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2016成才之路·人教B版数学·选修2-2练习:第1章 1.3 第3课时 Word版含解析

第一章

1.3

第 3 课时

一、选择题 1.某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入客运,据市场分析,每辆客车营运的总利润 y(万元)与营运年数 x(x∈N+)满足 y=-x2+12x-25,则每辆客车营运多少年可使其营运年平 均利润最大 导学号 05300266 ( ) A.3 B .4 C .5 答案] C 解析] 年平均利润 y 25 f(x)= =-x- +12(x∈N+), x x 25 又 f′(x)=-1+ 2 , x 令 f′(x)=0,解得 x=5. 又极值唯一,故选 C. 2.以长为 10 的线段 AB 为直径画半圆,则它的内接矩形面积的最大值为 D.6

导学号 05300267 (
A.10 C.25 答案] C B.15 D.50

)

解析] 如图,设∠NOB=θ,则矩形面积 S=5sinθ×2×5cosθ=50sinθcosθ=25sin2θ,故 Smax=25.故选 C.

3.设底面为正三角形的直棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时,底面边长为

导学号 05300268 (
3 A. V 3 C. 4V 答案] C 解析] 设底面边长为 x,侧棱长为 l, 1 4V 则 V= x2· sin60° · l,∴l= . 2 3x2 3 B. 2V 3 D.2 V

)

∴S 表=2S 底+3S 侧=x2sin60° +3xl= 4 3V 令 S′表= 3x- 2 =0, x 3 则 x3=4V,即 x= 4V. 3 又当 x∈(0, 4V)时,S′表<0; 3 x∈( 4V,V)时,S′表>0.

3 2 4 3V x+ . 2 x

3 ∴当 x= 4V时,表面积最小.故选 C. 4.用边长为 48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四个角各截去一个面积 相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,所做的铁盒容积最大时,在四个角截去 的正方形的边长为 导学号 05300269 ( A.6cm C.10cm 答案] B 解析 ] 设截去的正方形的边长为 xcm,则做成的长方体无盖铁盒的底面边长为 (48 - ) B.8cm D.12cm

2x)cm,高为 xcm,体积 V(x)=(48-2x)2· x=4x3-192x2+482x. 其中 0<x<24,V′(x)=12x2-384x+482=12(x2-32x+192) 令 V′(x)=0,则 x2-32x+192=0,∴x1=8,x2=24(舍去). 在(0,24)中 V(x)只有一个极值点,所以当正方形边长为 8cm 时,铁盒容积最大.故选 B. 5.福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第 x 小时时, 1 原油温度(单位:℃)为 f(x)= x3-x2+8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是 3

导学号 05300270 (
A.8 C.-1 答案] C 解析] ∵f′(x)=x2-2x(0≤x≤5), ∴原油温度的瞬时变化率为:x2-2x,其最小值为-1. 6.内接于半径为 R 的球且体积最大的圆柱体的高为 导学号 05300271 ( 2 3 A. R 3 3 3 C. R 2 B. D. 3 R 3 3 R 2 ) 20 B. 3 D.-8

)

答案] A 解析] 作轴截面如图,设圆柱高为 2h,

则底面半径为 R2-h2,圆柱体体积为 V=π·(R2-h2)· 2h=2πR2h-2πh3. 令 V′=0 得 2πR2-6πh2=0,∴h= 3 R. 3

2 3 即当 2h= R 时,圆柱体的体积最大.故选 A. 3 7.有一长为 16 米的篱笆,要围成一个矩形场地,则此矩形场地的最大面积为

导学号 05300272 (
A.32m2 C.16m2 答案] C 解析] 设矩形的长为 x 米,则宽为 8-x,矩形面积为 S=x(8-x)(x>0), 令 S′=8-2x=0,得 x=4,此时 S 最大=42=16.故选 C. B.14m2 D.18m2

)

8.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y=- 1 3 x +81x-234,则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为 导学号 05300273 ( 3 A.13 万件 C.9 万件 答案] C 解析] 本题考查了导数的应用及求导运算,∵x>0,y′=-x2+81=(9-x)(9+x),令 y′ =0,x=9,x∈(0,9),y′>0,x∈(9,+∞),y′<0,y 先增后减,∴x=9 时函数取最大值, 选 C,属导数法求最值问题. 二、填空题 9.面积为 S 的一切矩形中,其周长最小的是________. 导学号 05300274 答案] 以 S为边长的正方形 S 解析] 设矩形的长为 x,则宽为 , x 2S 2S 其周长 l=2x+ (0<x<S),l′=2- 2 , x x 令 l′=0 得 x= S, B.11 万件 D.7 万件 )

当 0<x< S时,l′<0,当 S<x<S 时,l′>0, ∴当 x= S时,l 取极小值,这个极小值就是最小值.故面积为 S 的一切矩形中,其周长 最小的是以 S为边长的正方形. 10.把长 60cm 的铁丝围成矩形,当长为________cm,宽为________cm 时,矩形面积最 大. 导学号 05300275 答案] 15 15 60-2x 解析] 设矩形的长为 xcm,则宽为 =(30-x)cm(0<x<30), 2 矩形的面积 S=x· (30-x)=30x-x2, S′=30-2x=2(15-x),令 S′=0 得 x=15, 当 0<x<15 时 S′>0,当 15<x<30 时 S′<0, ∴当 x=15 时,S 取极大值,这个极大值就是最大值,故当矩形长为 15cm,宽为 15cm 时 面积最大. 11.某商品一件的成本为 30 元,在某段时间内,若以每件 x 元出售,可卖出(200-x)件, 当每件商品的定价为________元时,利润最大. 导学号 05300276 答案] 115 解析] 利润为 S(x)=(x-30)(200-x)=-x2+230x-6000,(30≤x≤200) S′(x)=-2x+230,由 S′(x)=0 得 x=115,这时利润达到最大. 三、解答题 12.永泰某景区为提高经济效益,现对某一景点进行改造升级,从而扩大内需,提高旅 101 游增加值, 经过市场调查, 旅游增加值 y 万元与投入 x(x≥10)万元之间满足: y=f(x)=ax2+ 50 x x-bln ,a,b 为常数.当 x=10 万元时,y=19.2 万元;当 x=30 万元时,y=50.5 万元.(参 10 考数据:ln2=0.7,ln3=1.1,ln5=1.6). 导学号 05300277 (1)求 f(x)的解析式; (2)求该景点改造升级后旅游利润 T(x)的最大值.(利润=旅游增加值-投入). 解析] (1)由条件可得

?a×10 + 50 ×10-bln1=19.2, ? 101 ?a×30 + 50 ×30-bln3=50.5,
2 2

101

1 解得 a=- ,b=1, 100 x2 101 x 则 f(x)=- + x-ln (x≥10). 100 50 10

x2 51 x (2)T(x)=f(x)-x=- + x-ln (x≥10), 100 50 10 -x 51 1 ?x-1??x-50? 则 T′(x)= + - =- , 50 50 x 50x 令 T′(x)=0,则 x=1(舍)或 x=50, 当 x∈(10,50)时,T′(x)>0,因此 T(x)在(10,50)上是增函数; 当 x∈(50,+∞)时,T′(x)<0,因此 T(x)在(50,+∞)上是减函数, ∴当 x=50 时,T(x)取最大值. 502 51 50 T(50)=- + ×50-ln =24.4(万元). 100 50 10 即该景点改造升级后旅游利润 T(x)的最大值为 24.4 万元.

一、选择题 1.某公司生产某种产品,固定成本为 20000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 元,

?400x-1x2?0≤x≤400? ? 2 已知总收益 R 与年产量 x 的关系是 R(x)=? , 则总利润最大时, 每年生 ?80000?x>400? ?
产的产品是 导学号 05300278 ( A.100 C.250 答案] D 解析] 由题意,总成本为 C=20000+100x,所以总利润为 P=R-C= 1 ? ?300x-2x2-20000 ?0≤x≤400? ? . ? ?60000-100x ?x>400?
?300-x ?0≤x≤400? ? P′=? . ? ?-100 ?x>400?

) B.200 D.300

令 P′=0,当 0≤x≤400 时,得 x=300;当 x>400 时,P′<0 恒成立,易知当 x=300 时,总利润最大.故选 D. 2.若一球的半径为 r,作内接于球的圆柱,则其侧面积最大为 导学号 05300279 ( A.2πr2 C.4πr2 答案] A 解析] 如图所示,设内接圆柱的底面半径为 R,母线长为 l,则 R=rcosθ,l=2rsinθ. B.πr2 1 D. πr2 2 )

∴S 侧=2πrcosθ· 2rsinθ=4πr2sinθcosθ, ∴S′=4πr(cos2θ-sin2θ)=0, π π 2r ∴θ= ,即当 θ= ,R= 时,S 侧最大,且最大值为 2πr2. 4 4 2 故选 A. 3.用总长为 6m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的相邻两边 长之比为 3?4,那么容器容积最大时,高为 导学号 05300280 ( A.0.5m C.0.8m 答案] A 6-12x-16x ?3 解析] 设容器底面相邻两边长分别为 3xm,4xm,则高为 =?2-7x? ?(m),容积 4 1 2 ?3-7x?=18x2-84x3?0<x< 3 ?, V=3x· 4x· 由 V′=0 得 x= 或 x=0(舍去). x 14? V′=36x-252x , ?2 ? ? 7 1? 1 ?1 3 ? ∈? ?0,7?时,V′>0,x∈?7,14?时,V′<0,所以在 x=7处,V 有最大值,此时高为 0.5m. 4.某工厂要围建一个面积为 512 m2 的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边 需要砌新的墙壁,当砌墙所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为 B.1m D.1.5m )

导学号 05300281 (
A.32 16 C.40 20 答案] A B.30 15

)

D.36 18

512 解析] 要求材料最省,则要求新砌的墙壁总长最短,设场地宽为 x m,则长为 m,因 x 512 512 此新墙总长为 L=2x+ (x>0),则 L′=2- 2 , x x 512 令 L′=0 得 x=± 16,又 x>0,∴x=16,则当 x=16 时,Lmin=64,∴长为 =32(m).故 16 选 A. 二、填空题 5.货车欲以 xkm/h 的速度行驶去 130km 远的某地,按交通法规,限制 x 的允许范围是 x2 2+ ?升/小时,司机的工资是 14 50,100],假设汽油的价格为 2 元/升,而汽车耗油的速率是? ? 360?

元/小时,则最经济的车速是________,这次行车的总费用最低是________.

导学号 05300282
答案] 18 10km/h 26 10元

解析] 行车的总费用 x2 130 130 2+ ?×2+ ×14 y= ? x ? 360? x = 2340 13 13 2340 + x,y′= - 2 x 18 18 x

令 y′=0,解得 x=18 10∈50,100]. ∴当 x=18 10(km/h)时,总费用最低,且 ymin=26 10(元). 6.(2015· 南安市期末)要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积最大,则其高 为________. 导学号 05300283 答案] 20 3 cm 3

解析] 设圆锥的高为 hcm, 1 ∴V 圆锥= π(400-h2)×h, 3 1 ∴V′(h)= π(400-3h2). 3 400 20 3 令 V′(h)=0,得 h2= ,∴h= (cm) 3 3 20 3 当 0<h< 时,V′>0; 3 当 20 3 <h<20,V′<0, 3

20 3 ∴当 h= 时,V 取最大值. 3 7.在半径为 R 的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为________时它的面积最大.

导学号 05300284

答案]

3R 2

解析] 设∠OBC=θ, π 则 0<θ< . 2

OD=Rsinθ,BD=Rcosθ, ∴S△ABC=Rcosθ(R+Rsinθ)=R2cosθ+R2sinθcosθ. S′(θ)=-R2sinθ+R2(cos2θ-sin2θ)=0 π π R ∴cos2θ=sinθ,∴θ= ,即当 θ= 时,△ABC 的面积最大,此时高为 OA+OD=R+ = 6 6 2 3R . 2 三、解答题 8.(2015· 甘肃省会宁一中高二期中)已知某厂生产 x 件产品的总成本为 f(x)=25000+200x 1 + x2(元). 导学号 05300285 40 (1)要使生产 x 件产品的平均成本最低,应生产多少件产品? (2)若产品以每件 500 元售出,要使利润最大,应生产多少件产品? 解析] (1)设生产 x 件产品的平均成本为 y 元,则 1 25000+200x+ x2 40 25000 1 y= = +200+ x(x>0) x x 40 25000 1 y′=- 2 + x 40 令 y′=0,得 x1=1000,x2=-1000(舍去) 当 x∈(0,1000)时,y 取得极小值. 由于函数只有一个极值点,所以函数在该点取得最小值, 因此要使平均成本最低,应生产 1000 件产品. (2)利润函数 x2 1 L(x)=500x-(25000+200x+ )=300x-25000- x2 40 40 L′(x)=300- x 20

令 L′(x)=0,得 x=6000 当 x∈(0,6000)时,L′(x)>0 当 x∈(6000,+∞)时,L′(x)<0,∴x=6000 时,L(x)取得极大值,即函数在该点取得最 大值, 因此要使利润最大,应生产 6000 件产品. 9. 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为 200m2 的三级污水处理池(平面图如图所示). 如 果池四周围墙建造单价为 400 元/m2,中间两道隔墙建造单价为 248 元/m2,池底建造单价为 80 元/m2,水池所有墙的厚度忽视不计. 导学号 05300286 ?(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;

(2)若由于地形限制,该地的长和宽都不能超过 16m,试设计污水处理池的长和宽,使总 造价最低,并求出最低总造价. 200 解析] 设污水处理池的长为 xm,则宽为 m, x 再设总造价为 y 元,则有 (1)y = 2x×400 + 16000≥2 200 200 259200 ×2×400 + 248×2× + 80×200 = 800x + + x x x

259200 800x· +16000=2×14400+16000=44800, x

259200 当且仅当 800x= ,即 x=18(m)时,y 取得最小值. x 100 ∴当污水处理池的长为 18m,宽为 m 时总造价最低,为 44800 元. 9 200 (2)∵0<x≤16,0< ≤16, x ∴12.5≤x≤16,x≠18, ∴不能用基本不等式.但我们可用函数单调性定义或导数证明上述目标函数在区间 12.5,16]上是减函数,从而利用单调性求得最小值. 324 由(1)知,y=φ(x)=800(x+ )+16000(12.5≤x≤16). x 方法 1:利用定义证明单调性. 对任意 x1,x2∈12.5,16],设 x1<x2, 800?x1-x2??x1x2-324? 1 1 则 φ(x1)-φ(x2)=800(x1-x2)+324· ( - )]= >0. x1 x2 x1x2 ∴φ(x1)>φ(x2), 故 y=φ(x)在 12.5,16]上为减函数. 从而有 φ(x)≥φ(16)=45000. 方法 2:利用导数判断单调性. 324 y′=φ′(x)=800(1- 2 ),当 12.5≤x≤16 时, x x2-324 y′=800· 2 <0,∴φ(x)在 12.5,16]上为减函数.从而 φ(x)≥φ(16)=45000. x ∴当长为 16m、宽为 12.5m 时,总造价最低,最低造价为 45000 元.


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