常用来证明不等式. 例6 证明 证明:当 x ? 1 时, 2 x ? 3 ? 令 f ( x) ? 2 x ? ? 3 ?

1 . x

? ?

1 1 1 1? ? 2 ? 2 ( x x ? 1) . ? ,则 f ?( x) ? x? x x x

f ( x) 在 [1,??) 上连续, 在 (1,??) 内 f ?( x) ? 0 ,因此在 [1,??) 上 f ( x) 单调增加,从而当 x ? 1 时,

1? ? f ( x) ? f (1) . 由于 f (1) ? 0 ,故 f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 2 x ? ? 3 ? ? ? 0 , x? ?
亦即

2 x ? 3?

1 ( x ? 1) . x

二、曲线的凹凸与拐点 在第一目中,我们研究了函数单调性的判定法. 函数的单调性反映在图形上, 就是曲线的上升或 下降. 但是, 曲线在上升或下降的过程中, 还有一个弯曲方向的问题. 例如, 图 5 中有两条曲线弧,虽 然它们都是上升的,但图形却有显著的不同,ABC 是向上凸的曲线弧, 而 ADB 是向上凹的曲线弧, 它们的凹凸性不同,下面我们就来研究曲线的凹凸性及其判定法. 我们从几何上看到,在有的曲线弧上,如果任取两点,则联接这 B 两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方(图 6(a)),而有的曲线弧,则 y 正好相反(图 6(b)),曲线的这种性质就是曲线的凹凸性.因此曲线的凹 凸性可以用联接曲线弧上任意两点的弦的中点与曲线弧上相应点 (即 具有相同横坐标的点) 的位置关系来描述.下面给出曲线凹凸性的定 义. 定义 1 设 f ( x) 在区间 I 上连续,如果对 I 上任意两点 x1 , x 2 ,恒 有 f?

C
D A

O
图5

x

? x1 ? x2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ?? 2 ? 2 ?
那 么 称 f ( x)

在 I 上的图形是 ( 向上 ) 凹的 ( 或凹 弧); 如果恒有

y

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2

y

? x ? x2 ? f? 1 ? ? 2 ?

f ( x1 ) f ? ? ?
O

x1 ? x2 ? ? f ( x2 ) 2 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2

f ( x1 )
O

f ( x2 )
x1 ? x 2 2
(b )

x1

x1 ? x 2 2
(a)

x2

x
图6

x1

x2

x

4

? x ? x2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , f? 1 ?? 2 ? 2 ?
那么称 f ( x) 在 I 上的图形是(向上) 凸的(或凸弧). 如果函数 f ( x) 在 I 内具有二阶导数, 那么可以利用二阶导致的符号来判定曲线的凹凸性, 这 就是下面的曲线凹凸性的判定定理.我们仅就 I 为闭区间的情形来叙述定理,当 I 不是闭区间时, 定 理类同. 定理 2 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续, 在 ( a, b) 内具有一阶和二阶导数,那么 (1) 若在 ( a, b) 内 f ??( x) ? 0 , 则 f ( x) 在 [a, b] 上的图形是凹的; (2) 若在 ( a, b) 内 f ??( x) ? 0 , 则 f ( x) 在 [a, b] 上的图形是凸的. 在 情 形 (1), 设 x1 和 x2 为 [a, b] 内 任 意 两 点 , 且 x1 ? x 2 , 记

证明

x1 ? x 2 ? x0 , 并 记 2

x2 ? x0 ? x0 ? x1 ? h , 则 x1 ? x0 ? h , x2 ? x0 ? h , 由拉格朗日中值公式, 得 f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ? ?1h)h ,
其中 0 ? ?1 ? 1 , 0 ? ? 2 ? 1 . 两式相减, 即得

f ( x0 ) ? f ?x0 ? h? ? f ?( x0 ? ? 2 h)h ,

f ( x0 ? h) ? f ?x0 ? h? ? 2 f ( x0 ) ? [ f ?( x0 ? ?1h) ? f ?( x0 ? ? 2 h)]h .
对 f ?( x) 在区间 [ x0 ? ? 2 h, x0 ? ?1h] 上再利用拉格朗日中值公式, 得

[ f ?( x0 ? ?1h) ? f ?( x0 ? ? 2 h)]h ? f ??(? )(?1 ? ? 2 )h 2 .
其中 x0 ? ? 2 h ? ? ? x0 ? ?1h . 按情形(1)假设, f ??(? ) ? 0 , 故有

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) ? 2 f ( x0 ) ? 0 ,



f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ? h) ? f ( x0 ) , 2

亦即

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x ? x2 ? ? f? 1 ?, 2 ? 2 ?

所以 f ( x) 在 [a, b] 上的图形是凹的.

类似地可证明情形(2).
5

例7 解

判断曲线 y ? ln x 的凹凸性. 因为 y ? ?

1 1 , y ?? ? ? 2 , 所以在函数 y ? ln x 的定义域 (0,??) 内, 由曲线凹凸性的判定定理可 x x

知, 曲 y ? ln x 是凸的. 例8 解 判断曲线 y ? x 3 的凹凸性. 因为 y ? ? 3x 2 , y ?? ? 6 x . 当 x ? 0 时, y ?? ? 0 , 所以曲线在 (??,0] 内为凸弧; 当 x ? 0 时, y ?? ? 0 , 所以曲线在 [0,??) 内为凸弧(参见图 3-8). 一般地, 设 y ? f ( x) 在区间 I 上连续, x0 是 I 的内点. 如果曲线 ? f ( x) 在经过点 ( x0 , f ( x0 )) 时, 曲线的凹凸性改变了, 那么就称点 ( x0 , f ( x0 )) 为这曲线的拐点. 如何来寻找曲线 y ? f ( x) 的拐点呢? 从上面的定理知道, 由 f ??( x) 的符号可可以判定曲线的凹凸性.因此, 如果 f ??( x) 在 x0 的左右两 侧邻近异号,那么点 ( x0 , f ( x0 )) 就是一个拐点.所以, 要寻找拐点, 只要找出 f ??( x) 符号发生变化的 分界点即可. 如果 f ( x) 在区间 ( a, b) 内具有二阶导数, 那么在这样的分界点处必然有 f ??( x) ? 0 ; 除此 以外, f ( x) 的二阶导数不存在的点, 也有可能是 f ??( x) 的符号发生变化的分界点: (1) 求 f ??( x) ; (2) 令 f ??( x) ? 0 , 解出这方程区间 I 内的实根, 并求出在区间 I 内 f ??( x) 不存在的点; (3) 对于(2)中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点 x0 , 检查 f ??( x) 在 x0 左右两侧邻近的符

号, 那么当两侧的符号相反时, 点 ( x0 , f ( x0 )) 是拐点, 当两侧的符号相同时, 点 ( x0 , f ( x0 )) 不是拐点. 例9 解 求曲线 y ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 12x ? 14 的拐点.

1 1 1? ? y? ? 6x 2 ? 6x ? 12 , y ?? ? 12x ? 6 ? 12? x ? ? . 解 方 程 y ?? ? 0 , 得 x ? ? . 当 x ? ? 时 , 2 2 2? ? 1 1? ? 1 时, y ?? ? 0 . 因此, 点 ? ? ,20 ? 是这曲线的拐点. 2 2? ? 2
6

y ?? ? 0 ; 当 x ? ?

例 10 解

求曲线 y ? 3x 4 ? 4 x 3 ? 1 的拐点及凹、凸的区间.

函数 y ? 3x 4 ? 4 x 3 ? 1 的定义域为 (??,??) .

y? ? 12x 3 ? 12x 2 ,
2 . 3

2? ? y ?? ? 36x 2 ? 24x ? 36x? x ? ? . 3? ?

解方程 y ?? ? 0 , 得 x1 ? 0, x 2 ?

x1 ? 0 及 x 2 ?

2 ? 2? ?2 ? 把函数的定义域 (??,??) 分成三个部分区间: (??,0) 、 ?0, ? 、 ? ,?? ? . 3 ? 3? ?3 ?
在 ? 0, ? 内, y ?? ? 0 ,因此在区间

在 (??,0) 内, y ?? ? 0 , 因此在区间 (??,0] 上这曲线是凹的.

? ?

2? 3?

? 2? ?2 ? ?2 ? ?0, 3 ? 上这曲线是凸的. 在 ? 3 ,?? ? 内, y ?? ? 0 , 因此在区间 ? 3 ,?? ? 上这曲线是凹的. ? ? ? ? ? ?
x ? 0 时, y ? 1 , 点 (0,1) 是这曲线的一个拐点. x ?
例 11 问曲线 y ? x 4 是否有拐点? 解 y ? ? 4 x 3 , y ?? ? 12x 2 . 显然,只有 x ? 0 是方程 y ?? ? 0 的根. 但当 x ? 0 时, 无论 x ? 0 或 x ? 0 都有 y ?? ? 0 ,因此点 (0,0) 不是这曲线的拐点. 曲线 y ? x 4 没有拐点, 它在 (??,??) 内是凹的. 例 12 解 求曲线 ? 3 x 的拐点.

2 11 ? 2 11 ? 时, y ? , 点? , ? 也是这曲线的拐点. 3 27 ? 3 27 ?

这函数在 (??,??) 内连续,当 x ? 0 时, y ? ?

1 3 x
3 2

, y ?? ? ?

2 9x x 2
3

,

当 x ? 0 时, y ? , y ?? 都不存在. 故二阶导数在 (??,??) 内不连续且不具有零点. 但 x ? 0 是 y ?? 不存 在的点, 它把 (??,??) 分成两个部分区间: (??,0] 和 [0,??) . 在 (??,0) 内 , y ?? ? 0 , 这曲线在 (??,0] 上是凹的 . 在 (0,??) 内 , y ?? ? 0 , 这曲线在 [0,??) 上是 凸的. 例 13

x ? 0 时, y ? 0 ,点 (0,0) 是这曲线的一个拐点.
设函数 f ( x) 在点 x0 , 的某邻域内有三阶导数, 且 f ??( x0 ) ? 0 ,f ???( x0 ) ? 0 , 证明点 ( x0 , f ( x0 ))
7

必为曲线 y ? f ( x) 的拐点. 证明 ? f ???( x0 ) ? 0 ,不妨设 f ???( x0 ) ? 0 .又 f ??( x0 ) ? 0 ,

f ??( x) ? f ??( x0 ) f ??( x) ? lim ? lim ? f ???( x0 ) ? 0 x ?x 0 x ? x x ? x0 x ? x0 0
根据连续函数及极限的保号性可知,必存在点 x0 的邻域 ( x0 ? ? , x0 ? ? ) ,在其内 从而 x ? ( x0 ? ? , x0 ) 时, f ??( x) ? 0 ; x ? ( x0 , x0 ? ? ) 时, f ??( x) ? 0 . 所以, ( x0 , f ( x0 )) 是曲线 y ? f ( x) 的拐点. 注 该例可作为判定拐点的第二个方法. 注 证明不等式有多种方法.归纳起来有以下几种: (1)当不等式或不等式变形后的一部分.与微分中值定理的形式较接近时,可以使用微分中值定理 证明。 (2)将不等式改写为 f ( x) ? 0 (或 f ( x) ? 0 )的形式,利用 f ( x) 的单调性证明。 (3)将不等式变形为 f ( x) ? A (或 f ( x) ? A ), 其中 A 是与 x 无关的常量, 利用 f ( x) 的最值来证明。 (4)有些持殊的不等式,还可使用函数凹凸性定义证明。 Ⅴ 小结与提问: 小结: 一阶导数常用于判定函数的单调性,二阶导数常用于判定函数的凹凸性;二阶导数的零 点和不存在点可能为曲线 y ? f ( x) 的拐点之横坐标. 提问:1.下列命题是否正确?为什么? (1)若函数 f ( x) 在( a , b )内单调增加且可导,则必有 f ?( x) ? 0. (2)单调可导函数的导函数必定单调 (3)若 f ?( x0 ) ? 0 ,则在 x0 的某邻域内, f ( x) 必为单调增加的函数. (4)若函数 f ( x)、g ( x) 在( a , b )内可导且 f ( x) ? g ( x) ,则在( a , b )内必有 f ?( x) ? g ?( x) (5)若在( a , b )内 f ?( x) ? g ?( x) ,则在( a , b )内亦必有 f ( x) ? g ( x) . 2. 若( x0 , f ( x0 ) ))为曲线 y ? f ( x) 的拐点,则 f ??( x0 ) ? 0 . 3. 若 f ??( x0 ) ? 0 ,则( x0 , f ( x0 ) )必为曲线 y ? f ( x) 的拐点

f ??( x) ? 0, x ? x0

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课外作业: P1 5 1 3. (2) (4)4.(3)7.(4)8.(1)11.

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